Bài giảng cơ học cơ sở ii động lực học (đại học thủy lợi)

BÀI GIẢNG CƠ HỌC KỸ THUẬT CƠ HỌC CƠ SỞ II – ĐỘNG LỰC HỌC Biên soạn: PGS.TS Nguyễn Đình Chiều Bộ môn: Cơ học kỹ thuật – Khoa Cơ khí ĐH Thủy lợi Hà nội 2008 CHƯƠNG ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Với khoảng cách chuyển động máy bay coi máy bay chất điểm, máy bay lớn Mục tiêu chương • Trình bày khái niệm: Vị trí, di chuyển, vận tốc gia tốc • Nghiên cứu chuyển động thẳng chất điểm • Nghiên cứu chuyển động cong chất điểm sử dụng hệ tọa độ khác • Trình bày cách phân tích phụ thuộc chuyển động tuyệt đối hai chất điểm nguyên lý mối quan hệ chuyển động hai chất điểm sử dụng hệ trục tọa độ tịnh tiến Nội dung §7.1 Chuyển động thẳng liên tục chất điểm Vị trí ? r, s Di chuyển ? Δr , Δs Vận tốc ? dr v= ; dt ds v= dt (7-1) Gia tốc ? dv a= ; dt dv a= dt Hình 7-1 d2s a= dt (7-2) Khử dt (7-1) (7-2), thu được: a ds = v dv • (7-3) Xét trường hợp: Gia tốc không đổi a = aC: a) Vận tốc hàm thời gian: v = v0 + aC t • (7-4) b) Vị trí hàm thời gian: s = s0 + v0t + aC t (7-5) c) Vận tốc hàm vị trí: v = v02 + 2aC ( s − s0 ) (7-6) Các ví dụ áp dụng: Sinh viên đọc kỹ: Các điểm quan trọng trình tự phân tích giải tốn giáo trình Ví dụ 7-1 Ơtơ hình 7-2 chuyển động đường thẳng khoảng thời gian ngắn, vận tốc xác định công thức v = (3t2 + 2t) ft/s, t tính giây Xác định vị trí gia tốc ơtơ t = 3s Biết t = , s = Hình 7-2 Bài giải Hệ tọa độ Tọa độ vị trí kéo dài từ gốc O cố định đến ơtơ, chiều dương hướng sang phải Vị trí Do v = f(t), vị trí ơtơ xác định từ v = ds/dt, phương trình liên quan đến v, s t Chú ý s = t = 0, ta có*: + ds v= = (3t + 2t ) dt (→) * Có thể thu kết tương tự cách tính số tích phân C hay việc sử dụng tích phân xác định Ví dụ, tích phân ds = (3t2 + 2t)dt ta có s = t3 + t2 + C Sử dụng điều kiện t = 0, s = 0, C = s t ∫ ds = ∫ (3t + 2t )dt => s = t + t Khi t = s, s s = (3)3 + (3)2 = 36 ft t => s = t + t Gia tốc Biết v = f(t), gia tốc xác định từ a = dv /dt, phương trình liên quan đến a, v t dv d a= = (3t + 2t ) = t + dt dt Khi t = 3s, a = 6(3) + = 20 ft/s2 Chú ý: Những công thức với gia tốc số khơng thể dùng để giải tập này, tập gia tốc hàm thời gian Ví dụ 7-2 Một viên đạn nhỏ bắn theo phương thẳng đứng xuống vào môi trường chất lỏng với vận tốc ban đầu 60 m/s Do cản chất lỏng, đạn giảm tốc độ a = (-0.4v3) m/s2, v tính m/s Xác định vận tốc vị trí viên đạn sau 4s kể từ bị bắn Hình 7-3 Bài giải Hệ tọa độ Vì chuyển động xuống, nên tọa độ vị trí hướng xuống dương, với gốc O, hình 7- Thời gian cần để hộp đến điểm B xác định thấy vị trí điểm B sB = + 2π(2) / = 6.142 m , hình 7-12b, s A = t = , ta có ds v = = 0.1t ; dt 6.142 ∫ tB ds = ∫ 0.1t dt 6.142 = 0.0333t B3 ; t B = 5.690 s Thay vào phương trình (1) (2) dẫn tới (aB )t = v&B = 0.2(5.690) =1.138 m / s vB = 0.1(5.69)2 = 3.238 m / s Tại B , có ρ = m , vB2 (3.238 m / s ) ( aB ) n = = = 5.242 m / s ρB 2m Độ lớn a B , hình 7-12c, aB = (1.138) + (5.242) = 5.36 m / s Hình 7-12 7.2.4 Chuyển động cong: Các thành phần tọa độ trụ 7.4.2a Hệ tọa độ Một số toán thường giải thuận lợi biểu diễn quỹ đạo chuyển động chất điểm dạng toạ độ trụ r , θ, z Nếu chuyển động xảy mặt phẳng, ta dùng hệ toạ độ cực r θ (hình 7-13a) Hệ tọa độ cực thiết lập có gốc điểm cố định, tia hướng kính r qua chất điểm Sự thay đổi θ tính theo chiều ngược chiều kim đồng hồ tia hướng kính đường quy chiếu cố định 7.2.4b Vị trí, vận tốc, gia tốc (hình 7-13b,c) Vị trí: r = ru r Vận tốc: v = vr u r + vθuθ (7-20) Trong đó: vr = r& ; vθ = rθ& v = (r&) + (rθ&) Gia tốc: a = ar u r + aθu θ (7-21) (7-22) Trong đó: ar = && r − r&& θ2 ; aθ = r&& θ + 2r&θ& a = (&& r − r θ& ) + (r&& θ + 2r&θ& ) (7-23) Hình 7-13 Chú ý rằng, cần lấy đạo hàm r = f (θ) theo thời gian sử dụng phương pháp tính dây chuyền * Các ví dụ áp dụng Ví dụ 7-9 Trong hình 7-14a, OA quay mặt phẳng nằm ngang với θ = (t ) rad Tại thời điểm, vịng B trượt OA ngồi với r = (100t ) mm Trong hai trường hợp t tính theo giây, xác định vận tốc gia tốc vòng t =1 s Hình 7-14a Bài giải Hệ toạ độ Vì phương trình quỹ đạo chuyển động cho dạng tham số thời gian, ta không cần phải thiết lập quan hệ r θ Hình 7-14b Hình 7-14c Vận tốc gia tốc Xác định đạo hàm thời gian tính t = s , ta có: r = 100t t =1 s = 100 mm θ = t t =1 s = rad = 57.30 r& = 200t t =1s = 200 mm / s θ& = 3t && r = 200 t =1s = 200 mm / s && θ = 6t t =1 s t =1 s = rad / s = rad / s Như biểu diễn hình 7-14b, v = r&u r + rθ& uθ = 200u r + 100(3)uθ = {200u r + 300uθ } mm / s Độ lớn v là: v = (200) + (300) = 361 mm / s ⎛ 300 ⎞ 0 δ + 57.3 = 114 δ = tan ⎜ = 56.3 ⎟ 200 ⎝ ⎠ −1 Như biểu diễn hình 7-14c, a = (&& r − rθ& )u r + (r&& θ + 2r&θ& )u θ = [200 − 100(3) ]u r + [100(6) + 2(200)3]u θ = {−700u r + 1800u θ } mm / s Độ lớn a là: a = (700) + (1800) = 1930 mm / s ⎛ 1800 ⎞ φ = tan ⎜ = 68.7 ⎟ ⎝ 700 ⎠ −1 1800 − φ + 57.30 = 1690 Chú ý: Như mong đợi, vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo; khi, gia tốc lại hướng tâm cong quỹ đạo §7.3 Phân tích phụ thuộc chuyển động tuyệt đối mối liên hệ chuyển động hai chất điểm 7.3.1 Phân tích phụ thuộc chuyển động tuyệt đối hai chất điểm Trong số toán, chuyển động chất điểm phụ thuộc vào chuyển động chất điểm khác tương ứng Sự phụ thuộc xuất chất điểm chịu ràng buộc dây không giãn vắt qua puli (xem ảnh minh họa) Để giải tập này, sinh viên tự nghiên cứu kỹ mục 12-9 ví dụ kèm theo giáo trình 7.3.2 Phân tích mối quan hệ chuyển động hai chất điểm sử dụng trục tịnh tiến (Hình 7-15 a, b, c) Hình 7-15a Vị trí: rB = rA + rB / A (7-24) Vận tốc: vB = v A + vB/ A (7-25) Trong đó: v B = drB / dt v A = drA / dt gọi vận tốc tuyệt đối, quan sát từ hệ quy chiếu cố định; v B / A = drB / A / dt gọi vận tốc tương đối, Hình 7-15b quan sát từ hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến Gia tốc: aB = a A + aB / A * Các ví dụ áp dụng (7-26) Hình 7-15c Ví dụ 7-10 Tại thời điểm hình 7-16, xe A xe B chuyển động với vận tốc theo thứ tự 18 m / s 12 m / s Cùng thời điểm đó, A tăng tốc với gia tốc m / s , B tăng tốc với gia tốc m / s Hãy xác định vận tốc gia tốc B A Bài giải Vận tốc Hệ toạ độ cố định x, y Hình 7-16a thiết lập điểm mặt đất hệ toạ độ động x ', y ' gắn với xe A , hình 7-16a Tại sao? Vận tốc tương đối tính từ v B = v A + v B / A Hai ẩn cần tìm gì? Sử dụng phương pháp véctơ Đề các, ta có vB = v A + vB/ A −12 j = (−18cos 600 i − 18sin 600 j) + v B / A Hình 7-16b v B / A ={9i + 3.588 j} m / s Vì vậy, vB / A = (9) + (3.588) = 9.69 m / s Nhớ v B / A có thành phần +i +j, hình 7-16b, phương là: ( vB / A ) y 3.588 tan θ = => = ( vB / A ) x θ= 21.70 Gia tốc Xe B có gia tốc pháp tuyến gia tốc tiếp tuyến Tại sao? Độ lớn thành phần gia tốc pháp tuyến vB2 (12 m / s ) ( aB ) n = = =1.440 m / s 100 m ρ Áp dụng phương trình cho gia tốc tương đối dẫn đến Hình 7-16c aB = a A + aB / A (−1.440i − j = (2cos 600 i + 2sin 600 j) + a B / A a B / A ={−2.440i − 4.732 j} m / s Trong đó, a B / A có thành phần -i -j Vì vậy, từ hình 7-16c, aB / A = (2.440) + (4.732) = 5.32 m / s ( aB / A ) y 4.732 = tan φ = (aB / A ) x 2.440 φ= 62.70 BÀI TẬP CHƯƠNG 12-4; 12-6; 12-10; 12-12; 12- 30; 12-67; 12-79; 12-83; 12-86; 12-91; 12-106; 12-107; 12-112; 12-127; 12-133; 12-138; 12-145; 12-150; 12-163; 12-174; 12-177; 12-179; 12-189; 12-199 ... thuộc chuyển động tuyệt đối mối liên hệ chuyển động hai chất điểm 7.3.1 Phân tích phụ thuộc chuyển động tuyệt đối hai chất điểm Trong số toán, chuyển động chất điểm phụ thuộc vào chuyển động chất...CHƯƠNG ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Với khoảng cách chuyển động máy bay coi máy bay chất điểm, máy bay lớn Mục tiêu chương • Trình bày khái niệm: Vị trí, di chuyển, vận tốc gia tốc • Nghiên cứu chuyển động. .. Hình 7-3 Bài giải Hệ tọa độ Vì chuyển động xuống, nên tọa độ vị trí hướng xuống dương, với gốc O, hình 7- Vận tốc Ở a = f(v) ta phải xác định vận tốc hàm thời gian, sử dụng a = dv/dt, cơng thức