Lịch sử hình học

VĂN NHƯ LỊCH HÌNH CƯƠNG sử HỌC NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ K Ỹ T H U Ậ T Hà N ộ i — 1977 LỜI NÓI BẦU Nhà xuất khoa học kỹ thuật có ý định cho mắt độc giả sách lịch sứ tốn học, theo mơn: hình học, đại sị, số học, giải tích tốn học, Đó ý định phù hợp với thực tề, nav nhầng^tài liệu lịch sứ tốn học tiếng Việt hầu như- chưa cỏ (nói mái chi có cuồn địcli « Lịch sư tốn học » cùa Nhà xuất Giáo đục, dịch từ ngun tiếng Nga tác giả Rvpnhicơp) Sự ỏi thiều sót, mà ta nin nhanh chóng khắc phục, ánh hưởng khơng it đến việc học tập, tìm hiếu nghiên cứu toán học cùa tầng lớp niên Tác giả nhận viết cuồn «Lịch sư hình học» vái nỗi lo lắng băn khoăn xuất phát từ hiếu biềt cịn ỏi cá mặt hình học lần mặt lịch sư toán học Bời vậy, viết sách nhỏ này, tác giả khơng có tham vọng lởn, mà chi tự dặt cho mút mục tiêu khiềtìt (Ồn Đó là, nêu lên cách khái qt, nhầng phương hướng chính, lịch sử phát triền hình học, từ hình thành cho dền nhầng năm đần tiên kỷ chúng m Do đó, tác giả không thề dề cập đền kiện hình học (chẳng hạn nhít- lịch sư phát triển l úa mơn lượng giác dược nói tới tron? sách này) Tác già cồ gắng tập trung vào mơn chả vèa nhít : hình học giải tích, hình học vi phân, hình Mbc xạ ảnh, hình học hypecbơờic, hình học Riman, hình học họa hình tơpơ học Tron? vấn đề nói đèn, tác giá khơng nêu lên kết nhà hình học tác phẩm họ Tác giả chí nói chi tiết số nhà hình học lớn (như ơcờit, Acsimet, Apơờơni, Ođơcx, Đêcac, Pecma, Niutơn, ơờe, Đedac, Lôbasepxki, Riman, Gaux, V.V J mà cóng trình họ đóng vai trị lớn tồn phát triền hình học Tác giả khơng có tay tác phàm gốc, thường phải thông qua tác giả thứ hai, có thứ ba Điều cố nhiên làm cho nhận định cùa phàn khách quan Nhưng điếu kiện cùa chúng ta, điều đá khó khấc phục Mong cuồn sách nhỏ tờm hiểu độc giả thỏa mãn Tác giả phẩn Chương SỰ HÌNH ĐẦU THÀNH THỜI ] Những lại đến NHỮNG HÌNH AICẬP VÀ ngày cỏa cho KHÁI HỌC hình học vẽ nên xuất p h t t r i ể n cùa m ò n t r o n g n h ữ n g giai đ o n đ ầ u cỏa CỒ đầu cùa nói r i ê n g , cịn thật B ó i vậy?, q u ả k h ó k h ă n n ế u chi t i ế t HỌC t h i kỳ ban r i rạc tranh NIỆM HÌNH BABILON tài l i ệ u lịch s n ó i chung, tốri^iọc lưu VỀ TIÊN I ỏ i c h ú n g ta xác h ì n h học, muốn đặc biệt T u y t ì n h h ì n h k h ô n g đ ế n n ỗ i l m cho c h ú n g ta h o n t o n b ó tay D ự a vào n h ữ n g t h n h t ự u n g h i ê n c ứ u tịch sử t o n học, đặc b i ệ t n h ữ n g n ă m gần đ â y , ta có t h ề t h u đ ợ c m ộ t b ứ c p h c họa t n g ' đ ố i tổng q u t thời kỳ SO" khai cùệ hình h ọ c M ặ c đ ầ u n h i ề u chi t i ế t cỏa n ó cịn p h ả i b n c ã i , n ó i chung ta v i n có t h ề n h ì n n h ậ n đ ợ c vấn đề t r ê n n h ữ n g nét l n C ũ n g n h k h i n i ệ m ve số, n h ữ n g khái n i ệ m t i ê n v ề h ì n h học x u ấ t h i ệ n t r o n g t h i kỳ s khai loài n g i Sự nẩy sinh n h ữ n g k h i n i ệ m đ ó gắn đầu cỏa liền mật t h i ế t v i / h o t động t h ự c t i ễ n phong p h ú người Từ người khơng cịn c ù a loài h i , lượm n h ữ n g t h ứ c ăn có sẵn t r n g t h i ê n n h i ê n , mà t ự sản x u ấ t đ ề tạo n h ữ n g đ i ề u k i ệ n sống cỏn t h i ế t đến cá'.: đ i l ợ n g quan h ệ k h ô n g gian c c v ậ t m ì n h , n g i ta b ắ t Những hoàn mệt khái n i ệ m ngày thiện cách nhiều đỏu phải tiếp n g y c n g kỹ mặt trỏ- n ê n phong p h ú , n g i hiếu hoạt cùa h ọ đ ề đ ấ u t r a n h Công v i ệ c cày cấy mặc dỏu xúc nhiều chõ động cải tạo ngày càng" thiên c ị n t h sơ biẻt nhiên, đòi hòi p h ả i đ o đạc c c đ m đ ấ t , c â n đ o n g p h â n chia l n g thực, hàng phải tìm h ó a C ô n g v i ệ c x â y cất n h ữ n g quy dựng nha cưa đòi hỏi tắc đ ể v c h c c đ n g cột hay tưÒỊjig t h ẳ n g thẳng, đứng Đ ề có t h ể tính t o n t h i v ụ , cỏn quan sát d i c h u y ế n m ặ t t r ă n g , m ặ t t r i , c c sao, đ a đến điều v i ệ c đ o đạc c c g ó c , v v T ấ t n h ữ n g khống t h ể t h ự c h i ệ n đ ợ c kiên t h ứ c c ' b ả n h ì n h Lồi n g i t h i đồ đá đến học m i đ ã có hiểu biết phong p h ú v ề c c h ì n h d n g h ì n h học Các hình trang t r í t r ê n đ £ ố m , sau t r ê n đ đ n g , quật đ ợ c , đ ã c h ứ n g tỏ đ i ề u đ ó N h ữ n g khai trang t r í đ ó t h n g gồm n h ữ n g h ì n h h ì n h học b ằ n g nhau, đ ố i x ứ n g , đống hòa, đ ẹ p mắt N h v ậ y loài n g i t h i g i đ ã nắm học đền c c quy đWc mức độ xếp hài dạng, tắc đ ề d ự n g c h ú n g cách h ì n h dạng hình Hình N g h ệ thuật trang trí v ù n g I lưu vực sông Tigrơ Ephơrtil Phương đông (trong đ ó c h ù y ế u A i cập v B a b i í o n ) đ ợ c xem n i c ù a h ì n h h ọ c N h ữ n g t i l i ệ a p h t h i ệ n đ ợ c trong; n h ữ n g n ă m gần đ â y đ ã cho p h é p c h ú n g ta x c đ ị n h đ ợ c t r ì n h đ ộ v ề h ì n h học cùa n g i A i cập Babilon c c h đ â y 3, n g n n ă m t r c c ô n g n g u y ê n Đ ó t h i kỳ p h t t r i ề n h a i n ề n văn hóa P h n g Đ ô n g : văn hóa Ai cập ( v ù n g l u v ự c sông N i n ) vãn hóa Babiỉon ( v ù n g l u v ự c s ô n g T i g r sông E p h r a t ) Đ n g t h i v i hai n ề n v ă n hóa đ ó c ị n có văn hóa Ân độ ( v ù n g l u v ự c s ô n g A n s ô n g H ằ n g ) , văn hóa Trung hoa ( v ù n g s ô n g H o n g sồng D n g t ứ ) , m u ộ n h n m ộ t ít, có c c văn hóa Trung Á, Đơng Dương Inđơnêxia Ta k h ô n g b i ế t n h i ề u l ắ m v ề h ì n h học t h u ộ c c c n ề n v ă n hóa n y v ì c h a t ỉ m thấy n h ữ n g tài l i ệ u có c ứ N h n g , dựa v o t r ì n h đ ộ chung, có t h ề chắn r ằ n g t o n học ỏ- v ù n g n y so v i A i Cập Babilon t h ì k h n g phát t r i ể n N h ữ n g h i ể u b i ế t c h ú n g ta t o n học A i cập c h ù y ế u d ự a v o hai c h é p tay N h ữ n g b ả n n y v i ế t t r ê n m ộ t t h ứ v ỏ c â y giống n h giấy, đ ợ c cất d ấ u t r o n g n h ữ n g h ẩ m m ộ c ổ Bản t h ứ g ọ i b ả n R a i đ (Rhind) (lấy t ê n n g i đ ã t ì m n ă m 1858), có k í c h t h c 5,25 m X 33 em bao gồm 84 b i t o n H i ệ n phần b ả n đ ợ c l u t r ữ t i v i ệ n bảo t n g « A n h q u ố c í; b L u â n đ n , mót' p h ầ n & N i u I o o c B ả n t h ứ hai gọi b ả n M a x c v a G l ê n i s ô p t ì m t h ấ y v o c u ố i t h è kỷ t r c , có k í c h t h c 5,44 X em, g m 25 b i t o n h i ệ n đ ợ c l u t r ữ t i v i ệ n bảo t n g nghệ t h u ậ t Puskin ( M a x c v a ) Cả hai b ả n đềtị đ ợ c p h i ê n dịch n g ô n n g ữ n g y N ộ i dung c c b i t o n t r o n g gian cách đ ị n h nghĩa phần t t u y ế n t í n h ds cùa n ó b ổ i công t h ứ c : ds* = giị dxị dxy , vế p h ả i m ộ t dạng t o n p h n g cùa dxị, ễiị n n ữ n g h m cùa tọa đ ộ Xị, X o , x n K h i cho d n g t o n p h n g (hay g ọ i dạng b n ) , h ì n h học k h ô n g gian t n g ứ n g h o n toàn xác đ ị n h , (cũ ng giống n h k h i cho dạng toàn p h n g t h ứ n h ấ t Gaux, t h ì h ì n h học t r ê n mặt đưọ-c xác định), h ì n h học đ ó b â y g i ta g ọ i h ì n h học R i m a n B i dạng co- b ả n có t h ậ chọn n h i ề u cá ch c nhau, cho n ê n t r o n g c ù n g m ộ t k h ô n g gian, ta có t h ậ có n h i ề u h ì n h học k h c n h a u Hình học ơclit n chiều ứng v i dạng CO" cịn h ì n h học k h c đ ề u p h i c l i t (trong có hỉnh học p h i c l i t cùa L ô b a s e p x k i ) N h k h i n i ệ m h ì n h học p h i c l i t đ ợ c mò r ộ n g M ặ c dầu Riman k h ô n g đ ặ t mục đích l u ậ n văn xét ý nghĩa h ì n h học ơclit h ì n h học L ô b a s e p x k i h ệ thống h ì n h học m ì n h , n h n g t h ự c chất vấn đề đ ỏ đ ợ c g i ả i q u y ế t Riman c ũ n g n ê u đ i l ợ n g b i ậ u t h ị qua đạo h m bậc t r o n g k h n g gian cùa m ì n h h ệ số dạng n h ấ t bậc đ ợ c g ọ i đ ộ cong p h n g hai chiều hai c h ú n g , đ i l ợ n g k h n g gian t i m ộ t đ i ậ m theo / Các k h ô n g gian R i m a n có đ ộ cong k h ô n g đ ổ i (tức k h ô n g phụ t h u ộ c v o đ i ề m vào p h n g hai chiều) lo LSHH 145 chia làm ba loại : Nếu độ cong không đổi ta hình học (Tclit Nếu độ cong khơng đồi — ta có hình hoe hypecbôlic (trong trường hợp n = n = ta hình học Lơbasepxki — Bơia) k sị đặc trưng cho khơng gian Lơbasepxki, Bơia Gaux tìm đường khác Cuối độ cong không đ ổ i —í—, ta ÌC"" hình học Riman nghĩa hẹp hình học cliptic (khi n = hình học chất trùng v i hình học mặt cầu) Vào khoảng nam 1870 tư tường p h n g pháp cứa Riman nhiều nhà toán học trẻ cùa hệ nghiên cứu phát triền Chẳng hạn lý thuyết dạng v i phân toàn phương đ i tượng nghiên cứu cơng trình cùa hai nhà toán học Đức E V Krixtôphen (1829—1900) v R L i p s i t (1832 — 1903) L ầ n ta thấy nêu ((Ký hiệu Krixtôpheni) Các kết cứa họ kết hợp vời lý thuyết thông số vi phân cứa Bentrami G Risi — Cuôcbaxtrô (1833 — 1925) sử dụng đề xây dựng phép tính vi phân tuyệt đ ố i (1884) Đó mội ký hiệu bất biến mới, ban đầu xây dựng đề đùng lý thuyết biến đ ổ i phương trình đạo hàm riêng, sau áp dụng thuận tiện cho lý thuyếl biến đồi dạng vi phân toàn p h n g Trong tay Risi số học trị cứa ơng, đặc biệt lì Lêvi — Sivita (1873— 1971), phép tính vi phân tuyệt đố đẵ phát triển mạnh trò thành mà ngày ta gọ phép tính tenxơ 146 l i Trong phát triển tốn học luồn ln xẩy hai q trinh đ ố i lập M ộ t mặt toán học ngày phần thành nhiều môn học nghiên cứu ngày sâu Sự chun mơn hóa làm cho nhà tốn học, dầu uyên thâm đến đâu, chí năm số ngành mà thơi M ặ t khác ln ln xảy các^Ị trình kết hợp ngành toán học khác nhau, để đưa đến nhấng thành t ự u lớn Vào cuối kỷ X I X xuất kết hợp lý thuyết nhóm lý thuyết hình học Kiman đirỹC trình bày cơng trinh chù yểu cùa Ph.Klêin X L i Phêlix Klêin (1849 —1925) phụ giáo Plucke ỏ" Bon vào cuối nhấng năm thứ 60, ơng nghiên cứu hình học Năm 1870 ông sang Pari gặp n g i Na uy Xôphux L i (1842 — 1899), l n ông tuồi m i chi bắt đầu quan tâm đến toán học cách khơng lâu Hai n g i niên tiếp xúc với nhà toán học Pháp ỏ trường Bách Khoa nghiên cứu nhấng tác phàm họ Trong số nhấng người làm việc ỏ- trường Bách khoa có nhà tốn học C.Gioocđăng (1838 — 1922) Vào năm Gioocđăng viết «Nghiên cứu v4 phép thế», sách lý thuyết phương trình Galoa T Klêin L i bắt đầu nhận thức ý nghĩa cùa lý thuyết nhóm, sau n g i theo hướng khác nhau: Klêin nhóm r i rạc, cịn L i nhóm liên tục Năm 1872, Klêin trớ thành giáo sư Trường đ i học Eclanghen, sau trình bày giảng, gọi ((Chương trình Eclanghen» Theo chương 147 trình đó, hình học định nghĩa lý thuyết bất biến cùa nhóm biến đ ổ i Bằng cách mờ rộng hay thu hẹp nhóm biến đ ổ i , ta có thề chuyển từ dạng hình học sang dạng hình học khác Hình học ơclit nghiên cứu bất biến cùa nhóm d i , hình học xạ ảnh nghiên cứu bất biên nhóm phép biến ^ ổ i xạ ảnh Sỗ phân loại nhóm biến đ i cho ta sỗ phân loại hình học, lý thuyết bất biến đại số vi phân cùa nhóm cho tá cấu trúc giải tích cùa hình học tương ứng Sau cơng trình cùa Lơbasepxki, Bơia Riman hệ thống hình học Klêin íà íììột mốc quan trọng việc nhận thức thỗc chất cùa hình học Một cống hiến quan trọng Klêin tác phẩm nói việc xây dỗng mơ hình xạ ảnh cho hình học hypecbơlic Klêin tìm thấy gợi ý cơng trình đó, tác phẩm cùa nhà tốn học Anh Actơ Keli (ì821 — 1895) Keli chỗng minh cho trước giao tuyến cônic, tập hợp phép biến đ i xạ ảnh giữ ngun cơnic làm thành nhóm (gọi nhóm Keli) Klêin xét điềm nằm đường elip xem không gian hình học (2 chiều) nhóm Keli đ ố i v i elip nhóm biên đồi khơng gian Kết ta thu hình học hypecbơlic Trong mơ hình nói trên, điềm nói điếm nằm elip, cịn đường thẳng giây cung elip Độ dài cùa đoạn thẳng định nghĩa cho bất biền nhóm K e l i Cố nhiên, cách xét mặt elipxơit, ta có thề xây đỗng mơ hình hình học hypecbơlic chiều Đến đây, vần đề phi mâu thuẫn cùa hình học hypecbơliơ 148 đ ợ c g i ả i M ỗ i m ộ t m â u t h u ẫ n (nếu có) cùa h ì n h học đ ó l ậ p tức đ a đ ế n m ộ t m â u t h u ẫ n h ì n h học c l i t Nhu- h ì n h học ( T c l i t phi mâu t h u ẫ n t h ì h ì n h học liypecbơlic sau t t n g nậy K l ê i n đống m ộ t vai t r ò co- p h n g p h p tiên đề Hinbe Còn X L i t h ì sau t r l i N a uy, ông giáo s Crixchian sau t n ă m 1886 đ ế n 1898 ơng giảng dạy tốn học ỏ" L a i x i c h Cả đ i cùa L i d n h cho việc n g h i ê n c ứ u m ộ t cách có h ệ thống n h ó m biên đ ấ i liên tục n h ữ n g bất b i ế n c h ú n g , giá t r ị c h ú n g đ ố i v i sít' p h â n loại h ì n h học, học, lý thuyết p h n g t r ì n h v i p h â n t h n g p h n g t r ì n h đạo hàm r i ê n g L i đ ã cho p h n g p h p tổng q u t đế t ì m t ấ t n h ữ n g b t b i ế n m ộ t n h ó m h ữ u hạn n h é p b i ế n đ ấ i liên tục, n h n g đấng t h i chứng tổ k h ô n g gian ba chiểu chi có ba n h ó m khác nhau, nhận m ộ t dạng v i p h â n toận p h n g xác đ ị n h d n g làm b t b i ê n Ba n h ó m ứ n g v i ba l o i k h n g gian Rimau có đ ộ cong số Sau cơng t r ì n h K l ê i n L i , nhà h ì n h học tập t r u n g n g h i ê n c ứ u k h ô n g gian có độ cịng số Cần p h ả i mờ rộng t í n h chất b i ế t đ ố i v i k h ô n g gian ba chiều cho k h ô n g gian n chiều, T u y v ấ n đ ề nhanh c h ó n g h o n t h n h k h ô n g gian có đ ộ cong số đ ợ c p h t t r i ể n m ộ t cách rộng r ã i Các toán đ ợ c đ ặ t hầu n h đ ề u g i ả i h é t , đ ó B ù n k i (1856—1928) chì cịn việc tổng kết hệ thống hóa l i t r o n g tác phẩm (( Các b i giảng h ì n h học v i phân)) (1894) T c phẩm đ ó c ù n g v i « L ý thuyết tấng q u t cùa m ặ t » cùa G Đ a c b u (1842 —1917) đ ợ c xem n h n h ữ n g t r ì n h bày cổ đ i ể n cùa h ì n h học v i p h â n ỏ- t h ề kỳ X I X 149 Chương VÀI NÉT V Ề HÌNH IX HỌC VÀO N H Ữ N G NĂM Đ Ầ U CỦA T H Ế K Ỷ X X Cũng n h tốn học nói chung, hình học kỷ X X môn khoa bọc đa dạng, phong phú nội đung p h n g pháp nghiên cứu Những t tưỏ-ng lớn xuất hình học vào cuối kỷ trưắc đề vấn đề nghiên cứu quan trọng cho hệ nhà tốn học Những t tường hoàn thiện, bo sung phát t r i ề n , đưa đến kết xuất sắc Rõ ràng hiện- nay, việc mồ tả phân tích phát triền hình học cùa thê kỷ cơng việc khó khăn, có lẽ chưa nên làm Tuy không nên dừng l i ổ- cuối kỷ X I X , bỏ-i ngày 1-1-1901 khơng phải mốc đóng vai trị quan trọng lịch sư phát triền cùa hình học Việc phân chia trình phát triền tốn học theo kỷ, sách làm, cốt để nhằm thuận tiện cho việc trình bày mà thơi Vì l ẽ đ ó , chúng tơi viết thêm chương ngắn có tinh chất bồ sung, nhằm trình bày số vằn đề có 150 liên quan t i điểu nói vào cuối kỷ trước Đó vấn đề sờ Hình học, m6" đẩu Tôpô học, số vấn đề khác Về vấn đề thuộc co* sò* Hình học, trước hét gặp tên tuổi cùa nhà toán học vĩ đ i Đavit Hinbe (1862—1943), n g i mà sau Poăngcarê mất, đứng vào hàng đầu đ ộ i ngũ nhà toán học giới Đ.Hinbe sinh ra, lớn lên, học tập t i thành phố Rêningxbec (bây Caliningrat) Sau bồo vệ luận án năm 1885, ơng trớ thành phó giáo sư (từ 1886—1892) r i giáo sư (1895) t i trường đ i học cùa thành phố T năm 1896 đến mất, ông giáo sư cùa T r n g Đ i học n ổ i tiếng Ghettinghen Hinbe cống hiến nhiều phát minh quan trọng nhiều lĩnh vực khác n h đ i số, lý thuyết số, giồi tích hình học, lơgic tốn, vật lý lý thuyết Ơng khơng sáng tạo nhiều lý thuyết chung quan trọng, mà đống t h i giồi nhiều toán cụ thề Chẳng hạn hình học v i phân ơng chứng minh định lý khó bất ngờ Trong khơng gian ba chiều, mặt có độ cong âm số có điềm kì dị Thiên tài tốn học ơng chí cịn in dấu vào cồ lĩnh vực mà ông không nghiên cứu, n h tôpô đại cương chẳng hạn Năm 1899 xuất «Các co- sị hình học» cùa Hinbe Cơng trình tin!: tế tiếp tục hồn 'thiện vấn đề tiên đề hình học thê kỷ X I X mò' chương m i lịch sử phương pháp tiên đ ề Hinbe không phù nhận 151 sỏ- thực t i ễ n cùa t i ê n đ ề , n h n g ơng địi hòi c h ú n g p h ả i đ ợ c d i ễ n đạt n h m ộ t sỡ cùa lý t h u y ế t , k h ô n g cho p h é p m ộ t t r ự c giác n o xen vào t r ì n h chứng m i n h định lý t tiên để đ ó B i mà b n chất cùa đ ố i t ợ n g cùa lý t h u y ế t không mang m ộ t n ộ i dung cầ t h ề n o Các đ ố i t ợ n g đưọ'c h i ể u n h t h ế n o đ ợ c , m i ễ n c h ú n g thỏa m ã n h ệ tiên đ ề nêu Vì vậy, H i n b e m đ ầ u sách m ì n h câu : « C h ú n g ta h ã y h ì n h đ u n g ba hệ thống đ ố i t ợ n g , m c h ú n g ta g ọ i đ i ề m , đ n g t h ằ n g , mặt p h ă n g » , lúc chuyện t r ị , ơng t h n g n ó i đùa h ì n h học, thay cho đ i ề m , đ n g thẳng, mặt phảng ta có t h ể nói b n , ghế n h ữ n g cốc bia N h ta b i ế t , ơclit đ ị n h xây d ự n g h ì n h học p h n g p h p tiên đ ề N h ữ n g số định đ ề tiên đ ề cùa ô n g "nêu q u ít, k h n g đủ đề làm sỏcho h ì n h bọc, bời n h i ề u chứng m i n h cùa m ì n h ông k h ô n g thể t r n h k h ỏ i vận dầng đ ế n t r ự c giác T r o n g l ầ n xuất đ ầ u tiên cùa «Cơ sờ h ì n h học Hinbe n ê u m ộ t h ệ tiên đề đầy đ ủ , bao gồm nhổm đồng t h i ông t i ế n h n h n g h i ê n cứu m ố i quan hệ cùa n h ó m đ ó , vai t r ị cùa m ộ t số tiên đề, n h ữ n g vấn đ ể khác n h : p h i m â u thuẫn, đầy đ ù c ù a hệ tiên đ ề , độc lập m ộ t tiên đề n o đ ố i v i tiên đ ề l i M ộ t phần quan t r ọ n g cống t r ì n h n g h i ê n c ứ u h ì n h học t h ế kỷ nhằm soi sáng vấn đ ề đ ó Cần nói t h ê m vài l i p h t t r i ề n p h n g p h p tiên đề : quy tắc suy d i ễ n d ù n g đ ể chửng m i n h đ ị n h lý t h n g đ ợ c h i ể u ngầm, mà k h ô n g 152 phát biền cách xát đ i dạng tốn học Đó t h ứ lơgic thừa nhận rộng r ẵ i Hỉnh thức hóa quy lắc suy diễn biểu thị chúng d i dạng thuật toán vỹn đề thuộc phạm vi lơgic tốn, cịn việc chi cách rõ ràng quy tắc phần hợp thành cùa phương pháp tiên đề Hinbe nhà toán học làm cho phương pháp tiên đề phát triền đến trình độ cao M ộ t ngành học xuầt vào đầu kỹ_ X X tơpơ học Cũng nhiều ngành tốn học đ i khác, tôpô học bắt nguồn từ t tướng nhà toán học thiên tài Riman Thực vậy, Riman n g i nêu khái niệm không gian tôpô, nêu vỹn đề cùa lý thuyết độc lập khơng gian Õng cịn xác định bỹt biến (các số betti) đóng vai trị quan trọng phát triển cùa tôpô học, nêu lên ứng dựng vào giải tích tốn học (tính chu kỳ tích phân aben) Nếu theo so- đồ hình học Klêin, ta có thề định nghĩa tồpơ học khoa học nghiên cứu bỹt biến nhóm phép đồng phôi (là phép biến đổi liên tục, mà phép ngược l i liên tục), bỹt biến gọi bỹt biến tịpơ, hay tính chỹt tơpơ Những tính chỹt tơpơ nỹy sinh từ phạm vi tốn học rỹt xa với hình học: lý thuyết hàm biến phức Đ i v i hàm vậy, Riman xây dựng mặt (sau gọi diện Riman), mà thực chỹt cần quan tâm đến tính chỹt tơpơ chúng mà thơi 153 N h tôpô học bắt đầu nghiên cứu t nửa sau cùa kỷ X I X Tuy nhiên có chi thực trổ thành độc lập từ sau cơng trình tiêng cùa nhà toán học Pháp lừng danh H Poăngcarê (18541912) giáo sư Trường Đ i học Xoocbon t năm 1881 đến 1912 Poăngcarê nhà bác học, mà khơng mệt nhà tốn học ký X I X — trừ Riman — có thề sánh kẩp sản quý báu mà ông đề l i cho toán học cùa ký X X Những nghiên cứu tôpô ơng xuầt bàn tác phẩm « Giải tích vẩ trí» (Analysis situs) năm tập «Bổ sung» vào tác phàm (1895-1904) Trong tập -(Bồ sung)) thứ 5, ơng viết «tơi có nhiều dẩp nghiên cứu Analysis situs Bây trỏ" lại vấn đề lần với lịng tin có thề giải đến nhờ cồ gắng nỗ lực liên tục, xứng đáng vó-i cổ gắng l i Trong tác phẩm cùa Poăngcarê nêu lên phương pháp đế nghiên cứu đa tạp tơpơ, phương pháp phân hoạch tam giác phân hoạch đ n hình Bỏ-i vậy, hướng nghiên cứu cùa Poăngcarê thường gọi tôpô tổ hợp Nhờ phương pháp hiệu lực nói trên, sau nhà toán học tiến hành nghiên cứu cách có hệ thống đa tạp tơpơ có số chiều 2, lớn Có thể nói tôpô tồ hợp cùa Poăngcarê tiền thân môn tơpơ đại số đại ngày nay, bồi vào thời kỳ này, vấn đề cùa tơpị liên hệ vái lý thuyết hàm đại số tích phân, thực chất ẩn náu mối liên hệ với đại số M ố i liên hệ chi thực trị nên rõ ràng vào năm thứ hai mươi mà môn đại số bước vào thời kỳ mới, chuyển t ítkhoa học 154 giải p h n g t r ì n h đ i số sang đ i số « t r u t ợ n g » hay « h i ệ n đ i mà đ ố i t ợ n g cấn t r ú c đ i số n h nhóm, vành, trường M ô n đ i số m i cho ta công cụ r ấ t h i ệ u l ự c đ ể n g h i ê n c ứ u k h ô n g gian t ô p N ó cho p h é p ta t ì m thấy chất đ i số quan h ệ h ì n h hồc, n h cho p h é p m rộng kết trưó-c b ị hạn chế m ộ t cách k h ô n g t h ự c chất Có t h ề lấy t h í d ụ việc chuyển t tổng đ n h ì n h v i h ệ số n g u y ê n sang tổng v i h ệ số thuộc m ộ t vành t ù y ý (tức n h ó m đồng đ i ệ u đưồ'c x é t m ộ t cách tổng q u t h n , v i h ệ số t ù y ý) đ ã cho p h é p p h t biểu định lý đ ố i ngẫu cách tồng q u t h n P h n g p h p tôpô đ i số, nói m ộ t cách t h ô s , việc chuyển phạm t r ù không gian t ô p ô sang p h m t r ù n h ó m , tốn t ô p ô trỏn ê n m ộ t tốn lý thuyết n h ó m H i ệ n nay, t ô p ô đ i số m ộ t ngành toán hồc quan t r n g h i ệ n đ i n h t ; n ó đạt đ ợ c nhiều kết r ự c r ỡ t ì m thấy n h i ề u ứ n g dụng n g n h hồc k h c M ộ t p h n g h n g khác đề n g h i ê n c ứ u t ô p ô t h n g đ ợ c g i t ô p ô — lý thuyết tập h ợ p , t p ó đ i c n g ; n ó n g h i ê n c ứ u lý thuyết chung cùa k h ô n g gian t ô p ô t n g q u t , dựa vào n h ữ n g t h n h t ự u lý t h u y ế t tập h ợ p C ă n g t o K h i n i ệ m t ô p ô hồc k h i n i ệ m liên tục ( p h é p đ n g p h ô i đ ợ c định nghĩa n h k h i n i ệ m n y ) T r o n g t h ế kỷ X I X , khái n i ệ m đ ợ c n g h i ê n c ứ u m ộ t cách sâu sắc t r o n g cơng t r ì n h cùa C ô s i , B ô r u a n ô , A b e n T u y k h i n i ệ m liên tục t h n g đ x x é t t r o n g m ộ t k h ô n g gian m e t r i c , t ứ c k h ô n g gian m t r o n g đ ó cổ cách đ o khoảng cách hai đ i ề m , t r o n g l ú c đ ó đ ố i v i 155 không gian tôpô, metric bất biến Bỏ-i vậy, cần phải nêu lên định nghĩa không gian tôpô, phép biến đ ổ i liên tục cùa chúng, cho không cần phải sư đụng khái niệm metric Haoxđooc giải vấn đề Ồng đưa định nghĩa cùa không gian tôpô p h n g pháp tiên đề, khái niệm khái niệm «lân cận)) (cũng cần phải nói rằng, khái niệm «lân cận» lần Hinbe nêu « Cơ sỏ* hình học», theo l i ơng, phải «khái niệm đề xây dớng Analysis Situs») T sổ tiên đề (đối v i không gian tôpô tổng quát Số tiên đề chi có 4) Haoxđooc xây dớng (trên nét lớn) lý thuyèt chung khơng gian tơpơ Có thề nói cơng trình Haoxđooc xuất phát điềm cùa nghiên cứu sau tịpơ đại x n g Trong năm 1915 1916, thuyết tương đ ố i Anhxtanh đòi dã làm cách mạng thớc sớ vật lý có ảnii hướng sâu sắc t i hình học Trong xây dớng lý thuyết tương đ i tổng quát, Anhxtanh đưa hình học vi phân Riman vào vật lý cich dùng phép tính tenxơ Như biết, phép tính terixơ nghiên cứu từ thè kỷ X I X b i nhà tốn học Risi-Ccbaxtrơ Lêvi Sivita, có Anhxtanh m i làm cho trớ nên phổ biến rộng rãi phát t r i ể n T đó, nhà tốn học ý nhiều vào việc nghiên cứu đa tạp Riman !à «trong », cách nhúng khơng gian c l i t Như đầu bắt chương phong phú lịch sứ phát triển hình học Lêvi-Sivita đưa vảo hình học Riman khái niệm đơn giản quan trọng : khái niệm chuyền dời song song Nhờ khái niệm đó, khơng gian Riman có thề nói việc chuyền dời vector từ điềm t i điềm khác dọc theo cung Tuy nhiên khác v i không gian c l i t , kết cùa chuyền dời nói chung phụ thuộc vào đường cong Lêvi-Sívita chứng minh kết hay : T i điềm M không gian Riman ta xét phần tử hai chiểu đường kín đủ nhỏ phần từ hai chiều đó, bao chung quanh M K h i đó, ả(f độ lệch cùa vectơ chuyển dời quanh đường cịng, cịn đ g diện tích giới hạn bỏ-i đường cong kín, ả 72 Hình học thề ký X V I I 82 Hình học * ký X V I I I 103 Hình học ỏ- thè kỳ X I X 129 Vài nét vẽ hình học vào năm ký X X đầu c a 150 VĂN LỊCH Người NHƯ SỬ CƯƠNG HÌNH b i ê n tập : Tương N g i s ứ a b i : Nguyễn 20.200 t i Quan Thiết Nhà máy in Trăn Phú Khô x — Sổ in 028 Xong tháng - 7 G i — HỌC Hùng — Thành S ố X B : 15 lưu c h i ề u — phó Hị C h í M 77/KHKT t h n g nSm 1977 ... nhít : hình học giải tích, hình học vi phân, hình Mbc xạ ảnh, hình học hypecbơờic, hình học Riman, hình học họa hình tơpơ học Tron? vấn đề nói đèn, tác giá không nêu lên kết nhà hình học tác...VĂN NHƯ LỊCH HÌNH CƯƠNG sử HỌC NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ K Ỹ T H U Ậ T Hà N ộ i — 1977 LỜI NÓI BẦU Nhà xuất khoa học kỹ thuật có ý định cho mắt độc giả sách lịch sứ tốn học, theo mơn: hình học, đại... việc học tập, tìm hiếu nghiên cứu tốn học cùa tầng lớp niên Tác giả nhận viết cuồn ? ?Lịch sư hình học? ? vái nỗi lo lắng băn khoăn xuất phát từ hiếu biềt ỏi cá mặt hình học lần mặt lịch sư toán học