MỘT vài KINH NGHIỆM GIÚP học SINH lớp 11 TRƯỜNG TRUNG học PHỔ THÔNG TRIỆU sơn 6 tự TIN GIẢI bài tập GIỚI hạn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN *****   ***** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT VÀI KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRIỆU SƠN TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG SƠ ĐỒ TƯ DUY Người thực hiện: Lê Thị Tâm Chức vụ: Giáo viên –Tổ phó chun mơn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2018 MỤC LỤC Nội dung : MỞ ĐẦU trang 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3.Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu 1-2 : NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3.Giải pháp thực 2-15 2.4.Hiệu SKKN 15-16 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 16-17 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng, môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết môn học khác trường phổ thơng như: Lý, Hóa, Sinh, Văn…Như vậy, học tốt mơn Tốn tri thức Toán với phương pháp làm việc Toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngồi việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tốn học cần thiết, mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Thực tế nhà trường THPT nay, đặc biệt trường có tuyển sinh đầu vào thấp với đa số học sinh có học lực trung bình trường THPT Triệu Sơn hầu hết em sợ học mơn Tốn Qua gần 20 năm giảng dạy nhận thấy học sinh khối 11 học chương giới hạn, đặc biệt phần tập giới hạn hàm số em khó tiếp thu áp dụng mà tập giới hạn hàm số lại ln có mặt đề đề thi học kì, đề thi đại học cao đẳng Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt dập khn máy móc học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải tốn lạ, tốn khó Vì để giúp học sinh khối 11học tốt phần tập giới hạn hàm số mạnh dạn chọn đề tài “Một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 11 trường trung học phổ thông Triệu Sơn tự tin giải tập giới hạn hàm số sơ đồ tư ” 1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phân loại dạng tập giới hạn hàm số Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học 1.3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh: Học sinh khối 11 trường THPT Triệu Sơn - Giáo viên: Giảng dạy mơn Tốn trường THPT Triệu Sơn - Phạm vi nghiên cứu: Chương IV: “Giới hạn” sách giáo khoa đại số giải tích 11 ban 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm: - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học tốn nói chung dạy học phân mơn Đại số giải tích trường THPT Triệu Sơn để từ thấy tầm quan trọng việc xây dựng hệ thống tập giới hạn hàm số chương IV - Đại số giải tích 11 việc nâng cao chất lượng dạy học - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Trên sở tài liệu phân phối chương trình mơn học, chuẩn kiến thức - kỹ năng, sách giáo khoa Đại số giải tích 11 – tài liệu dạy học giới hạn hàm số để xây dựng hệ thống tập theo mục đích đặt 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.CƠ SỞ LÍ LUẬN - Dựa khái niệm, định nghĩa, định lí học chương trình tốn trung học phổ thơng - Dựa khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới trình giải tập - Dựa kết đắn chân lí hiển nhiên hay chứng minh, thừa nhận 2.2.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 2.2.1.Thời gian bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2016-2017 2.2.2.Khảo sát chất lượng đầu năm: Thông qua khảo sát chất lựơng đầu năm thu kết sau: Trên trung bình 20 % 2.2.3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết thấp Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh địi hỏi nhiều cơng sức thời gian Sự nhận thức học sinh thể rõ: - Kiến thức nắm chưa - Khả tưởng tượng, tư hàm, tư lơgíc hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt Đây mơn học địi hỏi tư duy, phân tích em Thực khó khơng học sinh mà cịn khó giáo viên việc truyền tải kiến thức tới em Hơn điều kiện kinh tế khó khăn, mơi trường giáo dục, động học tập,… nên chưa thực phát huy hết mặt mạnh học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Việc cần thực tiết học, biện pháp rèn luyện tích cực, phân hố nội thích hợp Tuy nhiên việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán Từ nguyên nhân mạnh dạn đưa sáng kiến : “một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 11 trường trung học phổ thông Triệu Sơn tự tin giải tập giới hạn hàm số sơ đồ tư ” 2.3.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN I/ Nhắc lại kiến thức có liên quan: A-KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa giới hạn hàm số: Cho hàm số f(x) xác định khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a với dãy số (xn), xn ∈ K xn ≠ a , ∀n∈ ¥ * mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim f ( x)  = L x→a Một số định lý giới hạn hàm số: a Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L giới hạn b Định lý 2:Nếu giới hạn: lim f ( x )  = L , lim g ( x )  = M thì: x →a x →a lim f ( x ) ± g ( x )  = lim f ( x )  ± lim g ( x )  = L ± M x →a x →a x →a lim f ( x ) g ( x )  = lim f ( x )  lim g ( x )  = L M x →a x →a x →a f ( x )  L f ( x ) lim = x →a  lim = ,M ≠0 x →a g x g ( x )  M ( ) lim  x →a  lim f ( x ) = lim f ( x )  = L ; f ( x ) ≥ 0,L ≥ x →a x →a c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) g(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x∈ K , x ≠ a lim g( x)  = lim h( x)  = L ⇒ lim f ( x)  = L x→a x→a x→a Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]= ∞ ta nói f(x) dần tới vơ cực x dần tới a, kí hiệu: lim f ( x)  = ∞ x→a b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ có lim[f(xn)] = L , ta nói f(x) có giới hạn L x dần tới vơ cực, kí hiệu: lim f ( x)  = L x→∞ c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a ∀n∈ ¥ * , ta nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu : lim+  f ( x)  Nếu đòi hỏi với dãy số (xn), xn < a ∀n∈ ¥ * ta x→ a  f ( x)  nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: xlim →a−  B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN Trong q trình giải tập giới hạn hàm số ta thường gặp trường hợp tìm giới hạn sau: Một : Giới hạn hàm số điểm: lim f ( x)  x→a  f ( x)  Hai là: Giới hạn vô cực hàm số : xlim →±∞   f ( x)  , lim−  f ( x)  Ba là: Giới hạn bên hàm số: xlim → a+  x→a Hiển nhiên lý phân thành trường hợp lúc tơi khơng xét tính chất hàm số mà nhận dạng trường hợp cách nhìn vào giá trị mà x tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải) Trong trường hợp nêu trênlại chia dạng tập định.Ở tơi khái qt q trình giải tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư sau: ĐỀ BÀI Quan sát chia trường hợp Giới hạn vô cực Giới hạn điểm: Giới hạn bên Dạng 1: Dạng 1:Tính trực tiếp  0 ÷  0 Dạng 3:() Dạng: Dạng  lim f ( x) = f (a) x→a Dạng3: Dạng 2:() lim x→ a f ( x) g( x) Sau tơi trình bày phương pháp chung để giải dạng tập nêu sơ đồ tư • KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM  f ( x)  CỦA HÀM SỐ: lim x→ a  f ( x) = f (a) Dạng 1: lim x→a Phương pháp: f ( x) = f (a) Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x) Kết luận: lim x→a Ví dụ 1:Tính giới hạn sau: x + 3) 1/ xlim(2 2/ lim ( x + − 1) →2 x→−2 3/ lim x→3 x −1 x+2 x + 3) = 2.2 + =7 1/ xlim(2 →2 / lim ( x→ −2 / lim x→3 x + 3x + ) x→−1 − x + x + BÀI GIẢI 4/ lim ( x +5 −1) = ( −2) +5 −1 =2 x −1 −1 = = x +2 +2 2(−1) + 3( −1) + x + 3x + = =0 4/ lim ( )= x→−1 − x + x + −(−1) + 4(−1) + −3 Bài tập tương tự: Bài tập 1:Tính giới hạn sau: 2 + 2x+1) lim(x + x +1) lim ( - 4x ) lim(x x → -1 x →3 x →1 x +1 ; x →1 2x - lim f ( x) g( x) x + x +1 x →-1 2x + lim  0 →  ÷ (ta tính nhẩm dạng cách thay a vào f(x)  0 f ( x)  0 g(x)) Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0 nên lim lúc có dạng  ÷ x→a g( x)  0 Phương pháp: Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) hàm đa thức ta chia tử số mẫu số cho (x-a) (x-a)2 Chú ý 1: • Nếu f (x) = ax2 + bx + c có nghiệm x1, x2 ta phân tích f (x) = ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) • Các đẳng thức đáng nhớ: Dạng 2: lim x→a A2 − B2 = ( A − B) ( A + B) ( = ( A + B) ( A ) − AB + B ) A3 − B3 = ( A − B) A2 + AB + B2 A3 + B3 2 Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp a−1 a−1 1/ a − 1= 5/ a − 1= a +1 a + a +1 a−1 a−1 2/ a + 1= 6/ a + 1= a −1 a − a +1 a− b a− b 3/ a − b = 7/ a − b = a+ b a + ab + b2 a− b a+ b 4/ a + b = 8/ a + b = a− b a − ab + b2 Ví dụ 2:Tính giới hạn sau:  x2 + 2x −   x+3  1/lim  2 / lim  x→1 x − x − ÷ x→3  x + x − ÷     x2 + x −  / lim  ÷ x→1  x −1  4x   / lim  x→0  + x − ÷  / lim x→1 ( 1+ x) / lim x →0 / lim x →2 −1 x 2x − x−2 x+2 −2 x +7 −3 BÀI GIẢI x+3 −1  x+3  1/ lim  = lim = ÷= lim x→−3  x + x −  x→−3 ( x − 1) ( x + ) x→−3 x −  x2 + 2x −  ( x − 1) ( x + 3) = lim x + = / lim  = lim ÷ x→1 x − x −   x→1 2( x − 1)( x + ) x→1 2( x + ) 2  x2 + x −  ( x − 1) ( x + ) = lim x + = 3 / lim  = lim ÷ x→1  x −  x→1 ( x − 1) ( x + 1) x→1 x + ( + x) / lim x→0 −1 = lim x→0 x ( + x − 1) ( + x ) 4x   / lim  = lim x→0  + x − ÷  x→0 / lim x →2 / lim x→1 4x ( ( x + ( + x ) + 1  =3 9+ x +3 ) = lim 4x ( 9+ x +3 9+ x−9 ) ( + x + 3) ( x − 2) ( 2x + 2) = lim x − = 2x − = lim x−2 ( x − 2) ( 2x + 2) ( x − 2) ( 2x + 2) ( x + − ) ( x + + ) ( x + + 3) = x+2 −2 = lim x +7 −3 ( x + − 3) ( x + + 3) ( x + + ) x→0 9+ x −3 x →2 ) = 24 x →2 x→1 Bài tập tương tự: Bài tập 2:Tính giới hạn sau: / lim x→3 x + 2x - 15 x-3 / lim x→0 2x + 3x+1 x2 - x − 2x −1 / lim x→1 x − 12 x + 11 / lim x→-1 x3 − / lim x→ x − x + x +3 ) − 27 ( 4/ lim x x→0 / lim x→1 x+4 −2 x 2x −1 − x x −1 x +1 −1 / lim x→0 − x + f ( x) g( x) L →  ÷ (với L ≠ ) Ta tính nhẩm dạng cách thay a  0 f ( x) vào f(x) g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên lim lúc có x→a g( x) Dạng 3: lim x→ a L dạng  ÷  0 Phương pháp: f (x) = L (với L ≠ ) Bước 1: Tính lim x→a g(x) = xét dấu biểu thức g(x) với x ≠ a Bước 2: : Tính lim x→a Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim x→a f ( x) g( x) lim f (x) = L limg(x) = L> L> L< L< g(x) > g(x) < g(x) > g(x) < x→a f ( x) x→ a g( x) +∞ −∞ −∞ +∞ lim x→a Ví dụ 3:Tính giới hạn sau: x+ x− 1/ lim 2/ lim 2 x→4 x→3 ( x − 4) ( x − 3) x→4 BÀI GIẢI x+ 1/ lim ( x − 4) 3x + x→−2 x + x3 + ( )( ) 3/ lim Ta có:  lim ( x + 2) = 6>  x→4  2 x − 4) = 0; ( x − 4) > (∀x ≠ 4)  lim (  x→4 x+ lim = +∞ x→4 ( x − 4) 2/ lim x→3 x− ( x − 3) Ta có:  lim ( x − 5) = −2<  x→3  2 x − 3) = 0; ( x − 3) > (∀x ≠ 3)  lim (  x→3 x− lim = −∞ x→4 ( x − 3) 3x + 3x + = lim x→−2 x + x3 + x→−2 x + x + x2 − 2x + ( ) ( )( ) 3/ lim = lim x→−2 ( ) ( ) 3x + ( x + 2) ( x2 − 2x + 4) Ta có:  lim ( 3x + 1) = −5<  x→−2  2 x + 2) x2 − 2x + = 0; ( x + 2) x2 − 2x + > (∀x ≠ −2)  lim (  x→−2 3x + lim = −∞ x→−2 ( x + 2) x3 + ( ) ( ( ) ) Bài tập tương tự: Bài tập 3: Tính giới hạn sau: x+ x3 + 1/ lim 2/ lim 2 x→2 x→−2 ( x − 2) ( x + 2) 3/ lim 2x + x→−2 ( x + 2) x+ x→−3 x + x2 + 4x + ( ) 4/ lim ( ) • KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA  f ( x)  HÀM SỐ: lim x→ ∞  f ( x) ∞ →  ÷ g( x) ∞ Phương pháp: Dạng 1: lim x→∞ Chia tử mẫu cho xk với k lũy thừa cao tử mẫu Chú ý x → +∞ coi x>0, x → −∞ coi x < đưa x vào khỏi bậc chẵn Chú ý giới hạn sau: 1/ limxk = +∞ 2/ limx2k = +∞ x→−∞ x→+∞ 3/ limx2k+1 = −∞ x→−∞ =0 x→±∞ xk 4/ Lim Ví dụ 4:Tính giới hạn sau: 1/ 2x +1 x→−∞ x − lim 3/ lim x→+∞ x2 − x +1 2/ xlim →+∞ x −1 x2 − x2 − 4/ lim x→−∞ x + BÀI GIẢI 1  x + ÷ 2+ 2x + x x = =2 = lim  = lim 1/ lim x→−∞ x − x→−∞  2  x→−∞ 1− x 1 − ÷ x x  1  1 x2  − ÷ − x −1 x x   x x = =0 = lim = lim 2/ xlim →+∞ x − x→+∞  1  x→+∞ 1− x 1 − ÷ x  x  x −1 = lim x→+∞ x +1 / lim x→+∞  1   x 1 − ÷ x 1 − ÷  x   x  = lim x→+∞ x +1  1 x 1 + ÷ x  1  x 1 − ÷  x  = lim = lim x→+∞ x→+∞  1 x 1 + ÷ x  / lim x→−∞ x2 − = lim x→−∞ x +1   1 − ÷  x  = =1 1 1+ x     x 1 − ÷ x 1 − ÷  x   x  = lim x→−∞ x +1  1 x 1 + ÷ x      − x 1 − ÷ − 1 − ÷  x   x  −1 = lim = lim = = −1 x→−∞ x→−∞  1 1+ x 1 + ÷ x x   Bài tập tương tự: Bài tập 4: Tính giới hạn sau: 2x −3 x→+∞ 1−3x 1/ lim 2x2 +3x +1 x→−∞ 3x2 − x +5 3/ lim x +2x2 +1 5/ lim x→+∞ x3 +1 7/ lim x→−∞ x2 +2x +3 x3 − x +1 2x3 − x2 +1 x→−∞ 3x6 +2x4 +1 ( x −2) ( 2x +1) ( 1−4x) 4/ lim x→+∞ ( 3x +4) 2/ lim x2 +3x −8 x→−∞ x4 −6x +1 6/ lim 8/ lim x→−∞ 4x2 +1 3x −1 10 f ( x) g( x) → ( 0.∞ ) Dạng 2: lim x→∞ Phương pháp: f ( x) g( x) → ( 0.∞ ) dạng 1: lim Ta biến đổi lim x→∞ x→∞ f ( x) ∞ →  ÷ g( x) ∞ Sau sử dụng phương pháp dạng để giải Chú ý: A B = A2B với A,B ≥ A B = − A2B với A ≤ 0, B ≥ Ví dụ 5:Tính giới hạn sau: ) lim ( x+ ) x → +∞ x -1 x3 + x 2) lim ( x+1) x→ -∞ 2x+1 x + x+ BÀI GIẢI ) lim ( x+ ) x → +∞ x -1 = lim x + x x → +∞ ( x+ ) ( x - 1) =  2  1 x  1+ ÷  1- ÷  x   x  = lim = lim x → +∞ x → +∞ 1  x  1+ ÷  x   2x+1 2) lim ( x+1) = lim  − x→ - ∞ x + x+ x → - ∞   x3 + x  2  1 x  1+ ÷ x  1- ÷  x  x 1  x  1+ ÷  x  lim x → +∞  2  1  1+ ÷  1- ÷  x  x = =1 1   1+ ÷  x  ( x+1) ( 2x+1)  x + x+    1  1 x  1+ ÷ x  2+ ÷ ( x+1) ( 2x+1) = − lim  x   x  = − = − lim x→ - ∞ x→ -∞ x + x+ x (1+ + ) x x Bài tập tương tự: Bài tập 5: Tính giới hạn sau: 2x + x ) lim ( - 2x ) ) lim x x →+∞ x →- ∞ x - x +3  f ( x) ± g( x)  → ( ∞ ± ∞ ) Dạng 3: lim x→∞   3x +1 x +1 ) lim x x →- ∞ 2x +1 3x + x + 11 Phương pháp:  f ( x) ± g( x)  dạng Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa lim x→∞   f ( x) − g( x) f ( x) − g( x) lim lim x→∞ x→∞ f ( x) + g( x) f ( x) − g( x) Nếu gặp bậc ta nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp A ; A≥ Chú ý: A = A =  − A ; A < Ví dụ 6:Tính giới hạn sau: ( x + x − x − 2) 3/ lim ( x+ x + x + ) ) lim 2) lim x → +∞ x → −∞ ( x2 + x − x2 − ( / lim x+ x + x + x → +∞ x → −∞ BÀI GIẢI ) lim x → +∞ ( x2 + x − ( x − ) = lim x2 + x + x2 − x→ +∞ = lim x → +∞ )( x2 + x + x2 − x+ x2 + x + x2 −  2  2 x 1+ ÷ x 1+ ÷  x  x = lim = lim = x → +∞ 2 x → +∞ x 1+ + x 1− x 1+ + x 1− x x x x ) lim x → −∞ = lim x → −∞ ( x2 + x − ( x − ) = lim x2 + x - x2 + x2 + x + x2 − x2 + x − x2 − x → −∞ )( x2 + x + x2 − ) x2 + x + x2 − x → −∞ = lim ) x2 + x + x2 − x → +∞ x2 + x - x2 + = lim x2 + x − x2 − ) ) x+ x2 + x + x2 − =− 12 ) ( 3/ lim x+ x + x + = x → +∞ x+ ( lim x → +∞ )( x2 + x + x - x2 + x + ) x - x2 + x + 1  x − −  ÷ x - ( x + x + 1) −x −1 x  = lim = lim = lim 2 x → +∞ x → +∞ x- x + x+1 x - x + x + x → +∞ x - x + + x x2 1 1   x  −1− ÷ x  −1− ÷ −1− x x   x = lim = lim = lim x → +∞ x → + ∞ x → + ∞  1 1 1  x - x 1+ + 1- + + x  1- + + ÷ x x x x x x   2  1 1  1  ( lim  − − ÷ = − 1, lim  1- + + ÷÷ = ; 1- + + < 0) x → +∞ x → +∞ x x x  x x   = +∞ Chú ý:Ta giải ví dụ theo cách sau tạm gọi là: Cách ) (  3/ lim x+ x + x + = lim  x+ x x → +∞ x → +∞   1  = lim x  1+ + + ÷÷ = +∞ x → +∞ x x    1 lim x = + ∞ , lim 1+ + + Vì  x → +∞ x → +∞  x x  ( ) / lim x+ x + x + = x+ ( lim  1  1  + + ÷÷ = lim  x+ x + + ÷÷ x x  x → +∞  x x   ÷÷ =  )( x2 + x + x - x2 + x + ) x - x2 + x + 1 1   x  −1 − ÷ x  −1 − ÷ −1 − x x   x = lim = lim = lim x → −∞ 1 x → +∞  1 1  x → +∞ x+ x + + 1+ + + x  1+ + + ÷ x x x x x x   x → −∞ = x → −∞ −1 13 • Như sau giải ví dụ nhiều học sinh thắc mắc giải theo cách không? Câu trả lời không giải theo giải theo cách ta có: ) (   1  1  / lim x+ x + x + = lim  x + x + + ÷÷ = lim  x - x + + ÷÷ x → −∞ x → −∞ x x  x → −∞  x x    1  = lim x  1- + + ÷÷ x → −∞ x x    1  lim x 11 + + ÷÷ dẫn đến dạng vơ định (0 ∞ ) lại quay Tới kết  x → −∞  x x   dạng trường hợp giới hạn hàm số vô cực mà việc khử dạng vô định(0 ∞ ) lại gây khó khăn cho số em học sinh có học lực trung bình, yếu Bài tập tương tự: Bài tập 6: Tính giới hạn sau: 1) lim x →+∞ ( ( 5) lim ( 7) lim ( x +1 - x →−∞ x →−∞ x2 + x - ( ( 4) lim ( 6) lim ( ) lim ( 2) lim x →+∞ ) 3x + x +1 + x x →−∞ ) lim x ) x +1 + x - 3) lim x →+∞ x x2 + 4x + + 2x ) ) ) x →+ ∞ x →−∞ x →+ ∞ 10) lim x x →+ ∞ x + x +1 - x ) 3x + x +1 - x 2x +1 + x ) x + 2x + - ( x +1 - x ) ) x - 2x + ) * KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ: lim+  f ( x)  lim−  f ( x)  Cần lưu ý học sinh trường hợp đặc x→ a x→ a biệt giới hạn điểm, lúc x không tiến đến a mà tiến đến bên trái điểm a ( x → a− ), tiến bên phải bên phải điểm a ( x → a+ ).Bài tập Giới hạn bên: lim+  f ( x)  lim−  f ( x)  chủ yếu rơi vào dạng trường x→ a x→ a f ( x) L →  ÷ (với L ≠ ) Ta tính nhẩm x→a g( x)  0 dạng cách thay a vào f(x) g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên f ( x) L lim± lúc có dạng  ÷ x→a g( x)  0 hợp Giới hạn điểm lim± Phương pháp: 14 f (x) = L (với L ≠ ) Bước 1: Tính xlim →a± g(x) = xét dấu biểu thức g(x) với x < a Bước 2: : Tính xlim →a± x> a f ( x) Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim (bảng xét dấu x→a g( x) nêu dạng 3- trường hợp Giới hạn điểm) Ví dụ 7: Tính giới hạn sau: 2x − 2x − 1/ lim− 2/ lim+ x→1 x − x→1 x − BÀI GIẢI 2x − 1/ lim− x→1 x −  lim( 2x − 3) = 2.1− = −1<  x→1− Ta có:   lim− ( x − 1) = 0; x − 1< ∀x <  x→1 2x − = +∞ Vậy lim− x→1 x − 2x − 2/ lim+ x→1 x −  lim+ ( 2x − 3) = 2.1− = −1<  x→1 Ta có:   lim+ ( x − 1) = va x − 1> ∀x >  x→1 2x − = −∞ Vậy lim− x→1 x − Bài tập tương tự: Bài tập 7: Tính giới hạn sau: 2x - x→ x - x2 - 3) lim− x→ x - 1) lim+ 2x - x→ x - 2 x -7 4) lim− x →1 x - 2) lim− ) lim+ x →1 x -7 x -1 2.4.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.4.1.Kết thực tiễn Qua trình giảng dạy đúc kết kinh nghiệm nhận thấy, ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc phân loại giải dạng tập nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích tốn từ nhận dạng hàm số: Hàm số dạng bản, hàm số dạng nhân liên hợp … 15 để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải q trình suy luận, bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải 2.4.2.Kết thực nghiệm Kết kiểm tra đánh giá sau ôn tập nội dung cho lớp 11CB năm học 2016– 2017, hai lớp đối chứng 11B1 11B3 năm học 2017-2018, kết sau: Tỉ lệ Lớp Sĩ số Dưới TB Trên TB 11C2 40 12 (30%) 28 (70%) 11C3 39 10 (26%) 29 (74%) 12B1 38 25 (66%) 13 (34%) 12B3 39 27 (69%) 12 (31%) C: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1.KẾT LUẬN Sau thực tế vận dụng đề tài “một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 11 trường THPT Triệu Sơn tự tin giải tập giới hạn hàm số sơ đồ tư duy” Đối với giáo viên học sinh trường THPT Triệu Sơn 6, rút số kết luận sau: *Đối với học sinh: - Thứ nhất: Việc dạy cho học sinh kỹ giải tập giới hạn hàm số sơ đồ tư việc làm cần thiết mang lại hiệu cao, đa số em hứng thú chủ động tích cực học tập - Thứ 2: Giúp nâng cao hiệu giảng dạy cho thân nói riêng kết giáo dục nhà trường THPT Triệu Sơn nói chung, góp phần thực thắng lợi mục tiêu đổi giáo dục mà Bộ GD&ĐT đề - Thứ 3: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11 Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm phương pháp đặt vấn đề, phân tích, hướng dẫn học sinh giải vấn đề *Đối với giáo viên: Để việc giảng dạy học sinh đạt hiệu cao giáo viên cần phải có số kỹ sau: - Kỹ soạn thảo hệ thống tập - Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập Luôn tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tịi học tập học sinh Phải thường xun học hỏi trau dồi chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh 16 2.KIẾN NGHỊ Nhằm giúp cho học sinh học tốt phần giới hạn hàm số, than tơi kiến nghị với Ban giám hiệu có kế hoạch mua bổ sung thiết bị dạy học, trang bị thêm phịng giáo án điện tử,… Tổ chun mơn cần tổ chức hội giảng, buổi trao đổi phương pháp giảng dạy, nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi Trong dạy học cần bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, nhấn mạnh kiến thức trọng tâm, phương pháp chứng minh phục vụ trình làm tập Nắm vững yếu tố giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt Từ góp phần nâng cao hiệu giảng dạy Trên sáng kiến kinh nghiệm thân tơi, q trình thực cịn nhiều thiếu sót Rất mong đóng góp đồng nghiệp để nội dung đề tài hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Thị Tâm 17 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Đình Cư : Phân dạng phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn - NXB Giáo dục Vũ Tuấn : Bài tập đại số giải tích 11-NXB GD Nguyễn Quốc Tuấn :Phương pháp thủ thuật giải nhanh Giới hạn Toán 11 - NXB ĐHQG Tài liệu từ nguồn internet 18 ... vận dụng đề tài ? ?một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 11 trường THPT Triệu Sơn tự tin giải tập giới hạn hàm số sơ đồ tư duy” Đối với giáo viên học sinh trường THPT Triệu Sơn 6, rút số kết luận... móc học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải tốn lạ, tốn khó Vì để giúp học sinh khối 1 1học tốt phần tập giới hạn hàm số mạnh dạn chọn đề tài ? ?Một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 11 trường trung. .. mạnh dạn đưa sáng kiến : ? ?một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 11 trường trung học phổ thông Triệu Sơn tự tin giải tập giới hạn hàm số sơ đồ tư ” 2.3.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN I/ Nhắc lại kiến thức