Bài 1, Chương III, Đại 11: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để chứng minh mệnh đề chứa biến với số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện cho trước, ta làm bước : Bước 1: Chứng minh với n nhỏ thỏa mãn đề Bước 2: GiảSỐ thiếtBÀI quy nạp B MỘT TẬP với n = k Bước 3: Sử dụng giả thiết bước để chứng minh với n = k + Dạng 1: Chứng minh đẳng thức B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đẳng thức n(n + 1) Bài Chứng minh với số tự nhiên n1 ta ln có: + + + + n = Bài Chứng minh với số tự nhiên n1 ta ln có: + + + + (2n − 1) = n Bài Chứng minh với số tự nhiên n1 ta ln có: Bài Chứng minh với số tự nhiên n1 ta ln có: 2n Bài Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta có: 12 + 22 + + (n − 1)2 + n = Bài Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta có: 22 + 42 + + (2n)2 = Bài Chứng minh: 1 1 n +1 (1 − )(1 − )(1 − ) (1 − ) = 16 2n n Bài Chứng minh: 1.22 + 2.32 + 3.42 + + (n − 1).n2 = Bài Chứng minh: + + 27 + + 3n = (3n +1 -3) n Bài 10 Chứng minh với số tự nhiên Bài 11 Chứng minh với số tự nhiên n 1, n 1, Bài 12 Chứng minh với số tự nhiên Bài 13 Chứng minh: 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) = Bài 14 Chứng minh với số tự nhiên n(n + 1)(2n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) với số tự nhiên n2 n(n2 − 1)(3n + 2) , n 12 ( + + + + (2n − 1) = ta có: n ( n + 1) + + + + n = n 1, ta có: ta có: với 3 ) n 4n − ta có: n ( n + 1)( n + ) n 1, n(3n 1) 2n 2n (3n 1) 3 n 2n + + + + = − 3 3n 4.3n n 1 1 n + + + + = 1.5 5.9 9.13 ( 4n − 3)( 4n + 1) 4n + Bài 15 Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta có: = + 2n − − − − 25 ( 2n − 1) − 2n Bài 16 Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta có: 1 n + + + = 1.2 2.3 n(n + 1) n + Bài 17 Chứng minh: 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Bài 18 Chứng minh: 1.22 + 2.32 + 3.42 + + (n − 1).n2 = n(n2 − 1)(3n + 2) 12 Bài 19 Chứng minh: 1 n(n + 3) + + + = 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) Với với n n Với n Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức Bài Chứng minh: Bài Chứng minh: với số tự nhiên n 2n +1 2n + với số tự nhiên n Bài Chứng minh: 1+ 3n 3n + Bài Chứng minh: Bài Chứng minh: + n 1+ + + n 2 n + với số tự nhiên với số tự nhiên n 1 1 13 + + + + 1+ n + n + n n + n 24 n 1 n 1 với số tự nhiên n2 n Bài Chứng minh với số tự nhiên Bài Chứng minh với n , n 1, ta có: 1 1 + n ta có bất đẳng thức: Bài Chứng minh: 2.4.6.2n 2n + 1.3.5 ( 2n − 1) Bài Chứng minh: 1+ 1.3.5 ( 2n − 1) với số tự nhiên 1 1 + + + 2− n n n 2n 2n + n Bài 10 Chứng minh: Bài 11 Chứng minh: 2n + 2n + 5, (n Bài 12 Chứng minh: 3n −1 n(n + 2); (n Bài 13 Chứng minh: 2n −3 3n − 1; (n Bài 14 Chứng minh: 2n + 1 2n + 3n + Bài 15 Chứng minh: 1+ * ) * * 2.4.6.2n ,n 4) ,n 8) 1 + + + n ;(n n −1 * ,n 2) n 1; 2n + * * Dạng 3: Chứng minh chia hết Bài Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: n3 − n chia hết cho Bài Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: n3 + 3n2 + 5n chia hết cho Bài Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: 4n + 15n − chia hết cho Bài Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: n3 + 11n chia hết cho Bài Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: 7.22n−2 + 32n−1 chia hết cho Bài Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: n7 − n chia hết cho Bài Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: n(2n2 − 3n + 1) chia hết cho Bài Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: 11n+1 + 122n−1 chia hết cho 133 Bài Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: 16n – 15n – chia hết cho 225 Bài 10 Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: A(n) = n + 3n − ln chia hết cho Bài 11 Chứng minh với số tự nhiên Bài 12 Bài 13 Bài 14 Bài 15 Bài 16 n 1, ta có: Bn = ( n + 1)( n + )( n + ) ( 3n ) 3n Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: 13n − chia hết cho Chứng minh: n5 − n chia hết cho với n Chứng minh: 16n − 15n − chia hết cho 225 với n Chứng minh: 4.32n+1 + 32n − 36 chia hết cho 64 với n Chứng minh rằng: với n , ta ln có ( n + 1)( n + ) ( n + n ) chia hết cho Bài 17 Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta có: 3n + 15n chia hết cho Dạng 4: Trắc nghiệm Bài Cho A S3 Sn Sn P Sn Sn Pn n n B 12 13 1 C n n 2n Mệnh đề sau đúng? D * n 2n 1 n2 n 2n C với n * với n Sn n 3n 2 n S3 Mệnh đề sau đúng? C n 2n Sn P * n S2 với 1 1 2 32 B với n n Sn B n n S2 B n 2n Bài Cho A n n Bài Cho A 12 12 Bài Cho A Sn Sn n n D Sn n n Mệnh đề sau đúng? D C Sn n 2n Mệnh đề sau đúng? P n n D P n 2n 2n Bài Với A C 12 22 n n n n * , hệ thức sau sai? n2 n n 2n B D 22 42 n2 2n 62 2n 2n n 2n Dạng 5: Dạng khác Bài Tìm tất số tự nhiên n cho 3n Bài Tìm tất số tự nhiên n cho 2n 8n 2n Bài Tìm tất số tự nhiên n cho 2n n2 4n Bài Tìm tất số tự nhiên n cho 3n 2n 7n 1 1 ; n N* Bài Tính tổng Sn 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 1 1 ; n N* Bài Tính tổng Sn 1.5 5.9 9.13 (4n 3)(4 n 1) Bài Cho số thực x Chứng minh (1 x )n nx; n N* LỚP TỐN THẦY NGƠ LONG Ngã Quảng Oai - 0988666363 - Dạy tâm (Học thử tháng, 200k/8 buổi, Hs xa 180k, Ngô Quyền 160k, Hộ nghèo 100k) Tên lớp Sĩ số Lịch học Nội dung Lớp 12(2k3) 68 17h15 thứ 09h15 CN Bài 1- Hình học: Hình nón, khối nón Lớp 11 (2k4) 63 17h15 thứ 07h15 CN Bài – Dãy số, cấp số cộng Lớp 10(2k5) 45 17h15 thứ 17h15 CN Bài – Bất phương trình bậc Lớp (2k6) 20 17h15 thứ 17h15 thứ Giải tốn cách lập phương trình Lớp (2k7) 35 17h15 thứ 14h00 CN Bài 1, kỳ II Thầy Ngô Long – Giảng viên – 16 năm kinh nghiệm luyện chấm thi đại học Nhận dạy nhóm nhỏ, nhận nhóm cam kết khơng đỗ đền tiền gấp đôi cho lớp lớp 12 ... Bài 10 Chứng minh: Bài 11 Chứng minh: 2n + 2n + 5, (n Bài 12 Chứng minh: 3n ? ?1 n(n + 2); (n Bài 13 Chứng minh: 2n −3 3n − 1; (n Bài 14 Chứng minh: 2n + 1 2n + 3n + Bài 15 ... buổi, Hs xa 18 0k, Ngô Quy? ??n 16 0k, Hộ nghèo 10 0k) Tên lớp Sĩ số Lịch học Nội dung Lớp 12 (2k3) 68 17 h15 thứ 09h15 CN Bài 1- Hình học: Hình nón, khối nón Lớp 11 (2k4) 63 17 h15 thứ 07h15 CN Bài – Dãy... n(n + 1) n + Bài 17 Chứng minh: 1. 2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1) (n + 2) = n(n + 1) (n + 2)(n + 3) Bài 18 Chứng minh: 1. 22 + 2.32 + 3.42 + + (n − 1) .n2 = n(n2 − 1) (3n + 2) 12 Bài 19 Chứng minh: 1 n(n