Công thức Toán lớp 12 ôn thi TNPT

Công thức Toán lớp 12 ôn thi TNPT tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩn...

THPT …………… ÔN THI TỐT NGHIỆP CÔNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN LỚP 12 (lƣu hành nội bộ) PHẦN 1: HÀM SỐ Đạo hàm C  ' Hàm số hợp  k u   k u ' , k  R ' u  v   u '  v' '  u.v   u ' v  u.v '  ( C số )  x ' ' 1 x  x  '  1 u   u  u  '  x   21x ' '  tan x   cot x  '   sin x  cos u  cos x   sin x  a   a ln a e   e ' x x ' x x  log x   x ln1 a ' a  ln x  '  x u' u '  sin u  '  1 u' 1    u u  cos x ' ' u  1    x x  cosx  '   '  sin x  Các quy tắc tính '  u '.cos u '  u ' sin u u'  tan u   cos u '  cot u  '  u' sin u  a   u a ln a  e   u e u u  ' ' ' '  ' log a u  u'  ln u   u ' u u u' u ln a  u  u v  u.v    v2 v ' ' ' ad  bc  ax  b      cx  d   cx  d  ' I ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN - CỰC TRỊ: Dạng 1: Tìm m để hàm số ln đb nb D Phƣơng pháp: ax  b - Hàm số y  đồng biến D  y '  x  D cx  d ax  b - Hàm số y  đồng biến D  y '  x  D cx  d - Hàm số y  ax3  bx  cx  d đồng biến R a   y '  x      - Hàm số y  ax3  bx  cx  d nghịch biến R a   y '  x      Chú ý: y  ax3  bx  cx  d a có chứa tham số ta xét thêm trƣờng hợp a  khảo sát biến thiên xem có thỏa tốn khơng Dạng 2: Tìm m để hàm số y  f  x  đạt cực trị x0 Phƣơng pháp: - Tìm TXĐ - Tìm đạo hàm y ' Hàm số đạt cực trị x0 thì: f '  x0   giải tìm tham số m Chú ý: Muốn kiểm tra xem hàm số đạt CĐ hay CT ta giá trị m vào hàm số sau khảo sát tính tăng giảm hàm số, kết luận Dạng 3: : Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu: - y  ax3  bx  cx  d có cực đại cực tiểu  y '  có nghiệm phân biệt - y  ax4  bx  c có cực đại cực tiểu  y '  có nghiệm phân biệt II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Dạng : Tìm GTLN_GTNN hàm số y  f  x  đoạn  a; b  Phƣơng pháp: - Tìm đạo hàm y ' - -  x  x1 x  x ' Giải phương trình y    (chỉ nhận x   a; b )    x  xi Tính y  a  , y  b  , y  x1  , y  x2  , y  xi  so sánh chúng kết luận giá trị LN NN Nhận xét: - Nếu hàm số không rõ đoạn  a; b ta tìm giá trị LN NN tập xác định - Dùng bảng biến thiên để tìm giá trị LN NN trường hợp xét  a; b - Nếu đặt ẩn phụ t phải tìm điều kiện ẩn phụ (có thể dùng bbt) 1  sin x    sin x  1  cosx    cos x    sin x  cox  III MỘT SỐ BÀI TOÁN THƢỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ: Giao điểm hai đồ thị : Dạng: Giả sử hai hàm số y = f(x), y = g(x) có hai đồ thò (C1) (C2) Hãy tìm giao điểm (C1) (C2) Phƣơng pháp: - Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ta có nghiệm x0 - Thay x0 vào hai hàm số ta có y0 - Tọa độ giao điểm M(x0,y0) Nhận xét: - Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm phương trình f(x) = g(x) Biện luận số nghiệm phƣơng trình đồ thị: Dạng: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị (C) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phƣơng trình F  x, m   0  theo tham số m Phƣơng pháp: - Chuyển pt F  x, m    f  x   g  m  - Số nghiệm pt (1) số giao điểm hai đường (C) đường thẳng y  g  m  - Dựa vào đồ thị (C) vẽ biện luận số nghiệm pt (1) theo m Lƣu ý : y  g  m  có đồ thị song song ox Cắt oy g(m) Viết phƣơng trình tiếp tuyến: Dạng 1: Tiếp điểm thuộc đồ thị hàm số Cho hàm số y  f  x  có đồ thị (C) M  x0 ; y0    C  phương trình tiếp tuyến M là: - Tìm y ' - Tính y '  x0  - Tìm M  x0 ; y0  - Pttt M  x0 ; y0   : y  y '  x0  x  x0   y0 Dạng 2: Phƣơng trình tiếp tuyến biết trƣớc hệ số góc nó: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị (C) Tìm phương trình tiếp tuyến  với (C) biết  có hệ số góc k Phƣơng pháp: - Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm - Giải pt y '  x0   k tìm x0  y0  f  x0  - Phương trình  : y  k  x  x0   y0 Nhận xét:  y  ax  b  k  a   y  ax  b  k.a  1 Dạng 3: Phƣơng trình tiếp tuyến qua điểm: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị (C) Tìm phương trình tiếp tuyến  với (C) biết  qua A  xA ; y A  - Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm  y0  f  x0  - y '  x0   k - Phương trình  : y  k ( x  x0 )  y0 - A  xA ; y A    y A  k  xA  x0   y0  x0  y0   PHẦN 2: MŨ-LƠGARIT Cơng thức mũ hay sử dụng : Giả sử điều kiện đƣợc thỏa mãn n a b 1    b a n n 1 1  a  n     a 1   a    a a a m 1 a n  n am  n a  a n m am m a  a.b   a m b m     m b b m a a m a n  a m n  n  a mn a a m.n   a m    a n  n m Công thức logarit hay sử dụng: Giả sử điều kiện đƣợc thỏa mãn log a b  m  a m  b , lg b  m  10m  b , ln b  m  em  b b alog a  b  A log a  A.B   log a A  log a B  log a    log a A  log a B B 1 log a Am  m.log a A  log a m A  log a A m  log a A m log m A  log a A m a log a b  l o gb a log a c logb c   log a b.logb c  log a c log a b Hàm số lũy thừa – hàm số mũ – hàm số logarit: Định nghĩa TXĐ Đạo hàm Hàm số lũy thừa Phụ thuộc  '   x 1  '   u'.u 1 x u   yx x '  ex u '  u '.eu e e Hàm số mũ D ' ' y  a x  a  0; a  1 a x  a x ln a au  u ' au ln a       Hàm số logarit y  loga x  a  0; a  1  ln x '  D   0;         x  log a x '  u' u  log a u '   lnu '  x.ln a u' u ln a Phƣơng trình mũ – logarit hay gặp: PT Mũ Dạng bản: a  0; a  PT Logarit Dạng bản: a  0; a  log a f ( x)  b  f  x   a b TH : b  a  b  x  log a b x lg f  x   b  f  x   10b TH : b  a x  b  x  ln f  x   b  f  x   eb Đƣa số: a  0; a  Đƣa số: a  0; a  log a f ( x)  log a g ( x) a f  x  a g  x  f  x   g  x  - Điều kiện: f ( x)  g ( x)  - PT trở thành: f ( x)  g ( x) Đặt ẩn phụ: a  0; a  Đƣa dạng: -  A a f  x   Đặt ẩn phụ: a  0; a  - Điều kiện logrit log a f  x  f  x   B.a f  x   C  - Đặt t  a f  x  - Đƣa dạng: - Điều kiện: t  A  log a f  x    B.log a f  x   C  - Giải pt  so điều kiện - Đặt: t  log a f  x  t > 0t  x - Giải pt  t  so điều kiện x  x Bất phƣơng trình mũ logarit: Bất PT mũ Đƣa số: Bất PT logarit Đƣa số: TH : a  log a f  x   log a g  x  a f  x  a g  x  f  x   g  x  Đk ban đầu : TH :  a   f  x     g  x   a f  x  a g  x  f  x   g  x  Chú ý : cách đƣa số mũ số a tùy ý b  alog a b TH : a  log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  TH :  a  log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  Giải xong so với Đk ban đầu  x Chú ý : cách đƣa logarit số a tùy ý b  log a ab Đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ: - Đƣa bpt dạng a f  x  - Tìm Đk ban đầu logarit - Đặt t  a f  x Đk: t  - Đƣa bpt dạng log a f  x  - Giải BPT theo t - Đặt t  log a f  x  - So đk t  - Giải BPT theo t - Giải BPT tìm x - Giải BPT theo x - So Đk ban đầu tìm x 10 PHẦN 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN BẢNG NGUYÊN HÀM: I  f  x dx  G( x)  C  G( x)  C   f  x   0dx  C ,  1dx  x  C   ax  b   x    ax  b  dx   x dx  C a  1  1 ' ĐN: 1 C dx    C x x  xdx  ln x  C 1  e x dx  e x  C  a x dx   cos xdx  sin x  C  cos xdx  tan x  C  sin 2 x 1  eax b dx  eax b  C a  sin(ax  b)dx   cos  ax  b   C a  cos(ax  b)dx  sin  ax  b   C a 1 8 dx  tan  ax  b   C cos  ax  b  a ax C ln a  sin xdx   cos x  C  ax  bdx  a ln ax  b  C dx   cot x  C 1  sin  ax  b dx   a cot  ax  b   C TÍCH PHÂN- PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: II b ĐN:  f  x dx  F  x  b a  F (b)  F (a) a b Đổi biến số: I   f u  x  .u '( x).dx a - Đặt: t  u  x   dt  u '( x)dx - Đổi cận: x  a  t  u a x  b  t  u b  11 - b ub a u a Thế vào: I   f u  x  .u '( x).dx   f t dt Công thức phần: b b I   u.dv  u.v a   vdu b a a Chú ý:  I  P( x).sin axdx    I  P( x).cosaxdx   a/  đặt u  P( x) ax I  P ( x ) e dx    P( x) P( x)  I   dx I   dx sin x cos x  b/ I   P( x).ln(ax  b)dx đặt u  ln(ax  b) b 3/ Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối: I   f  x  dx a - Giải phương trình f  x   tìm nghiệm x1; x2 ; x3   a; b - I x1  a f  x  dx  x2  f  x  dx   x1 b  f  x  dx xn b - P( x) dx Q( x) a Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) lấy P(x) chia Q(x) Đặt t  Q  x  - I  4/ Tích phân hàm số hữu tỉ: I   1 dx  ln ax  b  C ax  b a 12  1 1  dx    dx  ax  bx  c a( x1  x2 )  x  x1 x  x2  Cơng thức phân tích đa thức: - I  P  x  x  a  x  b n m  An Bm A1 A2 B B2        n m x  a ( x  a)2 x  a ( x  a )  x  a  x  a III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN: 1/ Tính điện tích hình phẳng:  y  f  x  b  y  (Ox) H :  S   f  x  dx a x  a x  b   y  f  x  b  y  g ( x) H :  S    f ( x)  g ( x)  dx a x  a x  b  Chú ý: giải pthđgđ: f  x   g ( x) tìm a b (nếu chưa có) 2/ Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox:  y  f  x  b  y  (Ox) H :  V     f  x   dx x  a a  x  b  Chú ý: giải pthđgđ: f  x   tìm a b (nếu chưa có) 13 PHẦN 4: SỐ PHỨC i  1 z  a  bi a, b  ( z  x  yi )  z la thuan ao  a   z la thuan thuc  b    B  AC  z  a  b2  z  a  b2  0 z  Pt : Az  Bz  C   z  a  bi  z  x  yi  M  x; y   Oxy z  a  bi and z '  a ' b ' i a  a ' a   z  z'  z0 b  b ' b   z  z '  a  a '  b  b '  i  z.z '   a  bi  a ' b ' i   z z z ' z z '   z ' z z ' a '  b ' pt Az  B   z  B A B 2A   B  i  z  2A  0   B  i  z   2A B   S  z1  z2  A Viet  P  z z  C  A z  z  S   z1 z2  P  z1 ; z2 n0 pt : Z  SZ  P  Tìm số phức thỏa điều kiện cho trƣớc Cách giải (chú ý tốn thƣờng có giả thiết z; z; z ) B1: Đặt z  a  bi  a, b   hay z  x  yi  x, y   B2: Thế vào biến đổi giả thiết thường đưa dạng hai số phức B3: Biến đổi điều kiện hai số phức đưa hệ phương trình giải hệ  kq 14 PHẦN : KHỐI ĐA DIỆN-MẶT CẦU-MẶT TRỤ-MẶT NÓN V  B.h Hình Chóp - B diện tích đáy - h chiều cao V  B.h Lăng trụ - B diện tích đáy 1 V  B.h   r h - h chiều cao 3 Hình nón - r bán kính S xq   rl - l đường sinh - B diện tích đáy V  B.h   r h - h chiều cao Hình trụ - r bán kính S xq  2 rl - l đường sinh - r bán kính mặt cầu V   r3 Hình cầu S  4 r 15 PHẦN 6: PP TỌA TRONG KHÔNG GIAN CÔNG THỨC TỌA ĐỘ: I a   a1; a2 ; a3  b   b1; b2 ; b3  k a   ka1; ka2 ; ka2  a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3  a1  b1  a  b  a2  b2 a  b  a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3   a; b       cos a, b  a2 a3 b2 b3 a.b ,  a b a3 a b3 b1 aa  , b1b2   a1b1  a2b2  a3b3 a12  a22  a32 b12  b22  b32 - Hai vectơ a; b vng góc  a.b  - Hai vectơ a; b phương  A  xA ; y A ; z A  B  xB ; yB ; zB  a1 a2 a3     a; b   b1 b b3 AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  z A  AB   xB  xA    yB  y A    z B  z A  2 M trung điểm AB xM  xA  xB ; yM  y A  yB ; zM  z A  zB M  Ox  M ( xM ,0,0) Nhận xét: M  Oy  M  0, yM ,0  M  Oz  M  0,0, zM  16 2 II PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG: Phƣơng trình tổng qt mp : Ax  By  Cz  D   VTPT : n   A; B; C  PT mp qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có VTPT n   A; B; C  là: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Nhận xét: mp có VTCP : a   a1; a2 ; a3  , b   b1; b2 ; b3  Thì VTPT : n   a; b   - Mp qua  A  a;0;0 , B(0; b;0), C  0;0; c  là:  ABC : x y z   1 a b c Khoảng cách từ M ( xM ; yM ; zM ) đến mp  :Ax  By  Cz  D  d  M ,     A.xM  B yM  C.zM  D A2  B  C Chú ý: - Mp:  Oxy  : z   M   Oxy   M  xM ; yM ;0  - Mp:  Oxz  : y   M   Oxz   M  xM ;0; zM  - Mp:  Oyz  : x   M   Oyz   M  0; yM ; zM  III PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG: Đường thẳng  qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u   a; b; c   x  x0  at  - Pt tham số  :  y  y0  bt  z  z ct  x  x0 y  y0 z  z0   - abc  Pt tắt  : a b c Nhận xét: M   M  x0  at; y0  bt; z0  ct  17 IV PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU: - Mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) bán kính R có phương trình là:  x  a   y  b   z  c 2  R2 - PT: x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  Là phương trình mặt cầu nếu: a2  b2  c2  d  Tâm: I (a; b; c) bán kính R  a  b2  c  d V VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI: Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng:  x  x0  at  x  x '0  a ' t '    :  y  y0  bt  u   a; b; c   ' :  y  y '0  b ' t '  u '   a '; b '; c '   z  z  ct z  z '  c 't ' 0   Xét hệ phƣơng trình:  x0  at  x '0  a ' t '      y0  bt  y '0  b ' t '  '   z0  ct  z '0  c ' t ' TH1: hệ có nghiệm đƣờng cắt I ( xI ; yI ; zI ) nghiệm hệ TH2: hệ vô nghiệm - u, u ' phƣơng   ' - u, u ' khơng phƣơng  chéo với  ' Chú ý:    '  u.u '  18 Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng:  x  x0  at   :  y  y0  bt   : Ax  By  Cz  D   z  z  ct  Xét hệ phƣơng trình:   : Ax  By  Cz  D      x  x0  at     y  y0  bt  z  z  ct  TH1: hệ vơ nghiệm     TH2: hệ có nghiệm       I tọa độ no hệ TH3: hệ vô số nghiệm      Vị trí tƣơng đối mặt phẳng mặt cầu: Cho mp   : Ax  By  Cz  D  Và mặt cầu (S) tâm I  a; b; c  bán kính R Tính: d  I ;( )  TH1: d  R    tiếp xúc với (S) TH2: d  R    cắt (S) theo đường tròn (C) có bán kính r  R2  d TH3: d  R    (S) khơng có điểm chung Thầy chúc em học tốt ! 19 ... - l đường sinh - r bán kính mặt cầu V   r3 Hình cầu S  4 r 15 PHẦN 6: PP TỌA TRONG KHÔNG GIAN CÔNG THỨC TỌA ĐỘ: I a   a1; a2 ; a3  b   b1; b2 ; b3  k a   ka1; ka2 ; ka2  a  b  ... x  b  t  u b  11 - b ub a u a Thế vào: I   f u  x  .u '( x).dx   f t dt Công thức phần: b b I   u.dv  u.v a   vdu b a a Chú ý:  I  P( x).sin axdx    I  P( x).cosaxdx... hàm số hữu tỉ: I   1 dx  ln ax  b  C ax  b a 12  1 1  dx    dx  ax  bx  c a( x1  x2 )  x  x1 x  x2  Cơng thức phân tích đa thức: - I  P  x  x  a  x  b n m  An Bm