Bài giảng cơ học cơ sở ii động lực học

CHƯƠNG 9: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG: LỰC VÀ GIA TỐC Mục đích chương • Nhắc lại định luật chuyển động định luật hấp dẫn Newton, định nghĩa khối lượng trọng lượng • Phân tích chuyển động có gia tốc chất điểm phương trình chuyển động hệ trục toạ độ khác • Giới thiệu phương pháp xác định mơmen qn tính khối lượng vật Trình bày phương trình chuyển động động lực học vật rắn chuyển động phẳng thảo luận việc áp dụng phương trình vật ắn chuyển động tịnh tiến, quay quanh trục cố định, chuyển động phẳng tổng quát A CHẤT ĐIỂM §9.1 Nhắc lại định luật Newton 9.1.1 Ba định luật Newton chuyển động chất điểm - Định luật thứ - Định luật thứ hai: d F = (mv) = ma dt (9-1) - Định luật thứ ba Định luật thứ thứ ba sử dụng thường xuyên xây dựng lý thuyết phần tĩnh học Định luật thứ hai tảng xây dựng lý thuyết phần động lực học, thiết lập mối quan hệ chuyển động có gia tốc chất điểm với lực tác dụng lên chất điểm 9.1.2 Định luật hấp dẫn Newton m1m2 * Định luật: F = G r ; G = 66.73(10−12 ) m3 /(kg ⋅ s ) * Khối lượng trọng lực 9.1.3 Hệ đơn vị SI hệ đơn vị FPS 9.1.4 Hệ quy chiếu quán tính * Hệ quy chiếu người quan sát * Hệ quy chiếu qn tính §9.2 Phương trình chuyển động Trong phần này, ta đưa phương trình chuyển động dựa sở hiển nhiên thực nghiệm áp dụng hệ quy chiếu quán tính 9.2.1 Phương trình chuyển động chất điểm • Khi có nhiều lực tác dụng lên chất điểm, hợp lực xác định tổng véctơ tất lực; nghĩa FR = ΣF Đối với trường hợp tổng quát này, áp dụng phương trình chuyển động hệ thức tốn học định luật thứ hai Newton, ta viết được: Σ F = ma (9-2) Độ lớn phương lực tác dụng lên chất điểm (vế trái phương trình 9-2) xác định sử dụng sơ đồ vật rắn tự do; sơ đồ động lực học xác định độ lớn phương véctơ ma (vế phải phương trình 9-2), hình 9-1a, b, c Hình 9-1 • Chú ý rằng, FR = ΣF = gia tốc không chất điểm đứng yên, chuyển động thẳng với vận tốc không đổi Thức chất trạng thái cân tĩnh, khẳng định định luật thứ Newton • Phương trình chuyển động (9-2) viết dạng: ΣF − ma = Véc tơ –ma coi véctơ lực quán tính Khi trạng thái cân tạo gọi cân động lực Phương pháp áp dụng gọi nguyên lý Đalămbe, mang tên nhà toán học người Pháp Jean le Rond d’Alembert 9.2.2 Phương trình chuyển động hệ chất điểm ΣFi = Σmi (9-2) Nếu rG véctơ vị trí tâm khối lượng G hệ chất điểm, hình 92a; theo định nghĩa tâm khối lượng mrG = Σmi ri , m = Σmi tổng khối lượng tất chất điểm thuộc hệ Hình 9-2a Đạo hàm phương trình theo thời gian hai lần, giả thiết khơng có khối lượng thêm vào hay bỏ với hệ ban đầu, dẫn tới ΣF = maG (9-3) Nghĩa là, tổng lực tác dụng lên hệ chất điểm tổng khối Hình 9-2b lượng tất chất điểm thuộc hệ nhân với gia tốc tâm khối lượng G hệ §9.3 Phương trình chuyển động: Hệ toạ độ vng góc Khi chất điểm chuyển động hệ quy chiếu quán tính x, y , z , phương trình véc tơ (9-2), viết: ΣFx i + ΣFy j + ΣFz k = m(ax i + a y j+ az k ) Do tương đương với ba phương trình vơ hướng: ΣFx = max ΣFy = ma y (9-4) ΣFz = maz * Các ví dụ áp dụng: Sinh viên cần đọc điểm quan trọng trình tự phân tích giải tốn 9.7.3 Phương trình chuyển động: Chuyển động phẳng tổng quát • Vật rắn (hoặc tấm) thực chuyển động phẳng tổng quát Nếu hệ tọa độ x, y chọn hệ quán tính Sơ đồ vật rắn tự sơ đồ động lực học biểu diễn hình 9-19 a, b Khi ba phương trình đại số mơ tả chuyển động vật viết: ΣFx = m(aG ) x ΣFy = m(aG ) y ΣM G = I Gα (9-16) Hình 9-19a Hoặc tổng mơmen P ≠ G : ΣM P = Σ ( Mk ) P Ở Σ ( Mk ) P biểu thị tổng mômen IGα maG (hoặc thành phần chúng) điểm P xác định liệu sơ đồ động lực học Hình 9-19b • Những tốn ma sát lăn Thêm vào ba phương trình chuyển động cho chuyển động phẳng tổng quát, toán ma sát lăn (liên quan đến: bánh xe, đĩa, hình trụ bóng) thường đồi hỏi phương trình bổ sung có mặt ẩn lực bổ xung biểu diễn lực ma sát Có hai trường hợp cần xét: Khơng trượt: Trong trường hợp ta có phương trình bổ xung (ví dụ 8.5 chương ví dụ 16-14 giáo trình) aG = αr Hình 9-20 Chú ý thu nghiệm cần kiểm tra lại giả thiết không trượt Điều kiện không trượt xảy F ≤ μsN, với μs hệ số ma sát tĩnh Nếu F > μsN, toán phải tính lại Có trượt Ở α aG độc lập với nhau, phương trình khơng áp dụng Ta thay liên hệ độ lớn lực ma sát F độ lớn phản lực pháp tuyến N sử dụng hệ số ma sát động lực μk có phương trình bổ xung sau: F = μ kN * Các ví dụ áp dụng: Sinh viên tự đọc trình tự phân tích giải tốn giáo trình Ví dụ 9-12 Một ống cuộn (dây) hình 9-20a, có khối lượng kg, bán kính quán tính kG = 0.35 m Nếu bỏ qua khối lượng dây quanh trục vành ngồi ống hình vẽ, xác định gia tốc góc ống Bài giải I Sơ đồ vật rắn tự Hình 9-20b Lực 100 N gây aG hướng lên Ngoài ra, α có chiều theo chiều kim đồng hồ, ống cuộn quay quanh dây A Hình 9-20a Có ba ẩn T, aG, α Mơmen qn tính ống cuộn tâm khối lượng là: I G = mkG2 = kg (0.35 m) = 0.980 kg m Phương trình chuyển động + ΣFy = m(aG ) y ; T + 100 N − 78.48 N = (8 kg )aG (1) + ΣM G = I Gα ; 100 N (0.2 m) − T (0.5 m) = (0.980 kg m )α (2) Hình 9-20b Động học Lời giải đầy đủ thu sử dụng mối quan hệ động học aG α Trong trường hợp rịng rọc “lăn khơng trượt” dây A Hơn nữa, ta sử dụng kết ví dụ 16.3 16.4, đó: + aG = αr, aG = 0.5α (3) Giải phương trình từ (1) đến (3), ta có: α = 10.3 rad/s2; aG = 5.16 m/s2; T = 19.8 N Bài giải II Phương trình chuyển động Ta khử ẩn T cách tính tổng mơmen điểm A Từ sơ đồ vật rắn tự sơ đồ động lực học, hình 9-20b 9-20c, ta có: Hình 9-20c + ΣM A = Σ ( Mk ) A ; 100 N (0.7 m) − 78.48 N (0.5 m) = (0.980 kg.m2 )α + [(8 kg)a G ](0.5 m) Sử dụng phương trình (3), α = 10.3 rad/s2 Ví dụ 9.3: Bánh xe trọng lượng 50 lb hình 9-21a, có bán kính qn tính kG = 0.70 ft Nếu mômen ngẫu lực 35 lb.ft tác dụng lên bánh xe, xác định gia tốc tâm khối lượng G Hệ số ma sát tĩnh ma sát động lực bánh xe mặt phẳng A μs = 0.3 μk = 0.25 Hình 9-21a Bài giải Sơ đồ vật rắn tự Bằng kiểm tra hình 9-21b, nhận thấy mơmen ngẫu lực gây cho bánh xe chuyển động với gia tốc góc theo chiều kim đồng hồ α Kết là, gia tốc tâm khối lượng aG có chiều hướng sang phải Mơmen qn tính là: Hình 9-21b 50 lb 2 (0.70 ) 761 I G = mk = ft slug ft = 32.2 ft / s 2 G Các ẩn số NA, FA, aG, α Phương trình chuyển động + ΣF = m( a ) ; x G x 50 lb FA = a G 32.2 ft / s (1) + ΣFy = m(aG ) y ; N A − 50 lb = (2) + ΣM G = I Gα ; 35 lb ft − 1.25 ft ( FA ) = (0.761 slug ft )α (3) Để tìm ẩn tốn ta cần thêm phương trình thứ tư Động học (khơng trượt) Nếu giả thiết chấp nhận, thì: aG = (1.25 ft )α (4) Giải phương trình từ (1) đến (4), NA = 50.0 lb; FA = 21.3 lb; α = 11.0 rad/s2; aG = 13.7 ft/s2 Giả thiết không trượt ban đầu địi hỏi FA ≤ μsNA Tuy nhiên, 21.3 lb > 0.3(50 lb) = 15 lb, nên bánh xe vừa lăn vừa trượt (Có trượt) Phương trình (4) khơng hợp lý, FA = μkNA, hay FA = 0.25NA (5) Giải phương trình từ (1) đến (3) (5), ta có: NA = 50.0 lb FA = 12.5 lb α = 25.5 rad/s2; aG = 8.05 ft/s2 → Ví dụ 9-14: Cọc mảnh đồng chất hình 9-22a, có khối lượng 100 kg mơmen quan tính IG = 75 kg.m2 Nếu hệ số ma sát tĩnh ma sát động lực đầu cọc với bề mặt tiếp xúc μs = 0.3 μk = 0.25, xác định gia tốc góc cọc thời điểm có lực nằm ngang 400 N tác dụng Ban đầu cọc đứng yên Hình 9-22a Bài giải Sơ đồ vật rắn tự Hình 9-22b Quỹ đạo chuyển động tâm khối lượng G dọc theo đường cong chưa biết có bán kính cong ρ, mà thời điểm ban đầu song song với trục y Khơng có thành phần gia tốc pháp tuyến thành phần gia tốc theo phương y thời điểm ban đầu cọc đứng yên, tức vG = 0, Hình 9-22b ( aG ) y = vG2 / ρ = Ta giả sử gia tốc tâm khối lượng hướng sang phải cọc có gia tốc góc α có chiều theo chiều kim đồng hồ Các ẩn số NA, FA, aG α Phương trình chuyển động + ΣF = m( a ) ; 400 N − F = (100 kg ) a x G x A G + ΣFy = m(aG ) y ; + ΣM G = I Gα ; N A − 981 N = FA (1.5 m) − 400 N (1 m) = (75 kg.m2 )α (1) (2) (3) Có bốn ẩn, ba phương trình, để giải ẩn tốn ta cần thêm phương trình thứ tư Động học (không trượt) Trong trường hợp điểm A có tác dụng thực tâm quay; α có chiều kim đồng hồ, aG hướng sang phải + aG = α rAG ; aG = (1.5 m)α Giải phương trình từ (1) đến (4), ta được: (4) NA = 981 N FA = 300 N aG = m/s2 α = 0.667 rad/s2 Kiểm tra lại giả thiết không trượt ban đầu đòi hỏi FA ≤ μsNA Tuy nhiên, 300 N > 0.3(981 N) = 294 N (trượt A.) (Trượt) Trong trường hợp phương trình (4) khơng áp dụng Thay vào đó, phương trình ma sát FA = μkNA sử dụng Từ đó, FA = 0.25 NA (5) Giải đồng thời phương trình từ (1) đến (3) (5), thu được: NA = 981 N FA = 245 N α = − 0.428 rad/s2 = 0.428 rad/s2 aG = 1.55 m/s2 BÀI TẬP CHƯƠNG 13-6; 13-7; 13-15; 13-18; 13-27; 13-29; 13-45; 13-47; 13-55; 13-61; 13-63; 13-65; 13-81; 13-87; 13-90; 17-15; 17-19; 17-23; 17-25; 17-27; 17-28; 17-33; 17-51; 17-55; 17- 58; 17-61; 1775; 17-79; 17-85; 17-90; 17-94; 17-95; 17-99; 17- 110 ... vật trục Ở IG phần tra cuối sách §9.7 Các phương trình chuyển động động lực học phẳng Nội dung phần giới hạn nghiên cứu động lực học phẳng cho vật rắn Xét vật rắn tùy ý biểu diễn hình (9-11a)... định chuyển động tịnh tiến với vận tốc khơng đổi Hình 9-11a Phương trình chuyển động tịnh tiến Các ngoại lực tác dụng lên vật hình 9-11a biểu diễn tác dụng lực hấp dẫn, lực điện, lực từ lực tiếp... chuyển động dựa sở hiển nhiên thực nghiệm áp dụng hệ quy chiếu quán tính 9.2.1 Phương trình chuyển động chất điểm • Khi có nhiều lực tác dụng lên chất điểm, hợp lực xác định tổng véctơ tất lực;