KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1 Xét dấu 1 biểu thức : a) CÁC BƯỚC THƯC HIỆN: Tìm tất cả xo sao cho f(xo) = 0 hoặc f(xo) không xác ñịnh. Kẻ bảng ñiền dấu. b) Chú ý: f(x) là nhị thức: “TRÁI TRÁI− −− −PHẢI CÙNG” f(x) là tam thức: Dùng 1 trong 3 kết quả ∆ ∆∆ ∆>0:TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG∆ ∆∆ ∆=0:CÙNG DẤU TRỪ NGHIỆM∆ ∆∆ ∆ 0 ; ∀x∈R ⇔ ∆ a>0 0:TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG ∆=0:CÙNG DẤU TRỪ NGHIỆM ∆ • ax2 + bx + c > ; ∀x∈R ⇔ ∆ < (1) a > • ax2 + bx + c ≥ ; ∀x∈R ⇔ ∆ ≤ (3) a < • ax2 + bx + c < ; ∀x∈R ⇔ ∆ < (2) a < • ax2 + bx + c ≤ ; ∀x∈R ⇔ ∆ ≤ (4) TH2: a chứa tham số • a ≠ 0: Dùng kết (1) , (2) , (3) , (4) • a = 0: Thế vào & giải riêng 4/ Miền xác ñịnh hàm số: f(x) ña thức: x∈R f(x) = 2k+1 A :B≠0 B f(x) = A : A∈R f(x) = 2k+1 A :A≠0 f(x) = 2k f(x) = 2k : A > A A:A≥0 f(x) = ax : x∈R f(x) = logaA: A>0;a>0;a≠1 5/ Hàm số chẵn & lẻ: a) ðịnh nghĩa: f chẵn ⇔ {f(− x) = f(x) , ∀x∈D} a) ðịnh nghĩa: f lẻ ⇔ {f(− x) = − f(x) , ∀x∈D} b) Chú ý: ðồ thị nhận trục tung làm trục ñối xứng b) Chú ý: ðồ thị nhận gốc tọa ñộ làm tâm ñối xứng c) Minh họa: c) Minh họa: y 5 4 3 2 1 O x -9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 x -1 9 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6 -7 -7 6/ Hàm số ñơn ñiệu: a) ðịnh nghĩa: a) ðịnh nghĩa: f tăng (ñồng biến) (a ; b) f giảm (nghịch biến) (a ; b) ⇔ {∀x1 , x2 ∈(a ; b): x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)} ⇔ {∀x1 , x2 ∈(a ; b): x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)} b) Minh họa: b) Minh họa: y y 4 3 2 1 x x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 4.5 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 1.5 2.5 3.5 4.5 7/ Miền giá trị & giá trị lớn − nhỏ hàm số: ðịnh nghĩa 1: Cho y = f(x) có miền xác ñịnh D Tập hợp A = {y∈R / ∃x∈D: y = f(x)} gọi miền giá trị f Chú ý 1: A = {y∈R / Phương trình y = f(x) có nghiệm x∈D} ðịnh nghĩa 2: Cho y = f(x) có miền xác định D m ≤ f ( x ) ; ∀x ∈ D m = f ( x ) ⇔ x∈D ∃x1 ∈ D :m = f ( x1 ) f ( x ) ≤ M ; ∀x ∈ D M = max f ( x ) ⇔ x∈D ∃ x ∈ D :M = f x ( ) 2 Chú ý 2: Nếu f tăng & liên tục [a ; b] m = f(a) & M = f(b) Nếu f liên tục [a ; b] A = [m ; M] với m = f ( x ) & M = max f ( x ) x∈[ a ; b ] Nếu f giảm & liên tục [a ; b] m = f(b) & M = f(a) x∈[ a ; b] 8/ Giới hạn: Nếu lim f ( x ) = lim sin f ( x ) f (x) x→xo x →xo lim f ( x ) = x → xo ⇒ ( x →±∞ ) f ( x ) > ; ∀x lim f ( x ) = x → xo ⇒ ( x →±∞ ) f ( x ) < ; ∀x lim = +∞ x → xo f ( x ) ( x →±∞ ) lim x →xo ( x →±∞ ) = −∞ f (x) = (k∈N*) x →±∞ x k a > 1: x • lim a = + ∞ • lim ax = lim x →+ ∞ x →−∞ • lim loga x = + ∞ x →+ ∞ =1 lim f ( x ) = ±∞ ⇒ x →x o ( x →±∞ ) =0 f (x) 0 neáu p < q ao x + a1 x + .+ ap ao ∗ xlim = neáu p = q →±∞ b x q +b x q−1 + .+b b o q o ±∞ neáu p > q (với ao.bo ≠ & p , q∈N*) f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) ; ∀x Nếu lim f ( x ) = lim h ( x ) = α lim g ( x ) = α p xo (xx→→±∞ ) p −1 • lim a = + ∞ x x →−∞ x →+ ∞ x →xo x →xo ( x →±∞ ) ( x →±∞ ) • lim loga x = − ∞ • lim loga x = + ∞ x →0+ lim x →xo ( x →±∞ ) < a < 1: • lim ax = x →+∞ • lim loga x = − ∞ x →0+ 9/ Chứng minh phương trình có nghiệm: ðịnh lý 1: f liên tục /[a ; b] & f(a).f(b) ; α∈R) • (uα)/ = α.uα −1.u/ (n∈N ; x∈R) • (xα)/ = α.xα − LŨY THỪA * ( ) x / = (x ≠ 0) x (x > 0) • (ex)/ = ex ( ) MŨ • ax / (x∈R) (a > ; x∈R) = a x lna ( ) 1x / • ( ln x ) = x • lnx LOGARIT / / (u > ; α∈R) ( ) (u > 0) • (eu)/ = u/.eu (u∈R) • ( ) • au / = au u/ lna (x ≠ 0) • ln u / ( (x>0;a >0∧a ≠1) x.lna ) / = (u>0) u/ u (u ≠ 0) • ( logau ) = / (x ≠ • (cotx)/ = − (1 + cot2x) (a > ; u∈R) u/ u u/ (u>0;a>0∧a ≠1) u.lna (x ∈R) • (sinu)/= u/.cosu (x∈R) • (cosu)/= − u/.sinu • (tanx)/ = + tan2x (u ≠ 0) u/ u = u / • ( lnu ) = • (sinx)/= cosx • (cosx)/ = − sinx LƯỢNG GIÁC 1 u/ • =− u u (x >0) = • ( loga x ) = α / / 1 • =− x x • α * (n∈N ; u∈R) (u∈R) (u∈R) π π +kπ) • (tanu)/=u/(1 + tan2u) (u≠ π) ≠ +kπ 2 (x ≠ kπ) • (cotu)/= − u/(1 + cot2u) (u≠kπ) Qui tắc tính nhanh: a b ax + b = c d = ad − bc cx + d ( cx + d )2 ( cx + d )2 / y= ax + bx + c dx + e = ( mx + n ) + / a1 a2 a1 x + b1 x + c1 a x2 + b x + c = 2 p dx + e • Tính định thức tạo hệ số viết theo thứ tự ⇒ y =m− b1 a x +2 b2 a2 pd / ( dx + e )2 c1 b x+ c2 b2 ( a2 x + b x + c ) • Chia TS cho MS & tính riêng đạo hàm • Lấy cột hệ số bậc ghép cột kế → hệ số x2 • Lấy cột hệ số tự ghép cột kế → hệ số tự • Bỏ cột giữa−ghép cột cịn lại−nhân → hệ số x c1 c2 CÁC DẠNG TỐN CẦN NHỚ: 1/ Bài tốn 1: SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA (C) & (D) Phương pháp chung: • Lập phương trình hồnh giao: y(C) = y(D) (1) • Mỗi nghiệm (1) hồnh độ điểm chung (C) & (D) • Số nghiệm (1) = Số điểm chung (C) & (D) Lưu ý: • Gọi M & N ñiểm chung (C) & (D) xM & xN nghiệm (1) Khi đó: a) xM + xN = S(1) & xM.xN = P(1) 2x I = x M + x N b) Nếu I trung điểm MN y I = f(D ) ( x I ) • Nếu tốn u cầu tìm m cho (C) & (D) có n điểm chung thỏa tính chất (*) cho trước , ta làm theo bước: 1/ Lập phương trình hồnh giao 2/ Tìm m cho (C) & (D) có n điểm chung 3/ Giải (*) tìm m 4/ So m tìm bước với ñiều kiện bước Kết luận 2/ Bài toán 2: DÙNG ðỒ THỊ , BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM P/TRÌNH Chuyển phương trình đề dạng f(x) = k (1) với k = const & y = f(x) có đồ thị (C) biết y = f( x ) Nhận xét: Số nghiệm (1) = Số ñiểm chung y = k (C) & (d): y = k 10 5 10 Cho k thay đổi Dùng hình vẽ tìm số ñiểm chung Suy số nghiệm 3/ Bài tốn 3: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến (D) với (C): y = f(x) Mo(xo ; yo)∈ ∈(C) / / B.1: Tìm xo ; yo = f(xo) ; f (xo) B.2: Khi (D): y = f (xo).(x – xo) + yo CHÚ Ý: • (D): y = ax + b // (D/): y = a/x + b/ ⇔ (a = a/ ∧ b ≠ b/) • (D) ⊥ (D/) ⇔ (a.a/= − 1) Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến (D) với (C): y = f(x) biết (D) qua Mo(xo ; yo) B.1: Gọi (D) tiếp tuyến qua Mo & có hệ số góc k ⇒ (D): y = k(x – xo) + yo y C = y (D ) có nghiệm x B.2: (D) tiếp xúc (C) nên hệ (/ ) / y ( C ) = y (D ) B.3: Giải hệ ñược k Suy tiếp tuyến cần tìm CHÚ Ý: • Có thể giải cách gọi M1(x1 ; y1) tiếp ñiểm (D) & (C) Viết phương trình (D) theo tọa độ tiếp điểm M1 Thay tọa độ Mo vào phương trình Giải x1 , y1 Kết luận • Nếu ñề yêu cầu tìm PTTT (D) qua Mo(xo ; yo) mà Mo∈(C) ; ta phải giải dạng Giải dạng bị thiếu ñáp số Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến (D) với (C): y = f(x) biết (D)//(D1): y = ax + b y C = y (D ) có nghiệm x B.1: (D) // (D1) nên (D): y = ax + m (m ≠ b) B.2: (D) tiếp xúc (C) nên hệ (/ ) / y ( C ) = y (D ) B.3: Giải hệ ñược m So ðK & kết luận Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến (D) với (C): y = f(x) biết (D)⊥ ⊥(D1): y = ax + b y C = y (D ) B.1: (D) ⊥ (D1) nên (D): y = (−x/a) + m B.2: (D) tiếp xúc với (C) nên hệ (/ ) có nghiệm x / y ( C ) = y (D ) B.3: Giải hệ ñược m Kết luận 4/ Bài tốn 4: TÌM m cho HÀM SỐ LN TĂNG (GIẢM) • Hàm số tăng D ⇔ y/ ≥ , ∀x∈D • Hàm số giảm D ⇔ y/ ≤ , ∀x∈D (Dấu xảy hữu hạn điểm vơ hạn đếm điểm) 5/ Bài tốn 5: TÌM m SAO CHO HÀM SỐ ðẠT CỰC TRỊ TẠI xo CÁCH 2: CÁCH 1: Ycbt ⇒ y/(xo) = (1) / Ycbt ⇒ y (xo) = (1) Giải (1) ñược m Giải (1) ñược m // / Tính y (xo) với m tìm Lập bảng xét dấu y với m tìm / Nếu y ñổi dấu từ + sang − qua xo // Nếu y (xo) < hàm số đạt cực đại xo Nếu y//(xo) > hàm số đạt cực tiểu xo hàm số đạt cực ñại xo Nếu y/ ñổi dấu từ − sang + qua xo Nếu y//(xo) = chưa kết luận hàm số hàm số đạt cực tiểu xo có đạt cực trị xo hay không (trở lại dùng cách 1) / Nếu y khơng đổi dấu qua xo hàm số khơng đạt cực trị xo 6/ Bài tốn 6: TÌM m SAO CHO ðỒ THỊ NHẬN Mo(xo ; yo) LÀ ðIỂM UỐN Ycbt ⇒ y//(xo) = (hoặc y//(xo) không xác định) Lập bảng xét dấu y// với m tìm ñược Nếu y// ñổi dấu qua xo ñồ thị nhận Mo(xo ; yo) ñiểm uốn 7/ Bài tốn 7: TÌM GTLN & GTNN CỦA y = f(x) TRÊN [a ; b] Tìm tập xác định D Nhận xét [a ; b]⊂D Tính y/ Giải y/ = & chọn nghiệm xo∈[a ; b] Tính giá trị y(xo) tương ứng & so sánh với y(a) ; y(b) Số lớn max f ( x ) Số nhỏ f ( x ) x∈a ; b x∈a ; b CHÚ Ý: Nếu tốn tìm & max cho (a ; b) (a ; +∞) [a ; b)… ta phải dựa vào bảng biến thiên để kết luận 8/ Bài toán 8: CHỨNG MINH ðỒ THỊ CÓ TÂM ðỐI XỨNG I Trong hệ trục Oxy: cho y = f(x) có đồ thị (C) ðổi trục phép tịnh tiến: Oxy → IXY với I(xo ; yo) x = x o + X Cơng thức đổi trục: y = y + Y o Trong hệ trục IXY: viết lại phương trình (C) dạng Y = g(X) CMR g hàm lẻ Khi (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm ñối xứng 9/ Bài toán 9: CÁC PHÉP BIẾN ðỔI ðỒ THỊ 1/ Cho trước (C): y = f(x) Vẽ (C1): y = f ( x ) : Giữ nguyên phần (C) x/Ox (1) Lấy ñối xứng qua x/Ox phần (C) x/Ox (2) Khi (C1) = (1) ∪ (2) 2/ Cho trước (C): y = f(x) Vẽ (C2): y = f ( x ) : Giữ nguyên phần (C) bên phải y/Oy (1) Lấy ñối xứng (1) qua y/Oy (2) Khi (C2) = (1) ∪ (2) 3/ Cho trước (C): y = f(x) Vẽ (C3): y = f ( x ) : Thực 1/ với (C) ; ta có (C1): y = f ( x ) Thực 2/ với (C1) ; ta có (C3): y = f ( x ) 4/ Cho trước (C): y = f (x) g(x ) Vẽ (C4): y = Giữ nguyên phần (C) với f(x) ≥ f (x) g( x ) : (1) Lấy ñối xứng qua x/Ox phần (C) với f(x) < (2) Khi (C4) = (1) ∪ (2) x = f ( m ) 10/ Bài toán 10: TÌM QUỸ TÍCH M (1 ) y = g ( m ) ( ) Dạng 1: m tùy ý Dạng 2: m thỏa thêm ñiều kiện phụ Khử m từ (1) & (2) , ta có phương trình liên hệ x & y KHI m THAY ðỔI Làm Dùng ñiều kiện phụ ñể giới hạn vị trí M Kết luận Kết luận 11/ Bài tốn 11: TÌM ðIỂM CỐ ðỊNH CỦA HỌ ðƯỜNG CONG (Cm) Gọi M(xo ; yo) ñiểm cố ñịnh (Cm) ⇔ yo = f(xo) ; ∀m (1) Giải (1) ñược xo & yo (Sử dụng ñịnh lý ña thức ñồng không: k k−1 ao.m + a1.m + a2.mk − +…+ ak − 1.m + ak = ; ∀m ⇔ ao = a1 = a2 =…= ak − 1= ak = 0) Kết luận 12/ Bài tốn 12: CMR ðỒ THỊ CĨ ðIỂM UỐN THẲNG HÀNG Cách 1: (Khi tọa ñộ ñiểm uốn giá trị hữu tỉ) • Tìm tọa độ điểm uốn M , N , P • Tính MN , MP • Chứng minh MN , MP phương • Suy ñpcm Cách 2: (Khi tọa ñộ ñiểm uốn giá trị vơ tỉ) • CMR phương trình y// = (1) có nghiệm phân biệt Vậy (C) có điểm uốn M , N , P • Gọi (D): y = ax + b ñường thẳng chứa ñiểm uốn Lập PTHG (C) & (D) (2) • Nhận xét: Nghiệm (1) ≡ nghiệm (2) nên hệ số tương ứng tỉ lệ (3) • Giải (3) a & b Kết luận 13/ Bài tốn 13: TÌM TIỆM CẬN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ y = f(x) 1/ TIỆM CẬN ðỨNG: x = xo Tổng quát: y Tìm xo∈R cho lim+ f ( x ) = ± ∞ lim− f ( x ) = ± ∞ x → xo x → xo x -9 ðặc biệt: -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 a) y = P ( x ) / Q ( x ) : Chọn xo/Q(xo)=0∧P(xo)≠0 ⇒ (D): x=xo TCð -3 -4 -5 -6 b) Df = R Df = [a ; b] ⇒ (C) khơng có TCð 2/ TIỆM CẬN NGANG: y = yo Tổng quát: Tìm lim f ( x ) = y o ∈ R -7 y x →±∞ ðặc biệt: a) y = P ( x ) / Q ( x ) ; bậc(P) < bậc(Q) ⇒ (D): y = TCN b) y = P ( x ) / Q ( x ) ; bậc(P)=bậc(Q) ⇒ (D): y = (ao /bo) TCN x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 (với P(x) = aoxn + a1xn − 1+… & Q(x) = boxn + b1xn − + …) c) y = P ( x ) / Q ( x ) ; bậc(P) > bậc(Q) ⇒ khơng có TCN -3 -4 -5 -6 d) Df = [a ; b] (a ; b) ⇒ khơng có TCN -7 c) TIỆM CẬN XIÊN: y = ax + b (a ≠ 0) Tổng quát: Tìm a = lim f (x) x x → ±∞ ≠ & b = lim [ f ( x ) − ax ] ∈ R x →±∞ ðặc biệt: a) y = P ( x ) / Q ( x ) ; bậc(P) = bậc(Q) + ⇒ (C) có TCX (D): y = ax + b với a & b ñược xác ñịnh sau: • CÁCH 1: a = lim f (x) x →±∞ x ; b = lim [ f ( x ) − ax ] x →±∞ • CÁCH 2: Chia đa thức: y = ax + b + ( R ( x ) / Q ( x ) ) -9 bậc(R) < bậc(Q) R(x) ≡ -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 b) y = ax + bx + c ( a > ) : Viết -3 -4 -5 y= a x + b 2a + ax + bx + c − a x + b 2a CMR lim ε ( x ) = x →±∞ ε( x ) c) y = P ( x ) / Q ( x ) ; bậc(P) ≤ bậc(Q) ⇒ (C) TCX d) y = P ( x ) / Q ( x ) ; bậc(P) ≥ bậc(Q) + ⇒ (C) khơng có TCX e) Df = [a ; b] (a ; b) ⇒ (C) khơng có TCX y -6 -7 14/ Bài toán 14: KHẢO SÁT HÀM BẬC 2/ D = R 1/ Dạng tổng quát: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 3/ y/ = 3ax2 + 2bx + c • ∆y > 0: hàm số có cực trị (1 Cð + CT) • ∆y ≤ ∧ a > (a 0: lim y = − ∞ ; lim y = + ∞ • a ; ∆ y / > x→− ∞ x →+ ∞ 6/ BBT ñồ thị: Dạng 4: a < ; ∆ y / > y y 6 5 4 3 2 1 x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 9 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6 -7 -7 Dạng 5: a < ; ∆ y / = Dạng 2: a > ; ∆ y / = y y 5 4 3 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x -1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -1 -3 -2 -4 -3 -5 -4 -6 -5 -7 -6 -7 Dạng 3: a > ; ∆ y / < Dạng 6: a < ; ∆ y / < y y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x -1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -1 -3 -2 -4 -3 -5 -4 -6 -5 -7 -6 -7 , 10 Bài tốn 140: TÍNH THỂ TÍCH TỨ DIỆN VABCD = AB ; AC AD Bài toán 141: TÍNH CHIỀU CAO TỨ DIỆN Chiều cao kẻ từ A tứ diện ABCD = BC ; BD BA BC ; BD Bài tốn 142: TÌM TỌA ðỘ CHÂN ðƯỜNG CAO TRONG TỨ DIỆN AH.BC = ; AH.BD = H chân ñường cao kẻ từ A tứ diện ABCD ⇔ BC ; BD BH= Bài tốn 143: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI HỘP VABCD.A B C D = AB ; AD AA / / / / / Bài tốn 144: TÍNH CHIỀU CAO KHỐI HỘP Chiều cao kẻ từ A khối hộp ABCD.A/B/C/D/ = AB ; AD AA / AB ; AD Nhóm 3: (Các tốn tọa độ điểm) Bài tốn 145: TÍNH TỌA ðỘ HÌNH CHIẾU CỦA M(x; y; z) TRÊN MP TỌA ðỘ H1(x ; y ; 0) hình chiếu M mp(Oxy) H2(0 ; y ; z) hình chiếu M mp(Oyz) H3(x ; ; z) hình chiếu M mp(Ozx) (Chiếu mp tọa độ có tên mp giữ ngun , tọa độ cịn lại 0) Bài tốn 146: TÍNH TỌA ðỘ HÌNH CHIẾU CỦA M(x ; y ; z) TRÊN TRỤC TỌA ðỘ K1(x ; ; 0) hình chiếu M x/Ox K2(0 ; y ; 0) hình chiếu M y/Oy K3(0 ; ; z) hình chiếu M z/Oz (Chiếu trục tọa ñộ có tên trục ñó giữ nguyên , tọa độ cịn lại 0) Bài tốn 147: TÍNH TỌA ðỘ ðIỂM ðỐI XỨNG CỦA M(x ; y ; z) QUA MP TỌA ðỘ M1(x ; y ; − z) ñối xứng M qua mp(Oxy) M2(− x ; y ; z) ñối xứng M qua mp(Oyz) M3(x ; − y ; z) ñối xứng M qua mp(Ozx) (ðối xứng qua mp tọa độ có tên mp giữ ngun , tọa độ cịn lại đổi dấu) Bài tốn 148: TÍNH TỌA ðỘ ðIỂM ðỐI XỨNG CỦA M(x ; y ; z) QUA TRỤC TỌA ðỘ N1(x ; − y ; − z) ñối xứng M qua x/Ox N2(− x ; y ; − z) ñối xứng M qua y/Oy N3(− x ; − y ; z) ñối xứng M qua z/Oz (ðối xứng qua trục tọa độ có tên trục giữ ngun , tọa độ cịn lại đổi dấu) 78 Nhóm 4: (Các tốn mặt phẳng) Bài tốn 149: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ðẶC BIỆT • (Oxy): z = • (Oyz): x = • (Oxz): y = • (α)//(Oxy) ⇒ (α): Cz + D = (C ; D≠0) • (α)//(Oyz) ⇒ (α): Ax + D = (A ; D ≠ 0) • (α)//(Oxz) ⇒ (α): By + D = (B ; D≠0) • (α) qua y/Oy ⇒ (α): Ax + Cz = • (α) qua x/Ox ⇒ (α): By + Cz = • (α) qua z/Oz ⇒ (α): Ax + By = • (α)//x/Ox ⇒ (α): By + Cz + D = (D≠0) •(α)//y/Oy ⇒ (α): Ax + Cz + D = (D≠0) • (α)//z/Oz ⇒ (α): Ax + By + D = (D≠0) • (α) qua O ⇒ (α): Ax + By + Cz = Bài toán 150: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG QUA ðIỂM & BIẾT VTPT Dạng chung: (α) qua Mo ( x o ; y o ; z o ) VTPT n = ( A ; B ; C ) (α) Cách 1: • Kiểm tra Mo∉(β β ) •(α α):A(x− −xo)+B(y− −yo)+C(z− −zo)=0 (α) qua Mo ( x o ; y o ; z o ) // ( β ) : Ax + By + Cz + D = Cách 2: • (α α)//(β β ) ⇒ (α α): Ax + By + Cz + D/ = (D/ ≠ D) •Thay tọa độ Mo vào tính D/• So điều kiện D/ ≠ D Kết luận qua Mo ( x o ; y o ; z o ) VTCP a & b mp(ABC) (α) ⇒ (α): A(x − xo) + B(y − yo) + C(z − zo) = ⇒ ( α) qua Mo ( x o ; y o ; z o ) VTPT n( α ) = a ; b qua A VTPT n = AB ; AC qua Mo ( x o ; y o ; z o ) qua Mo ( x o ; y o ; z o ) ⇒ (α) VTPT n( α ) = VTCP a( d) ⊥ ( d) qua M1 ( x ; y ; z1 ) qua M1 ( x ; y ; z1 ) & M2 ( x ; y ; z2 ) (α α) ⇒ (α α) ⊥ ( β ) : Ax +By + Cz +D = VTPT n( α ) = M1M2 ; n(β ) qua Mo ( x o ; y o ; z o ) qua Mo ( x o ; y o ; z o ) ⊥ ( β ) : A x +B1 y + C1 z +D1 = ( α) ⇒ ( α) ⊥ ( γ ) : A x +B2 y +C2 z +D2 = VTPT n( α ) = n(β ) ; n( γ ) (β ) ∩ ( γ ) = ( d) (α) qua O ( ; ; ) ; d ( A ; ( α ) ) = k ; ( α ) ⊥ ( β ) α M2 n(ββ) M1 β n(γ) n(ββ) Mo α β γ Gọi u = ( m ; n ; p ) vtpt (α α) Vì (α α) qua O nên (α α): mx + ny + pz = (m2 + n2 + p2 > 0) Từ gt d ( A ; ( α ) ) = k & ( α ) ⊥ ( β ) suy m , n , p (α α) cách (P): Ax + By + Cz + D = ; (Q): Ax + By + Cz + D/= ñộ dài d1, d2 cho (d1/d2)=k Từ gt suy (α α): Ax + By + Cz + m = (m ≠ D , D/) Chọn M1∈(P) & M2∈(Q) Ycbt ⇔ Tìm m ≠ D , D/ cho d(M1 , (a)) = k.d(M2 ; (Q)) (1) Giải (1) ñược giá trị m1 & m2 So ðK kết luận 79 Bài tốn 151: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CHỨA ðƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC & THỎA THÊM ðIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp tổng quát: Ax + By + Cz +D =0 Loại 2: (α) chứa (d) ( qua A & vtcp v ) Loại 1: (α α) chứa (d) / / / / A x + B y + C z + D = ⇒ (α) qua A & nhận v làm vtcp ⇒ (α): m(Ax+By+Cz+D) + n(A/x+B/y+C/z+D/) = (1) (m2 + n2 > 0) • Dùng điều kiện cịn lại đề thay vào (1) để tìm liên hệ m & n (2) • Chọn giá trị m , n thỏa (2) • Thay m , n vào (1) Kết luận • Dùng điều kiện cịn lại đề thay vào để tìm thêm vtcp v mp(α α) • Khi ñó (α α) qua A & nhận v1 ; v2 làm vtpt CÁCH 2: Dùng gt , tìm vtpt (α α) Dạng 1: (α) chứa x Ox & qua Mo(xo ; yo ; zo) / (α α): my + nz = (m + n2 > 0) Thay tọa độ Mo vào , tính m & n Kết luận (α α) qua O & nhận OMo ; i làm vtpt Kết luận (α α): mx + nz = (m2 + n2 > 0) Thay tọa độ Mo vào , tính m & n Kết luận (α α) qua O & nhận OMo ; j làm vtpt Kết luận Dạng 2: (α) chứa y/Oy & qua Mo(xo ; yo ; zo) Dạng 3: (α) chứa z/Oz & qua Mo(xo ; yo ; zo) (α α): mx + ny = (m + n2 > 0) Thay tọa ñộ Mo vào , tính m & n Kết luận (α α) qua O & nhận OMo ; k làm vtpt Kết luận Dạng 4: (α) chứa (d) & qua Mo(xo ; yo ; zo) Ax +By + Cz +D (d) / / / =0 / A x +B y + C z +D = (d) (α α): m(Ax+By+Cz+D)+n(A/x+B/y+C/z+D/)= (m2 + n2 > 0) Thay tọa độ Mo vào , tính m & n Kết luận qua A vtcp v1 (α α) qua Mo & nhận AMo ; v1 làm vtpt Kết luận Dạng 5: (α) ⊥ (β ) & chứa (d) Ax +By + Cz +D (d) / / / =0 / A x +B y + C z +D = (d) qua A vtcp v1 (α α): m(Ax+By+Cz+D)+n(A/x+B/y+C/z+D/)= (α) ⊥ (β) nên vtpt n(β ) vtcp (α) (α α) ⊥ (β β ) nên vtpt n( α ) vtpt n(β ) = Giải (1) ñược m & n (α) qua A & nhận n( β ) ; v làm vtpt Kết luận (m2 + n2 > 0) (1) Kết luận Dạng 6: (α) qua (d1) & song song (d2) (d1) qua A & vtcp v ; (d2) qua B & vtcp v (α) qua A & nhận v1 ; v làm vtpt Kiểm tra A∉(d2) Dạng 7: (α) qua (d1) & vuông góc (d2) (Biết (d1)⊥(d2)) Kết luận (d1) qua A & vtcp v ; (d2) qua B & vtcp v (α) qua A & nhận v làm vtpt Kết luận Dạng 8: (α) qua (d) & tạo với (β ) góc ϕ Ax +By + Cz +D (d) / / / =0 / A x +B y + C z +D = ⇒ (α): m(Ax+By+Cz+D)+n(A/x+B/y+C/z+D/)= (m2 + n2 > 0) ( ) (α) tạo với (β) góc ϕ nên cos ( α ) ; ( β ) = cosϕ (1) 80 Giải (1) ñược m & n Kết luận Bài tốn 152: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ðOẠN CHẮN Dạng 1: (α) qua A(a ; ; 0) , B(0 ; b ; 0) , C(0 ; ; c) (abc ≠ 0) ⇒ (α): x a y + b + z c =1 Dạng 2: (α) qua A(a ; ; 0) , B(0 ; b ; 0) (ab ≠ 0) & hợp với mp(β) góc ϕ • Gọi C(c ; ; 0) (c ≠ 0) giao ñiểm (α) với z/Oz ⇒ (α): ( ) • (α) tạo với (β) góc ϕ nên cos ( α ) ; ( β ) = cosϕ (1) x a + y z + =1 b c • Giải (1) c • Kết luận Dạng 3: (α) qua ñiểm Mo(xo ; yo ; zo) & chắn trục tọa ñộ ñoạn x o y o zo x y z + + =1 • Gọi (α): + + =1 (abc ≠ 0) • Ycbt ⇔ a • Giải a , b , c b c a b c a = b = c Dạng 4: (α) qua ñiểm H(xo ;yo ;zo) & cắt trục A, B , C cho H trực tâm ∆ABC • Do tính chất tứ diện OABC ta có OH⊥mp(ABC) C • Vậy (α) qua H & có vtpt OH H O B I A Dạng 5: (α) qua Mo(xo > ; yo > ; zo > 0) & cắt tia Ox , Oy , Oz A , B , C cho S = (1/OA2) + (1/OB2) + (1/OC2) nhỏ • Gọi A(a ; ; 0) , B(0 ; b ; 0) , C(0 ; ; c) (a , b , c > 0) giao ñiểm (α) với Ox , Oy , Oz • Do tính chất tứ diện OABC ta có S = (H hình chiếu vng góc O mp(ABC)) OH2 • S nhỏ ⇔ OH lớn ⇔ H ≡ Mo • Vậy (α) qua Mo & có vtpt OMo Dạng 6: (α) qua Mo(xo> ; yo > ; zo > 0) & cắt tia Ox , Oy , Oz A , B , C cho VOABC nhỏ • Gọi A(a ; ; 0) , B(0 ; b ; 0) , C(0 ; ; c) (a , b , c > 0) giao ñiểm (α) với Ox , Oy , Oz x y z x y z abc ⇒ (α): + + =1 • Mo∈(α) nên o + o + o =1 • VO.ABC = a b c a b c • Cauchy: xo + a yo + b zo c ≥ 33 x o y o zo 9x o y o zo ⇒ VO.ABC ≥ a b c • VO.ABC nhỏ ( x o / a ) = ( y o /b ) = ( z o / c ) = (1 / ) • (α): ( x / 3x o ) + ( y / 3y o ) + ( z / 3z o ) =1 Dạng 7: (α) qua Mo(xo > ; yo > ; zo > 0) & cắt tia Ox , Oy , Oz A , B , C cho T = (OA/xo) + (OB/yo) + (OC/zo) nhỏ • Gọi A(a ; ; 0) , B(0 ; b ; 0) , C(0 ; ; c) (a , b , c > 0) giao ñiểm (α) với Ox , Oy , Oz x y z x y z ⇒ (α): + + =1 • Mo∈(α) nên o + o + o =1 a b c a b c • Cauchy: xo a + • Cauchy: yo b a xo + + zo c b yo ≥ 33 + c zo x o y o zo Suy ra: abc ≥ 27xoyozo a b c ≥3 a b c x o y o zo Suy ra: T ≥ 27 • T nhỏ ( x o / a ) = ( y o /b ) = ( z o / c ) = (1 / ) • (α): ( x / 3x o ) + ( y / 3y o ) + ( z / 3z o ) =1 81 Nhóm 5: (Các tốn đường thẳng) Lưu ý chung: Trong chương trình lớp 12 , viết phương trình đường thẳng hiểu viết phương trình tham số phương trình tắc Cịn phương trình tổng qt dạng giao mặt phẳng ñược dùng dạng trung gian , giải xong phải chuyển thành phương trình tham số tắc Bài tốn 153: SỰ LIÊN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ − TỔNG QUÁT − CHÍNH TẮC Dạng 1: Cho phương trình tham số Viết phương trình tắc x = x o + a.t x − x o y − y o z − zo Cho (D): y = y o +b.t (abc ≠ 0) Ta có (D): = = a b c z = z o + c.t Dạng 2: Cho phương trình tắc Viết phương trình tham số x = x o + a.t x − x o y − y o z − zo Cho (D): = = (abc ≠ 0) Ta có (D): y = y o +b.t a b c z = z o + c.t Dạng 3: Cho phương trình tham số Viết phương trình tổng quát Cho (D): x = x o +a.t ; y = y o +b.t ; z = z o + c.t x − xo y − yo a = b x − x o y − y o z − zo • TRƯỜNG HỢP 1: abc ≠ ⇒ (D): = = ⇒ (D): y − y o z − zo a b c = c b Khai triển & rút gọn , ta có PTTQ cần tìm x − x o = • TRƯỜNG HỢP 2: abc = Thí dụ: a = & bc ≠ ⇒ (D): y − y o z − z o b = c Khai triển & rút gọn , ta có PTTQ cần tìm Dạng 4: Cho phương trình tổng quát Viết phương trình tham số Ax +By + Cz +D = (α ) Cho (d): / / / / A x +B y + C z +D = ( β ) Cách 1: Cách 2: • Chọn Mo∈(d) (Td: Cho x = Giải hệ tìm y , z.) • Chọn điểm M1 ≠ M2∈(D) (Như cách 1) • Tìm n( α ) ;n(β ) với n( α ) ; n(β ) vtpt (α) & • Khi (d) qua M1 & có vtcp M1M2 (β ) Suy phương trình tham số (d) • Khi ñó (d) qua Mo & có vtcp a( d) = n( α ) ; n(β ) Cách 3: • ðặt x = t Tính y , z theo t • Suy PTTS (d) Suy phương trình tham số (d) Bài tốn 154: PHƯƠNG TRÌNH GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC VỚI CÁC MẶT PHẲNG TỌA ðỘ Cho (α): Ax + By + Cz + D = Ax +By +D = (D1) = (α)∩(xOy): Chuyển sang PTTS toán 153 / Dạng z=0 (D2) = (α)∩(yOz): (D3) = (α)∩(zOx): { { { By + Cz +D = Chuyển sang PTTS toán 153 / Dạng x=0 Ax + Cz +D = Chuyển sang PTTS toán 153 / Dạng y=0 82 Bài tốn 155: PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG THẲNG DƯỚI DẠNG GIAO CỦA MẶT PHẲNG LẦN LƯỢT CÙNG PHƯƠNG VỚI CÁC MẶT PHẲNG TỌA ðỘ Ax +By + Cz +D = Cho (d): / / / / A x +B y + C z +D = Dạng 1: (α ) (β ) Khử x ñược: (A/B − AB/)y + (A/C − AC/)z + (A/D − AD/) = (1) Khử y ñược: (AB/ − A/B)x + (B/C − BC/)z + (B/D − BD/) = (2) Kết hợp (1) & (2) ta có phương trình (d) dạng giao mp phương (x/Ox) & (y/Oy) Dạng 2: Tương tự ta có phương trình dạng giao mp phương với (x/Ox) & (z/Oz) Dạng 3: Tương tự ta có phương trình dạng giao mp phương với (y/Oy) & (z/Oz) Bài tốn 156: PHƯƠNG TRÌNH CÁC ðƯỜNG THẲNG ðẶC BIỆT TRONG ∆ABC Dạng 1: Lập phương trình trung tuyến AI • (AI) VTCP AI ( I trung điểm BC ) • (AH) qua A A • (AH) VTCP AH α qua A AB; AC ; BC VTCP H B AH ⊥ BC với H thỏa BH c / phương BC • Tính u = AB AB & v = AC AC • (Ix) qua trung điểm I cuûa BC AB; AC ; BC VTCP VTCP AD A A qua A ( VTCP u + v ) • Gọi D chân phân giác A Tọa ñộ D thỏa DB = − ( AB / AC ) DC qua A I B CÁCH 2: • (AD) α ɵ Dạng 4: Lập phương trình phân giác A CÁCH 1: • Phân giác (AD) C A Dạng 3: Lập phương trình trung trực Ix cạnh BC CÁCH 1: CÁCH 2: • (Ix) = (α α)∩ ∩(ABC) qua trung điểm I BC với (α) VTPT BC C Dạng 2: Lập phương trình đường cao AH CÁCH 2: CÁCH 3: CÁCH 1: • (AH) = (α α)∩ ∩(ABC) qua A với (α) VTPT BC I B qua A B C x C D ɵ Dạng 5: Lập phương trình phân giác ngồi A CÁCH 1: • Tính u = AB AB & v = AC AC • Phân giác ngồi (AE) qua A A ( VTCP u − v ) CÁCH 2: • Gọi E chân phân giác ngồi A Tọa ñộ E thỏa EB = ( AB / AC ) EC • (AE) qua A VTCP AE 83 E B C Bài toán 157: PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG THẲNG CẮT ðƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Dạng 1: (D) qua Mo & cắt (d1) ; (d2) qua CÁCH 1: (d1) M1 VTCP v1 ; (d2) • Tìm mp(α) ≡ mp(Mo ; (d1)) • Tìm mp(β) ≡ mp(Mo ; (d2)) qua M2 VTCP v M2 qua Mo (D) VTPT n( α ) = a d ; MoM1 ( ) qua Mo M1 VTPT n( β ) = a d ; MoM1 ( ) • (D) = (α α) ∩ (β β) (Nhớ kiểm tra (D) cắt (D1) & (D2)) CÁCH 2: (d1) ; (d2) có dạng PTTQ • Dùng tốn 151 , tìm (α) & (β) • (D) = (α α)∩ ∩(β β).(Nhớ kiểm tra (D) cắt (D1) & (D2)) d2 Mo β d1 α Dạng 2: (D) // (d1) & cắt (d2) ; (d3) qua CÁCH 1: (d1) M1 VTCP v1 ;(d2) qua M2 VTCP v ; (d3) qua M3 VTCP v • Tìm mp(α) qua M2 qua ( d2 ) ⇒ (α) VTPT n( α ) = v1 ; v / / ( d1 ) • Tìm mp(β) qua ( d3 ) ⇒ (α) VTPT n( β) = v1 ; v / / ( d1 ) M3 (D) d3 M2 qua M3 CÁCH 2: (d2) ; (d3) có dạng PTTQ α • Dùng tốn 151 , tìm (α) & (β) • (D) = (α α)∩ ∩(β β).(Nhớ kiểm tra (D) cắt (D1) & (D2)) • Tìm {A} = (d1)∩(P) β d2 • (D) = (α α)∩ ∩(β β).(Nhớ kiểm tra (D) cắt (D1) & (D2)) d1 Dạng 3: (D) ⊂ mp(P) & cắt (d1) ; (d2) d2 d1 • Tìm {B} = (d2)∩(P) B • (D) ≡ (AB) A P Bài tốn 158: PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG VNG GĨC CHUNG (D) CỦA ðƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU (d1) & (d2) Cho ñường thẳng chéo (d1) qua M1 ( x1 ; y1 ; z1 ) & (d2) VTCP v1 • Tìm mp(β) VTCP v CÁCH 1: (Biết d1 ⊥ d2) • Tìm mp(α) qua M2 ( x ; y ; z2 ) β qua M1 (d1) M1 VTPT n( α ) = v qua M2 (d2) (D) M2 VTPT n β = v1 ( ) • (D) = (α α)∩ ∩(β β) β 84 CÁCH 2: (Tổng quát) • Tìm n = v1 ; v • Tìm mp(α) • Tìm mp(β) (d2) (D) qua M1 VTPT n( α ) = v1 ; n M2 M1 (d1) qua M2 VTPT n(β) = v ; n • (D) = (α α)∩ ∩(β β ) CÁCH 3: (Tham số) • Lấy M∈(d1) ⇒ M(x1 + a1t ; y1+ b1t ; z1 + c1t) N∈(d2) ⇒ N(x2 + a2t/ ; y2 + b2t/ ; z2 + c2t/) • MN đoạn vng góc chung (d1) & (d2) β α M (d1) (D) MN v1 = ⇔ (1) • Giải (1) có t & t/ Suy M & N MN v = N (d2) • (D) ≡ (MN) Bài tốn 159: PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU (D/) CỦA ðƯỜNG THẲNG (D) XUỐNG mp(α α) qua Mo CÁCH 1: Biết (D) • Tìm mp(β) & mp(α) có vtpt n( α ) VTCP aD chứa (D ) ⊥ (α) (D) qua Mo ⇒ (β) VTPT n(β) = aD ; n( α ) (D') • (D/) = (α)∩(β) • Chuyển (D/) thành dạng PTTS CÁCH 2: Biết (D) qua Mo VTCP aD α (D) Mo • Tìm tọa độ giao điểm A (D) & mp(α) • Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc Mo xuống mp(α) • (D/) ≡ (AH) qua Mo CÁCH 3: Biết (D) & mp(α) có vtpt n( α ) VTCP aD • Tìm tọa độ giao ñiểm A (D) & mp(α) CÁCH 4: Biết (D) có dạng PTTQ • Dùng tốn 151 , tìm mp(β) CÁCH 5: Biết (D): • Tìm mp(β) • Tìm v = aD ; n( α ) (D') H A α • (D/) qua A VTCP a = v ; n( α ) chứa (D) ⊥ (α) • (D/) = (α α) ∩ (β β ) x − x o y − y o z − zo = = & (α) ≡ mp(Oxy) a1 a2 a3 chứa (D ) ⊥ (α) β ⇒ (β) ⊃ (D ) ( / / z Oz hoaëc ⊃ z Oz / / ) ⇒ (β): x − xo y − yo = a1 a2 (Làm tương tự (α) ≡ mp(Oyz) (α) ≡ mp(Ozx)) 85 • (D/) = (Oxy)∩ ∩(β β) Bài toán 160:PHƯƠNG TRÌNH (∆ ∆) QUA A , CẮT (D) & SONG SONG mp(α α) CÁCH 1: (D) có dạng PTTS • Lấy B∈(D) Tính AB theo t • AB // (α) ⇔ AB n( α ) = (1) • Giải (1) tìm t • (∆ ∆) ≡ (AB) CÁCH 2: (D) có dạng PTTQ • Tìm (β) chứa A / / (α) • Tìm (D) ∩ (β) = {B} • (∆) ≡ (AB) Bài tốn 161: PHƯƠNG TRÌNH (∆ ∆) QUA A , CẮT (D) & VNG GĨC (D) CÁCH 1: • Tìm (α) CÁCH 2: • Tìm (α) chứa A • Tìm (D) ∩ (α) = {B} ⊥ (D ) chứa A • (∆) ≡ (AB) • Tìm (β ) ≡ mp(A ; (D)) ⊥ (D ) • (∆) = (α)∩(β ) Bài tốn 162: PHƯƠNG TRÌNH (∆ ∆) QUA A , CẮT (D1) & VNG GĨC (D2) CÁCH 1: • Tìm (α) CÁCH 2: • Tìm (α) chứa A • Tìm (D1) ∩ (α) = {B} ⊥ ( D2 ) chứa A • (∆) ≡ (AB) • Tìm (β ) ≡ mp(A ; (D1)) ⊥ ( D2 ) • (∆) = (α)∩(β ) Bài tốn 163: PHƯƠNG TRÌNH (∆)⊂mp(α) , VNG GĨC (D) TẠI {A}=(D)∩mp(α) • (∆) qua A & có vtcp a( ∆ ) = a(D ) ; n( α ) CÁCH 1: • Tìm (D) ∩ (α) = {A} CÁCH 2: • Tìm (D) ∩ (α) = {A} • Tìm mp(β ) chứa A • (∆) = (α)∩(β ) ⊥ (D ) Bài tốn 164: PHƯƠNG TRÌNH (∆) QUA A & VNG GĨC VỚI (D1) & (D2) • (∆) qua A & có vtcp a( ∆ ) = a(D1 ) ; a(D2 ) với a(D ) & a(D ) vtcp (D1) & (D2) Bài tốn 165: PHƯƠNG TRÌNH (∆)⊂mp(α) ; VNG GĨC (D) & d(A ; (∆)) = m với {A} = (D)∩(α) • Gọi (D ) hình chiếu (D) mp(α) Từ gt ta có (∆) ( ∆ ) ⊥ D/ ; ⊂ (α) ; qua M ∈ D/ ; AM = m / ( ( ) ) ( ) • Giải điều kiện M∈(D ) & AM = m ñược tọa ñộ M (dùng PTTS (D/)) (D) / • (∆) qua M & có vtcp a(∆ ) = a D/ ; n(α) ( ) α (D/) M ( ∆) A Bài tốn 166: TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA ðƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU (d1) qua M1 ( x1 ; y1 ; z1 ) VTCP v1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) CÁCH 1: Dùng công thức d ( ( d1 ) ; ( d2 ) ) = & (d2) qua M2 ( x ; y ; z2 ) VTCP v = ( a2 ; b2 ; c ) v ; v M1M2 v1 ; v • Suy d((d1) ; (d2)) = MN CÁCH 2: • Tìm điểm M & N cách / Bài tốn 158 CÁCH 3: • Tìm phương trình đường vng góc chung (D) (d1) & (d2) • Xác định giao điểm M & N (D) với (d1) & (d2) qua M2 qua ( d2 ) CÁCH 4: • Tìm mp(α) ⇒ (α) VTPT n( α ) = v1 ; v / / ( d1 ) 86 • Suy d((d1) ; (d2)) = MN • d ( ( d1 ) ; ( d2 ) ) = d ( M1 ; ( α ) ) Bài tốn 167: TÌM HÌNH CHIẾU H CỦA Mo(xo ; yo ; zo) TRÊN (∆ ∆) H ∈ ( ∆ ) CÁCH 1: • H thỏa MoH v = (1) (2) qua M1 ( x1 ; y1 ; z1 ) VTCP v = ( a ; b ; c ) • (1) ⇔ (xH = x1 + at ; yH = y1+ bt ; zH = z1+ ct) • Thay (1) vào (2) Giải t Suy H CÁCH 2: • Tìm mp(α) qua Mo VTPT n( α ) = v • {H} = (∆)∩(α) Bài tốn 168:TÌM ðIỂM ðỐI XỨNG M1 CỦA Mo(xo;yo;zo) QUA (∆ ∆) qua M1 ( x1 ; y1 ; z1 ) VTCP v = ( a ; b ; c ) • Tìm hình chiếu H tốn 164 • Dùng kết quả: H trung ñiểm MoM1 ; suy tọa ñộ M1 Bài tốn 169: TÌM HÌNH CHIẾU H CỦA Mo(xo ; yo ; zo) TRÊN (α α):Ax + By + Cz + D = M H ; n( α ) = CÁCH 1: Tọa ñộ H thỏa hệ o H ∈ ( α ) CÁCH 2: • Tìm đường thẳng (D) qua Mo ( x o ; y o ; zo ) H ∈ ( D ) • H thỏa H ∈ ( α ) vtcp a = n( α ) (1 ) (2 ) • (1) ⇔ xH = xo + At ; yH = yo+ Bt ; zH = zo + Ct • Thay (1) vào (2) Giải t Suy H Bài tốn 170: TÌM ðIỂM ðỐI XỨNG M1 CỦA Mo(xo ; yo ; zo) QUA (α α): Ax+By+Cz+D=0 • Tìm hình chiếu H tốn 10 • Dùng kết quả: H trung điểm MoM1 ; tính tọa độ M1 Bài tốn 171: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ M1(x1 ; y1 ; z1) ðẾN (D) CÁCH 1: Dùng công thức d ( M1 ; ( D ) ) = MoM1 ; v v qua Mo ( x o ; y o ; zo ) VTCP v = ( a ; b ; c ) CÁCH 2: • Viết phương trình mp(α) qua M1 & có vtpt v • Xác định {H} = (α)∩(D) • Khi d ( M1 ; ( D ) ) = M1H CÁCH 3: • Lấy M(xo + at ; yo + bt ; zo + ct)∈(D) • Tính f(t) = M1M2 • Khi d(M1 ; (D)) = minf(t) Nhóm 6: (Các tốn mặt cầu) BÀI TỐN 172: TÌM THAM SỐ m SAO CHO (S) LÀ MẶT CẦU (S): x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = mặt cầu ⇔ a2 + b2 + c2 − d > BÀI TỐN 173: TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP TỨ DIỆN ABCD CÁCH 1: (S): (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 CÁCH 2: (S): x2 + y2 + z2− 2ax− 2by− 2cz + d = • A∈(S) ⇔ (xA − a)2 + (yA − b)2 + (zA − c)2 = R2 (1) • A∈(S) ⇔ xA2+yA2+zA2−2axA−2byA−2czA+d=0 (1) • B∈(S) ⇔ (xB − a)2 + (yB − b)2 + (zB − c)2 = R2 (2) • B∈(S) ⇔ xB2+yB2+zB2−2axB−2byB−2czB+d=0 (2) (3) • C∈(S) ⇔ xC +yC +zC2−2axC−2byC−2czC+d=0 (3) • D∈(S) ⇔ xD2+yD2+zD2−2axD (4) • C∈(S) ⇔ (xC − a) + (yC − b) + (zC − c) = R 2 2 • D∈(S) ⇔ (xD − a) + (yD − b) + (zD − c) = R 2 • Giải (1) , (2) , (3) , (4) ñược a , b , c , R (4) 2 −2byD−2czD+d=0 • Giải (1) , (2) , (3) , (4) ñược a , b , c , d BÀI TỐN 174: TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (S) CĨ TÂM I & TIẾP XÚC (α α) • R = d(I ; (α)) BÀI TỐN 175: TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (S) CÓ TÂM I∈(D) & TIẾP XÚC (α) ; (β) I ∈ ( ∆ ) • Tâm I thỏa (1) • Giải (1) tọa độ I • R = d(I ; (α)) d ( I ; ( α ) ) = d ( I ; ( β ) ) 87 BÀI TỐN 176: TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (S) qua Mo(xo ; yo ; zo) & TIẾP XÚC VỚI CÁC MẶT PHẲNG TỌA ðỘ • Tâm I(a ; b ; c) thỏa a = b = c = IMo (1) • Giải (1) a , b , c • Suy R = a BÀI TỐN 177: TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (S) CĨ TÂM I & CẮT (D) TẠI A , B SAO CHO AB = 2m • R= m2 + IK với K trung điểm AB BÀI TỐN 178: TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (S) CHỨA ðƯỜNG TRÒN (C): ( x − a1 )2 + ( y − b1 )2 + ( z − c1 )2 = R 12 & QUA Mo(xo ; yo ; zo) α : Ax + By + Cz + D = ( ) • (C) có tâm H = hcK(a1 ; b1 ; c1) / (α) & bán kính r = I ∈ ( ∆ ) ( qua H & ⊥ ( α ) ) • Tâm I (S) thỏa 2 IMo = r +IH R 12 − HK (1) Giải (1) I • Suy R = IMo BÀI TỐN 179: TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (S) CÓ TÂM I∈ ∈(D1) & TIẾP XÚC VỚI (D2) , (D3) • Giả sử (D1) qua M1(x1 ; y1 ; z1) & có vtcp v1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) (D2) qua M2(x2 ; y2 ; z2) & có vtcp v = ( a2 ; b2 ; c ) (D3) qua M3(x3 ; y3 ; z3) & có vtcp v = ( a3 ; b3 ; c ) • I∈(D1) nên I(x1 + a1t ; y1 + b1t ; z1 + c1t) (1) • (S) tiếp xúc (D1) & (D2) nên IM1 ; v1 v1 = IM2 ; v v2 (2) • Giải (1) & (2) ñược I Suy R = d(I ; (D1)) BÀI TỐN 180: LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP DIỆN (α α) CỦA MẶT CẦU (S) Dạng 1: (α) tiếp xúc (S) Mo∈(S) ⇒ (α) qua Mo vtpt n = IMo Dạng 2: (α) tiếp xúc (S) & // (β): Ax + By + Cz + D = • (α)//(β) nên (α): Ax + By + Cz + m = (m ≠ D) • (α) tiếp xúc (S) nên d(I ; (α)) = R (1) • Giải (1) ñược m • So ñiều kiện & kết luận Dạng 3: (α) tiếp xúc (S) // (d1) ; (d2) • (α) // (d1) ; (d2) ⇒ n(α ) = a d ; a d = ( A ; B ; C ) ⇒ (α): Ax + By + Cz + m = ( ) ( ) • (α) tiếp xúc (S) nên d(I ; (α)) = R (1) • Giải (1) m • Kiểm tra lại (α) // (d1) ; (d2) Ax +By + Cz +D = Dạng 4: (α) tiếp xúc (S) qua (∆) / / / / A x +B y + C z +D = • (α) qua (∆) nên (α): m(Ax + By + Cz + D) + n(A/x + B/y + C/z + D/) = (m2 + n2 >0) • (α) tiếp xúc (S) nên d(I ; (α)) = R (1) • Giải (1) m & n Ax +By + Cz +D = Dạng 5: (α) tiếp xúc (S) qua (∆) / / / / A x +B y + C z +D = • (α) qua (∆) nên (α): m(Ax + By + Cz + D) + n(A/x + B/y + C/z + D/) = (m2 + n2 >0) • (α) tiếp xúc (S) nên d(I ; (α)) = R (1) • Giải (1) m & n 88 Nhóm 7: (Các tốn giá trị lớn & giá trị nhỏ nhất) BÀI TOÁN 181: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH mp(α α) QUA Mo(xo ; yo ; zo) & CẮT MẶT CẦU (S) THEO ðƯỜNG TRÒN GIAO TUYẾN CĨ BÁN KÍNH NHỎ NHẤT • Tìm tâm I & bán kính R (S) • Kiểm tra IMo < R ⇒ (α) cắt (S) theo đường trịn • Nhận xét: IH ≤ IMo nên r ≥ Taâm H = hc (I) /(α) (C) Bán kính r = R − IH2 R − IMo2 Ycbt ⇔ H ≡ Mo • Khi đó: (α) qua Mo & có vtpt IMo BÀI TỐN 182: TÌM M∈ ∈mp(α α) SAO CHO ðỘ DÀI ðOẠN TIẾP TUYẾN MN KẺ TỪ M ðẾN MẶT CẦU (S) NGẮN NHẤT • Nhận xét: M (S) nên tồn tiếp tuyến kẻ từ M đến (S) I • Gọi H = hcI/(P) ⇒ IM ≥ IH ⇒ MN2 = IM2 − IN2 ≥ IH2 − R2 N (S) • Ycbt ⇔ M ≡ hcI/(P) H P M BÀI TOÁN 183: TÌM M∈ ∈mp(α α) SAO CHO MA + MB NGẮN NHẤT • Kiểm tra: A & B phía (α) B A • Gọi A/ ñiểm ñối xứng A qua (α) Ta có: MA + MB ≥ A/B • MA + MB ngắn MA + MB = A/B Mo H • Vậy: {M} = (A/B)∩(α) M α A' 2 BÀI TOÁN 184: TÌM M∈ ∈mp(α α) SAO CHO MA + MB NGẮN NHẤT • Gọi I trung điểm AB B I • Ta có: MA + MB = 2MI + (AB )/2 2 2 A • MA + MB ngắn MI ngắn 2 • Khi đó: {M} = hình chiếu vng góc I xuống mp(α) H M α BÀI TỐN 185: TÌM M∈ ∈ðƯỜNG THẲNG (D) SAO CHO MA + MB NGẮN NHẤT Cách 1: Bước 1: Tìm tọa độ H = hcA/(D) & K = hcB/(D) Bước 2: Tìm tọa độ N thỏa NH = ( − AH / BK ).NK Bước 3: Gọi E∈mp(B ; (D)) ; khác phía B so với (D) ; AH = EH ; EH⊥(D) AH EH ( ) ⇔ NH : NK = − (EH/BK) Suy E , B , N thẳng hàng = BK BK Vậy MA + MB = ME + MB ≥ EB = NA + NB Bước 4: MA + MB ñạt ⇔ M ≡ N Cách 2: Bước 1: Gọi M(xo + a.t ; yo + b.t ; zo + c.t)∈(D) điểm cần tìm Khi Bước 2: MA + MB = f ( t ) = A t2 + mt + n + t2 + pt + q Bước 3: Dùng KSHS , tìm t cho f(t) ñạt Suy tọa ñộ ñiểm M 89 E ( D) H α K N B Phần 18: GIẢI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN BẰNG CÁCH LẬP HỆ TRỤC 90 Mở ñầu: Trong nhiều tập hình khơng gian , việc tìm lời giải cho tốn phức tạp Nội dung chủ đề tìm cách chọn hệ trục Oxyz đặc biệt & chuyển tốn thành dạng tọa độ Khi cách sử dụng kết tọa ñộ , phương trình mặt phẳng , đường thẳng , mặt cầu .trong khơng gian , việc giải tốn trở nên ñơn giản Một số gợi ý cách chọn hệ trục: 1/ CHÓP TAM GIÁC ðỀU: 2/ CHÓP TỨ GIÁC ðỀU: z S S z y y D A x A H B B C x C 3/ CHÓP CĨ CẠNH BÊN ⊥ MẶT ðÁY HÌNH CHỮ NHẬT (HÌNH VNG): 4/ CHĨP CĨ MẶT BÊN TAM GIÁC CÂN ⊥MẶT ðÁY HÌNH CHỮ NHẬT (HÌNH VNG): z z S S y D A B C y x I B C A x D 5/ CHÓP CÓ MẶT BÊN TAM GIÁC CÂN ⊥MẶT ðÁY NỬA LỤC GIÁC ðỀU: 6/ HỘP CHỮ NHẬT − LẬP PHƯƠNG: z A ' z D ' S B ' C ' D A I A y B y B D C x 7/ LĂNG TRỤ TAM GIÁC ðỀU: 8/ LĂNG TRỤ ðỨNG ðÁY TAM GIÁC VUÔNG: z A ' z A ' B ' C ' B ' C ' I A C x B B A y C C x 91 x y MỤC LỤC o000o Phần Nội dung Trang KHẢO SÁT HÀM SỐ − 16 TÍCH PHÂN 17 − 23 MŨ & LOGARIT 24 − 26 ðẠI SỐ TỔ HỢP 27 − 29 SỐ PHỨC 30 − 32 PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH 33 − 34 LƯỢNG GIÁC 35 − 38 CẤP SỐ 39 − 40 BẤT ðẲNG THỨC 41 − 44 10 HTL TRONG TAM GIÁC − TỨ GIÁC & ðƯỜNG TRÒN 45 − 46 11 TỌA ðỘ TRONG MẶT PHẲNG 47 − 48 12 ðƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG 49 − 51 13 CÁC ðƯỜNG BẬC HAI 52 − 56 14 QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 57 − 59 15 QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 60 − 64 16 KHỐI ðA DIỆN & KHỐI TRÒN 65 − 72 17 PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG KHÔNG GIAN 73 − 89 18 GIẢI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN BẰNG CÁCH LẬP HỆ TRỤC 90− 91 19 LỜI KẾT 92 20 MỤC LỤC 93 93 ... ( 2) Khi ñó (C 1) = ( 1) ∪ ( 2) 2/ Cho trước (C): y = f(x) Vẽ (C 2): y = f ( x ) : Giữ nguyên phần (C) bên phải y/Oy ( 1) Lấy đối xứng ( 1) qua y/Oy ( 2) Khi (C 2) = ( 1) ∪ ( 2) 3/ Cho trước (C): y = f(x)... lim ε ( x ) = x →±∞ ε( x ) c) y = P ( x ) / Q ( x ) ; bậc(P) ≤ bậc(Q) ⇒ (C) khơng có TCX d) y = P ( x ) / Q ( x ) ; bậc(P) ≥ bậc(Q) + ⇒ (C) khơng có TCX e) Df = [a ; b] (a ; b) ⇒ (C) khơng có... y 1) & B(x2 ; y 2) (D) qua A(a ; 0) & B(0 ; b) với a.b ≠ (D) qua Mo(xo ; yo) & hsg = k • (D): A(x – xo) + B(y – yo) = • (D): Ax + By + C/ = (C/ ≠ C) • (D): B(x – xo) – A(y – yo) = • (D): • (D):