Sáng kiến kinh nghiệm
MỘT VÀI KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH KHỐI 11 TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng, môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết môn học khác trường phổ thơng như: Lý, Hóa, Sinh, Văn………Như vậy, học tốt mơn Tốn tri thức Tốn với phương pháp làm việc Toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Môn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngồi việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tốn học cần thiết, mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Thực tế nhà trường THPT nay, đặc biệt trường vùng ven không nằm nội ô thành phố trường THPT Thanh Bình chất lượng học tập mơn Tốn học sinh cịn thấp, hầu hết em sợ học môn toán Qua năm giảng dạy nhận thấy học sinh khối 11 học chương giới hạn, đặc biệt phần tập giới hạn hàm số em khó tiếp thu áp dụng mà tập giới hạn hàm số lại ln có mặt đề đề thi học kì, đề thi đại học cao đẳng Vì để giúp học sinh khối 11học tốt phần tập giới hạn hàm số chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải tập giới hạn hàm số ” 2.Mục đích nghiên cứu: Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phân loại dạng tập giới hạn hàm số Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học 3.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 11 trường THPT Thanh Bình 4.Giới hạn đề tài: Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11 Vì tơi tập trung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt phần tập giới hạn hàm số chương trình lớp 11” 5.Nhiệm vụ đề tài: Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần tập giới hạn hàm số chương trình Nắm vững phân dạng loại tập giới hạn hàm, đảm bảo tốt kiến thức phần tập giới hạn hàm kỳ thi học kì, thi đại học cao đẳng Rút kết luận đề xuất số biện pháp tiến hành giúp đỡ đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường THPT 6.Phương pháp nghiên cứu: Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên HS) Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, ……………….) Phương pháp thực nghiệm 7.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2011-2012 NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI 1/ Cơ sở lý luận: 2/ Cơ sở pháp lý đề tài: - Dựa khái niệm, định nghĩa, định lí học chương trình tốn trung học phổ thơng - Dựa khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới trình giải tập - Dựa kết đắn chân lí hiển nhiên hay chứng minh, thừa nhận Chương II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI: 1.Thời gian bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2012-213 2.Khảo sát chất lượng đầu năm: Thông qua khảo sát chất lựơng đầu năm thu kết sau: Trên trung bình 18% 3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết thấp Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh địi hỏi nhiều cơng sức thời gian.Sự nhận thức học sinh thể rõ: - Các em cịn lúng túng việc tìm ảnh hình qua phép biến hình - Kiến thức nắm chưa - Khả tưởng tượng, tư hàm, tư lơgíc cịn hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học Đây mơn học địi hỏi tư duy, phân tích em Thực khó khơng HS mà cịn khó GV việc truền tải kiến thức tới em.Hơn điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động học tập,… nên chưa thực phát huy hết mặt mạnh học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập, chưa thấy ứng dụng to lớn mơn hình học đời sống Đây năm đổi phương pháp dạy học lớp 11 nên phương tiện dạy học chưa đầy đủ Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Việc cần thực tiết học, biện pháp rèn luyện tích cực, phân hố nội thích hợp Tuy nhiên ngồi việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán Chương III: Giải vấn đề: I/ Nhắc lại kiến thức có liên quan: A-KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa giới hạn hàm số: Cho hàm số f(x) xác định khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a với dãy số (xn), xn ∈ K xn ≠ a , ∀n ∈ ¥ * mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim f ( x ) = L x →a Một số định lý giới hạn hàm số: a Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L giới hạn ( ) ( ) b Định lý 2:Nếu giới hạn: lim f x = L , lim g x = M thì: x →a x →a lim f ( x ) ± g ( x ) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = L ± M x →a x →a x →a lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) = L M x →a x →a x →a f ( x ) lim f ( x ) L = lim = x →a ,M≠0 x →a g x ( ) lim g ( x ) M x →a lim f ( x ) = lim f ( x ) = L ; f ( x ) ≥ 0, L ≥ x →a x →a c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) g(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ K , x ≠ a lim g ( x ) = lim h ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) = L x →a x →a x →a Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]= ∞ ta nói f(x) dần tới vơ cực x dần tới a, kí hiệu: lim f ( x ) = ∞ x →a b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ có lim[f(xn)] = L , ta nói f(x) có giới hạn L x dần tới vơ cực, kí hiệu: lim f ( x ) = L x →∞ c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a ∀n ∈ ¥ * , ta nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu : lim f ( x ) Nếu đòi hỏi với dãy số (xn), xn < a ∀n ∈ ¥ * x →a+ lim ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: x →a− f ( x ) B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN Trong trình giải tập giới hạn hàm số ta thường gặp trường hợp tìm giới hạn sau: Một : Giới hạn hàm số điểm: lim f ( x ) x →a Hai là: Giới hạn vô cực hàm số : xlim f ( x ) →±∞ lim Ba là: Giới hạn bên hàm số: x →a+ f ( x ) , x →a− f ( x ) lim Hiển nhiên lý tơi phân thành trường hợp lúc tơi khơng xét tính chất hàm số mà nhận dạng trường hợp cách nhìn vào giá trị mà x tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải) Trong trường hợp nêu lại chia dạng tập định.Ở khái quát trình giải tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư sau: ĐỀ BÀI Quan sát chia trường hợp Giới hạn vô cực Giới hạn điểm: Giới hạn bên Dạng 2:() Dạng 1: Dạng3: Dạng 1:Tính trực tiếp Dạng 3:() Dạng: 0 ÷ 0 Dạng lim f ( x ) = f (a) x →a lim x→ a f ( x) g( x) Sau tơi trình bày phương pháp chung để giải dạng tập nêu sơ đồ tư • KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM ( ) CỦA HÀM SỐ: lim f x x→ a Dạng 1: lim f ( x ) = f (a) x→ a Phương pháp: Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x) Kết luận: lim f ( x ) = f (a) x →a Ví dụ 1:Tính giới hạn sau: 1/ Lim x →2 ( x + 3) x −1 3/ Lim x→3 x + 1/ Lim( x + ) = 2.2 + = x →2 / Lim ( x→ − / Lim x→ 2/ Lim ( x + − 1) x→−2 2x + 3x +1 4/ Lim ÷ x→-1 -x + 4x + BÀI GIẢI x +5 − = ( − +5 − =2 1) 2) x −1 −1 = = x +2 +2 x + x + 2.( − 1) + 3.( − 1) + = = =0 4/ Lim x→−1 − x + x + − ( − 1) + ( − 1) + −3 Bài tập tương tự: Bài tập 1:Tính giới hạn sau: lim(x + 2x+1) x → -1 x +1 lim ; x → 2x - 1 f ( x) g( x) lim(x + x +1) x →1 lim ( - 4x ) x→ x + x +1 lim x →-1 2x + 0 → ÷ (ta tính nhẫm dạng cách thay a vào f(x) x →a 0 f ( x) 0 g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0 nên lim lúc có dạng ÷ x →a g ( x ) 0 Dạng 2: lim Phương pháp: Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) hàm đa thức ta chia tử số mẫu số cho (x-a) (x-a)2 Chú ý 1: • Nếu f ( x ) = ax + bx + c có nghiệm x1 , x2 ta phân tích f ( x ) = ax + bx + c = a( x − x1 )( x − x2 ) • Các đẳng thức đáng nhớ: A2 − B = ( A − B ) ( A + B ) ( = ( A + B) ( A A3 − B = ( A − B ) A2 + AB + B A3 + B − AB + B ) ) Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp a −1 a +1 a −1 2/ a +1 = a −1 a−b 3/ a − b = a+ b a−b 4/ a + b = a− b 1/ a − = 5/ a − = 6/ a +1= a −1 a2 + a + a −1 a2 − a + a−b 7/ a − b = a + ab + b a+b 8/ a + b = a − ab + b Ví dụ 2:Tính giới hạn sau: x+3 1/Lim x→3 x + x − ÷ x2 + 2x − / Lim x→1 x − x − ÷ x2 + x − 3/ Lim ÷ x→1 x −1 ( 1+ x) / Lim 4x 5/ Lim x→0 + x − ÷ / Lim x→1 x→0 / Lim x →2 x+2 −2 x+7 −3 Bài giải −1 x 2x − x−2 1/ Lim x→3 x + 2x - 15 x-3 8/ Lim x→0 2x + 3x+1 x2 - x − 2x −1 9/ Lim x→1 x − 12 x + 11 2/ Lim x→-1 x3 − 3/ Lim x→ x − x + ( x+ ) − 27 4/ Lim x x→0 10/ Lim x→1 6/ Lim x→0 2x −1 − x x −1 x +1 −1 11/ Lim x→0 − x + 12/ Lim x→1 1+ 2x − 2x x + − 3x + x −1 13/ Lim x→1 x-5 Lim x→5 x − 5/ x+4 −2 x x+3 −2 x −1 x-3 7/ Lim + x − 15 x→3 x 14/ Lim x→6 x3 + − 1 +x x x−2 −2 x−6 22/ Lim x→ 15/ Lim x→ 1 16 / Lim x→ x ( +x − −x ) −x −2 −x − x +5 − x +5 18/ Lim x + −2 x→ 17/ Lim x→ 19/ Lim x→ 2− x− −49 x 20 / Lim x→ 21/ Lim x→ Dạng 3: lim x →a x −2 x +6 − x +2 x − −4 x +3 x − +2 x − x −x x f ( x) g( x) x +2 − x x − − −x 23/ Lim x→ x + − 3x − x + − x +6 24/ Lim x→ − x2 + − x +2 25/ Lim − ÷ 1 −x ÷ x→ 1 −x3 26/ Lim x→ 27/ Lim x→ − 28/ Lim x→ x− x + −2 −x x +7 − 3 − 2x + x +2 −2 L → ÷ (với L ≠ ) Ta tính nhẫm dạng cách 0 thay a vào f(x) g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên lim x →a L lúc có dạng ÷ 0 f ( x) g( x) Phương pháp: Bước 1: Tính lim f ( x ) = L (với L ≠ ) x →a Bước 2: : Tính lim g( x ) = xét dấu biểu thức g(x) với x ≠ a x →a Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim x →a f ( x) g( x) f ( x) g( x) lim f ( x ) = L lim g( x ) = L>0 g(x) > L>0 g(x) < L +∞ −∞ −∞ L x →4 2 lim4 ( x − ) = va ( x − ) > (∀x ≠ 4) x→ x+2 Vay lim = +∞ x →4 ( x − 4) 3x + x →−2 x + ( ) ( x + 8) 3/ lim / lim x →3 x −5 ( x − 3) Ta có: lim ( x − 5) = −2 < x →3 2 lim3 ( x − 3) = va ( x − 3) > (∀x ≠ 3) x→ x−5 Vay lim = −∞ x →4 ( x − 3) 3x + x →−2 x + ( ) x3 + 3/ lim ( ) 3x + x →−2 x + ( ) ( x + 2) x2 − 2x + = lim ( ) 3x + = lim x →−2 ( x + 2) ( x2 − 2x + 4) Ta có: lim ( x + 1) = −5 < x →−2 2 2 lim2 ( x + ) x − x + = va ( x + ) x − x + > (∀x ≠ −2) x →− 3x + Vay lim = −∞ x →−2 x + ( ) x3 + ( ) ( ( ) ) Bài tập tương tự: Bài tập 3: Tính giới hạn sau: 1/ lim x →2 x+2 ( x − 2) 3/ lim x →−2 / lim x →−2 2x + ( x + 2) x3 + ( x + 2) x +1 x →−3 x + ( ) x2 + 4x + / lim ( ) • KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA ( ) HÀM SỐ: lim f x x→ ∞ Dạng 1: lim x →∞ f ( x) ∞ → ÷ g( x) ∞ Phương pháp: Chia tử mẫu cho xk với k lũy thừa cao tử mẫu Chú ý x → +∞ coi x>0, x → −∞ coi x < đưa x vào khỏi bậc chẵn Chú ý giới hạn sau: 1/ lim x k = +∞ / lim x k = +∞ 3/ lim x k +1 = −∞ / Lim x →+∞ x →−∞ x →−∞ =0 x →±∞ x k Ví dụ 4:Tính giới hạn sau: 1/ 2x +1 x→−∞ x − Lim 3/ Lim x→+∞ x2 − x +1 x −1 x→+∞ x − 2/ Lim 4/ Lim x→−∞ x2 − x +1 BÀI GIẢI 1/ 1 x2 + ÷ 2+ 2x +1 x x = =2 Lim = Lim = Lim x→−∞ x − x →−∞ 2 x→−∞ 1− x 1 − ÷ x x 1 1 x2 − ÷ − x −1 x x = Lim x x = =0 = Lim 2/ Lim x→+∞ x − x→+∞ 1 x→+∞ 1− x 1 − ÷ x x x −1 = Lim x→+∞ x +1 3/ Lim x→+∞ x 1 − ÷ x 1 − ÷ x x = Lim x→+∞ x +1 1 x 1 + ÷ x 1 x 1 − ÷ x = Lim = Lim x→+∞ x→+∞ 1 x 1 + ÷ x x −1 = Lim x→−∞ x +1 / Lim x→−∞ 1 − ÷ x = =1 1 1+ x x 1 − ÷ x 1 − ÷ x x = Lim x→−∞ x +1 1 x 1 + ÷ x − x 1 − ÷ − 1 − ÷ x x −1 = Lim = Lim = = −1 x→−∞ x→−∞ 1 1+ x 1 + ÷ x x Bài tập tương tự: Bài tập 4: Tính giới hạn sau: 2x − x →+∞ − x x + 3x + 3/ Lim x →−∞ x − x + 2x3 − x2 + x →−∞ x + x + ( x − ) ( x + 1) ( − x ) / Lim x →+∞ ( 3x + ) 1/ Lim / Lim x + 2x2 + 5/ Lim x →+∞ x3 + x2 + 2x + 7/ Lim x →−∞ 9/ Lim x →−∞ x + 3x − / Lim x →−∞ x − x + 4x2 + 8/ Lim x →−∞ x − x3 − x + 14 − x x − x2 − 11/ Lim x →−∞ x2 − + 2x x →−∞ 2x + 12 / Lim 2x + Dạng 2: lim f ( x ) g ( x ) → x →∞ 3x − 10 / Lim x →+∞ ( x4 + x2 + x + ( x − 1) ) ( 0.∞ ) Phương pháp: Ta biến đổi lim f ( x ) g ( x ) → x →∞ f x ( 0.∞ ) dạng 1: lim ( ) → x →∞ g ( x ) Sau sử dụng phương pháp dạng để giải Chú ý: A B = A2 B với A, B ≥ A B = − A2 B với A ≤ 0, B ≥ Ví dụ 5:Tính giới hạn sau: ) lim ( x+ ) x → +∞ x -1 x3 + x 2) lim ( x+1) x→ -∞ BÀI GIẢI 2x+1 x + x+ ∞ ∞÷ ) lim ( x+ ) x → +∞ x -1 = lim x + x x → +∞ ( x+ ) ( x - 1) = 2 1 x 1+ ÷ x 1- ÷ x x 1 x 1+ ÷ x 2 x3 + x lim x → +∞ 2 1 2 1 x 1+ ÷ 1- ÷ 1+ ÷ 1- ÷ x x x x = lim = =1 x→ +∞ 1 1 3 x 1+ ÷ 1+ ÷ x x = lim x → +∞ 2x+1 = lim − x + x+ x→ - ∞ 2) lim ( x+1) x→ - ∞ ( x+1) ( 2x+1) x + x+ 2 1 1 x 1+ ÷ x 2+ ÷ ( x+1) ( 2x+1) = − lim x x = − lim x→ - ∞ x→ -∞ x + x+ x (1+ + ) x x 2 1 1 1 1 x 1+ ÷ 2+ ÷ 1+ ÷ 2+ ÷ − x x x x = − lim = − lim = =− x→ -∞ x→ - ∞ 2 x (1+ + ) 1+ + x x x x Bài tập tương tự: Bài tập 5: Tính giới hạn sau: 3x +1 x +1 ) lim ( 1- 2x ) x →+∞ 2x + x ) lim x x →- ∞ x - x +3 Dạng 3: lim f ( x ) ± g ( x ) → x →∞ ) lim x x →- ∞ ( ∞ ± ∞) Phương pháp: Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa lim f ( x ) ± g ( x ) dạng x →∞ 2x +1 3x + x + f ( x) − g( x) lim f ( x) + g( x ) x →∞ f ( x) − g( x) lim x →∞ f ( x) − g( x ) Nếu gặp bậc ta nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp A neu A ≥ A2 = A = − A neu A < Chú ý: Ví dụ 6:Tính giới hạn sau: ( x + x − x − 2) 3/ lim ( x+ x + x + ) ) lim 2) lim x → +∞ x → −∞ ( x2 + x − x2 − ( / lim x+ x + x + x → +∞ x → −∞ ) ) BÀI GIẢI ) lim x → +∞ = lim x → +∞ ( x +x− = lim x → +∞ x2 + x - x2 + x2 + x + x2 − = lim x → +∞ ( x − ) = lim x x x2 + x − x2 − x → +∞ x2 + x + x2 − x2 + x + x2 − x → +∞ = lim )( x+ x2 + x + x2 − 2 2 x 1+ ÷ x 1+ ÷ x x = lim x → +∞ 1+ + x 1− x 1+ + x 1− x x x x 2 x 1+ ÷ 1+ x x = lim = 2 x → +∞ 1+ + 1− 1+ + 1− ÷ x x x x ) ) lim x → −∞ ( x2 + x − ( x − ) = lim x2 + x + x2 − x → −∞ = lim x → −∞ )( x2 + x + x2 − ) x2 + x + x2 − x → −∞ x2 + x - x2 + = lim x2 + x − x2 − x+ x2 + x + x2 − 2 2 x 1+ ÷ x 1+ ÷ x x = lim = lim x → −∞ x→ −∞ x 1+ + x 1− -x + - x − x x x x 2 2 x 1+ ÷ − 1+ ÷ x x = lim = lim =− x → +∞ 2 x → +∞ 1+ + 1− -x + + − ÷ x x x x ) ( 3/ lim x+ x + x + = x → +∞ ( x+ lim x → +∞ )( x2 + x + x - x2 + x + ) x - x2 + x + 1 x −1 − ÷ x - ( x + x + 1) −x −1 x = lim = lim = lim x→ +∞ x - x + x + x → +∞ x - x + x + x → + ∞ x - x + + x x2 1 1 x −1− ÷ x −1 − ÷ −1− x x x = lim = lim = lim x→ +∞ x→ +∞ x → +∞ 1 1 1 x - x 1+ + 1- + + x 1- + + ÷ x x x x x x 2 = +∞ 1 1 1 (Vi lim − − ÷ = − 1, lim 1- + + ÷ = va 1- + + < 0) x → +∞ x → +∞ x x x ÷ x x Chú ý:Ta giải ví du6 theo cách sau tạm gọi là: Cách ) ( 1 1 3/ lim x+ x + x + = lim x+ x + + ÷ = lim x+ x + + ÷ x → +∞ x → +∞ x x ÷ x → +∞ x x ÷ 1 = lim x 1+ + + ÷ = +∞ x→ +∞ x x ÷ 1 (Vi lim x = +∞ , lim 1+ + + ÷ = ) x → +∞ x → +∞ x x ÷ ) ( / lim x+ x + x + = x → −∞ ( x+ lim x → −∞ )( x2 + x + x - x2 + x + ) x - x2 + x + 1 x −1− ÷ x - ( x + x + 1) −x −1 x = lim = lim = lim x → −∞ x - x + x + x→ −∞ x - x + x + x→ −∞ x - x + + x x2 1 1 x −1− ÷ x −1− ÷ −1− x x x = lim = lim = lim x → −∞ 1 x → +∞ 1 1 x → +∞ x+ x + + 1+ + + x 1+ + + ÷ x x x x x x = −1 • Như sau giải ví dụ nhiều học sinh thắc mắc giải theo cách không? Câu trả lời không giải theo giải theo cách ta có: ) ( 1 1 / lim x+ x + x + = lim x+ x + + ÷ = lim x - x + + ÷ ÷ x → −∞ x → −∞ x x ÷ x→ −∞ x x 1 = lim x 1- + + ÷ x → −∞ x x ÷ Tới kết 1 lim x 1- + + ÷ dẫn đến dạng vơ định (0 ∞ ) lại quay x → −∞ x x ÷ dạng trường hợp giới hạn hàm số vô cực mà việc khử dạng vơ ∞ ) lại gây khó khăn cho số em học sinh có học lực trung bình, định(0 yếu Bài tập tương tự: Bài tập 6: Tính giới hạn sau: 1) lim x →+∞ ( x+1 - x ( 5) lim ( 7) lim ( x +1 + x - 3) lim x →−∞ ) lim x 11/ lim x → +∞ ( ( ) 4x + + 2x x3 + x2 − x ) x →+ ∞ x2 + x - x2 + x → +∞ ( x + x +1 - x ) 4) lim ( 3x + x+1 - x ) 6) lim ( 2x +1 + x ) ) lim ( x + 2x +4 - x - 2x+4 ) 10) lim x ( x +1 - x ) 12 / lim ( x+ 3x − x ) 2) lim 3x + x+1+ x x →−∞ x → −∞ ) ) ) ) x → +∞ x → −∞ 2 x → +∞ x →+∞ 3 x → +∞ * KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM ( ) ( ) SỐ: lim f x lim f x Cần lưu ý học sinh trường hợp đặc x → a+ x → a− biệt giới hạn điểm, lúc x không tiến đến a mà tiến đến bên trái điểm a ( x → a − ), tiến bên phải bên phải điểm a ( x → a + ).Bài tập Giới ( ) ( ) hạn bên: lim f x lim f x chủ yếu rơi vào dạng trường x → a+ x → a− hợp Giới hạn điểm f ( x) g( x) L → ÷ (với L ≠ ) Ta tính nhẫm dạng cách thay a vào x →a 0 f ( x) f(x) g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên lim lúc có x →a± g ( x ) lim ± L dạng ÷ 0 Phương pháp: lim Bước 1: Tính x →a± f ( x ) = L (với L ≠ ) lim Bước 2: : Tính x →a± g( x ) = xét dấu biểu thức g(x) với x < a x>a Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim x →a f ( x) (bảng xét dấu g( x) nêu dạng 3- trường hợp Giới hạn điểm) Ví dụ 7: Tính giới hạn sau: 1/ lim − x →1 2x − x −1 / lim + x →1 2x − x −1 BÀI GIẢI 1/ lim − x →1 2x − x −1 lim ( x − 3) = 2.1 − = −1 < x →1− Ta có: lim ( x − 1) = va x − < ∀x < x →1− Vậy lim − x →1 / lim + x →1 2x − = +∞ x −1 2x − x −1 lim ( x − 3) = 2.1 − = −1 < x →1+ Ta có: lim ( x − 1) = va x − > ∀x > x →1+ Vậy lim − x →1 2x − = −∞ x −1 Bài tập tương tự: Bài tập 7: Tính giới hạn sau: 2x - x→ x - x2 - 3) lim− x→ x - 1) lim+ 2x - x→ x - 2 x -7 4) lim− x →1 x - 2) lim− ) lim+ x →1 x -7 x -1 • MỘT VÀI TRƯỜNG HỢP GIỚI HẠN HÀM SỐ KHƠNG TN THỦ CÁC QUY TẮC TRÊN Ví d 1: III/Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: 1/Kết từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc phõn loi v giải dạng bi nh đà nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hớng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán từ nhn dng hm s : hm s dạng bản, hàm số dạng nhân lượng liên hợp,dạng để lựa chọn phơng pháp phù hợp sở giáo viên đa sai lầm mà học sinh thờng mắc phải trình suy luận,trong bớc tính tích phân từ hớng em ®i ®Õn lêi gi¶i ®óng Sau híng dÉn häc sinh nh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trớc em đà thận trọng tìm trình bày lời giải đà giải đợc lợng lớn tập 2/Kết thực nghiệm: Sáng kiến đợc áp dụng năm học 2009-2010 Bài kiểm tra lớp 11CBO4(nm hc 2011-2012) không áp dụng sáng kiến v lớp 11CBO4(nm hc 2012-2013) áp dụng sáng kiến nh sau: xếp loại giỏi tb yếu đối tợng Sau thực sáng kiÕn häc sinh häc tËp rÊt tÝch cùc vµ høng thú đặc biệt giải toán tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu chất vấn đề không tính rập khuôn cách máy móc nh trớc, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh phần III:kết luận kiến nghị I/ kết luận: Nghiên cứu, phân tích số sai lầm học sinh tính tích phân có ý nghĩa lớn trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy đợc điểm yếu hiểu biết cha thật thấu đáo vấn đề từ ®ã ph¸t huy ë häc sinh t ®éc lËp, lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau thêm kiến thức tính tích phân từ làm chủ đợc kiến thức, đạt đợc kết cao trình học tập kỳ thi tuyển sinh vào trờng đại học, cao đẳng , THCN II/ Kiến nghị: Hiện nhà trờng đà có số sách tham khảo nhiên cha có sách tham khảo viết sai lầm học sinh giải toán Vì nhà tr ờng cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh đợc tìm tòi sai lầm thờng mắc giải toán để em tránh đợc sai lầm làm tập tài liệu tham khảo Kiến thức giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh Nguyễn Thanh Sơn Lê Văn Trờng NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM 2002) Phơng pháp giải toán Tích phân Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam NXB Trẻ ) Phơng pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên Trần Chí Trung NXB Giáo Dục) Sách giáo khoa Giải tích 12 (Ngô Thúc Lanh Chủ biên NXB GD 2000) Phơng pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức Lê Bích Ngọc NXB Hà Nội 2005) Sai lầm thờng gặp sáng tạo giải toán ( Trần Phơng Nguyễn Đức Tấn NXB Hà Nội – 2004) ... thi học kì, đề thi đại học cao đẳng Vì để giúp học sinh khối 1 1học tốt phần tập giới hạn hàm số chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải tập giới hạn hàm số ” 2.Mục đích... phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phân loại dạng tập giới hạn hàm số Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học 3.Đối tượng... lớp 11? ?? 5.Nhiệm vụ đề tài: Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần tập giới hạn hàm số chương trình Nắm vững phân dạng loại tập giới hạn hàm, đảm bảo tốt kiến thức phần tập giới hạn hàm kỳ thi học