Bài giảng cơ học cơ sở ii động lực học đại học thủy lợi

Chương 8: ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG Tua bin gió quay quanh trục cố định với chuyển động góc biến đổi Mục đích chương • Phân loại dạng khác chuyển động phẳng vật rắn • Khảo sát vật rắn chuyển động tịnh tiến làm sáng tỏ chuyển động vật rắn quay quanh trục cố định • Nghiên cứu chuyển động phẳng tổng quát vật rắn a Phân tích mối quan hệ chuyển động: Vận tốc gia tốc sử dụng hệ quy chiếu quay b Chứng tỏ làm để xác định tâm vận tốc tức thời, xác định vận tốc điểm vật rắn sử dụng phương pháp §8.1 Các dạng chuyển động phẳng vật rắn Khi tất chất điểm vật rắn chuyển động theo quỹ đạo cách mặt phẳng cố định vật rắn thực chuyển động phẳng Có ba dạng chuyển động phẳng vật rắn: Chuyển động tịnh tiến Một đoạn thẳng thuộc vật rắn giữ song song với phương ban đầu trình chuyển động Đặc biệt, vật rắn có hai dạng chuyển động tịnh tiến: a Tịnh tiến thẳng (Hình 8.1a) Hình 8-1a b Tịnh tiến cong (Hình 8-1b) Hình 8-1b Hình 8-1c Chuyển động quay quanh trục cố định (Hình 8-1c) Tất chất điểm thuộc vật rắn trừ điểm nằm trục quay, chuyển động dọc theo quỹ đạo tròn Chuyển động phẳng tổng quát (Hình 8-1d) Vật thực đồng thời tịnh tiến quay Hình 8-1d §8.2 Chuyển động tịnh tiến vật rắn (Hình 8-2) Vị trí: rB = rA + rB / A Vận tốc: v B = v A Gia tốc: a B = a A Hình 8-2 Tất chất điểm thuộc vật rắn thực chuyển động tịnh tiến thẳng hay cong chuyển động với vận tốc gia tốc Do để mơ tả chuyển động vật rắn tịnh tiến, ta sử dụng kết động học chất điểm Các hành khách thiết bị giải trí chịu chuyển động tịnh tiến cong phương tiện di chuyển theo quỹ đạo cong luôn giữ vị trí thắng đứng §8.3 Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định Các bánh sử dụng chuyển động cần trục quay quanh trục cố định, kỹ sư phải tính tốn chuyển động quay để đảm bảo thiết kế xác hệ thống bánh Khi vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định, điểm P thuộc vật chuyển động dọc theo quỹ đạo tròn Việc nghiên cứu chuyển động vật rắn, trước hết mô tả chuyển động góc (chuyển động quay) vật mà ta đưa vào ba đại lượng bản: Góc định vị (θ ), vận tốc góc (ω ) gia tốc góc (ε ) 8.3.1 Chuyển động góc (Hình 8-3a,b) * Góc định vị di chuyển góc: - Góc định vị θ - Di chuyển góc dθ Chú ý: θ không véctơ, dθ hiểu véctơ * Vận tốc góc: ω thay đổi góc định vị theo thời gian Do dθ xảy thời gian dt, nên: + dθ ω= dt (8-1) Hình 8-3a ω có độ lớn đo rad/s; phương chiều qui ước? * Gia tốc góc: α thay đổi vận tốc góc theo thời gian Độ lớn véctơ bằng: + + dω α= dt d 2θ α= dt (8-2) α có độ lớn rad/s2; phương chiều? (cùng ngựợc chiều ω tùy theo ω tăng hay giảm theo thời gian) Hình 8-3b, c sau chạm đất, vận tốc có hướng lên Vì ngun nhân nên điểm A bắt đầu tăng tốc lên rời mặt đất A, hình 8-13d Độ lớn aA aG chưa biết Phương trình gia tốc aG = aA + α × rG/A −ω rG/A Hình 8-13d aG i = aA j + ( −α k) × (rj) −ω (rj) Thực tích hữu hướng cân thành phần theo i, j, ta thu aG = α r (2) aA = ω r (3) Ví dụ 8-5 Ống cuộn (dây) biểu diễn hình 8-14a tời (tháo) từ sợi dây thừng Tại thời điểm khảo sát, có vận tốc góc rad/s gia tốc góc rad/s2 Hãy xác định gia tốc điểm B Bài giải I (Phân tích véc tơ) Ống cuộn có xu hướng lăn khơng trượt xuống điểm A Do đó, ta sử dụng kết ví dụ 16.14 để xác định gia tốc điểm G, tức aG = α r = rad/s2 (0.5 ft) = ft/s2 Ta áp dụng phương trình gia tốc cho điểm G B Sơ đồ động học Điểm B chuyển động dọc theo quỹ đạo cong với bán kính cong chưa xác định * Gia tốc biểu diễn thành phần x y chưa biết hình 8-14b Phương trình gia tốc aB = aG + α × rB/G −ω rB/G Hình 8-14b (aB)xi + (aB)yj = −2 j + ( −4 k) × (0.75j) −(3) (0.75j) Cân số hạng theo i j, ta phương trình thành phần sau: (aB)x = (0.75) = ft/s2 → (1) (aB)y = −2 − 6.75 = −8.75 ft/s2 = 8.75 ft/s2 ↓ (2) Do đó, độ lớn hướng aB aB = (3) + (8.75) = 9.25 ft/s2 8.75 θ = tan = 71.10 −1 θ * Nhận thấy bán kính cong ρ khơng bán kính ống cuộn ống cuộn không quay quanh điểm G Hơn nữa, ρ khoảng cách từ A (IC) tới B vị trí điểm IC phụ thuộc vào vận tốc điểm khơng phụ thuộc vào hình dạng quỹ đạo Bài giải II (Phân tích vơ hướng) Bài tốn giải cách viết trực tiếp phương trình thành phần vơ hướng Sơ đồ động học hình 8-14c, cho thấy thành phần gia tốc tương đối (aB/G)t (aB/G)n Do đó, Hình 8-14c aB = aG + (aB/G)t + (aB/G)n ⎡(aB ) x ⎤ ⎡ (aB ) y ⎤ ⎡ ft / s ⎤ ⎡ 4rad / s (0.75 ft ) ⎤ ⎡(3rad / s ) (0.75 ft ) ⎤ ⎥+⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ → ⎥+⎢ ↑ ⎥ =⎢ ↓ → ↓ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Các thành phần x y cho ta phương trình Ví dụ 8-7 Tay quay AB động quay theo chiều kim đồng hồ với gia tốc góc 20rad/s2 Hãy xác định gia tốc piston AB vị trí hình vẽ Tại vị trí này, ω AB =10 rad/s ω BC = 2.43 rad/s Bài giải (Phân tích véctơ) Sơ đồ động học Sơ đồ động học AB BC biểu diễn hình 8-15 Trong đó, aC có phương thẳng đứng C Hình 8-15 chuyển động dọc theo quỹ đạo thẳng Phương trình gia tốc Biểu diễn vectơ vị trí dạng vectơ Đề Hình 8-15 rB = { −0.25sin 450i + 0.25 cos 450j} ft = { −0.177 i + 0.177j} ft rC/B = {0.75 sin 13.60i + 0.75 cos13.60j} ft = {0.176i + 0.729 j} ft Tay quay AB (quay quanh trục cố định): aB = αAB × rB −ω AB rB = ( −20 k) × ( −0.177 i + 0.177j) −(10) ( −0.177 i + 0.177j) = {21.21i −14.14 j} ft/s2 Thanh nối BC (chuyển động phẳng tổng quát): Sử dụng kết cho aB, ý aC có phương thẳng đứng, ta có rC/B aC = aB + αBC × rC/B −ω BC aC j = 21.21i −14.14 j + (αBC )k × (0.176i + 0.729j) −(2.43) (0.176i + 0.729j) aC j = 21.21i −14.14 j + 0.176αBC j −0.729 αBC i −1.04 i −4.30 j = 20.17 −0.729 αBC => aC = 0.176αBC −18.45 Giải phương trình trên, ta αBC = 27.7 rad/s2 aC = −13.6 ft/s2 Chú ý: Do pittông chuyển động lên nên dấu âm aC cho thấy pitông giảm dần tốc độ, tức aC = { −13.6 j} ft/s2 Điều làm giảm vận tốc pitông đến AB đạt trạng thái thẳng đứng thời điểm đó, pitơng trạng thái nghỉ (tĩnh) tức thời 8.4.4 Phân tích liên hệ chuyển động sử dụng trục quay • Xét hệ tọa độ x, y, z có gốc điểm thực chuyển động tịnh tiến quay hệ tọa độ cố định X, Y, Z (hình 8-16) Ta chứng tỏ hai phương trình mơ tả vận tốc gia Hình 8-16 tốc điểm B sau: vB = vA + Ω × rB/A + (vB/A)xyz (8-17) Và & × rB/A + Ω × ( Ω × rB/A) + Ω × (vB/A)xyz + (aB/A)xyz a B = aA + Ω (8-18) Trong đó: vB, aB: vận tốc, gia tốc điểm B tính hệ qui chiếu X, Y, Z vA, aA: vận tốc, gia tốc điểm A hệ toạ độ x, y, z, tính hệ quy chiếu X, Y, Z (vB/A)xyz , (aB/A)xyz: vận tốc, gia tốc tương đối điểm B điểm A tính người quan sát gắn chặt với hệ qui chiếu x, y, z & : vận tốc góc, gia tốc góc hệ quy chiếu x, y, z Ω,Ω hệ quy chiếu X, Y, Z rB/A : Vị trí tương đối điểm B điểm A ã S hng: ì (vB/A)xyz c gọi gia tốc Coriolit, mang tên kỹ sư người Pháp C.G Coriolit, người xác định Số hạng biểu diễn khác hai phương trình xác định gia tốc điểm B tính hệ trục x, y, z quay khơng quay Như vectơ tích hữu hướng, gia tốc Coriolit ln vng góc với Ω (vB/A)xyz Nó thành phần gia tốc quan trọng dùng hệ quy chiếu chuyển động quay Thực tế gia tốc thường xuất thí dụ như: nghiên cứu lực gia tốc tác dụng lên tên lửa, chuyển động bay xa viên đạn, vật rắn có chuyển động tính đến ảnh hưởng đáng kể quay trái đất (*) Ví dụ áp dụng: Ví dụ 8.8: Tại thời điểm θ = 600, hình 8-17, có vận tốc góc rad/s gia tốc góc rad/s2 Tại thời điểm đó, vịng C chuyển động dọc theo phía ngồi có vận tốc m/s gia tốc m/s2 x = 0.2 m, đo tương đối so với Hãy xác định gia tốc Coriolit vận tốc, gia tốc vịng C thời điểm Bài giải Hình 8-17 Các trục toạ độ Gốc toạ độ hệ toạ độ đặt điểm O, hình 8-17 Do chuyển động vòng trượt chuyển động tương đối so với thanh, hệ toạ độ chuyển động x, y, z gắn với Các phương trình động học vC = vO + Ω × rC/O + (vC/O)xyz (1) & × rC/O+ Ω × ( Ω × rC/O)+2 Ω × (vC/O)xyz+(aC/O)xyz aC = aO + Ω (2) Biểu diễn số liệu dạng véctơ thành phần i, j, k đơn giản dạng thành phần I, J, K Do đó, Chuyển động hệ toạ độ di động Chuyển động C so với hệ toạ độ di động vO = rC/O = {0.2i} m aO = (vC/O)xyz = {2i} m/s Ω = { −3k} rad/s2 & = { −2 k} rad/s2 Ω (aC/O)xyz = {3i} m/s2 Từ phương trình 2, gia tốc Coriolit xác định sau: aCor = Ω × (vC/O)xyz = ( −3k) × (2i) = { −12 i} m/s2 Véctơ kí hiệu đường gạch gạch hình 8-17 Nếu muốn, biểu diễn thành phần I, J theo trục X Y Vận tốc gia tốc vòng trượt xác định cách thay số vào phương trình và thực tích hữu hướng, ta được: vC = vO + Ω × rC/O + (vC/O)xyz = + ( −3k) × (0.2i) + 2i = {2i −0.6 j} m/s & × rC/O + Ω × ( Ω × rC/O) + Ω × (vC/O)xyz + (aC/O)xyz aC = aO + Ω = + ( −2 k)× (0.2i) + ( −3k)× [( −3k)× (0.2i) + 2( −3k)× (2i) + 3i] = −0.4 j −1.8i −12 j + 3i = {1.20i −12.4 j} (m/s2) BÀI TẬP CHƯƠNG 16-3; 16-13; 16-17; 16-19; 16-22; 16-50; 16-54; 16-58;16-60; 16-61; 16-68; 16-75; 16-79; 16-81; 16-87; 16-90; 16-94; 16-102; 16-107; 16-110; 16-114; 16-121; 16-126; 16-131; 16-134; 16-139; 16-141 ... hình vẽ Bài giải I (Phân tích véctơ) Sơ đồ động học C chuyển động xuống làm B chuyển động sang phải Và đó, CB AB quay ngược chiều kim đồng hồ Để giải toán này, ta viết phương trình động học thích... chuyển động tịnh tiến thẳng hay cong chuyển động với vận tốc gia tốc Do để mô tả chuyển động vật rắn tịnh tiến, ta sử dụng kết động học chất điểm Các hành khách thiết bị giải trí chịu chuyển động. .. trên, chuyển động vật chuyển động xác định hoàn toàn khảo sát chuyển động góc (quay) đoạn thẳng thuộc vật chuyển động điểm vật Để làm điều đó, thường sử dụng cách sau: - Phân tích chuyển động tuyệt