HÀM-SỐ-LIÊN-TỤC

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC Dạng toán CHỨNG MINH LIÊN TỤC Các định nghĩa - Hàm số f xác định khoảng  a;b  x0   a;b  Hàm số f gọi liên tục điểm x0 nếu: lim f  x   f  x0  x  x0 - Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn điểm x0 - Hàm số f liên tục khoảng K liên tục điểm thuộc tập hợp - Hàm số f xác định đoạn  a;b  gọi liên tục đoạn  a;b  liên tục khoảng  a;b  lim f  x   f  a  ; lim f  x   f  b  x a x b Các định lý - Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu điểm phải khác 0) - Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ liên tục tập xác định chúng - Các hàm số lượng giác y  sinx, y  cosx, y  tanx, y  cotx liên tục tập xác định chúng Chú ý: 1) Ý nghĩa hình học, hàm số f liên tục miền D có đồ thị đường liền nét 2) Chứng minh liên tục cách vận dụng định nghĩa: x0 x0  D lim f  x  y  f  x lim f  x   f  x0  - Để kiểm chứng hàm liên tục , x  x0 tồn hữu hạn x  x0 x0 lim f  x  - Nếu không thuộc D x  x0 không tồn không hữu hạn tồn x0 lim f  x   f  x0  x  x0 hàm số khơng liên tục, tức gián đoạn - Hàm số y  f  x  liên tục khoảng K liên tục x0  K - Hàm số y  f  x  liên tục đoạn lim f  x   f  a  ; lim f  x   f  b  xa  a;b liên tục khoảng  a;b  có thêm x b 3) Chứng minh liên tục cách vận dụng định lý: - Hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng giác liên tục tập xác định.  - Tầng, hiệu, tích thương hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (giá trị mẫu khác thương) Bài tốn Chứng minh hàm số liên tục x0   x2  x  x   f  x    x2  2 x    x3 2 x   g  x   x  1 x   b/ Giải a/ a/ Ta có: f  x0   f  1  2 Với x ≠ ta có: f  x  x  x   x  1 x   x    x2   x  1 x  1 x  x0   x5 lim f  x   lim   2  f  1  x 1 x    Do x 1 Vậy hàm số f liên tục điểm g  x0   g  1  b/ Ta có: x3 2 x34 g  x    x 1 x3 2  x  1 x   Với x > 1, ta có:   1    1 lim g  x   lim   vµ lim g  x   lim     x 1 x 1 x 1    x32 Do x1 Nªn lim g  x   lim g  x    g(1) x 1 x 1 Vậy hàm số g liên tục điểm x0  Bài toán Chứng minh hàm số sau gián đoạn x0   x 7  x   f  x   x   5x  x   a/ x0   x3  x   g  x   x  2 x   b/ Giải a/ Ta có f  x0   f    5.2   14 x2 x 7  x 7  x   f  x    x   x   x 7  Với x2 2 lim f  x   lim    f 2 x2 x 7  Do x 2 Vậy hàm số f gián đoạn điểm x0  x2 2 x 7  b/ Ta có: g  x0   g  1  2 x   x  1  x  x  1 g  x    x2  x  x 1 x 1 Với x ≠ 1, ta có: lim g  x   lim  x  x  1    g  1 x 1 Do x 1 Vậy hàm số g gián đoạn điểm x0  Bài toán Chứng minh hàm số sau liên tục ℝ f  x   x  2x  x3  g  x  x 1 a/ b/ Giải ℝ a/ Hàm số f  x   x  2x  xác định Với x0  ℝ , ta có: lim f  x   lim  x  2x    x0  2x0   f  x0  x  x0 x  x0 Vậy f liên tục điểm x0 nên hàm số f liên tục ℝ ℝ x3  f  x  x  xác định b/ Hàm số Với x0  ℝ , ta có x  x0  lim f  x   lim   f  x0  x  x0 x  x0 x  x0  Vậy f liên tục điểm x0 Do hàm số f liên tục ℝ Bài toán Chứng minh hàm số sau liên tục ℝ  x3  x   4x  x   x   g  x   x  x  f  x   7 x  x   1 x   a/ b/ Giải a/ Hàm số f xác định ℝ x2 4x  f  x  x  liên tục Với Với x = f    lim f  x   lim x2 x2 4x   lim x2 x2  x  2  4x  16 x  4x  tục Vậy hàm số liên tục ℝ b/ Hàm số xác định ℝ x3  x  g  x  x  liên tục Với x > Với x < g  x   x  liên tục   lim x2 16 x  4x    f 2 nên f liên Với x = g  1   x  1  x  x   x3  x  lim g  x   lim  lim  lim  x  x     lim g  x  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 lim g  x    g  1 nên x 1 : liên tục Vậy hàm số g liên tục ℝ Bài toán Chứng minh hàm số sau liên tục tập xác định f  x  x   2x  1 s inx  cos x g  x  x sin x a/ b/ Giải a/ Hàm số f xác định x    x  8 D   8;   x0   8;   lim f  x   lim x   x0   f  x0  x  x0 : x  x0 Do f liên tục khoảng  8;   Với Và lim  f  x   8    f  8  x  8  Vậy f liên tục D   8;   b/ Hàm số g xác định sinx   x  x  k  x  k ,k  ℤ Vậy D  ℝ \ k / k  ℤ  Với x0  k ta có:  2x  1 s inx  cos x   2x0  1 s inx0  cos x0  g x lim g  x   lim  0 x  x0 x  x0 x sin x x0 sin x0 nên g liên tục D Bài toán Chứng minh hàm số sau liên tục tập xác định g  x    2x f  x   x2 a/ b/ Giải  x     x  Vậy D   3;3  a/ Hàm số f xác định x0   3;3  Với lim f  x   lim ta có x  x0 x  x0  x2   x0  f  x0  Vậy hàm số liên tục điểm x0 Do f liên tục D   3;3  D   2;2  b/ Hàm số g  x    2x xác định x0   2;2  lim g  x    2x0  g  x0  Với ta có x  x0 Do hàm số g liên tục khoảng  2;2  lim  g  x     2    g  2  Và x  2  lim  g  x    2.2   g   x  2  Vậy hàm số g liên tục D   2;2  Bài tốn Tìm khoảng, nửa khoảng mà hàm số liên tục x  3x  g  x  x   x  f  x  2x  a/ b/ Giải 1     2x    x   D   ;      ;   2    a/ Điều kiện nên Vì f hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục tập xác định 1    D   ;      ;   2    x 1 x3 x3 b/ Điều kiện nên D   3;   Vậy g liên tục D   3;   Bài tốn Tìm điểm gián đoạn hàm số 3x  f  x  x  4x   x3  x  x  x x  0,1  g  x   1 x  8 x    a/ b/ Giải a/ Hàm phân thức hữu tỉ gián đoạn điểm không thuộc tập xác định x  4x    x  1 x  3 b/ Tập xác định D  ℝ x  0, x  x3  x g  x  x  x liên tục Với Với x = 0: g    x3  x x2  lim g  x   lim  lim  1  g   x 0 x 0 x  x x 0 x  Do g liên tục x = x3  x x2  lim g  x   lim  lim   x 1 x  x x 1 x  Với x = 1: x 1 Do g khơng có giới hạn x = Vậy hàm số gián đoạn x = Bài tốn Tìm điểm gián đoạn hàm số sinx f  x   tanx  cotx g  x  sinx  cos x a/ b/ Giải y  tanx  x   k ,k  ℤ a/ Hàm số liên tục y  cotx liên tục x  k ,k  ℤ Do hàm số f  x   tanx  cotx gián đoạn điểm    k ,x  k  x  k ,k  ℤ 2 b/ Hàm số g(x) gián đoạn điểm x:     sinx  cos x   sinx  cos x   sin  x     x   k  x   k ,k  ℤ 2 3 3  Dạng toán XÉT SỰ LIÊN TỤC x0 lim f  x   f  x0  - Hàm số f gọi liên tục điểm nếu: x  x0 - Hàm số không liên tục gọi gián đoạn điểm x0 - Hàm số f liên tục khoảng K liên tục điểm thuộc tập hợp lim f  x   f  a  ; lim f  x   f  b  - Hàm số f liên tục đoạn [a; b] f liên tục khoảng (a; b) x a x b - Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu điểm phải khác 0) - Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ liên tục tập xác định chúng - Các hàm số lượng giác y  sinx, y  cosx, y  tanx, y  cotx liên tục tập xác định chúng Chú ý: 1) Vận dụng định nghĩa định lý hàm liên tục lim f  x   lim f  x   L lim f  x   L x  x0 2) Nếu x  x0 x  x0 3) Phối hợp phương pháp để tính giới hạn khử dạng vơ định Bài tốn Xét liên tục hàm số x0   x  3x  x   f  x   x  1 x   a/ x0   x 1 x   g  x   x  2 x   b/ Giải a/ Ta có f  x0   f    x x  3x   x  1 x     x 1 x2 x2 Với x ≠ ta có: lim f  x   lim  x  1   f   x2 Do x 2 Vậy hàm số f liên tục điểm x0  f  x  b/ Ta có g  x0   g  1  Với x ≠ 1, ta có: g  x  x 1  x 1 x 1   lim g( x )  lim      g( ) x 1  x 1 Do x 1 Vậy hàm số g gián đoạn điểm x0  Bài toán Xét liên tục hàm số  x  12 x  f  x    x  x  x = a/   x  x  g  x    x   x b/ x = Giải lim f ( x )  lim ( x  )  a/ Ta có: x 0  x 0 lim f ( x )  lim ( x  )   lim f ( x ) x 0 x 0 x 0 lim f ( x ) Do khơng tồn x 0 nên hàm số gián đoạn x = 1 g( )   1, lim g( x )  lim  1 x 1 x 1 x  1 b/ Ta có lim g( x )  lim(  )  1  lim g( x )  x 1 x 1 x 1 x lim g( x )  1  g( ) Do x 1 nên hàm số g liên tục x = Bài toán Xét liên tục hàm số a/ f ( x )  x x = b/ g( x )  x  2x x  x = a/ Ta có f ( )  lim f ( x )  lim x   f ( ) x 0 Giải x 0 Vậy f liên tục x = b/ Ta có x = không thuộc tập xác định nên hàm số f gián đoạn x = Bài toán Xét liên tục hàm số f ( x )  x2  x   x2 a/ x 8 x  2  g( x )   4x   x  2  b/ Giải x  D  (  ;2 )  ( 2;  ) a/ Điều kiện nên x0  D   lim f ( x )  lim  x  x    f ( x0 )   x0  x0   x  x0 x  x0 x  x    Với Vậy f liên tục D b/ Tập xác định D = R x  2 x3  g( x )  4x  hàm phân thức nên liên tục Với x  2 g( 2 )  x3  ( x  )( x  2x  ) lim g( x )  lim  lim x 2 4x  4( x  ) Với x 2 x  2x    g( 2 ) x 2 : liên tục Vậy g liên tục R  lim Bài tốn Tìm giá trị tham số m để hàm số liên tục x =  x  3x  x   f ( x )   x  2x  mx  m  x   a/  x2 2  g( x )   x    x  3mx  b/ x2 x2 Giải a/ Ta có f(2) = 2m + m + = 3m + lim f ( x )  2m  m   3m   f ( ) x  3x  ( x  )( x  ) x 1 lim f ( x )  lim  lim  lim  x2 x2 x2 x2 x  2x x( x  ) x Hàm số f liên tục điểm x = 1 lim f ( x )  lim f ( x )  3m    m   x 2 x2 b/ Ta có g(2) = – 6m x2 2 ( x  )( x   ) lim g( x )  lim  lim x2 x2 x  x 7  ( x  )( x   ) x2 x 7    x2 2 Hàm số liên tục x = khi: lim g( x )  g( )   6m   m  x2 12 Bài tốn Tìm giá trị tham số a để hàm số liên tục R  x   x sin f(x) x a cos x  x  a/  lim x2  x2 6ax  g( x )   x   b/ x0 x 0 Giải f ( x )  x sin x liên tục a/ Với x > Với x < f ( x )  a cos x  liên tục Với x = f ( )  a.cos   a  lim f ( x )  lim ( a cos x  )  a   f ( ) x 0 x 0 2 0 x sin  x ,x  x 0 x 0 x x (vì ) Vậy hàm số liên tục R  a    a  x0 x2 f ( x )  6ax  x liên tục b/Với Với x = f(0) =  x lim f ( x )  lim  6ax    lim  x  1  x 0 x 0 x  x 0  lim f ( x )  lim x sin  x lim f ( x )  lim  6ax    lim  6ax  1  1 x 0 x 0 x  x 0  Vì f gián đoạn x = với a nên không tồn a để hàm số liên tục R Bài tốn Tìm giá trị tham số a b để hàm số liên tục x =  x  4x  a x   f ( x )   x 1  12  b x   Giải x  4x  a x 1 x 1 Ta có f(1) = 12 – b x 1   Vì mẫu thức tử thức -3 + a Giả sử a  giới hạn  hay  khơng liên tục: loại Do a = 3, x  4x  ( x  )( x  ) lim f ( x )  lim  lim  lim( x  )  2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Hàm số f liên tục điểm x = a = lim f ( x )  f ( )  12  b  2  b  14 lim f ( x )  lim x 1 Vậy điều kiện cần tìm a = b = 14 Dạng tốn NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH Định lí giá trị trung gian hàm số liên tục: Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a;b] Nếu f ( a )  f ( b ) với số thực M nằm f ( a ) f ( b ) , tồn điểm c  (a;b) cho f ( c ) = M - Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục đoạn [a;b] f ( a ) f ( b )  tồn điểm c  (a;b) cho f ( c )  , tức phương trình f ( x )  có nghiệm x = c thuộc khoảng (a;b) Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục đoạn [a;b] f ( a ) f ( b )  đồ thị hàm số y  f ( x ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c  (a;b) Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm Ta xét hàm số y  f ( x ) , kiểm tra tính chất liên tục Trên miền liên tục đó, tìm chọn giá trị a, b phân biệt mà f ( a ) f ( b )  - Nếu f ( x ) liên tục đoạn [a,b] f ( a ) f ( b )  tồn c thuộc khoảng (a;b) để f ( c )  tức phương trình f ( x )  có nghiệm x = c thuộc khoảng (a;b) - Nếu f ( x ) liên tục đoạn [a;b] f ( a ) f ( b )  tồn c thuộc đoạn [a;b] để f ( c )  tức phương trình f ( x )  có nghiệm x = c thuộc đoạn [a;b] Chứng minh phương trình f(x) = có k nghiệm Ta xét hàm số y  f ( x ) , kiểm tra tính chất liên tục Trên miền liên tục đó, tìm chọn k + giá trị       k 1 mà k + giá trị hàm số tương ứng f (  ); f(  ); ; f (  k 1 ) đổi dấu liên tiếp Từ suy phương trình f ( x )  có k nghiệm thuộc k khoảng rời (  ; ),(  ; ), ,(  k ; k 1 ) Chú ý: f ( a )  lim f ( x )   a 1/ Nếu có x  tồn a < 0, lớn để f (b)  lim f ( x )   Nếu có x  tồn b > 0, b lớn để 2/ Bài tốn chứng minh phương trình f ( x )  g( x ) có nghiệm Đặt hàm số h( x )  f ( x )  g( x ) , từ đưa tốn chứng minh h( x )  có nghiệm 3/ Bài tốn chứng minh phương trình f ( x )  có nghiệm thuộc khoảng (a;b) - Nếu f ( x ) liên tục đoạn [a;b] f ( a ) f ( b )  tồn c thuộc khoảng (a;b) để f ( c )  tức phương trình f ( x )  có nghiệm x = c thuộc khoảng (a;b) - Nếu f ( x ) liên tục đoạn [a;b] f ( a ) f ( b )  ta phải chọn đoạn [c;d] mà [c;d]  [a;b] f (c) f (d)  để đưa trường hợp 4/ Các định nghĩa định lý hàm liên tục Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ liên tục tập xác định chúng,… Bài tốn Chứng minh phương trình 3x  12x   có nghiệm Giải Đặt f ( x )  3x  12x  f liên tục R Ta có f ( )  1, f ( )  14 f ( ) f ( )  nên x0  ( 0;1 ) để f ( x0 )  Vậy phương trình 3x  12x   có nghiệm Bài tốn Chứng minh phương trình x cosx  x sin x   có nghiệm thuộc khoảng (0; ) Giải 2 Hàm số f ( x )  x cosx  x sin x  liên tục đoạn [ 0; ], f ( )   0, f (  )     Vì f(0) f(1) trái dấu nên, theo hệ định lí giá trị trung gian hàm số liên tục, tồn số thực c  (0;  ) cho f (c)  tức phương trình cho có nghiệm x  (0; ) Bài tốn Chứng minh phương trình x  x   có nghiệm âm lớn -1 Giải Hàm số f  x   x  x  liên tục đoạn [-1;0] Ta có f  1  1 f    Vì f  1 f    nên theo hệ định lí giá trị trung gian c  1 c   1;0  hàm số liên tục, tồn điểm cho f  c  nên nghiệm âm lớn -1 phương trình cho Bài tốn Chứng minh phương trình 3x  4x  x  12x  20  có nghiệm Giải Đặt f ( x )  3x  4x  x  12x  20 f liên tục R Ta có f ( )  20 lim f ( x )   x 0 f ( x1 )  Mặt khác: x  nên tồn để lim f ( x )   x 0 f ( x2 )  x  nên tồn để f ( ) f (x1 )  f ( ) f (x2 )  , ,   nên x0 (x1;0) x  ( 0; x2 ) để f ( x0 )  f ( x )  Vậy phương trình cho có nghiệm Bài tốn Chứng minh phương trình 2x  x   có nghiệm phân biệt Giải Đặt f ( x )  2x  x  f liên tục R f ( )  1, f ( )  3, f ( )  5, f ( 2 )  3  f ( 2 ) f ( )  0; f ( ) f( )  0; f( ) f( )  Vậy phương trình có nghiệm khoảng (-2;0); (0;1) (1;2) Bài toán Chứng minh phương trình x  5x  4x   có nghiệm phân biệt Giải Xét hàm số f ( x )  x  5x  4x  , f(x) liên tục R 73 13 f ( 2 )  1, f(  )  , f ( )  1, f ( )  , f ( )  1, f ( )  119 32 32 Ta có 3 1 f ( 2 ) f(  )  0; f(  ) f ( )  0; f( ) f( )  0; f ( ) f ( )  0; f ( ) f ( )  119  2 2 Nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng rời nhau: ( 1,3 ) 3 1 ( 2,  ), (  ,0 ), ( 0, ), ( ,1 ) 2 2 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt Bài tốn Chứng minh phương trình m( x  )( x  )  x  15  ln ln có nghiệm với m Giải Xét f ( x )  m( x  )( x  )  x  15 , f liên tục R Ta có: f ( )  6 f ( )  10 Do f ( ) f ( )  0,m Vậy phương trình ln ln có nghiệm với m Bài tốn Chứng minh phương trình ab( x  a )( x  b )  bc( x  b )(x  c)  ca( x  c )( x  a )  ln có nghiệm với a,b,c Giải Đặt f ( x )  ab( x  a )( x  b )  bc( x  b )(x  c)  ca( x  c )( x  a ) f liên tục D = R Ta có: f ( a )  bc( a  b )( a  c ), f(b)  ac(b  a )(b  c), f(c)  ab(c  a)(c  b) 2 2 2 nên f ( a ) f(b) f(c)   a b c ( a  b ) ( b  c ) ( c  a )  Do giá trị f ( a ), f ( b ), f ( c ) có giá trị khơng dương, giả sử f (a) 2 2 2 Mà f ( )  a b  b c  a c  nên f ( a ) f ( )  f liên tục R Vậy phương trình ln có nghiệm với a,b,c Bài toán Chứng minh phương trình bậc có nghiệm Giải  Xét phương trình bậc 3: ax + bx + cx + d = 0, a Chia vế cho a có phương trình: x3 + Bx2 + Cx + D = Đặt f ( x )  x  Bx  Cx  D f liên tục R f (p)  f(q)0 lim f ( x )   lim f ( x )   Ta có x  nên tồn p < để x  nên tồn q > để Do f ( p ) f ( q )  Suy đpcm Tổng quát phương trình bậc lẻ có nghiệm Bài tốn 10 Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm với tham số: a.sin3x  b.cos 2x  c.cos x  s inx  Giải f ( x )  a.sin3x  b.cos 2x  c.cos x  s inx Xét hàm số , f(x) liên tục R  f ( )  b  c, f ( )  a  b  Ta có 3 f (  )  b  c, f ( )  a b 1  3 f (0 ) f ( ) f ( ) f ( )0 2 nên với a,b,c f ( p ) f ( q )  3    p,q  0; ; ;   thỏa mãn  tồn giá trị nên phương trình ln ln có nghiệm với tham số a,b,c Bài toán 11 Chứng minh phương trình ax  bx  c  ln ln có nghiệm với tham số: a b c    0, m  m m1 m Giải Xét f ( x )  ax  bx  c , f(x) liên tục R Ta có f(0) = c a b c a b c   0   m m1 m Và m  m  m m   c   m1 c f  f ( ) f( )   0, m   m2 m( m  ) nên  m   m( m  ) Vậy phương trình ln ln có nghiệm với tham số a,b,c,m Bài tốn 12 Chứng minh phương trình ax  bx  c  ln ln có nghiệm với tham số trường hợp: 5a + 4b +6c = Giải Xét f(x)=ax  bx  c , f(x) liên tục R a b f ( )  c, f( )  a  b  c, f( )    c Ta có 10 1 f    4.f    f    a  b  c  2 Nên   f  p f  q  p,q  0 ; ;    thỏa Do tồn giá trị nên phương trình ln ln có nghiệm với tham số a,b,c Bài toán 13 Chứng minh phương trình x +ax  bx  cx   có nghiệm với a,b,c Giải Xét f ( x )  x +ax  bx  cx  , f liên tục R và:  f (p)  0; f( )  1  lim f ( x )   x  nên p < để  f (q)  lim f ( x )   x  nên q > để Do f ( p ) f( )  f ( ) f ( q )  với a,b,c nên phương trình có nghiệm Bài tốn 14 Chứng minh phương trình mx  2x  x  m  ln ln có nghiệm,  m Giải Xét m = 0: Phương trình trở thành 2x  x   x  x : phương trình có nghiệm m0 x4  x2  x   m m Xét : phương trình f ( x )  x4  x2  x  m m Đặt f liên tục D = R lim f x      f   , f    1  Vì x   để   lim f x      f  0 Vì x   để   Nên f   f    f   f     Vậy phương trình ln ln có nghiệm với m Dạng tốn TỐN TỔNG HỢP x lim f  x   f  x0  - Hàm số f liên tục điểm nếu: x  x0 - Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn x0 - Hàm số f liên tục khoảng K liên tục điểm thuộc tập hợp - Hàm số f liên tục đoạn  a;b  liên tục lim f  x   f  a  ; lim f  x   f  b  khoảng  a;b  - Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu điểm phải khác 0) - Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ liên tục tập xác định chúng - Các hàm số lượng giác y  sinx, y  cosx, y  tanx, y  cotx liên tục tập xác định chúng a;b  - Nếu hàm số f liên tục đoạn  f  a f  b  tồn điểm c   a; b cho xa x b f  c  , tức phương trình f  x   có nghiệm x = c thuộc khoảng  a;b    Chú ý: A x  B x   C  x 1) Nếu phương trình dạng B  x  đặt điều kiện biến đổi thành phương trình A x  A  x   B  x  C  x    C  x  B  x , 2) Bài toán chứng minh tồn số c thoả mãn đẳng thức 11 Ta thay thể c biến x đưa đẳng thức dạng phương trình có ấn số x Bài tốn trở tốn chứng minh phương trình f  x   có nghiệm, 3) Nếu hàm đa thức bậc n đủ n nghiệm phân biệt tất nghiệm phương trình Trong trường hợp ta giải phương trình Bài tốn Chứng minh hàm số sau liên tục R x3  xcosx  sinx f  x   x2 sinx  2cos2 x  g x  sin x  a) b) Giải y  cosx 2 a) Vì hàm số y  x , y  sinx liên tục R nên y  x sinx liên tục R Vì liên tục R 2 nên y  2cos x liên tục R, hàm y = liên tục R nên f  x   x sinx  2cos x  liên tục R 3 b) Vì hàm số y  x , y  x, y  cosx, y  sinx liên tục R nên y  x  xcosx  sinx liên tục R y  sinx  Ta có lấy giá trị đoạn 1;  nên y ≠ với x y  sinx  x3  xcosx  sinx y sin x  Vì hàm số liên tục R nên hàm số liên tục R Bài toán Tuỳ theo tham số, xét liên tục hàm số:  x 1 x  3  x 1  f  x   ax  b   x   x2  x   x  3  x2  Giải Dℝ x 1 f  x  x  liên tục Tập xác định Với x > 3  x  Với f  x   ax  b liên tục x2  x  Với x < -3 x2  liên tục Với x = f  1  a  b lim f  x   lim  ax  b  a  b  f  1 f  x  x 1 x 1    x  1 x  x   x 1 x2  x  lim f  x   lim   lim  lim   x 1 x 1  x   x 1 x 1 x  x  x       Với x = -3 f  3   3a  b lim  f  x   lim   ax  b  3a  b  f  3  x  3   x  3   x2  x    x  1 x    lim x   2  lim  f  x   lim    lim  x  3  x  3   x2   x 3  x   x   x 3 x  6 x  3 a  b  ; 3a  b  f gián đoạn Vậy: x1 a  b  ; 3a  b  f gián đoạn 12 x  3 x  ; 3a  b  f gián đoạn , ℝ 27 29 a  b  ; 3a  b   a  ,b  24 f liên tục Bài tốn Cho số a, b, c thoả mãn: 12 a  15 b  20 c  Chứng minh phương trình ax2  bx  c  ln ln có nghiệm Giải Dℝ Đặt f  x   ax  bx  c f hàm sơ cấp nên liên tục a b    16 75   75 f   a b c f    12 a  15 b  c Ta có:   25 nên   5 f 0   c f 0   c Và nên 75   75 f    f    12 a  15 b  c  c  12 a  15 b  20 c  4 Do đó:   4 f 0  f  Trong giá trị   có giá trị âm giá trị dương hay hai giá trị nên ta 4 f   f    5 có: f  x   4 0 ,  Mà f liên tục R nên phương trình ln có nghiệm thuộc    m Bài tốn Chứng minh phương trình sinx cosx ln ln có nghiệm với tham số Giải   f  x f  x   m  ,  sinx cosx Xét tham số , liên tục khoảng   Ta có         lim f  x     a   ;    , ;      ;   , f  a   2  2  2  x   lim f  x     b     ';   ,   ';     ;   , f  b  x  2  Do f  a f  b  với m nên phương trình ln ln có nghiệm 1   0 Bài tốn Cho a, b > Chứng minh phương trình x x  a x  b có nghiệm thỏa mãn a a 2 a b  x1  ;  x2  3 3 Giải x  ,a,  b Điều kiện 1     x  x  a  x  x  b   x  a x  b  Phương trình x x  a x  b ℝ Xét f  x   x  x  a  x  x  b   x  a x  b f liên tục Ta có f  b  b  a  b  ; f    ab  ; f  a  a  a  b  nên phương trình f  x   có nghiệm thỏa –b < x1 < < x2 < a Hai nghiệm thỏa điều kiện ban đầu, 1 1 a a      x1   x1 x1  b a  x1 x1 a  x1 13 2 a b 1 2a  x2    x1  3 Tương tự có Và x1  b a  x1 a a 2 b b  x1  ;  x2  3 Vậy phương trình cho có nghiệm thỏa: 1 x   f  x   x 5 x   Bài toán Cho hàm số a Chứng tỏ f  3  f    b Chứng tỏ phương trình f  x   khơng có nghiệm thuộc khoảng  3;  Điều có mâu thuẫn với định lý giá trị trung gian hàm số liên tục hay không? Giải 1 f  3  f    f  3    ; f    nên a/ xℝ b/ Vì f  x   với nên phương trình f  x   khơng có nghiệm Điều không mâu thuẫn với định lý giá trị trung gian hàm số liên tục hàm số f gián đoạn điểm x    3;  không tồn lim f x x0   Bài toán Cho hàm số f  x   x  x  x  Chứng minh với m  3;  tồn số c   1;  cho f  c  m Giải Ta có: f(x) liên tục đoạn 1;  có f  1  3; f    3  m  Vì nên theo định lý giá trị trung gian hàm số liên tục tồn c   1;  cho f  c  m x2  x  fx  2x  Bài toán Cho hàm số  c   1;  f  c  Chứng minh tồn số cho Giải 13 1;  f  1   f 5  11 Ta có f(x) liên tục đoạn có  13    Vì 11 nên theo định lí giá trị trung gian hàm số liên tục nên tồn điểm  c   1;  f  c  cho Bài toán Cho hàm số f(x) xác định, liên tục  a; b mà f  a  f  b Hai số c, d mà cd > Chứng minh tồn số r thỏa mãn cf  a  df  b   c  d  f  r   Giải Đặt g  x   cf  a  df  b   c  d  f  x  , g(x) liên tục  a; b g a  cf  a  df  b   c  d  f  a  d f  b  f  a Ta có   g b  cf  a  df  b   c  d  f  b  c f  a  f  b Và    Do  g  a g  b  cd f  b  f  a     0 Nên phương trình g  x   có nghiệm x = r 14 Vậy tồn số r để cf  a  df  b   c  d  f  r   ℝ Bài toán 10 Cho hàm số f(x) xác định, liên tục f    f  1 Chứng minh với m nguyên dương  1 f  t    f t  tồn số t thỏa mãn  m  Giải ℝ  1 g x  f  x    f  x m  Với m nguyên dương Đặt , g(x) liên tục 1 2  m  g    g    g     g    m  m  m  Ta có tổng:  1   2        f    f 0     f    f      f     m   m   m    m  f  1  f       f       f  1   m   m   f   m  1 2  m  g    g    g     g  0  m  m  m  Xét tất giá trị có kết số t, trái lại, tất  m 1 a,b  0 ; ; ; ;  m  để  m m giá trị không đồng thời tồn giá trị trái dấu tức tồn số g  a g  b  g  x  có nghiệm x  t Vậy ta có đpcm Bài tốn 11 Tìm số nghiệm phương trình: x5  10 x3  x   Giải Dℝ Xét f  x   x  10 x  x  f liên tục Ta có: f  10   90091  ; f  2   39  ; f    1    73 f    ; f  1  1  ; f  10   90089    32 Do f nhận giá trị liên tiếp trái dấu nên phương trình f  x   có nghiệm thuộc khoảng riêng biệt      10; 2  ;  2;  ;  0; 21  ;  21 ;  1; 10      Vậy phương trình có nghiệm phân biệt Bài tốn 12 Giải phương trình x3  x2  x   Giải ℝ Xét hàm số f  x   x  x  x  , f  x  liên tục 1 f  x  f  1  7 ; f    1; f    1; f (1)  2 Ta có nên có nghiệm nghiệm thuộc khoảng  1; 1 x  cost,0  t   Xét khoảng  1; 1 , đặt phương trình cos t  cos t  cost    cost cos2 t    sin2 t       cost.cos 2t   sin2 t  sin t  sin 3t (vì sint  )  3 5 t1  ; t2  ; t3  7 Giải chọn nghiệm  3 5 x1  cos ; x2  cos ; x3  cos 7 Vậy phương trình có nghiệm BÀI TẬP TỔNG HỢP 15 Bài tập Chứng minh hàm số liên tục:  x2  x  x2  f  x   x  1 x  x =  a/ Dùng định nghĩa Bài toán Chứng minh hàm số gián đoạn  x 1  ,x  f  x   x  2 ,x  x =  a/  x3  x,x  1 f  x   5  x ,x  1 b/ HD-ĐS x = -1  x  12 ,x  f  x    x2  ,x  b/ HD-ĐS x = Giới hạn bên khác Bài toán Chứng minh hàm số liên tục:  3;  a/ f  x    x  11;   f x  x  11 b/    HD-ĐS Chứng minh liên tục khoảng bổ sung giới hạn bên Bài tốn Xét tính liên tục ℝ ax2  x  x ,x  ,x   f  x   f  x   x   a x ,x     mx  m  ,x   a/ b/ HD-ĐS 1 a a liên tục cịn khơng liên tục a/ Kết b/ Kết m  liên tục cịn m  khơng liên tục Bài tốn Có thể định nghĩa f   để d liên tục x = không? a/ f  x  a/ Kết x2  x ,x  2x f 0    f  x  b/ HD-ĐS x x1 1 ,x  b/ Kết f    Bài toán Chứng minh phương trình a) x5  x   có nghiệm b) x4  x   có nghiệm c) x3  x2  x   có nghiệm HD-ĐS a) Lập hàm f  x  tìm chọn giá trị trái dấu b) Lập hàm f  x  tìm chọn giá trị liên tiếp trái dấu c) Lập hàm f  x  tìm chọn giá trị liên tiếp trái dấu Bài tốn Chứng minh phương trình a/ x  3mx   m   x   m  ln ln có nghiệm m b/ x  m.x   ,m  có nghiệm phân biệt HD-ĐS a) Lập hàm f  x  tìm chứng minh có giá trị trái dấu 16 b) Lập hàm f  x  tìm chứng minh có nghiệm giá trị liên tiếp trái dấu f  g x   g  f  x   Bài toán Cho hàm số f(x), g(x) liên tục R thoả mãn     f x  g x f  f x   g  g  x   Chứng minh phương trình:   vơ nghiệm phương trình     vơ nghiệm HD-ĐS Vì phương trình f  x   g  x  vô nghiệm f(x), g(x) liên tục R nên có khả xảy ra, f  x   g  x   ,x f  x   g  x   ,x 17