the tich-da dién

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LAI VUNG 2 Tổ Tốn  Lưu Tuấn Hiệp Tài liệu lưu hành nội bộ Năm 20108 Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay MỤC LỤC PHẦN I . THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ 1. Thể tích khối chóp, khối lăng trụ2-11Các Sai Lầm và Thiết Sót Khi Tính Giới Hạn. 2. Kỹ Năng Giải Tốn Trắc Nghiệm Về Giới HạnThể Tích khối chóp, khối lăng trụ liên quan đến góc 12-16 I. Giới hạn dãy có dạng ( ) ( ) n P n u Q n = , Giới hạn hàm số dạng ∞ ∞ …… 10 - 11 II. Giới hạn hàm số dạng 0 0 và dạng ∞ − ∞ ………………………… 12 - 13 3. Một Số Câu Hỏi Trắc Nghiệm Về Giới HạnTỷ số thể tích 16 17-19 4. Một Số Câu Hỏi Trắc Nghiệm Về Giới HạnDiện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp 16 20-21 Bài tập tự rèn luyện .22-23 PHẦN II . MẶT TRỊN XOAY 1. Cơng Thức, Ví dụ .24-26 2. Bài tập tự rèn luyện 277 PHẦN III . MỘT SỐ ĐỀ THI Một đề thi học kỳ , tốt nghiệp liên quan đến thể tích .28-308 Phụ lục Đáp số .318 Tài liệu lưu hành nội bộ 2 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Phần I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ Trong trường phổ thông , Hình học Không gian là một bài toán rất khó đối với học sinh, do đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác đònh giả thuyết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành giải bài toán. Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích của khối đa diện ( thể tích khối chóp, khối lăng trụ). Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau: Cho hình chóp Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy A C B S Đa giác đáy : − Tam giác vuông − Tam giác cân − Tam giác đều − Hình vuông, chữ nhật − Hình chóp đều A C B S O - Hình chóp tam giác đều - Hình chóp tứ giác đều Thông thường bài toán về hình lăng trụ: .V B h = B: diện tích đáy h : đường cao Lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 Lăng trụ xiên ABC.A 1 B 1 C 1 A 1 A ⊥ (ABC) A 1 G ⊥ (ABC) Tài liệu lưu hành nội bộ 3 Lưu Tuấn Hiệp A C B B1 C1 A1 H A1 B CA B1 C1 G Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN A.Các Tính Chất : a. Tam giác : − Diện tích của tam giác * µ 1 . . .sin 2 ABC S AB AC A ∆ = * 1 . . 2 ABC S BC AH ∆ = − Các tam giác đặc biệt : o Tam giác vng : + Định lý pitago: 2 2 2 BC AB AC= + + Tỷ số lượng giác trong tam giác vng µ = = Đối sin Huyền b B a µ = = Kề cos Huyền c B a µ = = Đối tan Kề b B c + Diện tích tam giác vng: 1 . . 2 ABC S AB AC ∆ = o Tam giác cân: + Đường cao AH cũng là đường trung tuyến + Tính đường cao và diện tích µ .tanAH BH B= 1 . . 2 ABC S BC AH ∆ = o Tam giác đều + Đường cao của tam giác đều = = 3 . 2 h AM AB ( đường cao h = cạnh x 3 2 ) + Diện tích : 2 3 ( ) . 4 ABC S AB ∆ = Tài liệu lưu hành nội bộ 4 Lưu Tuấn Hiệp h H A B C c a b C B A A B C H B A G C M b. T giỏc Hỡnh vuụng + Din tớch hỡnh vuụng : 2 ( ) ABCD S AB= ( Din tớch bng cnh bỡnh phng) + ng chộo hỡnh vuụng = = . 2AC BD AB ( ng chộo hỡnh vuụng bng cnh x 2 ) + OA = OB = OC = OD Hỡnh ch nht + Din tớch hỡnh vuụng : . ABCD S AB AD= ( Din tớch bng di nhõn rng) + ng chộo hỡnh cha nht bng nhau v OA = OB = OC = OD B. Th Tớch Khi Chúp: + Th tớch khi chúp = 1 . . 3 V B h Trong ú : B l din tớch a giỏc ỏy h : l ng cao ca hỡnh chúp Cỏc khi chúp c bit : Khi t din u: + Tt c cỏc cnh u bng nhau + Tt c cỏc mt u l cỏc tam giỏc u + O l trng tõm ca tam giỏc ỏy V AO (BCD) B Khi chúp t giỏc u + Tt c cỏc cnh bờn bng nhau + a giỏc ỏy l hỡnh vuụng tõm O + SO (ABCD) Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 2 Lửu Tuaỏn Hieọp O B D A C O A B D C h S B A C H A C D M O O C D B A S C.Gúc: Cỏch xỏc nh gúc Gúc gia ng thng d v mt phng (P): o Tỡm hỡnh chiu d / ca d lờn mt phng (P) o Khi ú gúc gia d v (P) l gúc gia d v d / Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD l hỡnh vuụng, SA vuụng gúc vi (ABCD) v gúc gia SC vi (ABCD) bng 45 0 . Hóy xỏc nh gúc ú. Gii Ta cú : = ( )ABCD AC hc SC ã ã ã = = =( ,( )) ( , ) 45 o SC ABCD SC AC SCA Gúc gia hai mt phng (P) v (Q) : o Xỏc nh giao tuyn d ca (P) v (Q) o Tỡm trong (P) ng thng a (d) , trong mt phng (Q) ng thng b (d) o Khi ú gúc gia (P) v (Q) l gúc gia hai ng thng a v b Vớ d 2: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ABCD l hỡnh vuụng, v gúc gia mt bờn vi mt ỏy bng 60 0 . Hóy xỏc nh gúc ú. Gii Gi M l trung im BC Ta cú : (SBC) (ABCD) = BC (ABCD) AM BC (SBC) SM BC ( vỡ ( ) SM ABCD AM hc= ) ã ã ã (( ),( )) ( , ) 60 o SBC ABCD SM AM SMA= = = Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 3 Lửu Tuaỏn Hieọp 45O S C D B A 60 M O S A B C Baứi Toaựn 1.1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng ti B, AB = a 2 , AC = a 3 , cnh bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SB = 3a .Tớnh th tớch khi chúp S.ABC Gii Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh: V tam giỏc ỏy, v ng cao SA (ABC) v v thng ng S dng nh lý pitago trong tam giỏc vuụng Li gii: Ta cú : AB = a 2 , AC = a 3 SB = 3a . * ABC vuụng ti B nờn 2 2 BC AC AB a= = 2 ABC 1 1 . 2 S . . 2. 2 2 2 a BA BC a a = = = * SAB vuụng ti A cú 2 2 SA SB AB a= = * Th tớch khi chúp S.ABC 2 3 . 1 1 . 2 . 2 . . . . 3 3 2 6 S ABC ABC a a V S SA a= = = Baứi Toaựn 1.2: Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng cõn ti B, AC = a 2 , cnh bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SB = 3a .Tớnh th tớch khi chúp S.ABC Gii Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh: V tam giỏc ỏy, v ng cao SA (ABC) v v thng ng Tam giỏc ABC vuụng , cõn ti B nờn BA = BC v s dng nh lý pitago trong tam giỏc vuụng Li gii: Ta cú : AC = a 2 , SB = 3a . * ABC vuụng, cõn ti B nờn 2 2 AC BA BC a= = = 2 ABC 1 1 S . . . 2 2 2 a BA BC a a = = = * SAB vuụng ti A cú 2 2 SA SB AB a= = * Th tớch khi chúp S.ABC 2 3 . 1 1 . . . . 3 3 2 6 S ABC ABC a a V S SA a= = = Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 4 Lửu Tuaỏn Hieọp A C B S A C B S Baứi Toaựn 1.3: Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC u cnh 2a, cnh bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SB = 5a .Tớnh th tớch khi chúp S.ABC Gii Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh: V tam giỏc ỏy, v ng cao SA (ABC) v v thng ng Tam giỏc ABC u cú ba gúc bng 60 0 v s dng nh lý pitago trong tam giỏc vuụng SAB Li gii: * ABC u cnh 2a nờn AB = AC = BC = 2a 0 2 ABC 1 1 3 S . .sin 60 .2 .2 . . 3 2 2 2 BA BC a a a = = = * SAB vuụng ti A cú 2 2 SA SB AB a= = * Th tớch khi chúp S.ABC 3 2 . 1 1 . 3 . . . . 3. 3 3 3 S ABC ABC a V S SA a a= = = Baứi Toaựn 1.4: Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC cõn ti A, BC = 2a 3 , ã 0 AC 120B = ,cnh bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SA =2a.Tớnh th tớch khi chúp S.ABC Gii Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh: V tam giỏc ỏy, v ng cao SA (ABC) v v thng ng Tam giỏc ABC cõn ti A v = 120 0 Li gii: * ABC cõn ti A, ã 0 AC 120B = , BC = 2a 3 AB = AC = BC = 2a Xột AMB vuụng ti M cú BM = a 3 , = 60 0 AM = 0 3 tan 60 3 BM a a= = 2 ABC 1 1 S . . .2 3 . 3 2 2 AM BC a a a = = = * SA = a * Th tớch khi chúp S.ABC 3 2 . 1 1 . 3 . . . . 3. 3 3 3 S ABC ABC a V S SA a a= = = Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 5 Lửu Tuaỏn Hieọp S B C A M S B C A Baứi Toaựn 1.5: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a 2 , cnh bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SC = 5a .Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD Gii Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh: V ỏy l hỡnh vuụng ( v nh hỡnh bỡnh hnh), cao SA (ABCD) v v thng ng ABCD l hỡnh vuụng ; s dng nh lý pitago trong tam giỏc vuụng Li gii: Ta cú : ABCD l hỡnh vuụng cnh a 2 SC = 5a . * Din tớch ABCD ( ) 2 2 ABCD S 2 2a a= = * Ta cú : AC = AB. 2 = 2. 2 2a a= SAC vuụng ti A 2 2 SA SC AC a= = * Th tớch khi chúp S.ABCD 3 2 . 1 1 2 . . .2 . 3 3 3 S ABCD ABCD a V S SA a a= = = Baứi Toaựn 1.6: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, cnh bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SA = AC = a 2 .Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD Gii Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh: V ỏy l hỡnh vuụng ( v nh hỡnh bỡnh hnh), cao SA (ABCD) v v thng ng Bit AC v suy ra cnh ca hỡnh vuụng (ng chộo hỡnh vuụng bng cnh nhõn vi 2 ) Li gii: Ta cú : SA = AC = a 2 * ABCD l hỡnh vuụng AC = AB. 2 2 AC AB a= = Din tớch ABCD : 2 ABCD S a= * SA = a 2 * Th tớch khi chúp S.ABCD 3 2 . 1 1 . 2 . . . . . 2 3 3 3 S ABCD ABCD a V S SA a a= = = Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 6 Lửu Tuaỏn Hieọp A B D C S A B D C S Bài Toán 1.7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O + Gọi M là trung điểm BC + O là trọng tâm của tam ABC + AM là đường cao trong ∆ ABC − Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABC))  Lời giải: * S.ABC là hình chóp tam giác đều Gọi M là trung điểm BC ∆ ABC đều cạnh 3a , tâm O SO ⊥ (ABC) SA=SB=SC = 2a * ∆ ABC đều cạnh 3a ⇒ AM = 3 3 3. 2 2 a a = ⇒ 2 2 3 AO= . . 3 3 2 a AM a= = ⇒ 2 0 ABC 1 1 3 3 . 3 S . .sin 60 . 3. 3. 2 2 2 4 a AB AC a a ∆ = = = * ∆ SAO vng tại A có 2 2 . 3SO SA AO a= − = * Thể tích khối chóp S.ABC 2 3 . 1 1 3 3 . 3 . . . . 3 3 4 4 S ABC ABC a a V S SA a= = =  Nhận xét: học sinh thường làm sai bài tốn trên − Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì + khơng xác định được vị trí điểm O + khơng hiểu tính chất của hình chóp đều là SO ⊥ (ABC) + khơng tính được AM và khơng tính được AO − Tính tốn sai kết quả thể tích Tài liệu lưu hành nội bộ 7 Lưu Tuấn Hiệp A C B S M O [...]... chóp S BCD theo a Bài 1.2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và đáy 0 là 60 Tính thể tích khối chóp theo a ? Bài 1.3 Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp theo a Bài 1.4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 , các cạnh bên bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Cho... Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a b) Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 1.17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD · Biết AB = 3a, BC = 4a và SAO = 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 1.18 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = a, AC = a... Thể Tích Khối trụ V(T ) = π R 2 h V( N ) = π R2h 3 Ví dụ 2.1: Cho hình trụ có bán kính R = a, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 6a 2 Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ Giải * Mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một hình chữ nhật ⇒ S = l.2 R = 6a 2 ⇒ l= 6a 2 = 3a 2R 2 * Diện tích xung quanh : Sxq = 2π Rl = 2π a.3a = 6π a 2 2 3 * Thể... 3a theo một thiết diện có diện tích S=56a2 Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ Bài 2.2 Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng a Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đă cho Bài 2.3 Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo... cạnh a, cạnh bên SA vng góc · với mặt phẳng đáy Biết BAC = 1200 , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a 6 Đề thi TN 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Tài liệu lưu hành nội bộ 30 Lưu Tuấn Hiệp PHỤ LỤC ĐÁP SỐ Phần I a3 3 1.1 a 1.2 9a3 , R = OA=a... 3 2 2 2 4 * SA = a 3 * Thể tích khối chóp S.ABC VS AMN 1 1 a2 3 a3 = S AMN SA = a 3 = 3 3 4 4 Cách 2 : ( Dùng cơng thức tỷ số thể tích) Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A Do đó theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có VA SMN AS AM AN 1 1 1 = = 1 = VA.SBC AS AB AC 2 2 4 V 1 ⇒ VS AMN = VA.SMN = VA.SBC = S ABC 4 4 2 1 1 4a 3 a 3 = a 3 Ta có : VS ABC = S ABC SA = 3 3 4 3 V a... sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho  Lời giải: ( Dùng cơng thức tỷ số thể tích) S Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S Do đó theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có N M C A VS AMN SA SM SN 1 1 1 = = 1 = VS ABC SA SB SC 2 2 4 1 2 a 3.a 3 VS ABC 3 a3 ⇒ VS AMN = = = 4 4 4 3 ⇒ VA BCNM = 3 VS ABC = 3a 4 4 B Bài Toán 3.3: Cho... khối trụ : V(T ) = Tài liệu lưu hành nội bộ π R 2 h π a 2 a 3 π a3 3 = = 3 3 3 23 Lưu Tuấn Hiệp B · Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, gọi O là tâm của đáy, SAO = 600 1.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 2.Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Giải 0.25 1) Vì S.ABCD đều nên SO ⊥ ( ABCD) 2 Ta có : S ABCD = a ; 0.25 a 2 a 2 a 6 0 · ∆SOA vng tại O... trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên B = S ABC = h = AA’ = a ⇒ V = a2 3 4 a3 3 (đvtt) 4 b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo cơng thức Sxq = 2π R.l R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 2 a 3 a 3 = , l =AA’ =a 3 2 3 ⇒ R= Vậy diện tích cần tìm là Sxq = 2π a 3 a2 3 (đvdt) a = 2π 3 3 Ví dụ 2.6: Một hình nón có đường... của khối chóp đã cho Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau: + Cách 1: o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vng gới với mặt phẳng đáy) o Tính thể tích khối chóp theo cơng thức + Cách 2 o Xác định đa giác đáy o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể . cao ( phi chng minh ng cao vuụng gi vi mt phng ỏy) o Tớnh th tớch khi chúp theo cụng thc + Cỏch 2 o Xỏc nh a giỏc ỏy o Tỡnh cỏc t s di ca ng cao (nu cựng. số thể tích) Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A Do đó theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có . . AS 1 1 1 . . 1. . AS 2 2 4 A SMN A