Bài giảng cơ học cơ sở ii động lực học (đại học thủy lợi)

CHƯƠNG 11: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG: XUNG LƯỢNG VÀ ĐỘNG LƯỢNG Sự nâng lên chuyển động quay cánh quạt máy bay lên thẳng tính từ phân tích dịng dựa ngun lý xung lượng động lượng Mục đích chương • Trình bày nguyên lý xung lượng động lượng tuyến tính chất điểm, bảo toàn động lượng tuyến tính • Phân tích học va chạm • Đưa vào khái niệm xung lượng góc động lượng góc (mơmen động lượng) • Giải tốn liên quan tới dịng chất lỏng ổn định • Áp dụng nguyên lý xung lượng động lượng tuyến tính góc để giải tốn động lực học phẳng vật rắn gồm có lực, vận tốc thời gian Thảo luận áp dụng bảo toàn động lượng Nội dung: A CHẤT ĐIỂM §11.1 Nguyên lý xung lượng động lượng tuyến tính 11.1.1 Nguyên lý xung lượng động lượng cho chất điểm • Xét chất điểm có khối lượng m, chuyển động hệ quy chiếu quán tính với vận tốc v gia tốc a tác dụng lực có hợp lực FR = ΣF Nguyên lý xung lượng động lượng tuyến tính chất điểm thu từ tích phân phương trình chuyển động: dv Σ F = ma = m dt Và mơ tả phương trình: t2 mv1 + ∑ ∫ Fdt = mv t1 (11-1) (1) Động lượng tuyến tính: Một hai véctơ dạng L = mv (11-1) động lượng tuyến tính điểm Do m đại lượng vô hướng nên L hướng theo v, có đơn vị đo hệ SI: kgm/s hệ FPS slug.ft/s t2 ∫ (2) Xung lượng tuyến tính: Tích phân I = Fdt (11-1) gọi t1 xung lượng tuyến tính Đại lượng véctơ đo hiệu lực thời gian lực tác dụng Xung lượng tác dụng theo hướng lực có đơn vị đo hệ SI, FPS tương ứng là: N·s; lb·s • Phát biểu nguyên lý xung lượng động lượng tuyến tính: Phương trình (11-1) phát biểu sau: Động lượng tuyến tính ban đầu chất điểm (tại t1) cộng với tổng xung lượng lực tác dụng lên chất điểm từ t1 đến t2 động lượng tuyến tính cuối chất điểm (tại t2) Các số hạng phương trình (11-1) biểu diễn sơ đồ xung lượng động lượng (Hình 11-1) Hình 11-1 Phương trình (11-1) cho ta phương pháp trực tiếp để thu vận tốc cuối v2 chất điểm vận tốc ban đầu v1 chất điểm lực tác dụng lên khơng đổi hàm thời gian • Có thể viết (11-1) dạng vô hướng: t2 m(vx )1 + Σ ∫ Fx dt = m(vx ) t1 t2 m(v y )1 + Σ ∫ Fy dt = m(v y ) t1 t2 m(vz )1 + Σ ∫ Fz dt = m(vz ) t1 (11-2) 11.1.2 Nguyên lý xung lượng động lượng tuyến tính cho hệ chất điểm • Nguyên lý xung lượng động lượng tuyến tính cho hệ chất điểm chuyển động hệ qn tính cho phương trình: t2 Σmi ( v i )1 + Σ ∫ Fi dt = Σmi ( v i )2 (11-3) t1 • Ta viết (11-3) số hạng theo tâm khối lượng G hệ có: ΣM P = Σ( Mk ) P (11-4) (*) Các ví dụ áp dụng Sinh viên đọc bước phân tích giải tốn giáo trình Ví dụ 11-1 Một thùng trọng lượng 50lb hình vẽ 11-2a, chịu tác dụng lực có độ lớn biến đổi P = (20t) lb, thời gian t tính giây Xác định vận tốc thùng sau lực P tác dụng lên thùng 2s Biết Hình 11-2a vận tốc ban đầu v1 = ft/s có chiều xuống mặt phẳng, hệ số ma sát động lực thùng gỗ mặt phẳng μ k = 0.3 Bài giải Sơ đồ vật rắn tự Xem hình vẽ 11-2b Vì độ lớn lực P = 20t hàm thời gian, nên xung lượng mà tạo tính tích phân khoảng thời gian s Trọng lực, lực pháp tuyến lực ma sát (tác dụng ngược chiều so với hướng chuyển động thùng) không đổi, xung lượng sinh lực đơn giản tích độ lớn lực với thời gian s Nguyên lý xung lượng động lượng + m(vx )1 + ∑ ∫ Fx dt = m(vx ) t2 Hình 11-2b t1 50lb 50lb o (3ft/s) + ∫ 20t dt − 0.3N C (2s) +(50lb)(2s)sin 30 = v2 2 32.2ft/s 32.2ft/s 4.66 + 40 – 0.6NC + 50 = 1.55v2 Phương trình cân áp dụng theo phương y Tại sao? + ΣFy = 0; NC – 50 cos 30o lb = Giải ta được: NC = 43.3 lb; v2 = 44.2 ft/s Chú ý: Chúng ta giải tốn cách sử dụng phương trình chuyển động Từ hình 11-2b + ΣFx = max; 50 a 20t − 0.3(43.3) + 50sin 30 = 32.2 o a = 12.88t + 7.734 Sử dụng động học: + dv = adt; v = 44.2 ft/s ∫ v dv = ∫ (12.88t + 7.734) dt §12.2 Dao động cưỡng 12.2.1 Dao động cưỡng không tắt dần • Dao động cưỡng khơng tắt dần xem loại chuyển động dao động quan trọng cơng trình kỹ thuật Ta xét Hình 12-7a mơ hình đơn giản gồm khối lượng lị xo, chịu tác dụng lực tuần hồn F = F0 sin ω0t ; Trong đó: F0 biên độ lực ω0 tần số cưỡng (tần số kích động) (hình 12-7a) Sơ đồ vật rắn tự vật dao động dịch chuyển đoạn x từ vị trí cân biểu diễn hình vẽ (hình 12-7b) • Áp dụng phương trình chuyển động, ta thu phương trình: F0 k && x + x = sin ω0t m m Hình 12-7b (12-18) Nghiệm tổng quát phương trình nghiệm tổng quát phương trình nhất, xc , cộng với nghiệm riêng, x p F0 / k x = xc + x p = A sin ωnt + B cos ωnt + sin ω0t − (ω0 / ωn ) (12-19) Vì hệ dao động thực tế chịu tác dụng ma sát, nên dao động tự do, xc , tắt dần theo thời gian Vì dao động tự gọi dao động thời, dao động cưỡng bức: F0 / k xp = sin ω0t − (ω0 / ωn ) (12-20) Được gọi chuyển động bình ổn (trạng thái dừng - ổn định), có dao động trì F0 / k • Biên độ dao động cưỡng bức: c = phụ thuộc vào tỷ − (ω0 / ωn ) số tần số ω0 / ωn Nếu định nghĩa hệ số phóng đại MF tỷ số biên độ chuyển động dao động bình ổn ( x p ) max = c, độ lệch tĩnh F0 / k biên độ lực tuần hồn F0 gây ra, ( x p ) max MF = = F0 / k − (ω0 / ωn ) (12-21) (12-21) biểu diễn đồ thị hình 12-8 Chú ý rằng: Nếu lực tác dụng hay dịch chuyển gây dao động có tần số cưỡng gần với tần số riêng hệ Hình 12-8 ω0 / ωn ≈ 1, biên độ dao động vật trở nên lớn Điều kiện gọi điều kiện cộng hưởng Di chuyển giá đỡ (hay chống) tuần hồn Dao động cưỡng xảy từ kích thích tuần hồn giá đỡ (hay chống) hệ Trong trường hợp này, phương trình dao động dạng phương trình (12-18) F0 thay cho kδ , δ xác định di chuyển giá đỡ (hay chống) δ = δ sin ω0t (*) Các ví dụ áp dụng Ví dụ 12-3 Máy đo hình 12-9 nối cứng với bệ máy P , bệ máy đỡ bốn lò xo, lò xo có độ cứng k = 800 N/m Ban đầu bệ máy trạng thái đứng yên sàn chịu dịch chuyển δ =10sin(8t ) mm , t tính giây Nếu máy đo giới Hình 12-9 hạn chuyển động theo phương thẳng đứng tổng khối lượng máy bệ máy 20 kg, xác định độ dịch chuyển thẳng đứng y tính từ vị trí cân bệ máy theo thời gian Dao động sàn phải để xuất cộng hưởng? Bài giải Vì dao động cảm ứng gây dịch chuyển giá tựa, chuyển động biểu diễn phương trình (12-18) với F0 thay kδ , nghĩa là: δ0 y = A sin ωnt + B cos ωnt + sin ω0t − (ω0 / ωn ) (1) Ở đây, δ = δ sin ω0t =10sin(8t ) mm , δ =10 mm , ω0 = 8rad/s k 4(800 N/m) ωn = = =12.6 rad/s m 20 kg với kδ thay cho F0 , biên độ dao động gây dịch chuyển sàn là: δ0 10 = =16.7 mm ( yω ) max = 2 − (ω0 / ωn ) − [(8rad/s) /(12.6 rad/s)] n (2) Vì thế, biểu thức (1) đạo hàm theo thời gian trở thành y = A sin(12.6t ) + B cos(12.6t ) + 16.7sin(8t ) y& = A(12.6) cos(12.6t ) − B (12.6)sin(12.6t ) + 133.3cos(8t ) Các số A B tính từ biểu Vì y = y& = t = , nên 0=0+ B+0 B=0 = A(12.6) − + 133.3 A = − 10.5 Do đó, chuyển động dao động biểu diễn phương trình y = − 10.5sin(12.6t ) + 16.7sin(8t ) Cộng hưởng xảy biên độ dao động gây dịch chuyển sàn tiến tới vô Từ biểu thức (2), cần phải có: ω0 = ωn =12.6 rad/s 12.2.2 Dao động cưỡng tắt dần có cản nhớt hệ bậc tự • Trường hợp tổng quát chuyển động dao động hệ bậc tự xảy hệ có xét đến tác dụng lực cưỡng lực tắt dần Phương trình vi phân mơ tả chuyển động dao động có dạng: mx&& + cx& + kx = F0 sin ω0t (12-22) Phương trình tương tự viết dao động cưỡng xảy di chuyển tuần hoàn giá đỡ (hay chống) hệ Như thảo luận trên, trường hợp F0 thay kδ • Nghiệm tổng quát phương trình (12-22) có dạng: x = xc + xp xc nghiệm đầy đủ (nghiệm tổng quát phương trình nhất) phương trình (12-21) Nghiệm biết phụ thuộc vào giá trị λ1 λ2 Tuy nhiên, tất hệ có ma sát, nên nghiệm tắt dần theo thời gian Do có nghiệm riêng xp mơ tả dao động bình ổn hệ trì Ta viết nghiệm dạng: x p = C 'sin(ω0t − φ ') (12-23) Trong trường hợp này, số C ' φ ' C '= F0 / k [1 − (ω0 / ωn ) ]2 + [2(c / cc )(ω0 / ωn )]2 ⎡ 2(c / cc )(ω0 / ωn ) ⎤ φ ' = tan ⎢ ⎥ ω ω ( / ) − n ⎣ ⎦ −1 (12-24) Góc φ ' độ lệch pha lực tác dụng dao động bình ổn kết hệ tắt dần • Hệ số phóng đại MF trường hợp xác định bằng: C' MF = = F0 / k [1 − (ω0 / ωn ) ]2 + [2(c / cc )(ω0 / ωn )]2 (12-25) Đồ thị độ lớn MF tỷ số tần số ω0 / ωn tương ứng với giá trị khác hệ số tắt dần c / cc cho hình (1210) Rõ ràng độ lớn biên độ dao động tăng lên hệ số tắt dần giảm tượng cộng hưởng xuất hệ số tắt dần khơng tỷ số tần số Hình 12-10 (*) Các ví dụ áp dụng Ví dụ 12-4 Mơtơ điện khối lượng 30 kg hình 12-11 đỡ bốn lị xo, lị xo có độ cứng 200 N/m Nếu rôto R không cân tác động tương đương với khối lượng kg nằm cách trục quay khoảng 60 mm , xác định biên độ dao động rôto quay với tốc độ ω0 =10 rad/s Hệ số tắt dần c / cc = 0.15 Hình 12-11 Bài giải Lực tuần hồn làm mơ tơ dao động lực ly tâm rôto không cân Lực có độ lớn khơng đổi: F0 = man = mrω02 = kg(0.06 m)(10 rad/s) = 24 N Vì F = F0 sin ω0t , ω0 =10 rad/s , nên: F = 24sin10t Độ cứng tồn bốn lị xo k = 4(200 N/m) = 800 N/m Vì thế, tần số riêng dao động là, k 800 N/m ωn = = = 5.16 rad/s m 30 kg Vì hệ số tắt dần biết, biên độ bình ổn xác định từ biểu thức đầu F0 / k C '= [1 − (ω / ω n ) ]2 + [2( c / cc )(ω / ω n )]2 = 24 / 800 [1 − (10 / 5.16) ] + [2(0.15)(10 / 5.16)] 2 = 0.0107 m =10.7 mm BÀI TẬP CHƯƠNG 12 22-9; 22-12; 22-14; 22-19; 22-34; 22-42; 22-47; 22-50; 22-55; 22-57; 22-66 Bài tập ôn tập: Ôn tập chung: Phụ lục D (Sinh viên tự kiểm tra kiến thức) ... không đáng kể gọi lực khơng xung, thí dụ: trọng lượng vật lực nhỏ so với lực (xung lực) khác lớn (lực làm thay đổi động lượng hệ mạnh nhanh) Khi muốn phân biệt lực khơng xung lực xung, điều nhận... lượng động lượng tuyến tính góc để giải tốn động lực học phẳng vật rắn gồm có lực, vận tốc thời gian Thảo luận áp dụng bảo toàn động lượng Nội dung: A CHẤT ĐIỂM §11.1 Nguyên lý xung lượng động. .. sát động lực thùng gỗ mặt phẳng μ k = 0.3 Bài giải Sơ đồ vật rắn tự Xem hình vẽ 11-2b Vì độ lớn lực P = 20t hàm thời gian, nên xung lượng mà tạo tính tích phân khoảng thời gian s Trọng lực, lực