Biết rằng tổng các chữ số bằng 6 và nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì được một số cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại.. Cho một số có hai chữ số.[r]
(1)CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO 10 THPT CĐ: GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I – KIẾN THỨC CHUNG
Các bước giải:
- Bước 1: Gọi ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
- Bước 2: Biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn đại lượng biết - Bước 3: Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng - Bước 4: Giải hệ phương trình thu
- Bước 5: Kiểm tra xem nghiệm hệ, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không thỏa mãn, trả lời
II – CÁC DẠNG TOÁN
1 DẠNG TOÁN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ, CHỮ SỐ * Lưu ý:
- Biểu diễn số có hai chữ số: ab 10a b
Trong đó: a chữ số hàng chục Điều kiện: a 9, a b chữ số hàng đơn vị Điều kiện: b 9, b
* Ví dụ:
Ví dụ 1. Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 2015 hai lần số bé số lớn 406 đơn vị (ĐS: 1208 807)
Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên có hai chữ số Biết tổng chữ số thêm vào số 18 đơn vị số viết chữ số theo thứ tự ngược lại (ĐS: 24)
Ví dụ 3. Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 63 Tổng số cho số tạo thành 99 Tìm số cho
* Bài tập rèn luyện:
Bài 1.1. Tổng hai số 59 Hai lần số bé ba lần số Tìm hai số
Bài 1.2. Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 2216 lấy số lớn chia số bé thương 9, dư 56 (ĐS: 2000 216)
Bài 1.3. Đem số có hai chữ số nhân với tổng chữ số 63 Nếu lấy số viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại nhân với tổng chữ số 36 Hãy tìm hai chữ số (ĐS: 21)
(2)Bài 1.5. Tìm hai số biết lần số thứ hai cộng lần số thứ 18040 ba lần số thứ lớn hai lần số thứ hai 2002
Bài 1.6 Tìm hai số biết tổng chúng 75 tổng bình phương chúng 2873 (Đs: 43 32)
Bài 1.7 Tìm hai số có hiệu 10 có tích 144 (ĐS 18 8; -8 -18)
Bài 1.8 Số công nhân hai xí nghiệp trước tỉ lệ với Nay xí nghiệp I tăng thêm 80 cơng nhân, xí nghiệp II thêm 40 cơng nhân, đó, số cơng nhân hai xí nghiệp tỉ lệ với Tính số cơng nhân xí nghiệp (ĐS: 480 640)
Bài 1.9. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số 10 viết số theo thứ tự ngược lại số giảm 36 đơn vị
Bài 1.10. Trong phân số, mẫu số lớn hai lần tử số đơn vị Nếu cộng thêm vào tử
mẫu đơn vị nhân phân số vừa thu với phân số ban đầu
25 Tìm phân số ban đầu (đs: 7/25 2/5)
Bài 1.11 Tổng chữ số hàng đơn vị hai lần chữ số hàng chục số có hai chữ số 10 Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Tìm số có hai chữ số (ĐS: 42)
Bài 1.12 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng bình phương hai chữ số số cộng thêm tích hai chữ số Nếu thêm 36 vào số số có hai chữ số mà chữ số viết theo thứ tự ngược lại (ĐS: 48 37)
2 DẠNG 2. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
* Kiến thức cần nhớ:
- Loại tốn chuyển động có ba đại lượng tham gia, là: + Quãng đường S (km)
+ Vận tốc v (km/h) + Thời gian t (h)
- Công thức: Quãng đường = Vận tốc x Thời gian - Nên lập bảng để giải:
+ Nếu tốn có đối tượng tham gia chuyển động, nên lập bảng sau: s (km) v (km/h) t (h) Đối tượng
Đối tượng
(3)s (km) v (km/h) t (h) Giai đoạn
Giai đoạn
Lưu ý cách điền vào bảng: Điền kiện mà đề cho Điền ẩn ta chọn Cột cịn lại
biểu diễn thơng qua hai cột điền
+ Nếu tốn có hai đối tượng ngược chiều gặp vị trí qng đường ta ý: Tổng quãng đường hai đối tượng quãng đường lớn Dựa vào điều để đưa phương trình
AB + BC = AC + Xét chuyển động ca nô:
Vận tốc xi dịng = vận tốc thực ca nơ + vận tốc dịng nước Vận tốc xi dịng = vận tốc thực ca nơ + vận tốc dịng nước Vận tốc thực ca nô lớn vận tốc dịng nước
* Ví dụ:
Ví dụ 1. (Bài 30, tr.22 SGK)
Một ô tô từ A định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính độ dài quãng đường AB thời điểm xuất phát ô tô A
Ví dụ 2. Một ô tô quãng đường AC dài 195 km gồm đoạn đường nhựa AB đoạn đường đá BC Biết thời gian ô tô đoạn đường nhựa 15 phút, thời gian ô tô đường đá 30 phút Vận tốc ô tô đoạn đường nhựa lớn đường đá 20 km/h Tính vận tốc tơ đoạn đường
Ví dụ 3. Một ca nơ xi dịng 108 km ngược dịng 63 km, Lần thứ hai, ca nơ xi dòng 81 km ngược dòng 84 km Tính vận tốc dịng nước, biết vận tốc ca nơ lúc xi dịng ngược dịng hai lần
* Bài tập rèn luyện:
Bài 2.1. Một xe ô tô tải xe du lịch khởi hành từ thành phố A tới thành phố B Xe du lịch có vận tốc lớn vận tốc tơ tải 20 km/h, đến B trước xe ô tô tải 25 phút Tính vận tốc xe biết quãng đường AB dài 100 km.(Đs: ô tô tải: 60 km/h; xe du lịch: 80 km/h)
Bài 2.2 Khoảng cách từ A đến B 19 km Một xe đạp từ A đến B với vận tốc khơng đổi Sau 15 phút tơ từ A đến B đuổi kịp xe đạp sau 10 phút Đến B, ô tô quay trở A ô tô lại gặp xe đạp sau 50 phút kể từ xuất phát từ A Tính vận tốc hai xe
Bài 2.3. (Đề thi vào 10 – Vĩnh Phúc – 2001)
(4)bằng 4/5 vận tốc người thứ Sau hai người gặp Hỏi người quãng đường AB hết
Bài 2.4. Hai ô tô khởi hành lúc từ A B cách 350 km ngược chiều Sau giờ, hai xe gặp Tìm vận tốc xe biết xe từ A nhanh xe từ B 10 km/h
Bài 2.5. Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc định Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h thời gian giảm Nếu vận tốc giảm bớt 10km/h thời gian tăng thêm Tính vận tốc thời gian dự định ô tô
Bài 2.6. Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85km ngược chiều Sau 40 phút hai ca nơ gặp Tính vận tốc thật ca nơ, biết vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng 9km/h vận tốc dòng nước 3km/h (vận tốc thật ca nô không đổi)
Bài 2.7. Đoạn đường AB dài 200km Cùng lúc, xe máy từ A ô tô từ B, chúng gặp điểm C cách A 120km Nếu xe máy khởi hành sau tơ chúng gặp D cách C 24km Tính vận tốc xe
Bài 2.8. Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài 4km đoạn xuống dốc dài 5km Một người xe đạp từ A đến B hết 40 phút từ B A hết 41 phút Vận tốc lên dốc lúc nhau, vận tốc xuống dốc lúc Tính vận tốc lúc lên dốc lúc xuống dốc
3 DẠNG 3. BÀI TOÁN NĂNG SUẤT, LÀM CHUNG – RIÊNG * Kiến thức cần nhớ:
- Có ba đại lượng tham gia: + Khối lượng công việc + Năng suất làm việc + Thời gian làm việc - Công thức: Sản phẩm = Năng suất x Thời gian - Lập bảng:
+ Nếu có đối tượng, sản xuất chia nhiều giai đoạn (thường dự định, thực tế): Khối lượng công việc Năng suất Thời gian Dự định
Thức tế
+ Nếu toán làm chung, làm riêng:
Khối lượng công việc Năng suất Thời gian Đối tượng
Đối tượng Cả hai đối tượng
+ Đôi số sản phẩm làm bị giới hạn, ta cần đặt thêm điều kiện cho ẩn
+ Coi tổng công việc (phần) Nếu thời gian hồn thành cơng việc x suất
1
(5)* Ví dụ :
Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể cạn khơng có nước sau
4
5 đầy bể Nếu lúc
đầu mở vòi thứ nhất, sau mở thêm vòi thứ hai phải sau
6
5 đầy bể Hỏi
ngay từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể
Ví dụ Hai người thợ làm cơng việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc ?
* Bài tập rèn luyện:
Bài 3.1. Hai vòi nước chảy vào bể cạn nước sau đầy bể Ban đầu người ta mở hai vòi giờ, sau khóa vịi lại để vịi tiếp tục chảy đầy bể Hỏi vịi chảy sau đầy bể
Bài 3.2.(Đề thi tuyển sinh vào 10 TP Hà Nội năm học 2009 – 2010)
Hai tổ may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ ngày hai tổ may 1310 áo Biết ngày tổ thứ may nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi số áo may ngày (năng suất) tổ
Bài 3.3 Một bể vòi chảy đầy Một vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai Hỏi vịi chảy sau bao nhiều lâu đầy bể ?
Bài 3.4. Nếu hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau 30 phút đầy bể
Nếu mở vịi I 15 phút khóa lại mở vòi II chảy tiếp 20 phút
1
5bể Tính
thời gian vòi chảy riêng đầy bể
Bài 3.5.(Đề thi vào 10 - Hà Nội – 2012)
Hai người làm chung công việc 12
5 xong Nếu người làm thời gian để người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm để hồn thành cơng việc (đs: 4h 6h)
Bài 3.6. Trong thời gian nhau, đội phải đào 810m3 đất, đội hai phải đào 900m3 đất
Kết đội hoàn thành trước thời hạn ngày, đội hai hoàn thành trước thời hạn ngày Biết ngày đội hai đào nhiều đội 4m3 đất, tính số đất đội đào
(6)Bài 3.7 Hai người thợ xây tường 12 phút xong Nếu người thứ
làm người thứ hai làm hai người xây
3
4 tường Hỏi
người làm xây xong tường ?
Bài 3.8. Hai cơng nhân sơn cửa cho cơng trình ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày người thứ hai đến làm tiếp ngày xong việc Hỏi người làm xong việc ?
4 DẠNG 4.TOÁN LIÊN QUAN TỚI TỈ LỆ %, TĂNG GIẢM NĂNG SUẤT - SẢN LƯỢNG * Kiến thức cần nhớ:
+ Bài tốn có dạng tăng suất, tăng số lượng sản phẩm… sử dụng kiện cho xác, tránh nhầm lẫn ‘sản xuất tăng 200 sản phẩm’ ‘sản xuất 200 sản phẩm’ + Nếu đại lượng a tăng thêm m% tổng cộng sau tăng ta có a + a.m% khơng phải a.m%
+ Cần nắm rõ mối quan hệ ba đại lượng ‘số tổng’,’số thành phần nằm số tổng’ ’số % ’ cách tìm đại lượng ba đại lượng biết hai số cịn lại
* Ví dụ :
Ví dụ (Đề thi vào 10 - Hà Nội – 2008)
Tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy, tháng thứ hai tổ vượt mức 15%, tổ vượt mức 10% so với tháng thứ Vì hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy
Ví dụ Hai phân xưởng nhà máy theo kế hoạch phải làm 540 dụng cụ Do cải tiến kỹ thuật, phân xưởng I vượt mức 15%, phân xưởng II vượt mức 12% kế hoạch Do tăng thêm 72 dụng cụ Tính số dụng cụ phân xưởng làm
* Bài tập rèn luyện:
Bài 4.1 Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất 400 sản phẩm Tháng sau cải tiến kỹ thuật nên tổ
1 sản xuất thêm
1
10số sản phẩm tháng trước, tổ sản xuất thêm
15số sản phẩm
tháng trước, tổng số sản phẩm tháng sau 435 sản phẩm Hỏi tháng đầu tổ sản xuất sản phẩm
(7)VAT 9% loại hàng người phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng Hỏi không kể thuế VAT người phải trả tiền cho loại hàng? (đs: 0,5 triệu 1,5 triệu)
Bài 4.3. An mua 60 sách 75 tổng cộng hết 3.150.000 đồng Vì dịp giảm giá nên sách giảm 15% giảm 10% nên thực tế An phải trả 2.760.000 đồng Tính giá chưa giảm sách,
Bài 4.4. Hai trường A B có 420 học sinh thi đỗ vào lớp 10, đạt tỉ lệ 84% Riêng trường A tỉ lệ đỗ 80%, riêng trường B tỉ lệ đỗ 90% Tính số học sinh thi trường
5 DẠNG 5. TỐN CĨ NỘI DUNG HÌNH HỌC
* Kiến thức cần nhớ:
+ Cần ơn tập lại cơng thức tính chu vi, diện tích hình (tam giác, hình chữ nhật, hình trịn ) + Cần ơn tập lại tính chất hình đặc biệt
* Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. (Đề thi vào 10 – Hà Nội – 2010)
Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo 13m chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất
Ví dụ Diện tích hình thang 140m2, chiều cao 8cm, tìm cạnh đáy biết chúng
kém 15cm
Ví dụ 3. Tính độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng, biết tăng cạnh lên 3cm diện tích tam giác tăng thêm 36cm2, cạnh giảm 2cm, cạnh giảm 4cm
diện tích tam giác giảm 26cm2.
* Bài tập rèn luyện:
Bài 5.1. Một tam giác có chiều cao
3
4 cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3dm cạnh đáy
giảm 2dm diện tích tam giác tăng thêm 12dm2 Tính chiều cao cạnh đáy tam giác.
Bài 5.2. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 90 m Nếu giảm chiều dài 5m chiều rộng 2m diện tích giảm 140 m2 Tính diện tích ban đầu hình chữ nhật.
Bài 5.3. Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài m Nếu tăng thêm chiều dài 0,25 lần diện tích hình chữ nhật tăng thêm m2 Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu (đs 12m2)
Bài 5.4. Một tam giác vuông có chu vi 30m, cạnh huyền 13m Tính cạnh góc vng (đs: 12 5)
Bài 5.5 Một tam giác vng có chiều cao ứng với cạnh huyền dài 24cm chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có hiệu 14 cm Tính cạnh huyền (ĐS: 50 cm)
(8)Bài 5.7 Cạnh huyền tam giác vuông 10 cm Hai cạnh góc vng có độ dài cm Tính cạnh góc vng tam giác (ĐS: cm cm)
6 DẠNG 6. TỐN CĨ NỘI DUNG KHÁC
* Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1.
Có hai loại quặng chứa 75% sắt 50% sắt Tính khối lượng loại quặng đem trộn để 25 quặng chứa 66% sắt
Ví dụ Khi thêm 200g axit vào dung dịch axit (gồm nước axit) dung dịch có nộng độ axit 50% Lại thêm tiếp 300g nước vào dung dịch ta dung dịch axit có nồng độ 40% Tính nồng độ axit dung dịch
* Bài tập rèn luyện:
Bài 6.1 Tổng khối lượng hai loại quặng sắt 10 Khối lượng sắt nguyên chất quặng loại I 0,8 tấn, quặng loại II 0,6 Biết tỷ lệ sắt nguyên chất quặng loại I nhiều tỷ lệ sắt nguyên chất quặng loại II 10% Tính khối lượng loại quặng