Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trong dạy học bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC THÂN THẾ LUÂN PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNGTRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG - TRUNG BÌNH NHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 01 11 Hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn HÀ NỘI – 2016 i MỤC LỤC Lời cảm ơn i Mục lục ii Danh mục bảng v Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 Tƣ 1.2 Tƣ sáng tạo 10 1.2.1 Khái niệm sáng tạo 10 1.2.2 Đặc trưng tư sáng tạo 12 1.3 Dạy học Bất đẳng thức chƣơng trình phổ thơng 15 1.3.1 Chương trình sách giáo khoa 15 1.3.2 Thực trạng việc học Bất đẳng thức trường Trung học phổ thông 15 1.3.3 Một số nhận xét giáo viên dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân 16 1.4 Một số biện pháp phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh 17 1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng thao tác trang bị cho học sinh tri thức phương pháp hoạt động nhận thức 17 1.4.2 Bồi dưỡng yếu tố cụ thể tư sáng tạo cho học sinh 18 1.4.3 Rèn luyện bồi dưỡng lực phát vấn đề cho học sinh 18 1.4.4 Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh trình lâu dài cần tiến hành tất khâu trình dạy học 20 Kết luận chƣơng 21 Chương Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân 22 2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân 22 2.2 Một số kĩ thuật thƣờng sử dụng 23 2.2.1 Kĩ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM-GM 23 2.2.2 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng 29 ii 2.2.3 Kỹ thuật nhân thêm số đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng 31 2.2.4 Kỹ thuật ghép đối xứng Error! Bookmark not defined 2.2.5 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo Error! Bookmark not defined 2.2.6 Kĩ thuật đổi biến số Error! Bookmark not defined 2.2.7 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu Error! Bookmark not defined 2.3 Phát triển tƣ sáng tạo học sinh thông qua việc rèn luyện thao tác tƣ Error! Bookmark not defined 2.4 Phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát triển yếu tố tƣ sáng tạo Error! Bookmark not defined 2.4.1 Phát triển tính mềm dẻo thơng qua việc giải bất đẳng thức Error! Bookmark not defined 2.4.2 Phát triển tính nhuần nhuyễn thơng qua việc giải bất đẳng thức Error! Bookmark not defined 2.4.3 Phát triển tính độc đáo thơng qua việc giải bất đẳng thức Error! Bookmark not defined 2.4.4 Phát triển tính trau chuốt thông qua việc giải bất đẳng thức Error! Bookmark not defined 2.5 Phát triển tƣ sáng tạo học sinh thông qua việc vận dụng bất đẳng thức AM-GM để giải toán khácError! Bookmark not defined 2.5.1 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân để giải phương trình Error! Bookmark not defined 2.5.2 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân để giải hệ phương trình Error! Bookmark not defined Kết luận chƣơng Error! Bookmark not defined Chương Thực nghiệm sư phạm Error! Bookmark not defined 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệmError! Bookmark not defined 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm Error! Bookmark not defined 3.4 Đánh giá thực nghiệm Error! Bookmark not defined 3.5 Kết luận chung thực nghiệm sƣ phạmError! Bookmark not defined Kết luận chƣơng Error! Bookmark not defined Kết luận kiến nghị Error! Bookmark not defined Tài liệu tham khảo 33 iii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Kết kiểm tra sau thực nghiệm Error! Bookmark not defined Bảng 3.2 Xử lí số liệu Error! Bookmark not defined Bảng 3.3 Tỉ lệ kiểm tra Error! Bookmark not defined Biểu đồ 3.1 Biểu đồ kết tỉ lệ kiểm tra Error! Bookmark not defined iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta sống làm việc kỷ XXI, với phát triển vũ bão khoa học cơng nghệ Có thành tựu đó, phấn đấu học hỏi không ngừng cá thể với lãnh đạo, quản lý định hướng đắn cấp lãnh đạo Tri thức thành tố quan trọng định nề kinh tế đất nước Con người yếu tố trung tâm xã hội tri thức, chủ thể kiến tạo không ngừng Giáo dục đóng vai trị thên chốt việc đào tạo người phát triển xã hội Trong hiến pháp nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam khẳng định: “Giáo dục quốc sách hàng đầu” Bất đẳng thức kì thi tuyển sinh vào lớp 10, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, chọn Học sinh giỏi Tỉnh, Học sinh giỏi Quốc gia, Học sinh giỏi khu vực Quốc tế coi “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành nhiều lời giải thảo luận nhiều diễn đàn tạp chí Tốn học Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân (Arithmetic Means-Geometric Means (AM-GM)), phần kiến thức quan trọng khơng thể thiếu nhiều tốn đại số bất đẳng thức Nó thực cơng cụ hiệu có ứng dụng rộng rãi giải toán, phương pháp chuẩn mực ta gặp phải bất đẳng thức thông thường Các tài liệu viết Bất đẳng thức nhiều, nhiên số chuyên đề viết riêng việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có tính hệ thống tính phân loại tính sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi ôn luyện cho học sinh thi Đại học cao đẳng cần thiết Do chọn chuyên đề nhằm phần đáp ứng yêu cầu góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng Học sinh giỏi tỉnh nhà Hiê ̣n vấn đề “Rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo” lĩnh vực nghiên cứu mẻ mang tính thực tiễn cao Nó nhằm tìm phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả sáng tạo để rèn luyện, tăng cường khả tư cá nhân hay tập thể cộng đồng làm việc chung vấn đề hay lĩnh vực Do đó, yêu cầu cấp thiết đặt hoạt động giáo dục phổ thông phải đổi phương pháp dạy học, đổi phương pháp dạy học Tốn vấn đề quan tâm nhiều Sư phạm học đại đề cao nguyên lý học công việc cá thể, thực chất trình tiếp nhận tri thức phải trình tư bên thân chủ thể Vì nhiệm vụ người giáo viên mở rộng trí tuệ, hình thành lực, kỹ cho học sinh làm đầy trí tuệ em cách truyền thụ tri thức có Việc mở rộng trí tuệ địi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng, lực thân để giải vấn đề mà học sinh gặp phải trình học tập sống Hơn thời đại bùng nổ công nghệ thông tin theo hướng ngày đại hóa, người ngày sử dụng nhiều phương tiện khoa học kĩ thuật đại lực suy luận, tư sáng tạo giải vấn đề trở nên khẩn thiết trước Khơng có nhà giáo dục lại từ chối việc dạy cho học sinh tư Nhưng làm để đạt điều đó? Do vậy, rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh mục tiêu mà nhà giáo dục phải lưu tâm hướng đến Bên cạnh đó, thực tiễn cịn cho thấy q trình học Tốn, nhiều học sinh cịn bộc lộ yếu kém, hạn chế lực tư sáng tạo: Nhìn đối tượng tốn học cách rời rạc, chưa thấy mối liên hệ yếu tố tốn học, khơng linh hoạt điều chỉnh hướng suy nghĩ gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng cách máy móc kinh nghiệm có vào hồn cảnh mới, điều kiện chứa đựng yếu tố thay đổi, học sinh chưa có tính độc đáo tìm lời giải tốn Từ dẫn đến hệ nhiều học sinh gặp khó khăn giải tốn, đặc biệt tốn địi hỏi phải có sáng tạo lời giải tập bất đẳng thức Do vậy, việc rèn luyện phát triển lực tư cho học sinh nói chung lực tư sáng tạo cho học sinh phổ thơng qua dạy học tốn nói riêng yêu cầu cấp bách Từ trước đến có nhiều tác giả ngồi nước quan tâm đến vấn đề bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh Nhà toán học tiếng Polya sâu nghiên cứu chất trình giải tốn, q trình sáng tạo tốn học cho mắt tác phẩm Sáng tạo tốn học Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu luận văn “Phát triển tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông dạy học bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân” Mục đích nghiên cứu Đề xuất phương án dạy học bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân theo định hướng sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh, nâng cao hiệu trình dạy học Nhiệm vụ nghiên cứu - Làm rõ sở lí luận tư duy, tư sáng tạo rèn tư - Nghiên cứu nội dung dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân - Đề xuất biện pháp dạy học giải tập bất đẳng thức theo định hướng bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh - Thực nghiệm sư phạm để tìm hiểu khó khăn giáo viên học sinh dạy học giải tập bất đẳng thức, kiểm chứng giả thuyết khoa học dạy học giải tập toán bất đẳng thức theo định hướng sáng tạo trường Trung học phổ thông Giả thuyết nghiên cứu Khi tổ chức hoạt động dạy hoạt động học bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho học sinh Trung học phổ thông theo định hướng sáng tạo luận văn rèn luyện tính sáng tạo học sinh, qua nâng cao chất lượng dạy học trường Trung học phổ thông Phƣơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lí luận Nghiên cứu tài liệu lí luận tư duy, tư sáng tạo tư toán học Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức có liên quan đến bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân 5.2 Nghiên cứu thực tiễn Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm dạy theo chủ đề Phỏng vấn, điều tra ý kiến học sinh, giáo viên việc dạy học phần 5.3 Thực nghiệm sư phạm Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp 10 trường Trung học phổ thông Lạng Giang số - Bắc Giang Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tập bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân chương trình tốn Trung học phổ thơng dạng tốn nâng cao Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương Cơ sở lí luận thực tiễn Chương Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân Chương Thực nghiệm sư phạm Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tƣ Tư trình tâm lý phản ánh thuộc tính, chất mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật vật tượng thực khách quan mà trước ta chưa biết [29] Theo từ điển triết học “Tư duy, sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt não, q trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm, phán đoán, lý luận Tư xuất trình hoạt động sản xuất xã hội người đảm bảo phản ánh thực cách gián tiếp, phát mối liên hệ hợp quy luật Tư tồn mối liên hệ tách rời khỏi hoạt động lao động lời nói, hoạt động tiêu biểu cho xã hội loài người tư người thực mối liên hệ chặt chẽ với lời nói kết tư ghi nhận ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư trình trừu tượng hố, phân tích tổng hợp, việc nêu lên vấn đề định tìm cách giải chúng, việc đề xuất giả thiết, ý niệm Kết cuối tư ý nghĩ đó” Từ rút đặc điểm tư - Tư sản phẩm não người trình phản ánh tích cực giới khách quan - Kết trình tư ý nghĩ thể qua ngôn ngữ - Bản chất tư phân biệt, tồn độc lập đối tượng đuợc phản ánh với hình ảnh nhận thức qua khả hoạt động người nhằm phản ánh đối tượng - Tư trình phát triển động sáng tạo - Khách thể tư phản ánh với nhiều góc độ khác từ thuộc 10 tính đến thuộc tính khác, phụ thuộc vào chủ thể người Tư hình thức nhận thức lí tính người Về mặt tâm lí tư q trình tâm lí phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ bên có tính chất quy luật vật tượng thực khác quan mà trước người chưa biết 1.2 Tƣ sáng tạo 1.2.1 Khái niệm sáng tạo Các nhà nghiên cứu đưa nhiều quan điểm khác tư sáng tạo Theo tác giả [12] “Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán điều kiện cần thiết tư sáng tạo, đặc điểm mặt khác sáng tạo tư sáng tạo Tính sáng tạo tư thể rõ nét khả tạo mới, phát vấn đề mới, tìm hướng mới, tạo kết Nhấn mạnh khơng có nghĩa coi nhẹ cũ” Tư sáng tạo dạng tư độc lập, tạo ý tưởng độc đáo có hiệu giải vấn đề cao Ý tưởng thề chỗ phát vấn đề mới, tìm hướng mới, tạo kết Tính độc đáo ý tưởng thể giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc Tùy theo mức độ tư duy, người ta chia thành ba loại hình: Tư tích cực, tư độc lập, tư sáng tạo, mức độ tư trước tiền đề tạo nên mức độ tư sau Có thể biểu thị mối quan hệ ba loại hình tư sau: Tư sáng ta ̣o tạo tạo Tư độc lập Tư tích cực 10 20 1.4.4 Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh trình lâu dài cần tiến hành tất khâu trình dạy học Phát triển lực tư sáng tạo trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết tiết học sang tiết học khác, năm sang năm khác tất khâu trình dạy học, nội khóa hoạt động ngoại khóa Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp rèn luyện khả tư sáng tạo việc tốn học hóa tình thực tế, việc viết báo toán với đề toán tương tự sáng tác, cách giải khai thác từ toán giải 20 21 Kết luận chƣơng Luận văn nêu khái niệm tư duy, tư sáng tạo Đưa thực trạng việc học bất đẳng thức trường Trung học phổ thơng, từ luận văn đưa số biện pháp phát triển tư sáng tạo cho học sinh 21 22 Chƣơng RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG TRUNG BÌNH NHÂN 2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân a) Các đại lượng trung bình hai số không âm Với hai số không âm a, b Kí hiệu A trung bình cộng hai số a, b ab G  ab trung bình nhân hai số a, b a  b2 trung bình tồn phương hai số a, b H 1  a b trung bình điều hịa hai số dương a, b Ta có bất đẳng thức Q  A  G  H Chứng minh Từ ab ab  ab , a  ab  b  ,  ab a  b  ta suy 2 hay A  G Từ  a  b    a  2ab  b   a  b  2ab hay Q    a  b2    a  b   hay Q  A Mặt khác (1) a  b2 a  b  2 (2)  1 1 2   ab    0   1 b a b ab  a  a b 22 23 hay G  H Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q  A  G  H Dấu “=” bất đẳng thức xảy a  b - Mở rộng cho n số không âm a1, a2 , a3 , , an ta có a  a  a3   an A n trung bình cộng n số a1, a2 , a3 , , an (3) G  n a1a2a3 an trung bình nhân n số a1, a2 , a3 , , an a12  a2  a32  an Q n trung bình toàn phương n số a1, a2 , a3 , , an n H 1 1      a1 a2 a3 an trung bình điều hịa n số dương a1, a2 , a3 , , an Ta có bất đẳng thức Q  A  G  H Dấu “=” xảy a1  a2  a3   an Chú ý A, G, Q, H theo thứ tự viết tắt từ arithmetic mean (trung bình cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình tồn phương) harmonic mean (trung bình điều hịa) b) Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân Cho n số thực khơng âm a1, a2 , a3 , , an , n   , n  ta ln có a1  a2  a3   an  n n a1.a2 a3 an Dấu “=” xảy a1  a2  a3   an 2.2 Một số kĩ thuật thƣờng sử dụng 2.2.1 Kĩ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM-GM Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” bất đẳng thức AMGM quy tắc tính đồng thời dấu “=”, quy tắc biên quy tắc đối xứng sử dụng để tìm điểm rơi biến Ví dụ 2.2.1 Cho a  Tìm giá trị nhỏ 23 24 S a a Sai lầm thường gặp S a 1  a  a a hay a  , điều vô lí giả thiết a  a Phân tích Chọn điểm rơi, ta phải tách hạng tử a hạng tử để cho áp a dụng bất đẳng thức Cauchy dấu “=” xảy a  Có hình thức tách sau 1       1  1  a ,  a ; ,  a ;     ,  a;  ,  a;   a a   a   a     a   Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi 1  1  a;  a  ,   a  a   Hay  , suy    Lời giải Ta có a 3a a 3a 3.2 S   2  1  a 4a 4 Dấu “=” xảy a  Bình luận Ta sử dụng điều kiện dấu “=” điểm rơi a  dựa quy tắc biên để tìm   Ở ta thấy tính đồng thời dấu “=” việc áp dụng bất 3a a đẳng thức AM-GM cho số , đạt giá trị lớn a  2, tức 4 a chúng có điểm rơi a  Ví dụ 2.2.2 Cho a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a a Phân tích Sơ đồ chọn điểm rơi a  , ta có a 1  ,    a2 Suy   Sai lầm thường gặp Dấu “=” xảy a  24 25 S a  a  7a a 7a 7a    2    a 8 a  8 a 8a 7.2      4 8.2 Suy S  đáp số cách giải mắc sai lầm việc đánh giá mẫu số, a  2   8a 8.2 Nguyên nhân sai lầm Mặc dù chọn điểm rơi a  S  đánh giá sai Để thực lời giải ta cần phải kết hợp với kĩ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S cho sau sử dụng bất đẳng thức AM-GM khử hết biến số a mẫu số 25 26 Lời giải  a a  6a a a 6a a      33    a 8 a  8 a 8 6.2    Với a  S  Ví dụ 2.2.3 Cho a, b, c  0, a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 S abc   a b c Phân tích Sai lầm thường gặp 1 1 1 S  a  b  c     6 a.b.c  a b c a b c Suy S  Nguyên nhân sai lầm 1 S  Khi a  b  c     hay a  b  c   trái với giả a b c thiết Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S đạt điểm rơi a  b  c  Sơ đồ điểm rơi  a  b  c   1 2 abc        2     2  a  b  c  S a Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau    a   b   c    abc        2 1     a b c 26 27  hay    Vậy ta có cách giải theo sơ đồ sau Lời giải Ta có 1 1  S   4a  4b  4c       a  b  c  a b c  Suy 1  6 4a.4b.4c   a  b  c  a b c 15 15 S  12   Với a  b  c  S  2 2 Ví dụ 2.2.4 Cho a, b, c  0, a  b  c  Tìm giá trị nhỏ 1 S  a   b2   c  b c a Phân tích Sai lầm thường gặp S  33 a2  1 b2  c2  2 b c a  1     a    b    c   b  c  a         a   b   c     b   c   a   Suy S  Nguyên nhân sai lầm 1 S  a  b  c     hay a  b  c   (trái với a b c giả thiết) Tìm tịi lời giải Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S đạt điểm rơi a  b  c  27 28  2 a  b  c   4      16      4 2  a  b  c  Lời giải S  a2  1 1 2    b    16 b  16b 16 c  16 c2   16 16  c2  1   16 a 16 a    16  1717 a 1 1  17 b 2 17 16 b 16 b2 16 c 16 c2     16 16  1717 c 1 16 a 16 a2   16 a2 b2 c2 17 17  17  17  17 1616 b32 1616 c32 1616 a32  a b c   17  17 16  17 16  17 16  16 c 16 a   16 b  a b c   17 3 17 16 17 16 17 16  16 b 16 c 16 a    a 17  17 17 5  16 a b c 2.17 2a 2b2c 17   17 15  2a  2b  2c  2.17       17 17 Dấu “=” xảy a  b  c  Suy S  2 28 29 Bình luận Việc chọn điểm rơi cho toán giải cách đắn mặt toán học cách làm tương đối cồng kềnh Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi cho bất đẳng thức Cauchy-Schwarz tốn nhanh gọn hơn, đẹp Trong toán dùng kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng, chiều dấu dấu bất đẳng thức không phụ thuộc vào chiều đánh cịn phụ thuộc vào biểu thức đánh giá nằm mẫu số hay tử số 2.2.2 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Nếu đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân đánh giá với dấu a  b, đánh giá từ tổng sang tích, hiểu thay dấu a  b dấu a.b ngược lại đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng thay dấu a.b dấu a  b Và cần phải ý biến tích thành tổng, tổng phải triệt tiêu hết biến, cịn lại số Ví dụ 2.2.6 Chứng minh ab  cd   a  c b  d  , Lời giải Ta có (1) tương đương với ab   a  c  b  d  a, b, c, d  (1) cd   a  c b  d  Theo bất đẳng thức AM-GM ta có 1 a b  1 c b  1 a c bd  VT          1  1    a  c b  c   a  c b  d   a  c b  c  Bình luận Nếu giữ nguyên vế trái biến tích thành tổng ta khơng thể triệt tiêu ẩn số Suy ta có phép biến đổi tương đương (1) sau biến tích thành tổng ta phân thức có mẫu số Dấu “  ” gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta phải đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Ví dụ 2.2.7 Chứng minh (1) c  a  c   c  b  c   ab , a  c  0; b  c  Lời giải Ta có (1) tương đương với 29 30 ca  c  c b  c   ab ab Theo bất đẳng thức AM-GM ta có ca  c c b  c   c  a  c    c b  c    a b            ab ab  b a   a b   a b  Ví dụ 2.2.8 Chứng minh  abc  1  a 1  b 1  c  , a, b, c  (1) Lời giải Ta có biến đổi sau, (1) tương đương 1.1.1  abc  1  a 1  b 1  c  hay 1.1.1 abc 3  1  a 1  b 1  c  1  a 1  b 1  c  Theo bất đẳng thức AM-GM ta có 1 1  1 a b c  VT          1  a  b  c  1  a  b  c   a  b  c  1       1  a  b  c  Dấu “=” xảy a  b  c  Ta có tốn tổng qt Chứng minh n   a1a2 .an  n b1b2 .bn  n  a1  b1  a2  b2   an  bn  , ai , bi  i  1, n Bài tập 1) Chứng minh 16ab(a  b)2  (a  b)4 , a, b  Hướng dẫn Ta có 2  4ab  (a  b)2   ( a  b)  16ab(a  b)  4.(4ab)(a  b)    4  ( a  b)       2) Cho a, b, c  0; a  b  c  Chứng minh abc  a  b  b  c  c  a   729 Hướng dẫn Sơ đồ điểm rơi Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng dấu “=” bất đẳng thức xảy a  b  c  Nhưng thực tế ta cần quan tâm sau sử dụng bất đẳng 2 30 31 thức AM-GM ta cần suy điều kiện xảy dấu “=” a  b  c Do ta có lời giải sau a  b  c abc  a  b  b  c  c  a       3   a  b  b  c   c  a       3 1  2      3 729     Trong kĩ thuật đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng ta thấy thường nhân thêm số để cho sau biến tích thành tổng tổng triệt tiêu biến Đặt biệt tốn có thêm điều kiện ràng buộc ẩn số việc nhân thêm số em học sinh dễ mắc sai lầm Sau ta lại nghiên cứu thêm phương pháp phương pháp nhân thêm số, chọn điểm rơi việc đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Do trình bày phương pháp điểm rơi nên mục ta trình bày gộp phần 2.2.3 Kỹ thuật nhân thêm số đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng Ví dụ 2.2.10 Chứng minh a b  1  b  a  1  ab, a, b  Phân tích Bài hồn tồn chia vế cho ab, sau áp dụng phương pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng phần trước trình bày, nhiên ta áp dụng phương pháp mới, phương pháp nhân thêm số Lời giải Ta có  b  1   ab , a  b  1  a  b  1.1  a 2  a  1   ab b  a  1  b  a  1.1  b 2 ab ab Ta suy a  b  1  b  a  1  +  ab 2 Dấu “=” xảy b   1; a   hay a  2, b  Bình luận Ta nhận thấy việc nhân thêm số “1” vào biểu thức khơng hồn tồn tự nhiên, tai lại nhân thêm “1” mà “2” Thực chất vấn 31 32 đề chọn điểm rơi bất đẳng thức theo quy tắc biên a  b  Nếu không nhận thức rõ vấn đề học sinh dễ mắc sai ví dụ sau đây, Ví dụ 2.2.11 Cho a, b, c  0, a  b  c  Tìm giá trị lớn S  a  b  b  c  c  a Phân tích Sai lầm thường gặp ab   a  b .1  bc   b  c .1  ab  bc  b  c   , c  a   c  a .1  2 a  b  c  ca   ca  Ta suy  a  b  1, 2 Nguyên nhân sai lầm Dấu “=” xảy a  b  b  c  c  a hay a  b  c  trái với giả thiết Tìm tịi lời giải Do vai trò a, b, c biểu thức điểm bất đẳng thức a  b  c  từ ta dự đốn max S  2 a  b  b  c  c  a  , suy số cần nhân thêm Vậy ta có lời giải 3 sau: Lời giải Ta có a  b   3 3, ab   a  b   2 b  c   3 3, bc   b  c   2 c  a   3 ca   c  a   2 Suy 32 33  a  b  c   3   ab  bc  ca  2 Bình luận Bài tốn cho đầu theo yêu cầu sau học sinh có định TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ giáo dục đào tạo, Đại số 10 bản, NXB Giáo dục, 2008 [2] Bộ giáo dục đào tạo, Bài tập Đại số 10 bản, NXB Giáo dục, 2008 [3] Bộ giáo dục đào tạo, Sách giáo viên Đại số 10 bản, NXB Giáo dục, 2008 [4] Bộ Giáo Dục Đào Tạo, Chuẩn kiến thức kĩ toán lớp 10, NXB Giáo dục, 2010 [5] Nguyễn Hữu Châu, Dạy học giải vấn đề môn tốn, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, 1995 [6] Nguyễn Hữu Châu, Các phương pháp dạy học tích cực, Tạp chí khoa học Xã hội, 1996 [7] Nguyễn Hữu Châu, Dạy học toán nhằm nâng cao hoạt động nhận thức học sinh, Tạp chí Thơng tin Khoa học Giáo dục, 1997 [8] Nguyễn Hữu Châu, Dạy học hợp tác, Tạp chí Thơng tin Khoa học Giáo dục, 2005 [9] Hồng Chúng, Rèn luyện khả sáng tạo tốn học trường phổ thông, Nhà xuất Giáo Dục, 1969 [10] Vũ Dũng, Từ điển Tâm lý học, trung tâm Khoa học xã hội nhân văn quốc gia, Viện tâm lý học, NXB Khoa học xã hội, Hà Nội, 2000 [11] Phan Dũng, Sáng tạo đổi mới, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2012 [12] Vũ Cao Đàm, Giáo trình phương pháp luận nghiên cứu khoa học NXB Giáo dục, Hà Nội, 2007 [13] Nguyễn Thị Phương Hoa, Lý luận dạy học đại, Tập giảng cho học viên cao học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2006 [14] Nguyễn Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội, Hà Nội, 2007 [15] Phan Huy Khải, Các phương pháp giải toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2011 [16] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2007 [17] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng, Các giảng bất đẳng thức Côsi, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [18] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên) Các giảng bất đẳng thức Côsi, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 33 34 [19] Bùi Văn Nghị, Giáo trình phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội, 2008 [20] Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Phương pháp dạy học mơn Tốn tập 1, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1992 [21] Nguyễn Vũ Thanh, 263 toán bất đẳng thức chọn lọc, NXB Giáo Dục, 1997 [22] Nguyễn Vũ Thanh, Bất đẳng thức Giá trị Nhỏ Nhất, NXB Giáo Dục, 2006 [23] Nguyễn Minh Tuấn, Lý thuyết sở hàm lồi bất đẳng thức cổ điển, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2014 [24] Danton J.Adventures in thinking.Australia: Thomas Nelson, 1985 [25] G.Polya, Giải toán nào?, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997 [26] G.Polya, Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997 [27] G.Polya, Toán học suy luận có lý, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997 [28] Nguyễn Đức Tấn, Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số, NXB Giáo Dục, 2003 [29] Nguyễn Quang Uẩn, Tâm lý học đại cương, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội, 1997 34 ... triển tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thơng dạy học bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân? ?? Mục đích nghiên cứu Đề xuất phương án dạy học bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình. .. 21 Chương Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân 22 2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân 22 2.2 Một số... DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG TRUNG BÌNH NHÂN 2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân a) Các đại lượng trung bình hai số không