CÔNG THỨC TOÁN lớp 12 FULL

Lưu ý: a) y  (bieán).(bieán)  y  (u.v) CÔNG THỨC ĐẠO HÀM I Đạo hàm tổng, hiệu, tích thương: 1) (u  v)  u  v 2) (u  v)  u  v  u   k  biến số b) y   y    c) y   y    bieán bieán v v  u  uv  uv 4)    v2 v II Các công thức đạo hàm: Hàm Hàm hợp 1) (C ) = 1) Khơng có 2) ( x) = 2) Khơng có 3) (u.v)  uv  uv 3) ( x ) =  x 1 biến (biến)  y  số số III Lũy thừa: d) y  1) a  3) (u )   u 1.u b 4)   a 4) (ku ) = k u  u 5) ( x )  5) ( u )  x u k k  k   k  6)     6)     v x v x v 7) (sin x)  cos x 7) (sin u)  u.cos u 8) (cos x)   sin x 8) (cos u)  u( sin u) u  9) (tan x)  9) (tan u )  cos x cos u u 10) (cotx)   10) (cot u )   sin x sin u x x u    11) (e )  e 11) (e )  u eu 12) (a x )  a x ln a 12) (au )  u.au ln a u 13) (ln x )  13) (ln u )  x u u 14) (log a x)  14) (log a u )  x ln a u ln a u 15) (log x)  15) (log u )  x ln10 u ln10 1  16) y  x  x  y  x  33 x2 m m mn 1 n m n  17) y  x  x  y  x n m m m 1 18) y  n um  u n  y  u n u n a b 4) (kx) = k Chú ý: a) y  b) c) d) e) ax  b cx  d  y  n 2) a a   b n  n a n 1 3)   a 5) a n  n a 7) amn  am an n  an m 6) a n  n am 8) am n  am a  n  a m an IV Lôgarit: 1) a  b (b  0,0  a  1)    loga b 2) loga ( xy)  loga x  loga y 3) loga 4) a loga b x  loga x  loga y y 5) loga a   b 6) loga b   loga b   loga b b m 10) loga n bm  log a b n 8) loga 12) loga b   14) loga b    logb a 7) loga b   loga b 9) loga n am  m n 11) loga b  loga b 13) loga b  logc b logc a 15) loga c.logc b  loga b Chú ý: 1) loga  2) loga a  3) ln1  4) ln e  5) log1  6) log10  CÁC PHƯƠNG GIẢI TỐN A Tìm tập xác định 1) Hàm số lũy thừa: y  x ( y  u ) a) Nếu  nguyên dương TXĐ: D  ¡ b) Nếu  nguyên âm   ĐK: x  (hoặc u  ) TXĐ: D  ¡ \  x0  , với x0 nghiệm ĐK c d ad  bc  (cx  d ) (cx  d ) c) Nếu  không nguyên ĐK: x  (hoặc u  ) TXĐ: D  (a; b) Chú ý: 1) Nếu BPT bậc ax  b   b  x   a với a   ax  b    x   b với a   a ax  bx  c adx  2aex  (be  cd )  y  y  dx  e (dx  e)2 (sin x)  2sin x cos x  sin x (cos x)  2sin x cos x   sin x 2ln x (ln x)  2ln x (ln x)  x THẦY LẬP KÊNH NÀY NHẰM HỖ TRỢ THI THPT QG, CÁC EM ĐĂNG KÝ ỦNG HỘ THẦY NHA! https://www.youtube.com/channel/UC3CWQmShn7s9zUYOAioDH8Q?sub_confirmation=1 * Nếu x  a TXĐ: D  (a; ) * Nếu x  b TXĐ: D  (; b) Ví dụ: Cơ số a lớn nhất, ta có: (2)  x x b c m  n    p     la2 x  ka x  h  a a II) Phương trình lơgarit: log a x  b  x  ab x  2) Nếu BPT bậc hai ax  bx  c  Dùng MTBT: Mode /  / 1/1/1 * Nếu x  a, b  x TXĐ: D  (; a)  (b; ) * Nếu a  x  b TXĐ: D  (a; b) * Nếu MTBT hiện: All Real Numbers TXĐ: D  ¡ 2) Hàm số lôgarit: y  loga x (hoặc y  loga u ) ĐK: x  (hoặc u  ) Suy ra: TXĐ (như hàm số lũy thừa mục c.2) ax  b * Đặc biệt: y  loga cx  d a) Cách 1: (ax  b)(cx  d )  mx  nx  p  (thực mục c.2) b) Cách 2: * ax  b   x  x1 Mở rộng: loga f ( x)  b  f ( x)  ab f ( x)  1) Đưa số:  f ( x)  loga f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)   g ( x)  2) Đặt ẩn phụ: m log 2a x  n log a x  p   x  a b1 log a x  b1 x    b2 log x  b x  a a   Chú ý: PT m log a x  n log a x  p  có nghiệm a     (  0) C Giải bất phương trình I) Bất phương trình mũ: a x  b (*) 1) Nếu b  : (*) có tập nghiệm T  ¡ 2) Nếu b  : a) Với a  : (*)  x  log a b b) Với  a  : (*)  x  log a b * cx  d   x  x2 (giả sử x1  x2 ) b.1) Nếu a c trái dấu TXĐ: D  ( x1; x2 ) b.2) Nếu a c dấu TXĐ: D  (; x1 )  ( x2 ; ) B Giải phương trình I) Phương trình mũ: a x  b (*) 1) Nếu b  : (*) Vô nghiệm 2) Nếu b  : a x  b  x  loga b Chú ý: a x  b (*) 1) Nếu b  : (*) có tập nghiệm T   2) Nếu b  : a) Với a  : (*)  x  log a b b) Với  a  : (*)  x  log a b Mở rộng: a f ( x )  b  f ( x )  loga b 3) Đưa số: a f ( x )  ag( x )  f ( x)  g( x) 4) Đặt ẩn phụ: ma2 x  na x  p  3) Đưa số: a f ( x )  a g ( x ) (**) a) Nếu a  : (**)  f ( x)  g ( x) b) Nếu  a  1: (**)  f ( x)  g ( x) 4) Đặt ẩn phụ: ma x  na x  p  (sử dụng MTBT: Mode/  /1/1/? ) Chỗ có nghiệm âm loại II) Bất phương trình lơgarit: log a x  b (*)  x  loga k a x  k ( k, l  )   x   a  l  x  loga l (Nếu k  l  loại) Chú ý: a) ma2 x  na x  p  (1) Đặt t  a x  , (1)  mt  nt  p     (  0)  n  + Đề (1) có n0 phân biệt  S    m  p   P  m     (  0)   S   n  + Để (1) có n0    m  P  p   m x x x b) PT có dạng ma  nb  pc  (2) (chia vế cho số lớn nhỏ nhất) a) Nếu a  : (*)  x  ab x  b) Nếu  a  1: (*)  x  ab x  1) Đưa số: log a f ( x)  log a g ( x) (**)  f ( x)  a) Nếu a  : (**)  f ( x)  g ( x)   g ( x)   f ( x)  b) Nếu  a  1: (**)  f ( x)  g ( x)   g ( x)  2) Đặt ẩn phụ: m log 2a x  n log a x  p  (sử dụng MTBT: Mode/  /1/1/? ) Lưu ý: Chỗ nghiệm âm không loại HÌNH HỌC 1) Thể tích khối lăng trụ: V  Sđáy h 8) Diện tích mặt cầu: S  4r 9) Thể tích khối cầu: V  r 3 PHƯƠNG PHÁP TÌM THỂ TÍCH 1) Thể tích khối lập phương: V  (cạnh)3 2) Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c (với a,b,c kích thước hình hộp) 2) Thể tích khối chóp: V  Sđáy h (cạnh)2 (caïnh) b) Đường cao tam giác 2) Tam giác vng: S  (tích cạnh góc vuông) 3) Tam giác vng cân: S  (cạnh góc vuông)2 Chú ý: 1) Tam giác đều: a) S  (caïnh)3 12 4) Thể tích khối chóp tam giác 3) Thể tích khối tứ diện: V  (cạnh)2 a) Có chiều cao h : V  h b) Có cạnh bên b : * Cạnh huyền = (cạnh góc vng) 4) Hình chữ nhật: S  dài rộng  cạnh  (cạnh)2 V b2        c) Góc cạnh bên đáy  5) Hình vng: S  (cạnh)2 * Đường chéo hình vng d = (cạnh) 6) Hình thoi: S  (tích đường chéo) (đáy lớn  đáy nhỏ).h 7) Hình thang vng: S  (với h chiều cao hình thang) 3) Tỉ số thể tích khối chóp: V SA SB SC  a) S ABC   VS ABC SA SB SC V SM SB SC SM b) S MBC   VS ABC SA SB SC SA S (caïnh)2 (caïnh) V tan  d) Góc mặt bên đáy  (caïnh)2 (caïnh) V tan  5) Thể tích khối chóp tứ giác a) Có chiều cao h : V  (cạnh)2 h b) Có cạnh bên b :  caïnh  V  (caïnh)2 b2        c) Góc cạnh bên đáy  S C' A' A M A B (caïnh) V  (caïnh)2 tan  d) Góc mặt bên đáy  caïnh V  (caïnh)2 tan  6) Thể tích khối chóp tam giác có đáy tam giác có cạnh bên vng góc với đáy a) Góc cạnh bên đáy  B' C C B 4) Diện tích xq hình nón: * Sxq   rl ( r bán kính; l đường sinh) * Stp  Sxq  Sđáy   rl   r (cạnh)2 V (cạnh).tan  b) Góc mặt bên đáy  5) Thể tích khối nón: V   r h ( h chiều cao khối nón) 6) Diện tích xq hình trụ: * Sxq  2 rl ( r bán kính; l đường sinh) (cạnh)2 (cạnh) V tan  6) Thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình vng có cạnh bên vng góc với đáy a) Góc cạnh bên SB ( SD ) đáy  V  (caïnh)2 (caïnh).tan  * Stp  Sxq  2Sđáy  2 rl  2 r 7) Thể tích khối trụ: V   r h ( h chiều cao khối nón) · b) Góc cạnh bên SC đáy   SCA V  (caïnh)2 (cạnh 2).tan  c) Góc ( SBC ), (( SCD )) đáy  V  (cạnh)2 (cạnh).tan  S S a) Góc cạnh AB đáy   · ABA V  SABC AB.tan  b) Góc gữa mặt ( ABC ) đáy   · ABA V  SABC AB.tan  PHƯƠNG PHÁP TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP 1) Hình chóp tam giác S r C A D H B C 7) Thể tích khối chóp tam giác có đáy tam giác vng có cạnh bên vng góc với đáy 1 V  SABC SA  ( AB.BC ).SA 3 · a) Góc cạnh bên SB đáy   SBA V  SABC AB.tan  · b) Góc cạnh bên SC đáy   SCA V  SABC AC.tan  · c) Góc mặt bên ( SBC ) đáy   SBA V  SABC AB.tan  8) Thể tích khối lăng trụ đứng có đáy tam giác A' A' C' M * Tính SO + Nếu góc cạnh bên SA đáy  SO  OA.tan  A B SA2 2SO I A B O (caïnh)  tan  C + Nếu góc mặt bên ( SBC ) đáy  N (cạnh) SO  ON.tan   tan  S 2) Hình chóp tứ giác r SA2 2SO * Tính SO + Nếu góc cạnh bên SA đáy  SO  OA.tan  C' M a A I D O C B (caïnh) tan  + Nếu góc mặt bên ( SAB ) đáy   B' B' cạnh tan  3) Hình chóp tam giác có đáy tam giác vng có cạnh bên vng góc với đáy SO  OM tan   A A C C M S B B ABA a) Góc cạnh AB đáy   · (caïnh) (caïnh).tan  AMA b) Góc gữa mặt ( ABC ) đáy   · V I SB r 2 B C (caïnh)2 caïnh V tan  9) Thể tích khối lăng trụ đứng có đáy tam giác vng V  SABC AA  ( AB.BC ).AA A 4) Hình chóp tứ giác có đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) có cạnh bên vng góc với đáy * Với a  hàm số đồng biến ( x1; x2 ) ; S nghịch biến (; x1 ) ( x2 ; ) r SC d CALC x ( f ( x )) dx xx khoảng đáp án + Nếu KQ số dương  Hàm số đồng biến + Nếu KQ số âm  Hàm số đồng biến Chú ý: Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) ¡ * Tính đạo hàm y * Tính  (hoặc  ) * Hàm số đồng biến ¡    a  Hàm số nghịch biến ¡    a  (Dùng MTBT: Mode/  /1/1/?) Đặc biệt: Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) * Dùng MTBT: I A D C B 5) Hình chóp tam giác có đáy tam giác có cạnh bên vng góc với đáy S d K I C A G * SA vng góc với đáy d ( f ( x, m)) CALC c với a  c  b dx xx CALC m đáp án (dùng loại trừ) b) Mode 7: Nhập hàm số f ( x )  ? (thay m đáp án) Start a , End b , Step 0,1; 0,2; 0,3; … Dò bảng cột f ( x ) * Nếu tăng hàm số đồng biến * Nếu giảm hàm số nghịch biến  m (nhận) 2) Hàm trùng phương: y  ax  bx  c a) Hàm số không đồng biến (hoặc nghịch biến) TXĐ (hoặc ¡ ) b) Nếu a b trái dấu y có n0 phân biệt a) Dùng M B 2  SA   caïnh  * r  IA            6) Hình chóp tam giác có đáy tam giác có mặt bên tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy c) Nếu a b dấu y có n0 x  (Lập BBT xét dấu y )  caïnh   caïnh  r             7) Hình chóp tứ giác có đáy hình vng có mặt bên tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy ax  b ad  bc  y  cx  d (cx  d )2 a) Hàm số không đồng biến (hoặc nghịch biến) trên ¡ b) Nếu ad  bc  hàm số đồng biến TXĐ (hoặc khoảng xác định nó) c) Nếu ad  bc  hàm số đồng biến TXĐ (hoặc khoảng xác định nó)  d a Chú ý: Hàm số có tâm đối xứng I   ;   c c 3) Hàm biến: y   caïnh   caïnh  r             8) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương là: r  (caïnh)2  (caïnh 2)2 CỰC TRỊ 1) Hàm bậc ba: y  ax  bx  cx  d a) Nếu y  vơ nghiệm (hoặc có nghiệm kép) hàm số khơng có điểm cực trị  Số điểm cực trị b) Nếu y  có nghiệm phân biệt hàm số có điểm cực trị  Số điểm cực trị Phương pháp 1) Tìm điểm cực trị x  x0 ĐƠN ĐIỆU 1) Hàm bậc ba: y  ax  bx  cx  d a) Nếu y  vơ nghiệm (hoặc có nghiệm kép) * Với a  h/s đồng biến TXĐ (trên ¡ ) * Với a  h/s nghịch biến TXĐ (trên ¡ ) b) Nếu y  có nghiệm phân biệt x1  x2 * Với a  hàm số nghịch biến ( x1; x2 ) ; đồng biến (; x1 ) ( x2 ; ) * Mode / 7: Nhập f ( x ) = ? Start a ; End b ; Step d CALC x0 ( f ( x )) dx xx 0,1; 0,2; 0,4; 0,5; 1; … (hoặc Step 2) Tìm điểm cực đại x  x0 TIỆM CẬN 1) Cách tìm tiệm cận đứng: * Bước 1: Tìm nghiệm mẫu * Bước 2: Thay nghiệm mẫu vào tử + Nếu tử loại nghiệm + Nếu tử khác nghiệm TCĐ 2) Cách tìm tiệm cận ngang: Dùng MTBT: Nhập hàm số f ( x ) CALC 1012 trở lên số cụ thể số TCN, tiếp tục CALC 1012 số cụ thể khác số số TCN thứ hai ax  b Chú ý: 1) Đối với hàm biến y  cx  d (có thể khuyết a , b , d ) d a) Tiệm cận cận đứng là: x   c a b) Tiệm cận ngang y  c c) Số tiệm cận hàm số ax  b 2) Đối với hàm số dạng y  mx  nx  p a) Tiệm cận đứng nghiệm mẫu thay vào tử phải khác b) Tiệm cận ngang y  d CALC x0  0,001 (số > 0) ( f ( x )) dx xx 3) Tìm điểm cực tiểu x  x0 d CALC x0  0,001 (số < 0) ( f ( x )) dx xx Chú ý: Tìm m để (bậc trùng phương) 1) Hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) x  x0 * Tính y, y ba ) 19 * Cho y( x0 )   m  ? * Thay x0 m vào y + Nếu y   x0 điểm cực đại + Nếu y   x0 điểm cực tiểu + Nếu y   x0 điểm cực trị 2) Hàm trùng phương: y  ax  bx  c a) Nếu a b trái dấu hàm số có cực trị  Số điểm cực trị b) Nếu a b dấu hàm số có điểm cực trị  Số điểm cực trị Chú ý: a) Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác vuông (hoặc vuông cân)  b3  8a  b) Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác  b3  24a  ax  b 3) Hàm biến: y  cx  d Hàm số khơng có cực trị ax  bx  c mx  nx  p a) Tiệm cận đứng nghiệm mẫu thay vào tử phải khác a b) Tiệm cận ngang y  m 4) Đối với hàm số có chứa thức bậc hai tìm tiệm cận ngang ta dùng MTBT (như trên) 3) Đối với hàm số dạng y  GTLN – GTNN 1) Tìm GTLN GTNN khoảng (a; b) , (b; ) , (; a) , (; ) * Bước 1: Chỉ TXĐ * Bước 2: Tính y , cho y   nghiệm xi * Bước 3: Lập BBT (xét dấu y ) * Bước 4: Kết luận a) Nếu có giá trị cực đại giá trị GTLN hàm số b) Nếu có giá trị cực tiểu giá trị GTNN hàm số 2) Tìm GTLN GTNN đoạn [a; b] * Bước 1: Chỉ TXĐ (nếu chưa cho đoạn) * Bước 2: Tính y , cho y   nghiệm xi SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI HÀM SỐ 1) Tìm tọa độ giao điểm (hoặc số giao điểm, số điểm chung hai đồ thị hàm số) Chẳng hạn: Cho hai hàm số y  f ( x ) y  g( x ) * Bước 1: Giải phương trình f ( x )  g( x ) (1) * Bước 2: + (1) có n0 I  Số giao điểm + (1) có n0 phân biệt  Số giao điểm 2, … Lưu ý: Nếu tìm tọa độ giao điểm thay n0 PT (1) vào y  Tọa độ giao điểm ( x0 ; y0 ) 2) Tìm m để đường thẳng y  h(m) cắt đồ thị hàm số y  f ( x ) a) Đối với đồ thị hàm số bậc ba Đường thẳng y  h(m) cắt đồ thị hàm số * Bước 3: Tính y(a), y(b), y( xi ) với xi  [a; b] * Bước 4: Kết luận a) Số lớn bước số GTLN b) Số nhỏ bước số GTNN Dùng MTBT: Xóa g( x ) : Shift / Mode /  / / c) Đồ thị h/s cắt trục Ox điểm phân biệt hàm số có nghiệm phân biệt Các dạng đồ thị 1) a  0, b  0, y  a  0, b  0, y  có nghiệm có nghiệm y y điểm phân biệt  yCT  h(m)  yCÑ f ( xCT ) f ( xCÑ )  b) Đối với đồ thị hàm số trùng phương Đường thẳng y  h(m) cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt  yCT  h(m)  yCĐ 3) Tìm m để phương trình f ( x, m)  có (hoặc 4) nghiệm phân biệt * Bước 1: Biến đổi f ( x, m)   f ( x)  h(m) * Bước 2: Tìm giá trị yCT , yCĐ hàm số f ( x ) * Bước 3: Để PT f ( x, m)  có nghiệm phân x O biệt  yCT  h(m)  yCÑ 2) a  0, b  0, y  có n0 phân biệt ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1) Đồ thị hàm số bậc ba: y  ax  bx  cx  d a) Có tâm đối xứng b) Khơng có đường tiệm cận  Số tiệm cận c) Đồ thị h/s cắt trục Ox điểm phân biệt hàm số có nghiệm phân biệt Các dạng đồ thị 1) a  0, y  VN a  0, y  VN y O x a  0, b  0, y  có n0 phân biệt y y O x x O 3) Hàm biến: y  y ax  b cx  d a) Không có cực trị 2) a  0, y  n0 kép  d a b) Có tâm đối xứng I   ;   c c c) Số tiệm cận d d) Tiệm cận đứng x   c a e) Tiệm cận ngang y  c Các dạng đồ thị 1) y  0, ad  bc  y x O x O a  0, y  n0 kép y y x O 3) a  0, y  n0 pb O x O a  0, y  n0 pb y y 2) y  0, ad  bc  x O O x y x x 2) Đồ thị hàm trùng phương: y  ax  bx  c a) Có trục đối xứng trục Oy b) Khơng có đường tiệm cận  Số tiệm cận O ... nghiệm TCĐ 2) Cách tìm tiệm cận ngang: Dùng MTBT: Nhập hàm số f ( x ) CALC 1 012 trở lên số cụ thể số TCN, tiếp tục CALC 1 012 số cụ thể khác số số TCN thứ hai ax  b Chú ý: 1) Đối với hàm biến y ... cạnh góc vuông) 3) Tam giác vng cân: S  (cạnh góc vuoâng)2 Chú ý: 1) Tam giác đều: a) S  (cạnh)3 12 4) Thể tích khối chóp tam giác 3) Thể tích khối tứ diện: V  (cạnh)2 a) Có chiều cao h : V ... Tiệm cận đứng nghiệm mẫu thay vào tử phải khác a b) Tiệm cận ngang y  m 4) Đối với hàm số có chứa thức bậc hai tìm tiệm cận ngang ta dùng MTBT (như trên) 3) Đối với hàm số dạng y  GTLN – GTNN 1)