HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHỐI 11 TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI ÔN TẬP TẠI NHÀ, KIẾN THỨC ĐI QUA MÙA DỊCH COVID-19 TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ @.Nhiệm vụ : Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần tập giới hạn hàm số chương trình Nắm vững phân dạng loại tập giới hạn hàm, đảm bảo tốt kiến thức phần tập giới hạn hàm kỳ thi học kì Chương IV: Giải vấn đề:( tự học ) I/ Nhắc lại kiến thức có liên quan: A-KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa giới hạn hàm số: Cho hàm số f(x) xác định khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a với dãy số (xn), xn �K xn �a , �f  x � n��* mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim � L x�a � Một số định lý giới hạn hàm số: a Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L giới hạn     � � f x � g x � b Định lý 2:Nếu giới hạn: lim � L , lim � M thì: x �a � x �a � � � lim� f  x  �g  x  � f  x � g x � � lim ��lim � L �M x �a � x �a � x �a � � lim� f  x  g  x  � f  x � lim� g x � � lim � � L M x �a � x �a � x �a � � f  x � f  x  lim � L , M �0 x �a � lim  x �a g x � M g x �   lim � x �a � lim f  x   lim� f  x � � L ; f  x  �0,L �0 x �a x �a � c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) g(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) �f(x) �h(x) x K , x a � �f  x � lim� g x � h x � � lim � L � lim � L x�a � x�a � x�a � Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]= � ta nói f(x) dần tới vơ cực x dần tới a, kí �f  x � hiệu: lim � � x�a � b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) = � có lim[f(xn)] = L , ta nói �f  x � f(x) có giới hạn L x dần tới vơ cực, kí hiệu: lim � L x��� c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a n��* , ta nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu : * lim � �f  x � � Nếu đòi hỏi với dãy số (xn), xn < a n�� x�a �f  x � ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: xlim � �a � B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN Trong q trình giải tập giới hạn hàm số ta thường gặp trường hợp tìm giới hạn sau: �f  x � Một : Giới hạn hàm số điểm: lim � x�a � �f  x � Hai là: Giới hạn vô cực hàm số : xlim � ���� �f  x � �f  x � Ba là: Giới hạn bên hàm số: xlim �, xlim � �a � �a � Hiển nhiên lý tơi phân thành trường hợp lúc tơi khơng xét tính chất hàm số mà nhận dạng trường hợp cách nhìn vào giá trị mà x tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải) TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI ĐỀ BÀI Quan sát chia trường hợp Giới hạn vô cực Giới hạn điểm: Giới hạn bên Dạng 2:() Dạng 1: Dạng3: Dạng 1:Tính trực tiếp Dạng 3:() Dạng: �� Dạng �� �� lim f  x  f (a) x�a lim x�a f  x g x Sau tơi trình bày phương pháp chung để giải dạng tập nêu sơ đồ tư  KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM   f x� CỦA HÀM SỐ: lim� � x�a � TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI f  x  f (a) Dạng 1: lim x�a Phương pháp: Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x) Kết luận: lim f  x  f (a) x�a Ví dụ 1:Tính giới hạn sau: 1/ Lim x  x  3 3/ Lim x 1 x2 x�3 2/ Lim ( x   1) x�2 �2x + 3x +1 � 4/ Lim � � x�-1 -x + 4x + � � BÀI GIẢI  x  3 2.2  7 1/ Lim x 2 / Lim ( x�2 / Lim x �3 x   1)  ( 2)    x 1 1   x  3  x  x   2.  1  3.  1    0 4/ Lim  x   x  x      1    1  3   Bài tập tương tự: Bài tập 1:Tính giới hạn sau: + 2x+1) lim(x x �-1 x +1 lim ; x �1 2x - f  x x�a g x + x +1) lim(x x �1  - 4x  lim x �3 x + x +1 lim x �-1 2x + �� � �� (ta tính nhẫm dạng cách thay a vào f(x) �� f  x g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0 nên lim lúc có dạng x�a g x Dạng 2: lim �� �� �� Phương pháp: Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) hàm đa thức ta chia tử số mẫu số cho (x-a) (x-a)2 TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI Chú ý 1:  Nếu f (x)  ax2  bx  ccó nghiệm x1, x2 ta phân tích f (x)  ax2  bx  c  a(x  x1)(x  x2)  Các đẳng thức đáng nhớ: A2  B2   A  B  A  B    A  B  A   AB  B  A3  B3   A  B A2  AB  B2 A3  B3 2 Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp a1 a 1 a1 2/ a  1 a 1 a b 3/ a  b  a b a b 4/ a  b  a b 1/ a  1 5/ a  1 6/ a  1 a a2  a  a a2  a  a b 7/ a  b  a  ab  b2 a b 8/ a  b  a  ab  b2 Ví dụ 2:Tính giới hạn sau: � x3 � 1/Lim � � x�3 � x  2x  � �x  x  � / Lim � x�1 x  x  � � � �x  x  � 3/ Lim � � x�1 � x 1 �   x / Lim � 4x � 5/ Lim � x�0 �  x  � � / Lim x�1 x�0 / Lim x�2 x2 2 x7 3 Bài giải 1 x 2x  x2 TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI x3 1 � x3 � 1/ Lim �  Lim  Lim  � x  x  � x�3  x  1  x  3 x�3 � x�3 x  �x  x  �  x  1  x  3  Lim x   / Lim �  Lim � x�1 x  x  � � x�1 2( x  1)( x  ) x�1 2( x  ) 2 �x  x  �  x  1  x    Lim x   3/ Lim �  Lim � x�1 � x  � x�1  x  1  x  1 x�1 x   1 x / Lim   x  1 � 1 x � 1  Lim x�0 x x x( x  3x  3)  Lim  Lim  x  x  3  x�0 x�0 x    x   1� � x�0 � 4x � 5/ Lim �  Lim x�0 �  x  � � x�0  Lim 4x  x x�0 / Lim x�2 9 x 3 2x   Lim x�2 x2  2 x  2  Lim  x  2  x�2 2x   4x  2x   x  2  9 x 3 9 x 3   Lim x�0    Lim x�2    9 x 3   Lim x�0 x�1 x�1  9 x 3 9 x9   x   24 2x  2x     Lim x�2 2x   x  2  2x  2  2x  2  x     x     x   3  x   3  x   3  x     x    x   3 x7 3  Lim  Lim   x    x  2  x   2 / Lim 4x x2 2  Lim x   x�1 x�1 Bài tập tương tự: Bài tập 2:Tính giới hạn sau:   TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN 1/ Lim x�3 GV: NGUYỄN HỒ HẢI x + 2x - 15 x-3 8/ Lim x�0 2x + 3x +1 x2 - x  2x  9/ Lim x�1 x  12 x  11 2/ Lim x�-1 x3  3/ Lim x�1 x  x  x+   27  4/ Lim x x�0 10/ Lim x�1 6/ Lim x�0 1+ 2x  2x x-3 7/ Lim x�3 x  x  15 15/ Lim x�1 17/ Lim x�1 18/ Lim x�1 19/ Lim x�7 20 / Lim x�3  1 x  1 x  2 x 3 x  49 x2  x   x2  x  x2  x   x2  x 1 x2  x f  x x�a g x Dạng 3: lim x   3x  x 1 13/ Lim x�1 x32 x 1 x2 2 x6 x   2x x 1   x 22/ Lim x�2  x2   x2  x   3x  x3 2 21/ Lim x�1 12/ Lim x�1 14/ Lim x�6 x3   x2  x 16 / Lim x�0 x x 1  x x 1 x 1 1 11/ Lim x�0  x  x-5 Lim x�5 x  5/ x4 2 x 23/ Lim x�3 x 1  3x  2x   x  24/ Lim x�2 x2   x2 �1 � 25/ Lim �  � �  x  x3 � x�1� � 26/ Lim x�1 27/ Lim x�2 28/ Lim x�2 x 1 x3 2 2x x7 3  2x  x2 2 �L � �� � (với L �0 ) Ta tính nhẫm dạng cách �0 � TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI thay a vào f(x) g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên lim x�a f  x g x �L � có dạng � � �0 � Phương pháp: f (x)  L (với L �0 ) Bước 1: Tính lim x�a g(x)  xét dấu biểu thức g(x) với x �a Bước 2: : Tính lim x�a f  x x�a g x Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim f  x x�a g x lim f (x)  L limg(x)  L>0 g(x) > � L>0 g(x) < � L � L0, x � � coi x < đưa x vào khỏi bậc chẵn Chú ý giới hạn sau: 1/ limxk  � 2/ limx2k  � 3/ limx2k1  � 4/ Lim x�� x�� x�� 0 x��� xk Ví dụ 4:Tính giới hạn sau: 1/ 2x  x�� x  Lim 3/ Lim x�� x2  x 1 x 1 x�� x  2/ Lim 4/ Lim x�� x2  x 1 BÀI GIẢI 1/ � 1� x� 2 � 2 2x  x� x  22 Lim  Lim �  Lim x�� x  x�� � � x�� 1 x� 1 � x � x� �1 � 1 x2 �  �  x 1 x x � � x x = =0  Lim = Lim 2/ Lim x�� x  x�� � � x�� 1 x � 1 � x � x � TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN x 1  Lim x�� x 1 3/ Lim x�� GV: NGUYỄN HỒ HẢI � � x2 � 1 � x � x �  Lim x�� x 1 � � 1 � � � x � � 1� x� 1 � � x� � � � � x � 1 � 1 � � � x � � x �  Lim  Lim  1 x�� � � x��  1 x� 1 � x � x� x 1  Lim x�� x 1 / Lim x�� � � x2 � 1 � x � x �  Lim x�� x 1 � 1� x � 1 �  � x �  Lim  Lim x�� � � x�� x� 1 � � x� � � 1 � � � x � � 1� x� 1 � � x� � � 1 � � � x � 1   1 1 1 x Bài tập tương tự: Bài tập 4: Tính giới hạn sau: 2x  1/ Lim x��1 3x 2x2  3x  3/ Lim x�� 3x  x  5 x  2x2  5/ Lim x�� x3  x2  2x  7/ Lim x�� 9/ Lim x�� x3  x  14  x x  x2  11/ Lim x�� 2x  2x2  2x3  x2  2/ Lim x��3x  2x4   x  2  2x  1  1 4x 4/ Lim x��  3x  4 x2  3x  6/ Lim x�� x  6x  4x2  8/ Lim x�� 3x  3x  10/ Lim x2   2x x�� 12/ Lim x��  x4  x2  x3   x  1  TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN f  x g x � Dạng 2: lim x�� GV: NGUYỄN HỒ HẢI  0.� Phương pháp: f  x g x � Ta biến đổi lim x�� f  x  0.� dạng 1: lim x�� g x ��� � � � ��� Sau sử dụng phương pháp dạng để giải Chú ý: A B  A2B với A,B �0 A B   A2B với A �0,B �0 Ví dụ 5:Tính giới hạn sau: ) lim  x+  x �+� x -1 x3 + x 2) lim  x+1 x �- � 2x+1 x + x+2 BÀI GIẢI ) lim  x+  x �+ � x -1  lim x + x x�+� x �+� x3 + x x �+� � �� 1� � 2�� 1� x �1+ � �1- � �1+ � �1- � x x � � � � lim � x � � x �  x �+� � 1� � 1� x �1+ � �1+ � � x � � x �  lim  x+   x -1  lim � 2� � 1� x �1+ �.x �1- � � x� � x� � 1� x �1+ � � x � TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI � 2x+1  lim �  x + x+ x�- �� � 2) lim  x+1 x �- �  x+1  2x+1 � � x + x+ � � � 1� � 1� x �1+ �.x �2+ �  x+1  2x+1   lim � x � � x �   lim x �- � x �- � x + x+ x (1+ + ) x x 2 � 1�� 1� � 1�� 1� x �1+ � �2+ � �1+ � �2+ �  x x � � � �  lim � x � � x �   lim  x �- � x �- � 2 x (1+ + ) 1+ + x x x x Bài tập tương tự: Bài tập 5: Tính giới hạn sau: 2x + x ) lim x x �- � x - x +3 3x +1 x +1 ) lim  - 2x  x �+ � Dạng 3: lim� f  x � g x �� � x �- �  ��� � x�� ) lim x Phương pháp: Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa lim� f  x � g x �về dạng lim x�� f  x  g x f  x  g x � f  x  g x x�� lim x�� � f  x  g x Nếu gặp bậc ta nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp Chú ý: �A neu A �0 A2  A  �  A neu A  � Ví dụ 6:Tính giới hạn sau: 2x +1 3x  x  TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI  x  x  x 2 3/ lim  x+ x  x   ) lim 2) lim  x �� x �+� x2  x  x2   / lim x+ x  x  x �� x �+�   BÀI GIẢI ) lim  x �+ �  lim x �+� x2  x   x    lim x2  x - x2  x2  x  x2  x2  x  x2  x �+� x2  x  x2  x2  x  x2  x �+�  lim  x2 x2  x  x2  � 2� � 2� x� 1 � x� 1 � x � � � x�  lim  lim x �+� x�+� x 1  x 1 x 1  x 1 x x x x � 2� x� 1 � 1 � x� x  lim  lim  x �+� � 2 � x�+� 1  1 x �1  1 � x x x � � x  TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN ) lim  x2  x  x ��  lim x �� GV: NGUYỄN HỒ HẢI  x    lim x2  x - x2  x2  x  x2  x2  x  x2  x �� x2  x  x2   x2  x  x2  x ��  lim  x2 x2  x  x2  � 2� � 2� x� 1 � x� 1 � x � � � x�  lim  lim x �� x�� x 1  x 1 -x  - x  x x x x � 2� � 2� x� 1 � � 1 � x � � � x � 1  lim  lim x �+� � 2 � x�+� 1  1 -x �    � x x x � � x x+  3/ lim  x+ x  x    lim x �+� x �+�  x2  x  x - x2  x   x - x2  x  � 1� x �1  � x -  x  x  1 x 1 � x�  lim  lim  lim x �+� x - x  x  x�+� x - x  x  x�+� x - x   x x2 � 1� � 1� x �1  � x �1  � 1  � x �  lim � x �  lim x  lim x �+� 1 x�+� � 1 1 � x�+� x - x 1  1-   x �1-   � x x x x x x � � 2 = � � 1 � 1� (Vi lim �1  � 1, lim � 11   x �+� x �+ �� x x x � � � � 1  va 11    0) � � x x � TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI Cách   � 1 3/ lim x+ x  x   lim � x+ x   x �+� x �+�� x x � � 1 �  lim x � 1+   2� � � x �+� � x x � � � 1 (Vi lim x = +�, lim � 1+   x �+� x �+�� x x � x+  / lim  x+ x  x    lim x � � x �� � � 1  lim x+ x   � � � x�+�� x x � � � � � � � � � ) �  x2  x  x - x  x   x - x2  x  � 1� x �1  � x -  x  x  1 x 1 � x�  lim  lim  lim x �� x - x  x  x�� x - x  x  x�� x - x   x x2 � 1� � 1� x �1  � x �1  � 1  � x �  lim � x �  lim x  lim x �� 1 x�+� � 1 1 � x�+� x+ x   1+   x �1+   � x x x x x x � �  1  Như sau giải ví dụ nhiều học sinh thắc mắc giải theo cách khơng? Câu trả lời khơng giải theo giải theo cách ta có: TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI   � 1 / lim x+ x  x   lim � x+ x   x �� x ��� x x � � 1  lim x � 11   x �� � x x � Tới kết � � 1  lim x x   � � � x��� x x � � � � � � � � � � � 1 lim x � 11   x �� � x x � � � �sẽ dẫn đến dạng vô định (0 � ) lại quay � dạng trường hợp giới hạn hàm số vô cực mà việc khử dạng vô � ) lại gây khó khăn cho số em học sinh có học lực trung bình, định(0 yếu Bài tập tương tự: Bài tập 6: Tính giới hạn sau: 1) lim  x+1 - x x �+ �  5) lim  7) lim  x +1 + x - 3) lim x �� ) lim x 11/ lim  x ��   4x + + 2x x3  x2  x  x �+� x2 + x - x2 + x �+ �  x + x+1 - x  4) lim  3x + x+1 - x  6) lim  2x +1+ x  ) lim  x + 2x+4 - x - 2x+4  10) lim x  x +1 - x  12 / lim  x+ 3x  x  2) lim 3x + x+1 + x x �� x ��     x �+ � x �� 2 x �+� x �+ � 3 x �� * KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM     �f x � f x� SỐ: lim � �hoặc xlim �.Cần lưu ý học sinh trường hợp đặc x�a � �a � biệt giới hạn điểm, lúc x không tiến đến a mà tiến đến bên trái điểm a ( x � a ), tiến bên phải bên phải điểm a ( x � a ).Bài tập Giới TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN   GV: NGUYỄN HỒ HẢI   �f x � f x� hạn bên: lim � �hoặc xlim �.chủ yếu rơi vào dạng trường x�a � �a � hợp Giới hạn điểm f  x g x �L � �� � (với L �0 ) Ta tính nhẫm dạng cách thay a x�a �0 � f  x vào f(x) g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên lim� lúc x�a g x lim� �L � có dạng � � �0 � Phương pháp: f (x)  L (với L �0 ) Bước 1: Tính xlim �a� g(x)  xét dấu biểu thức g(x) với x  a Bước 2: : Tính xlim �a� x a f  x (bảng xét dấu x�a g x Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim nêu dạng 3- trường hợp Giới hạn điểm) Ví dụ 7: Tính giới hạn sau: 1/ lim x�1 2x  x1 2/ lim x�1 2x  x1 BÀI GIẢI 1/ lim x�1 2x  x1 �lim  2x  3  2.1  1 �x�1 Ta có: � �lim  x  1  va x  1 x  �x�1 Vậy lim x�1 2/ lim x�1 2x   � x1 2x  x1 TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN GV: NGUYỄN HỒ HẢI �lim  2x  3  2.1  1 �x�1 Ta có: � �lim  x  1  va x  1 x  �x�1 Vậy lim x�1 2x   � x1 Bài tập tương tự: Bài tập 7: Tính giới hạn sau: 2x - x �2 x - x2 - 3) lim x �2 x - 1) lim 2x - x �2 x - 2 x -7 4) lim x �1 x -1 2) lim ) lim x �1 x -7 x-1