Thông tin tài liệu
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Lũy thừa với số mũ nguyên: a Định nghĩa: Cho n số ngun dương số thực a Khi đó: (tích n số a ) an = a.a a với a a0 1 a−n = với a an Ghi chú: Với n a n có nghĩa a Với a a n = −n a b Các tính chất đẳng thức: Với hai số thực a,b m , n số nguyên ta ln có: aman = am+n am m −n ( ) a m n = a mn =a n ( ab ) = a n bn an c Các tính chất bất đẳng thức Cho m , n số nguyên dương , ta có: n a an = b bn + Với a am an m n + Với a am an m n Nhận xét: Với a am = an m = n Cho a b số nguyên m , ta có: am bm m am bm m Nhận xét : Với a b am = bm m = Nếu n số tự nhiên lẻ an bn a b Căn bậc n Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ ( b 0) Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí a Định nghĩa: Với n số nguyên dương, bậc n a số thực b thỏa mãn: bn = a b Tính chất: Cho a,b , hai số nguyên dương m , n hai số nguyên tùy ý p,q Ta có: n a.b = n a.n b n p a = ( a) n p n m a = mn a Lũy thừa với số mũ hữu tỉ n a na = ( b 0) b nb p q n n Nếu = ap = aq n m a Định nghĩa: Cho số thực a số hữu tỉ r = (a 0) m ( m , n hai số nguyên n m n n ) Khi a r = a n = a m Chú ý : Lũy thừa số mũ hữu tỉ định nghĩa cho số thực dương b Tính chất: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ tính chất lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ thực a Định nghĩa: Cho số thực dương a số vô tỉ Khi tồn dãy số hữu tỉ ( rn ) có giới hạn a = lim a n r n →+ b Tính chất: Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ tính chất lũy thừa với số mũ nguyên Lưu ý : Lũy thừa với số mũ nguyên âm mũ số khác khơng Lũy thừa với số mũ hữu tỉ số thực số dương Logarit a) Định nghĩa: Cho a 0,a 1,b loga b = a = b Đặc biệt: loga b = a = b b) Tính chất: • loga = loga a = • loga b = loga b • log a b= loga b lg b = 10 = b a loga ln b = e = b = log a a = loga ( x1x2 ) = loga x1 + loga x2 loga x1 = loga x1 − loga x2 x2 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Đặc biệt: loga = log b = − loga b b loga n b = a loga b n loga b = logc b logc a • a loga b loga c b c • a loga b loga c b c Hàm số mũ a Định nghĩa: Là hàm số có dạng y = ax , a gọi số b Tính chất: * Tập xác định: * Giới hạn – đạo hàm ex − =1 • Giới hạn: lim(1 + )x = e lim x→0 x x→0 x ( ) Đặc biệt: ( e ) ' = e ( ) • Đạo hàm: a x ' = a x ln a Từ suy ra: a u ' = u'a u lna x x ( ) e u ' = u'.e u * Tính đơn điệu: a hàm đồng biến, a hàm nghịch biến Hàm số lũy thừa a Định nghĩa: Là hàm số có dạng: y = x , b Tính chất: * Tập xác định: • Nếu số ngun dương tập xác định • Nếu nguyên âm tập xác định \{0} • Nếu khơng số ngun tập xác định (0; +) ( ) −1 * Đạo hàm : x ' = .x−1 từ suy ra: ( u(x) ) ' = u'(x) ( u(x) ) u'(x) Đặc biệt: n x ' = n u(x) ' = n n −1 n n −1 n x n u (x) ( ) ( ) * Tính đơn điệu: Hàm đồng biến (0; +) nghịch biến (0; +) Hàm số logarit a Định nghĩa: Là hàm số có dạng: y = loga x , a b Tính chất: * Tập xác định tập (0; +) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí * Giới hạn – Đạo hàm: ln(1 + x) =1 • Giới hạn: lim x→0 x u' Từ đó, suy ra: ( loga u ) ' = • Đạo hàm: ( loga x ) ' = xlna u lna u' Đặc biệt: ( ln x ) ' = ( ln u ) ' = x u * Tính đơn điệu: Hàm đồng biến a nghịch biến a B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Dạng Tính giá trị biểu thức – Rút gọn Ví dụ 1.1.1 Rút gọn biểu thức −0,2 A = (32) C= − 64 a− b a− b −0,25 ( + 2)4 ( − 2)4 2 B= 5 3 + 27 a+b D= − ab : 3 a+ b a + ab − 25 − a+ b ( ( ) − (2 ) Ta có: A = ( + 2)| − 2| 2 B= 5 ( C= a+4b )( 5 − 2 a −4b a −4b − 2 + 3 2( −1+ ) )− ( 3 − = −2 + = + 2 2 + 3 5 a4 a + b a+4b 3 D = a − ab + b2 − ab : 3 D = a − ab + b2 : ( = ) ) =( a−3b 2 2 − + = 5 3 = a + b − a = b a−3b a−3b ) :( a−3b ) = Ví dụ 2.1.1 Rút gọn biểu thức Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2 + 3 a−3b Lời giải − −1 ) 32 Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí E= (x +y ) − xy 4 2 − a3 a + a3 F= 1 1 − a4 a4 + a Lời giải E = x + y + 2x y − 4x y = x + y − 2x y = F= − a a 3 + a a a a + a a − = (x − y ) = x − y a −1 + a + a3 − a + a2 = = = −1+ a a +1 a a a (1 + a ) Ví dụ 3.1.1 Rút gọn biểu thức log 135 log A= − log15 log 405 5 B = log ( log 8.log ) − log 25 10 + log 2 Lời giải log 135 log A= − = log 135.log 15 − log 5.log 405 log15 log 405 A = log3 ( 5.27 ) log3 15 − log3 5.log3 ( 27.15) = ( log3 + ) log3 15 − log ( + log3 15) A = ( log 15 − log ) = 3.log B = log 3−2 15 =3 ( 3log3 2.log2 3) − log52 10 + 21 log5−1 25 1 5 1 = − log 3 − log 10 + log = − − log 25 = − 2 2 2 Ví dụ 4.1.1 Rút gọn biểu thức C= ( lg − ) 20 + lg 49 + 20 ( ln e + 5ln e e 20 ) D= log7 2.log + log11 3.log 11 log 3.log Lời giải Ta có: 49 + 20 = (5 + ) =5+2 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí C= ( lg − ) 20 ln e ( + lg + 3+ ) 20 lg (5 − 6)(5 + 6) = 2+8 20 =0 + 5ln e log7 log11 + log7 log11 ( log + log ) log 6 D= = = = 3 3 log 3.log 2 Ví dụ 5.1.1 Rút gọn biểu thức sau với điều kiện biểu thức tồn tại: ( ) A = log 3b a + log 2b a + log b a ( loga b − logab b ) − log b a B= C= log 2a + log ( log 2a )+1 log a + log 42 a − log 2a 1 + + + log n! log n! log n n! Lời giải ( ) Ta có: A = log 2b a + log b a + (1 − log b a.logab b ) − log b a 2 = ( log b a + 1) − − log b a loga ab 2 = ( log b a + 1) − − log b a + loga b log b a = ( log b a + 1) − − log b a = log b a + − log b a = log b a + Ta có: B = = + log a + 2(1 + log a).log a + log 22 a − log 2a log 22 a + log a = log a log a + Ta có: C = logn! + logn! + + logn! n = logn! (2.3 n) = Ví dụ 6.1.1 Tính log 36 24 , biết log12 27 = a Tính log 24 15 theo a, b , biết log = a, log = b Tính log 25 24 theo a, b , biết log6 15 = a, log12 18 = b Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Tính log126 150 theo a,b,c , biết log = a, log = b, log5 = c Lời giải a = log12 27 = 3log12 = Suy log = 3 = = log 12 log 22.3 2log + ( ) 3−a 2a log = 2a 3−a ( ) Ta có: log 36 24 = log 36 23.3 = 3log 36 + log 36 Hơn log 36 = log 36 = 1 3−a = = = log 36 log ( + log ) + 2a 1 2a = = = log 36 log ( + log ) + 2a Vậy, log 36 24 = 3log 36 + log 36 = log 24 15 = log 24 + log 24 = = 3log + + 1 + log 24 log 24 3log + log Hơn log = log 5.log = Vậy, log 24 15 = 9−a − 2a a (1 + b ) + ab 1 = log log ab 1 3log + log ) = ( 3x + y ) với x = log 2, y = log ( 2 y+1 1 + = a = log 15 = log + log = log log + log x +y 5 1+ log x + 2y 1 b = log 18 = log + log = + = 12 12 12 log log 2x + y 2+ 1+ log log b−2 − 2b Suy x = , y= 2b − a − ab − 2b − a − ab − log 25 24 = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí b−5 4b − 2a − 2ab − log126 150 = log126 + log126 + log126 Vậy, log 25 24 = = 1 1 + + = + log 126 log 126 log 126 log 2 + log + log + 1 + log + log 3 + log log + log + log Từ giả thiết suy ra: log = 1 = , log2 = log2 3.log3 5.log5 = abc log a log3 = log3 5.log5 = bc , log = 1 = , log = log 3.log = log b ab + a + 2ab + 2a + abc CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tính giá trị biểu thức: Vậy, log126 150 = A= ( 7) B = log log7 − log 270 + log 10 0,2 ) + 10 5( 1−lg ( lg − D= 1+log 1 − 3 5 F= 20 + lg 49 + 20 ( ln e + 5ln e e E = log a2 a C = a lg a + a loga 10 − − lg a loga 10 ) 35 27 − log 27 128 log7 2.log + log11 3.log 11 log 3.log Bài 2: Tính log 30 1350 theo a, b Biết log30 = a,log 30 = b theo a, b Biết log = a,log = b 15 Biết log6 15 = a; log12 18 = b Tính log 25 24 theo a, b Tính log Biết a = log2 3; b = log Tính log 24 14 theo a, b Bài 3: Tìm m , n để biểu thức sau không phụ thuộc vào a,b a −10 A = 3m log a b − 4n log 25 6 b − ) + log a b Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 20 Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí b2 + log ab 7 6 343a Bài 4: Chứng minh đẳng thức sau với điều kiện biểu thức tồn n ( n − 1) log a b + log a x log ax ( bx ) = log x a + log x a + + log x a n = + log a x log x a ( ) B = m log7 49a b − 3n log7 Bài 5: Với giá trị x, y biểu thức sau không đổi với a,b a b5 A = 2xlog ab2 a b − 3y log 32 − log a a b 2 B = ylog 3 a b − 4xlog 27 (81 ab2 ) − 6log ab Dạng Chứng minh Đẳng thức – Bất đẳng thức Ví dụ 1.2.1 So sánh: log log Lời giải log 2 log2 log3 log 3 = log 3 2 log log = log 3 − 2 − =− =− 2 log log 2 1 log3 + log3 ) log3 log3 = ( theo Cô Si) ( 2 log 2.log log = log log 2 log 2.log3 Ví dụ 2.2.1 Tìm a, b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 2a + 3b = 21 2lg(a − 3b) − lg = lga + log b Lời giải Điều kiện: a 3b Ta có: 2lg(a − 3b) − lg = lga + log b lg(a − 3b)2 = lg(4ab) (a − 3b)2 = 4ab Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 2a + 3b = 21 2a + 3b = 21 Do đó, ta có hệ : a − 10ab + 9b = (a − b)(a − 9b) = 2a + 3b = 21 a = a − 9b = b = Ví dụ 3.2.1 Chứng minh rằng: Với x2 + 4y2 = 12xy ta có : ln ( x + 2y ) − 2ln = 1 Với số thực x , ta có: log + x 2 2− x 2 ( ln x + ln y ) − Lời giải Điều kiện: x, y Giả thiết có x2 + 4y2 = 12xy x2 + 4y2 + 4xy = 16xy ( x + 2y ) = 16xy ln ( x + 2y ) = ln (16xy ) 2 2ln ( x + 2y ) = 4ln + ln x + ln y ln ( x + 2y ) − 2ln = (ln x + ln y ) 2 Theo bất đẳng thức trung bình cợng trung bình nhân, ta có: x + − x2 2 x − x2 = x − x2 2 x − x2 − 1 = 2 x − x2 − 1 1 x − x2 − log + = Như vậy, log 2x 2 2−x 2 2 1 1 1 7 Hay log + − x − − − 2x 2 2 8 2− x 2 Đẳng thức xảy x = Ví dụ 4.2.1 Chứng minh bất đẳng thức sau: x+y 2y ln với x y ; x 2x + y Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí b a 2a + b + với a b a 2b Lời giải Đặt t = x+y 1 x x+y tx = x + y y = x(t − 1) x 2y 2x(t − 1) t −1 Do đó: = =2 2x + y 2x + x(t − 1) t +1 t= Bài toán trở thành chứng minh: ln t t −1 với t t +1 2(t − 1) , t 1 t +1 Xét hàm số: f(t) = ln t − (t − 1)2 Ta có: f '(t) = − = t t (t + 1)2 t(t + 1)2 t −1 với t đpcm t +1 Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với f(t) f(1) = t hay ln t b a ( ) ( + 1) ln ( + 1) ln ( + 1) bln ( + 1) a ln ( + 1) a b ln ( + 1) Xét hàm số : f ( t ) = , t ( 0; + ) a b a 2 + a 2 + b +1 b b a a a b b (1) t t Ta có : f ' ( t ) = ( ) ( ( + 1) 4t ln 4t − 4t + ln t + t2 t ( 0; +) Vậy : a b f ( a ) f ( b ) ( ) 0, t nên hàm số nghịch biến ) ln ( + 1) ln 4a + b a b CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: So sánh số sau Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí log 2 log0.3 0.2 log0.2 0.3 1 log 3 log5 16 log + log − 4 300500 500300 − log log −log − log 7 log log + 25 125 49 72 49 +5 814 Bài 2: Gọi c cạnh huyền, a b hai cạnh góc vng mợt tam giác vng, c b 1,a Chứng minh rằng: logc+ b a + logc−b a = 2logc+ b a.logc−b a Cho a,b thỏa mãn a2 + b2 = 7ab Chứng minh rằng: a+b log 2012 = ( log 2012 a + log 2012 b ) 3 Tìm số thực a, b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 2a + 5ab + 2b2 − = b log ( a + 2b ) + log ( b + 2a ) = Cho a,b,c theo thứ tự ba số hạng liên tiếp một cấp số nhân 2a + 3b = 21 a 2 lg ( a − 3b ) − lg = lg a + lg b Chứng minh rằng: 3log a + 2log c = log b3 Cho a,b,c,x 0; x Chứng minh rằng: logx a, log x b, log x c theo thứ tự lập thành cấp số cộng a,b,c theo thứ tự cấp số nhân Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác ABC với c − b c + b Chứng minh logc+ b a + logc−b a = 2logc+ b a logc−b a ABC vuông C CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 3: Cho logabc 2012 = loga 2012 + log b 2012 + logc 2012 Chứng minh rằng: bà số a,b,c tồn một số nhỏ Cho a,b thỏa mãn a2 + b2 = 14ab Chứng minh rằng: a+b log 2012 = ( log 2012 a + log 2012 b ) Bài 4: Cho số thực a, b Chứng minh rằng: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí log c log a log b a+b a b + b c + c a 3 abc Bài 5: Cho số thực a,b,c Chứng minh bất đẳng thức: ln a + ln b ln log b+c a + logc +a b2 + loga + b c2 Bài 6: Cho số thực x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= ( 8x + y + 2x + 2y + y + 2x ) 4x+ 2y + y + 2x a, b,c,d Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 1 1 F = loga b − + log b c − + log c d − + logd a − 4 4 4 4 Cho Cho a,b,x 0; b,x thỏa mãn: log x a + 2b Tính giá = log x a + log x2 b trị biểu thức: P = 2a + 3ab + b ( a + 2b )2 a b Bài 7: 2 Chứng minh rằng: 3sin x + 3cos x với x Cho logabc 2010 = loga 2010 + log b 2010 + logc 2010 Chứng minh bà số a,b,c tồn một số nhỏ Cho a,b thỏa mãn a2 + b2 = 14ab Chứng minh rằng: a+b log = ( log a + log b ) Bài 8: Chứng minh rằng: 1 ln(1 + x) x − x2 x 2 ln(1 + x) x − x2 2x3 + Dạng Tìm tập xác định hàm số Phương pháp: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ x Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 0 a Hàm số y = loga f ( x ) xác định f ( x ) f ( x ) Hàm số y = logg( x ) f ( x ) xác định 0 g ( x ) ( Hàm số y = f ( x ) ) g(x) xác định f ( x ) Ví dụ 1.3.1 Tìm tập xác định hàm số sau: 1 y = 5x − 2x − + ln y = x2 − 4x + log (25 − 4x2 ) x −1 y = log2x+1(3x + 1) − 2log3x+1(2x + 1) y = log 3x+ − − 4x2 Lời giải 1 2 x −2x + 5x − 1 x Điều kiện x −1 x − x Vậy, D = (1; 2] x x − 4x + x1 − x Điều kiện 2 25 − 4x − x Vậy, D = − ;1 0 2x + x − Điều kiện: 0 3x + x Vậy, D = − ; + \0 x− 0 3x + Điều kiện: x − ; x 1 − − 4x Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Vậy, D = − ; + \ − ,0 Ví dụ 2.3.1 Tìm tập xác định hàm số sau: x2 + y = log log x2 + 2 y = x −1 ( ) ln −2x + x + − ln Lời giải Hàm số xác định : x2 + x2 + x2 + 1 log log x 1 log 1 x2 + x2 + x + 2 2 Vậy: D = − 1;1 Hàm số xác định : x x 2 x −2x + x + ln −2x + x + − ln 2 x ( ) ( ) ( ) 2 x − x − −1 x − x 0 x 0, x 0 x 1 1 9 D = 0; ; 4 4 4 x CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau: y = ln x −1 y = ln x + x2 − y = 3x − x + − ln x2 −1 y = 5x − 2x − + ln ( x −1 y = x − 4x + log 25 − 4x ) y = log2x+1 ( 3x + 1) − 2log3x+1 ( 2x + 1) y = log 3x+ − − 4x2 CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 2: Tìm tập xác định hàm số sau: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí y = − x2 + log x −1 x+1 y = x2 − 4x + − log x (x2 − 4) ( x+2 y = ln x2 + − x log x−3 y = x + logx log ( x2 + 2x −3) ) Bài 3: Tìm m để hàm số sau xác định với x x2 − mx + x2 − mx + 1 y = ln − + − x2 − x + x2 − x + y = log (2x2 + 3x + 2m − 1) y = log x2 + 2mx + m + y = log x2 + x2 + mx + 3x2 − 2mx + 2m − Dạng Tính giới hạn đạo hàm Phương pháp: ln (1 + x ) ex − =1 x→0 x→0 x x u x ln + u ( x ) e ( ) −1 Hệ quả: lim u ( x ) = lim = lim =1 x → x0 x → x0 u ( x ) x → x0 u ( x) Sử dụng giới hạn đặc biệt: lim = lim ( ) Sử dụng cơng thức đạo hàm Lưu ý: Để tính đạo hàm hàm số y = f ( x ) hàm Cụ thể: ln y = g ( x ) ln f ( x ) g(x) ta lấy loganepe hai lấy đạo y' = g ( x ) ln f ( x ) ' y eax − e bx x →0 x Ví dụ 1.4.1 Tìm giới hạn sau : A = lim Lời giải eax − e bx − − b lim =a−b x→0 ax x→0 bx Ta có: A = a lim Ví dụ 2.4.1 Tìm giới hạn sau : Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 2x +1 −1 e A = lim x→0 −e x 1− 3x −1 B = lim ln ( ) ( 3x + + − ln x→0 ) x+1 +1 x Lời giải −1 2x + − x →0 e Mà lim 2x +1 −1 e A = lim 2x +1 −1 Và lim x→0 B = lim x →0 −1 2x + − x →0 3 2x + − e 1− 3x −1 − 1 − 3x − − lim lim x → x → x x − 3x − lim 1− 3x −1 −1 x→0 − 3x −1 = lim e = ; lim x →0 2x + − =1 x − 3x − = −1 Nên A = + = x ln x→0 = lim ( ) ( 3x + + − ln x ( ) x+1 +1 ) ln + + 3x − ln x→0 − lim ( ) ln + + x − ln x→0 x ln + + 3x − ln + 1+ x −1 2 − lim =I−J = lim x →0 x →0 x x ln + + 3x − + 3x − = 1.1 = Mà I = lim x →0 x 2 + 3x − ln + 1+ x −1 + x − = 1 = J = lim x →0 x 2 1+ x −1 1 Vậy B = − = 4 ( x ) ( ) ) ( ) ( ( ( ) ) Ví dụ 3.4.1 Tính đạo hàm hàm số sau: 2x − 1 y = ln x + x2 + y = y = log (3x2 + 2x + 1) y = e 5x x +1 −x Lời giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ + 33x−1 Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí x + x2 + ' = Ta có: y' = x + x2 + x2 + x x 1 ln 2 1 + = Ta có: y = − y' = x ln x ln 5(ln − ln 5) 5 5 x ln Ta có: y' = (3x2 + 2x + 1)' ( 3x Ta có: y' = e ) + 2x + ln = ( 3x 6x + 2 ) + 2x + ln ' x +1 − x 3x −1 (3x − 1)'ln x + − x + 2x = e x +1 − x 33 x + ( ' ) − + 33x ln Ví dụ 4.4.1 −x x ( x + 1) e 1.Tìm a để hàm số y = có đạo hàm x = − x − ax + x 3 + ax − cos x ,x Tìm a, b để hàm số y = có đạo hàm x = ln + 2x + b − 1,x ( ) Lời giải ( ) y' + = lim ( ) y ( x) − y (0) x →0 + y' 0− = lim x y (x) − y (0) x→0− x = lim x →0 + ( x + 1) e − x − = x e−x − lim e − x − =0 −x x →0 + −x2 − ax + − = lim ( −x − a ) = a x x→0− x→0− = lim ( ) ( ) Hàm số có đạo hàm x = y' 0+ = y' − a = Hàm số có đạo hàm x = liên tục x = Khi lim y ( x ) = lim y ( x ) = y ( ) b = x →0 − x →0 + Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí ( ) Mặt khác : y' 0− = lim ( ) y' 0+ = lim x →0 − ln (1 + 2x ) x →0 + x + ax − cos x a = x =2 ( ) ( ) Hàm số có đạo hàm x = y' 0− = y' + a = Vậy a = 6,b = thoả yêu cầu toán CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm giới hạn sau : ex − H = lim x +1 −1 I = lim − ln + tan x x→0 sin x Bài 2: Tính đạo hàm hàm số sau: x→0 ( y = 2x + y = ln x y = y = 10 sin 3x 2x − ) + x) − ( J = lim , x →0 Dạng Ứng dụng – ( 0) a x − xa x→a x − a K = lim ( ) y = log 3x2 + 2x + y = ln y = e x x x2 − 2x + x2 + 2x + 3 x +1 −x + 33x−1 chứng minh đẳng thức – bất đẳng thức Ví dụ 1.5.1 Chứng minh rằng: hàm số y = f(x) = 5x ( x + − x) đồng biến Lời giải TXĐ: D = x Ta có: f '(x) = 5x ln x2 + − x + 5x − 1 x +1 = 5x ( x2 + − x) ln − x +1 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí x2 + − x x2 − x Ta có: f '(x) x 1 ln − 0 ln x2 + x2 + Vậy hàm số đồng biến Ví dụ 2.5.1 Phương trình ln ( x + 1) − ln ( x + ) + = khơng có nghiệm thực x+2 Với số thực x ta ln có: ln + + e2x e−x + x Lời giải Xét hàm số : f ( x ) = ln ( x + 1) − ln ( x + ) + khoảng ( −1; + ) Ta có f ' ( x ) = , xác định liên tục x+2 1 1 − − = − 0, x −1 x + x + ( x + 2) ( x + 1)( x + ) ( x + )2 f ( x ) liên tục đồng biến khoảng ( −1; + ) lim f ( x ) = − , lim f ( x ) = suy f ( x ) 0, x −1 x →1+ x→+ Vậy phương trình cho khơng có nghiệm thực Đặt t = ex toán trở thành “ Chứng minh t ln có ln + + t + ln t ” t Xét hàm số f ( t ) = ln + + t − − ln t với t t 1 + t2 − t − + = , suy y = f ( t ) đồng t2 + t2 + t + + t t t biến khoảng + + t2 + + t2 =0 = lim ln Mặt khác lim t →+ t →+ t t Ta có f ' ( t ) = 2t Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí + + t2 − lim = điều chứng tỏ hàm số y = f ( t ) Suy lim ln t →+ t t →+ t nhận Ox làm một tiệm cận ngang Ta thấy y = f ( t ) đồng biến ( 0; + ) hàm số có tiệm cận ngang y = t → + nên f ( t ) t Ví dụ 3.5.1 Cho x Chứng minh rằng: ln x x −1 x Lời giải x , bất phương trình cho tương đương ln x Xét hàm số f ( x ) = ln x − Ta có: f ' ( x ) = x−1 x − ( x + 1) x x −1 x với x x −2 x = (do cô si) x 2x x 2x x f ( x ) nghịch biến khoảng (1; + ) , suy f ( x ) f (1) = x , bất đẳng thức đã cho x , bất phương trình cho tương đương ln x Xét hàm số f ( x ) = ln x − x −1 x x−1 với x Tương tự trên, hàm số f ( x ) nghịch x biến khoảng ( 0;1) , suy f ( x ) f (1) = , bất đẳng thức đẳng thức đã cho Ví dụ 4.5.1 Cho số thực không âm x, y,z thỏa mãn z + y + z = Tìm giá trị 1 + + nhỏ của: P = + ln (1 + x ) − y + ln (1 + y ) − z + ln (1 + z ) − x Lời giải Giả thiết x, y,z suy + 2ln (1 + x ) − y 0, + 2ln (1 + y ) − z Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí + 2ln (1 + z ) − x Theo bất đẳng thức trung bình cợng trung bình nhân , ta có: P , biểu + ln ( + x ) − y + + ln (1 + y ) − z − + ln (1 + z ) − x thức có dạng: P 12 + f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) Xét hàm số f ( t ) = 2ln (1 + t ) − t, t 0; 3 , có f ( t ) = − t 1+ t Lập bảng biến thiên hàm f ( t ) , với t 0; suy f ( t ) 2ln − Do P 12 + f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) + ln , x = y = z = + ln CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh : Vậy P = Nếu y = esin x y'cos x − y.sin x − y" = Nếu y = ln ( cosx ) y' tan x − y"− = x thỏa mãn phương trình: y' (1 − x ) e y = , x ( 0;1) 1− x y = x cos ( ln x ) + sin ( ln x ) thỏa mãn: x2 y''− xy'+ 2y = y = ln Bài 2: Chứng minh rằng: ex + x, x Bài 3: y = xlogx 2 y = e − x +x ex + x + x2 , x ln (1 + x ) x − x2 x ( x 0,x 1) Giải bất phương trình: y' Giải phương trình: y''+ y'+ 2y = y = ln x + x2 + Giải phương trình: 2xy'− = ( Bài 4: Xét tính đơn điệu hàm số : y = ln −x4 − 3x2 + Bài 5: Xác định a để hàm số y = log 2a + 3a − 2a − ) x đồng biến khoảng ( 0; + ) Xét tính đơn điệu hàm số sau: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí ( ) b y = 5x x2 + − x a y = 2x − ln + x2 CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 6: 5x + 5−x − 15 5x − Cho hàm số: y = + + Tìm giá trị lớn 5x + 5− x + 5x + nhỏ hàm số đoạn − 1;1 ( Cho hàm số: y = + ) + (2 − ) 2x 2x ( −8 + ) + ( − ) Tìm giá x x trị nhỏ hàm số Bài 7: Chứng minh rằng: 0 a b c d a b bc cd da ad dc cb ba với bc ad x+y 2y ln với x y x 2x + y a2 ln b − b2 lna lna − ln b với a b b a 2a + b + với a b a 2b Bài 8: Cho k a,b,c số dương Chứng minh : 1 a k + bk k bk + c k k c k + a k k + + a + b+c 2 Cho hai số thực a,b thỏa a + b = k Chứng minh rằng: ( ) 1− k a k bk a k + bk ( ) Chứng minh : ln + + x2 + ln x, x x x Chứng minh : ln (1 + x ) x, x 1+ x x+a Cho x,a,b 0,a b Chứng minh rằng: x+ b x+ b a b b Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí ( Chứng minh : 2x + 3x ) (2 y x + 1 Chứng minh rằng: xx y + 3y ) x , xy0 x +1 với x Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ngày đăng: 08/04/2022, 13:56
Xem thêm:
