Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn hàm số

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 1.1.Lý chọn đề tài Toàn học môn khoa học chương trình giáo dục phổ thơng, hệ thống giáo dục phổ thông nước ta Học tập tốt môn tốn giúp người nói chung học sinh nói riêng có kỹ tư sáng tạo,tính tốn số liệu…, làm cho người linh hoạt động sống công việc Nhiệm vụ giảng dạy mơn tốn học bậc trung học phổ thông thực mục tiêu giáo dục mà Bộ Giáo dục Đào tạo đề ra: Làm cho học sinh đạt dược yêu cầu sau: - Nắm vững kiến thức mơn - Có kỹ để vận dụng kiến thức môn - Có hứng thú học tập mơn - Có cách học tập rèn luyện kỹ hợp lý, đạt hiệu cao học tập môn vật lý - Hình thành học sinh kỹ tư tảng cho môn khoa học khác Thực tế nhà trường THPT nay, chất lượng học tập mơn Tốn ca hc sinh cũn thp, hầu hết em sợ học môn toán Vn t l: Lm th để học sinh tự tin vào thân để giải tốt tốn Vì người giáo viên cần đưa phương án hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức cách tối ưu để học sinh nhanh chóng tiếp thu vận dụng dễ dàng vào tự tin vào thân để giải toán cụ thể: Theo nhận thức cá nhân tôi, việc hướng dẫn học sinh làm tập cần phải thực số nội dung sau: - Phân loại tập phần theo hướng đơn giản để đưa kết - Hình thành cách thức tiến hành tư duy, huy động kiến thức tổng hợp thứ tự bước thao tác cần thực - Hình thành cho học sinh cách trình bày đặc trưng phần kiến thức Vì để giúp học sinh khối 11 học tốt phần tập giới hạn hàm số chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải tập giới hạn hàm số” 1.2.Mục đích nghiên cứu Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phân loại dạng tập giới hạn hàm số Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học 1.3.Đối tượng nghiên cứu Học sinh khối 11 trường THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu sử dụng số phương pháp sau: - Phương pháp điều tra giáo dục - Phương pháp quan sát sư phạm - Phương pháp thông kê, tổng hợp, so sánh - Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài - Phương pháp thực nghiệm PHẦN HAI: NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lí luận - Dựa khái niệm, định nghĩa, định lí học chương trình tốn trung học phổ thơng - Dựa khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới trình giải tập - Dựa kết đắn chân lí hiển nhiên hay chứng minh, thừa nhận 2.2.Thực trạng đề tài 2.2.1.Khảo sát chất lượng đầu năm -Trước đưa vào vận dụng tơi vận dụng vào năm học 2015-2016 thấy có hiệu để kiểm chứng, năm học 2016-2017 tơi tiến hành khảo sát lớp theo bảng sau: Lớp 11C2 11C6 11C3 11C5 Số lượng 45 46 47 46 Bảng số liệu khảo sát trước vận dụng Giỏi Khá T.bình Yếu SL % 7 15,6 15,2 17,0 15,2 SL 14 15 16 15 % SL % 31,1 32,6 34,0 32,6 23 22 22 22 51,1 47,9 46,9 47,9 SL 2 % 2,2 4,3 2,1 4,3 Kém SL % 0 0 0 0 - Đối với lớp 11C5 11C3 tơi dự định sử dụng phương pháp thảo luân nhóm, hỏi đáp hệ thống lại kiến thức chương - Đối với lớp 11C2 11C6 thi cho học sinh dụng đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải tập giới hạn hàm số” 2.2.2.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết thấp Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh địi hỏi nhiều cơng sức thời gian Sự nhận thức học sinh thể rõ: - Kiến thức nắm chưa - Khả tưởng tượng, tư hàm, tư lơgíc cịn hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt Đây mơn học địi hỏi tư duy, phân tích em, nhiều em ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập, chưa thấy ứng dụng to lớn môn học đời sống Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Việc cần thực tiết học, biện pháp rèn luyện tích cực, phân hố nội thích hợp Tuy nhiên việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán 2.3.Giải vấn đề 2.3.1 Nhắc lại kiến thức có liên quan A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa giới hạn hàm số [2] Cho hàm số f(x) xác định khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a với dãy số (x n), xn ∈ K xn ≠ a , ∀n∈ ¥ * mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim f ( x)  = L x→a Một số định lý giới hạn hàm số [2] a Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L giới hạn  f ( x )  = L , lim g ( x )  = M thì: b Định lý 2:Nếu giới hạn: lim   x →a  x →a  lim f ( x ) ± g ( x )  = lim f ( x )  ± lim g ( x )  = L ± M x →a x →a x →a lim f ( x ) g ( x )  = lim f ( x )  lim g ( x )  = L M x →a x →a x →a f ( x )  L f ( x ) lim = x →a  lim = ,M ≠0 x →a g x g ( x )  M ( ) lim  x →a  lim f ( x ) = lim f ( x )  = L ; f ( x ) ≥ 0,L ≥ x →a x →a c Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) g(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x∈ K , x ≠ a lim g( x)  = lim h( x)  = L ⇒ lim f ( x)  = L x→a x→a x→a Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số [3] a.Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (x n), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]= ∞ ta nói f(x) dần tới vơ cực x dần tới a, kí hiệu: lim f ( x)  = ∞ x→a b.Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ có lim[f(xn)] = L , ta nói f(x) có giới hạn L x dần tới vô cực, kí hiệu: lim f ( x)  = L x→∞ c.Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (x n), mà xn > a ∀n∈ ¥ * , ta nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu : lim+  f ( x)  Nếu x→a đòi hỏi với dãy số (xn), xn < a ∀n∈ ¥ ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: lim−  f ( x)  * x→a B PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN Trong q trình giải tập giới hạn hàm số ta thường gặp trường hợp tìm giới hạn sau:  f ( x)  Một : Giới hạn hàm số điểm: lim x→a   f ( x)  Hai là: Giới hạn vô cực hàm số : xlim →±∞   f ( x)  , lim−  f ( x)  Ba là: Giới hạn bên hàm số: xlim →a+  x→a Hiển nhiên lý phân thành trường hợp lúc tơi khơng xét tính chất hàm số mà nhận dạng trường hợp cách nhìn vào giá trị mà x tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải) Trong trường hợp nêu lại chia dạng tập định.Ở khái quát trình giải tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư [1] sau: ĐỀ BÀI Quan sát chia trường hợp Giới hạn điểm: Giới hạn vơ cực Dạng 1: Dạng 1:Tính trực tiếp Dạng Dạng 2:() Dạng3: Giới hạn bên Dạng 3:() Dạng: Sau tơi trình bày phương pháp chung để giải dạng tập nêu sơ đồ tư 2.3.2 Bài toán minh họa số kinh nghiêm giải toán giới hạn: KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA HÀM  f ( x)  SỐ: lim x→ a  f ( x) = f (a) Dạng 1: lim x→a Phương pháp: f ( x) = f (a) Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x) Kết luận: lim x→a Ví dụ 1:Tính giới hạn sau: ( x + 3) 1/ Lim x →2 ( x + − 1) 2/ xLim →−2 x −1 3/ Lim x→3 x +  2x + 3x +1  4/ xLim  ÷ →-1 -x + 4x +   Hướng dẫn: ( x + 3) = 2.2 + = 1/ Lim x →2 ( 2/ xLim → −2 x +5 −1) = (−2) +5 −1 =2 x −1 −1 = = 3/ Lim x→3 x + +2  x + x +  2.( − 1) + 3.( − 1) +  = = =0 4/ xLim →−1 − x + x +  − ( − 1) + ( − 1) + −3   Bài tập tương tự: Bài tập 1:Tính giới hạn sau: + 2x+1) lim(x x → -1 x +1 ; x →1 2x - lim f ( x) g( x) x +1) lim(x+ x →1 ( - 4x ) lim x →3 x + x +1 lim x →-1 2x +  0 →  ÷ (ta tính nhẫm dạng cách thay a vào f(x) g(x)  0 f ( x)  0 Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0 nên lim lúc có dạng  ÷ x→a g( x)  0 Phương pháp: Dạng 2: lim x→ a Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) hàm đa thức ta chia tử số mẫu số cho (x-a) (x-a)2.[2] Chú ý 1: • Nếu f (x) = ax2 + bx + c có nghiệm x1, x2 ta phân tích f (x) = ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) • Các đẳng thức đáng nhớ: A2 − B2 = ( A − B) ( A + B) ( = ( A + B) ( A ) − AB + B ) A3 − B3 = ( A − B) A2 + AB + B2 A3 + B3 2 Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp 1/ a −1= 2/ a +1= 3/ a −1 a +1 a −1 a −1 a−b a− b= a+ b 4/ 5/ a −1= a −1 a +1= a2 + a +1 a −1 a2 − a +1 a−b 6/ a − b = a2 + ab + b2 Ví dụ 2:Tính giới hạn sau:  x+3  1/Lim  x→3  x + x − ÷   x2 + x −  / Lim  ÷ x→1  x −1  4x   / Lim  x→0  + x − ÷   x2 + 2x −  / Lim  x→1 x − x − ÷   ( 1+ x) / Lim x →0 / Lim x →2 −1 x 2x − x−2 Hướng dẫn: x+3 −1  x+3  1/ Lim  = Lim = ÷= Lim x→−3  x + x −  x→−3 ( x − 1) ( x + ) x→−3 x −  x2 + x −  ( x − 1) ( x + 3) = Lim x + = / Lim  = Lim ÷ x→1 x − x −   x→1 2( x − 1)( x + ) x→1 2( x + ) 2  x2 + x −  ( x − 1) ( x + ) = Lim x + = 3/ Lim  = Lim ÷ x→1  x −  x→1 ( x − 1) ( x + 1) x→1 x + ( + x ) + ( + x ) + 1 + x − ( ) + x − ( )   / Lim = Lim x→0 x→0 x x x( x + 3x + 3) = Lim = Lim ( x + x + 3) = x→0 x→0 x 4x   5/ Lim  = Lim x→0  + x − ÷  x→0 = Lim 4x ( x→0 / Lim x →2 = Lim x →2 9+ x +3 x 2x − = Lim x →2 x −2 ( 2( x − 2) ( x − 2) ( 2x + ) 4x ( x→0 ( x − 2) ( = Lim x→2 9+ x +3 9+ x −3 ) = Lim 2x − ( )( ( )( ) 9+ x +3 ) = Lim 4x ( 9+ x +3 9+ x−9 x→0 ) ) + x + = 24 2x + 2x + ) ) = Lim x →2 2x − ( x − 2) ( 2x + ) = 2x + 2 Bài tập tương tự: Bài tập 2:Tính giới hạn sau: / Lim x→3 x + 2x - 15 x-3 / Lim x→-1 / Lim x→0 2x + 3x +1 x2 - x3 −1 / Lim x→1 x − x + x +4 −2 x x − x −1 / Lim x→1 x −12 x + 11 / Lim x→1 x −1 − x x −1 f ( x) g( x) L →  ÷ (với L ≠ ) Ta tính nhẫm dạng cách  0 f ( x) thay a vào f(x) g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên lim lúc x→a g( x) Dạng 3: lim x→ a L có dạng  ÷  0 Phương pháp: f (x) = L (với L ≠ ) Bước 1: Tính lim x→a g(x) = xét dấu biểu thức g(x) với x ≠ a Bước 2: : Tính lim x→a Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim x→a f ( x) x→a g( x) lim f (x) = L limg(x) = lim L> g(x) > +∞ L> g(x) < −∞ L< g(x) > −∞ L< g(x) < +∞ x→a f ( x) g( x) x→a Ví dụ 3:Tính giới hạn sau: 1/ lim x→4 x+ ( x − 4) 2/ lim x→3 Hướng dẫn: 1/xlim →4 x− ( x − 3) 3x + x→−2 x + x3 + ( ) 3/ lim ( ) x+ ( x − 4)  lim ( x + 2) = 6> x+  x→4 => lim = +∞ Ta có:  2 x→4  lim ( x − 4) = va ( x − 4) > (∀x ≠ 4) ( x − 4)  x→4 x− 2/ lim x→3 ( x − 3)  lim ( x − 5) = −2< x−  x→3 => lim = −∞ Ta có:  2 x→4 lim x − = va x − > ( ∀ x ≠ 3)  x→3( ) ( ) ( x − 3)  3x + 3x + 3/ lim = lim x→−2 x + x3 + x→−2 x + x + x2 − 2x + ( ) ( )( ) ( = lim x→−2 ) ( ) 3x + ( x + 2) ( x2 − 2x + 4) Ta có:  lim ( 3x + 1) = − 5< 3x +  x→ − = > lim = −∞  2 2 x→ − x + x + ( )  lim ( x + 2) x − 2x + = va ( x + 2) x − 2x + > 0(∀ x ≠ − 2)  x→ − ( ) ( ) 10 ( ) Bài tập tương tự: Bài tập 3: Tính giới hạn sau: x+ 1/ lim x→2 ( x − 2) 3/ lim x→−2 2x + ( x + 2) 2/ lim x→−2 x3 + ( x + 2) x+ x→−3 x + x2 + 4x + ( ) 4/ lim ( ) KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ: lim f ( x)  x→ ∞ f ( x) ∞ →  ÷ g( x) ∞ Phương pháp: Dạng 1: lim x→∞ Chia tử mẫu cho xk với k lũy thừa cao tử mẫu Chú ý x → +∞ coi x>0, x → −∞ coi x < đưa x vào khỏi bậc chẵn [5] Chú ý giới hạn sau: 1/ limxk = +∞ 2/ limx2k = +∞ x→−∞ x→+∞ 3/ limx2k+1 = −∞ x→−∞ =0 x→±∞ xk 4/ Lim Ví dụ 4:Tính giới hạn sau: 1/ xLim →−∞ 3/ Lim 2x +1 x−2 x→+∞ x2 − x +1 2/ xLim →+∞ x −1 x2 − 4/ Lim x2 − x +1 x→−∞ Hướng dẫn: 1  x 2 + ÷ 2+ x +1 x x = =2 = Lim  = Lim 1/ xLim →−∞ x − x →−∞  2  x →−∞ 1− x 1 − ÷ x x  11 1  1 x2  − ÷ − x −1 x x   x x = =0 = Lim = Lim 2/ xLim →+∞ x − x→+∞  1  x→+∞ 1− x 1 − ÷ x  x      x 1 − ÷ x 1 − ÷ x −1 x  x    3/ Lim = Lim = Lim x→+∞ x + x→+∞ x→+∞ x +1  1 x 1 + ÷ x      x 1 − ÷ 1 − ÷ x  x    = Lim = Lim = =1 x→+∞ x→+∞  1 1+ x 1 + ÷ x x  x −1 = Lim x→−∞ x +1 / Lim x→−∞     x 1 − ÷ x 1 − ÷ x  x    = Lim x →−∞ 1 x +1  x 1 + ÷ x      −x 1 − ÷ − 1 − ÷ x  x  −1   = Lim = Lim = = −1 x→−∞ x →−∞ 1  1+ x 1 + ÷ x x  Bài tập tương tự: Bài tập 4: Tính giới hạn sau: 2x − 2x3 − x2 + 1/ Lim 2/ Lim x→+∞ 1− 3x x→−∞ 3x + 2x4 + ( x − 2) ( 2x + 1) ( 1− 4x) 2x2 + 3x + 3/ Lim 4/ Lim x→−∞ 3x − x + x→+∞ ( 3x + 4) x + 2x2 + 5/ Lim x→+∞ x3 + f ( x) g( x) → ( 0.∞ ) Dạng 2: lim x→∞ x2 + 3x − x→−∞ x4 − 6x + 6/ Lim Phương pháp: f ( x) g( x) → ( 0.∞ ) dạng 1: lim Ta biến đổi lim x→∞ x→∞ Sau sử dụng phương pháp dạng để giải Chú ý: A B = A2B với A,B ≥ 12 f ( x) ∞ →  ÷ [5] g( x) ∞ A B = − A2B với A ≤ 0,B ≥ Ví dụ 5:Tính giới hạn sau: ) lim ( x+ ) x → +∞ x -1 x3 + x 2x+1 x + x+ 2) lim ( x+1) x→ -∞ Hướng dẫn: ) lim ( x + ) x →+∞ x -1 = lim x + x x→+∞ ( x + ) ( x - 1) x3 + x = lim x →+∞ 2  1  x  1+ ÷ x  - ÷ x  x    x  1+ ÷ x   2 2  1 2  1   x  1+ ÷  - ÷  1+ ÷  1- ÷ x  x x  x  = lim  = =1 x → + ∞    3 x  1+ ÷  1+ ÷ x  x    = lim x →+ ∞  2x +1 = lim  − x + x + x→- ∞   2) lim ( x+1) x →- ∞ ( x+1) ( 2x +1)    x3 + x + 2 ( x +1) ( 2x +1) = − lim x→- ∞ x3 + x + 1  1  x  1+ ÷ x  2+ ÷ x  x  x (1+ + ) x x = − lim x →- ∞ 2 1 1  1   1  x  1+ ÷  2+ ÷  1+ ÷  + ÷ − x  x x  x  = − lim = − lim  = =− x→-∞ x→- ∞ 2 x (1+ + ) 1+ + x x x x Bài tập tương tự: Bài tập 5: Tính giới hạn sau: ) lim ( 1- 2x ) x →+∞ 3x+1 x +1 2x + x ) lim x x →-∞ x - x +3  f ( x) ± g( x)  → Dạng 3: lim x→∞   Phương pháp: ) lim x x →- ∞ 2x+1 3x + x + ( ∞ ± ∞)  f ( x) ± g( x)  dạng Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa lim x→∞   13 lim x→∞ f ( x) − g( x) lim x→∞ f ( x) + g( x) f ( x) − g( x) f ( x) − g( x) [5] Nếu gặp bậc ta nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp Chú ý:  A neu A ≥ A2 = A =  − A neu A < Ví dụ 6:Tính giới hạn sau: ( x + x − x − 2) 3/ lim ( x+ x + x + ) ) lim 2) lim x → +∞ x → −∞ x → +∞ ) lim x →+∞ = lim x →+ ∞ ( x2 + x − x2 − x2 + x - x2 + x2 + x + x2 − = lim x →+ ∞ = lim x →+∞ x  x  ) x2 + x − x2 − ( / lim x+ x + x + Hướng dẫn: ( x → −∞ ( = lim x2 + x − x2 − x →+∞ x2 + x + x2 − x2 + x + x2 − x →+∞ = lim )( ) x+2 x2 + x + x2 −  2  2 x 1 + ÷ x 1 + ÷  x  x = lim x →+∞ 2 1+ + x 1− x 1+ + x 1− x x x x  2 x 1 + ÷ 1+  x x = lim = 2  x→+∞ 1+ + 1− 1+ + 1− ÷ x x x x  14 ) ) ) lim x →−∞ ( x2 + x − x2 − x2 + x - x2 + = lim x2 + x + x2 − x → −∞ ) ( = lim x + x − x2 − x →−∞ x2 + x + x2 − x+2 x2 + x + x2 −  2  2 x 1 + ÷ x 1 + ÷  x  x = lim = lim x → −∞ x → −∞ x 1+ + x 1− -x + - x − x x x x  2  2 x 1 + ÷ − 1 + ÷  x  x = lim = lim =− x →+∞  2  x →+∞ 1+ + 1− -x  + + − ÷ x x x x   ) ( / lim x+ x + x + = x →+∞ x+ ( lim x →+∞ ) x2 + x + x2 − x →−∞ = lim )( )( x2 + x + x - x2 + x + ) x - x2 + x + 1  x − −  ÷ x - ( x + x + 1) − x −1 x  = lim = lim = lim 2 x →+∞ x →+∞ x - x + x +1 x - x + x + x →+∞ x - x + + x x2 1 1   x  −1 − ÷ x  −1 − ÷ −1 − x x   x = lim = lim = lim x →+∞ x →+∞  1 1 1  x→+∞ x - x 1+ + 1- + + x  1- + + ÷ x x x x x x   2  1 1  1  (Vi lim  − − ÷ = − 1, lim  1- + + ÷÷ = va 1- + + < 0) x → +∞ x → +∞ x x x  x x   Chú ý: Ta giải ví dụ theo cách sau tạm gọi là: Cách = +∞ 15 ) (  3/ lim x+ x + x + = lim  x+ x x → +∞ x → +∞   1  = lim x  1+ + + ÷÷ = +∞ x→ +∞ x x    1 (Vì lim x = +∞ , lim  1+ + + x → +∞ x→ +∞ x x  ) ( / lim x+ x + x + = x → −∞ x+ ( lim x → −∞  1  1  + + ÷÷ = lim  x+ x + + ÷÷ x x  x → +∞  x x   ÷÷ = 2)  )( x2 + x + x - x2 + x + ) x - x2 + x + 1  x − −  ÷ x - ( x + x + 1) −x −1 x  = lim = lim = lim 2 x → −∞ x → −∞ x - x + x +1 x - x + x + x→ −∞ x - x + + x x2 1 1   x  −1 − ÷ x  −1 − ÷ −1 − −1 x x   x = lim = lim = lim = x → −∞ 1 x → +∞  1 1  x → +∞ x+ x + + 1+ + + x  1+ + + ÷ x x x x x x   2 Như sau giải ví dụ nhiều học sinh thắc mắc giải theo cách không? Câu trả lời khơng giải theo giải theo cách ta có: ( )  1 / lim x+ x + x + = lim  x+ x + + x → −∞ x → −∞ x x   1  = lim x  1- + + ÷÷ x → −∞ x x    1  Tới kết lim x  1- + + ÷÷ dẫn đến x → −∞ x x     1  x x + + ÷÷ ÷÷ = xlim  → −∞  x x    dạng vô định (0 ∞ ) lại quay dạng trường hợp giới hạn hàm số vô cực mà việc khử dạng vô định (0, ∞ ) lại gây khó khăn cho số em học sinh có học lực trung bình, yếu Bài tập tương tự: Bài tập 6: Tính giới hạn sau: 16 1) lim x →+∞ ( ( 5) lim ( 3) lim x → −∞ x → −∞ x+1 - x ) x +1+ x - ( 4) lim ( 6) lim ( 2) lim ) 3x + x+1+ x x → +∞ x → +∞ ) x → −∞ x + x+1 - x ) 3x + x+1 - x 2x +1 + x ) ) KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ: lim  f ( x)  lim−  f ( x)  x→ a x→ a+ Cần lưu ý học sinh trường hợp đặc biệt giới hạn điểm, lúc x không tiến đến a mà tiến đến bên trái điểm a ( x → a− ), tiến bên phải bên phải điểm a ( x → a+ ).Bài tập Giới hạn bên: lim+  f ( x)  lim−  f ( x)  x→ a x→ a chủ yếu rơi vào dạng trường hợp Giới hạn điểm f ( x) L lim± →  ÷ (với L ≠ ) Ta tính nhẫm dạng cách thay a vào f(x) x→a g( x)  0 f ( x) L g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên lim± lúc có dạng  ÷ [2] x→a g( x)  0 Phương pháp: f (x) = L (với L ≠ ) Bước 1: Tính xlim →a± g(x) = xét dấu biểu thức g(x) với x < a x > a Bước 2: Tính xlim →a± f ( x) (bảng xét dấu x→a g( x) Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim nêu dạng 3- trường hợp Giới hạn điểm) Ví dụ 7: Tính giới hạn sau: 2x − 2x − 1/ lim− 2/ lim+ x→1 x − x→1 x − Hướng dẫn: 2x − 1/ lim− x→1 x − 17  lim− ( 2x − 3) = 2.1− = −1<  x→1 Ta có:   lim− ( x − 1) = va x − 1< ∀x <  x→1 2x − = +∞ Vậy lim− x→1 x − 2x − 2/ lim+ x→1 x −  lim+ ( 2x − 3) = 2.1− = −1<  x→1 Ta có:   lim+ ( x − 1) = va x − 1> ∀x >  x→1 2x − = −∞ Vậy lim− x→1 x − Bài tập tương tự: Bài tập 7: Tính giới hạn sau: x -1 x→ x - x2 - 3) lim− x→ x - 1) lim+ x -1 x→ x - 2 x -7 4) lim− x→1 x - 2) lim− 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: 2.4.1.Kết từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc phõn loi v giải dạng bi nh đà nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hớng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán từ nhn dng hàm số : hàm số dạng bản, hàm số dng nhõn lng liờn hp,dng để lựa chọn phơng pháp phù hợp sở giáo viên đa sai lầm mà học sinh thờng mắc phải trình suy luận,trong bớc tính tích phân từ hớng em đến lời giải Sau hớng dẫn học sinh nh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trớc em đà thận trọng tìm trình bày lời giải đà giải đợc lợng lớn tập 2.4.2.Kt qu thc nghim 18 Thông qua tiến hành nghiên cứu thực bốn lớp với đề tài thu kết theo bảng số liệu sau: Lớp 11C2 11C3 11C5 11C6 Bảng số liệu so sánh sau tiến hành vận dụng đề tài Giỏi Khá T.bình Yếu Kém Số lượng SL % SL % SL % SL % SL % 45 20 44,4 19 42,3 13,3 0 0 46 4,3 12 20,1 27 64,9 10,7 0 47 4,3 11 23,4 31 65,9 6,4 0 46 15 32,6 20 43,5 11 23,9 0 0 Qua bảng số liệu thấy sau đưa vào vận dụng đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải tập giới hạn hàm số”, kết thật khã quan, cụ thể khơng học sinh yếu trung bình giảm rõ rệt mà số học sinh khá, giỏi tăng lên nhều, cịn lớp khơng áp dụng số lượng học sinh khá, giỏi giảm, trung bình giảm, yếu lại tăng lên Ngồi thùc hiƯn s¸ng kiÕn häc sinh häc tËp rÊt tÝch cực hứng thú đặc biệt giải toán tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu chất vấn đề không tính rập khuôn cách máy móc nh trớc, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh 19 PHN BA: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Đề tài giúp cho việc hướng dẫn số dạng tốn giới hạn hàm số chương trình tốn học phổ thông hướng dẫn cho học sinh phương pháp làm tập, nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn học theo phương pháp đổi Qua việc nghiên cứu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải tập đơn giản nâng cao, liên hệ, biết cạch suy luận lơgíc, tự tin vào thân đứng trước tập giới hạn hàm số, có cách suy nghĩ để giải vấn đề cách đắn 3.2 Kiến nghị Do thời gian có hạn nên đề tài chưa áp dụng rộng rãi chắn khơng tránh hết thiếu sót Vì mong góp ý q thầy giáo bạn động nghiệp để đề tài hoàn thiện áp dụng phổ biến năm học tới Xin chấn thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 04 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết đề tài Nguyễn Văn Thường 20 TÀI LIỆUTHAM KHẢO 1.(Tony & Barry Buzan 2009) – Sơ đồ Tư – NXB TP.Hồ Chí Minh “Trần Chớ Hiu-Nguyn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH Đại số giải tích 11, NXB GD Trần Phơng Nguyễn Đức Tờn Sai lm thng gp v sáng tạo giải tốn – NXB Hµ Néi – 2004) 4.G.KORN-T.KORN.Sổ tay toán học(Phan Văn Hạp Nguyễn Trọng Bá dịch).Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp giáo dục-1997 5.Phan Đức chính,Vũ Dương Thụy,Tạ Mân,Đào Tam,Lê Thống Nhất.Các giảng luện thi mơn Tốn.NXBGD Tài liệu khai thác mạng 21 ... để giúp học sinh khối 11 học tốt phần tập giới hạn hàm số chọn đề tài ? ?Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải tập giới hạn hàm số? ?? 1.2.Mục đích nghiên cứu Tìm phương pháp dạy học. .. với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phân loại dạng tập giới hạn hàm số Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học 1.3.Đối tượng nghiên cứu Học sinh khối. .. 0 47 4,3 11 23,4 31 65,9 6,4 0 46 15 32,6 20 43,5 11 23,9 0 0 Qua bảng số liệu thấy sau đưa vào vận dụng đề tài ? ?Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải tập giới hạn hàm số? ??, kết