Bài 4. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi K là giao điểm của hai đường chéo AC và BE. Cho hình chữ nhật ABCD. E là điểm bất kì nằm trên đường chéo AC. Đường thẳng qua E, song song với AD cắt AB[r]
(1)TỨ GIÁC
Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB,BC,CD,DA, bất bì đoạn thẳng nào khơng nằm đường thẳng.
Tứ giác lồi :Là tứ giác nằm nửa mặt phẳng mà bờ đường thẳng chứa cạnh nào tứ giác.
Chú ý: Khi nói đến tứ giác, ta hiểu tứ giác lồi, tứ giác lồi tổng góc 3600, tổng góc ngồi 3600.
Dạng Sử dụng tính chất góc tứ giác để tính góc
PP: Sử dụng tính chất tổng góc tứ giác, ttrong tam giác, góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng song song…
Bài 1.Cho tứ giác ABCD có B^=120;C^=60;^D=90 Tính góc A góc ngồi đỉnh A
HD:
^
A+ ^B+ ^C+ ^D=3600 nên ^A=900 góc ngồi đỉnh A la: 1800−900=900 Bài 2.Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, C=60^ ;^A=100 .
a) Chứng minh AC đường trung trực BD b) Tính B ,^ ^D .
HD:
a) ∆ ABD ∆ CBD cân nên AC trung trực BD. b) ∆ ABD cân mà ^A=1000
=¿^ABD=^ADB=400 ; ∆ CBD cân mà ^
C=600=¿CBD^= ^CDB=600 ¿> ^B= ^D=1000 .
Bài 3.Cho tứ giác ABCD có phân giác góc A góc B cắt E, phân giác ngồi góc A góc B cắt F Chứng minh: ^AEB=C^+ ^D
2 ^AFB= ^ A+ ^B
2
HD:
^
AEB=1800−(^EAB+ ^EBA)=1800−^A+ ^B =
^ C+ ^D
2
Vì tứ giác BFAE có ^A= ^B=900 nên ^
F+ ^E=1800 hay ^
AFB=1800
−^AEB=1800−C+ ^^ D 2 =
^ A+ ^B
2
Bài 4.Cho tứ giác ABCD có B^+ ^D=180 và CB=CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = AB Chứng minh:
a) Các tam giác ABC EDC b) AC phân giác góc A
HD:
(2)b, Theo a AC=CE nên ∆ ACE cân , suy CAE=^^ CEA mà CEA=^^ CAB (hai góc tương
ứng ) nên
^
CAB=^CAE Vậy AC phân giác góc A
Bài 5. Cho tứ giác ABCD biết số đo góc ^A ,B ,^ C ,^ ^D tỉ lệ thuận với 5; 8; 13 10 a) Tính số đo góc tứ giác ABCD
b) Kéo dài hai cạnh AB DC cắt E, kéo dài hai cạnh AD BC cắt F Hai tia phân giác góc AED góc AFB cắt O Phân giác góc AFB cắt cạnh CD AB M N Chứng minh O trung điểm đoạn MN
HD: a, Ta có: ^A
5= ^ B 8= ^ C 13= ^ D 10= ^
A+ ^B+ ^C+ ^D 5+8+13+10=
3600 36 =10
0
Vậy: ^A=500 ; B^=800 ; C=130^ ; ^D=1000
b, Xét ∆ AFB có: ^A=500 ; ^
B=800 nên ^AFB=500 ; suy ^
MFD=250 =>
^FMD=750
=^NME ; ^ANF=1050 nên ^MNE=750 Vậy ∆ NEM cân E mà EO là
phân giác nên O trung điểm MN.
Bài 6. Cho tứ giác ABCD có B^+ ^D=180 , AC tia phân giác góc A Chứng minh CB = CD.
HD:
Kẻ CH vng góc AD, CP vng góc AB CH=CP( t/c phân giác)
^
D=^CBP ( bù với góc B^ ) nên ^HCD=^PCB => ∆ HCD=∆ PCB
(cgv-gnk) nên DC=BC.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có ^A=a ,C^=b Hai đường thẳng AD BC cắt E, hai đường thẳng AB DC cắt F Các tia phân giác hai góc AEB AFD cắt I Tính góc
^
EIF theo a,b
HD:
Goi AB giao IE O, CB giao IF H, Ta có:
^ EIF=1800
−(^F
2+ ^IOB)=180
−(a−E^ 2+
^ F
2) (1) ^
EIF=1800−(^E
2+ ^IHE)=180
−(b−F^ 2+
^ E
2) (2)
Lấy (1)+(2) theo vế ta được: 2 ^EIF = 3600
−(a+b) nên ^EIF = 360
−(a+b)
(3)Dạng Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải toán liên hệ đến cạnh tứ giác Bài 1. Cho tứ giác ABCD Chứng minh:
a) AB<BC+CD+DA b) AC+BD<AB+BC+CD+DA
HD:
a, AB<AD+DB; DB<DC+CB Cộng vế hai bất đẳng thức ta được: AB+DB<AD+DB+DC+CB hay AB<BC+CD+DA.
b, Ta có: AC<AB+BC AC<AD+DC BD<AD+AB
BD<DC+BC Cộng vế bất đẳng thức suy ra: AC+DB<AB+BC+CD+DA.
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB BD AC CD Chứng minh: AB AC .
HD:
OA+OB>AB; OC+OD>DC Cộng vế bất đẳng thức suy : OA+OB+OC+OD>AB+DC
hay AC+BD>AB+DC (1) mà AC+CD ≥ AB+DB (2) Cộng (1) (2) theo vế suy ra: 2AC+DB+CD>2AB+DC+DB hay AC>AB.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD
a) Chứng minh: AB BC CD AD OA OB OC OD AB BC CD AD2
b) * Khi O điểm thuộc miền tứ giác ABCD, kết luận có khơng?
HD:
a, OA+OB>AB; OA+OD>AD; OD+OC>DC; OC+OB>BC; Cộng theo vế bất đẳng thức suy ra: 2(OA+OB+OC+OD)>AB+BC+CD+DA (1).
Ta có: OA+OB+OC+OD=AC+DB < AB+BC+CD+DA (2) Đã chứng minh 1. Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh.
b, Khi O điểm tam giác:
Ta có: OA+OB>AB; OC+OD>DC hay OA+OB+OC+OD>AB+DC Tương tự ta có: OA+OB+OC+OD>BC+AD nên OA+OB+OC+OD> (AB+BC+CD+DA):2 ln đúng. Xét bất đẳng thức : OA+OB+OC+OD<AB+BC+CD+DA:
Vẽ ∆ ABO có AB=2cm, AO=10cm, OB=11cm, tia đối OB lấy OD=1cm,
Ta có: AD<OA+OD=11cm, lấy C cho BD trung trực AC, BC=AB=2cm, CD=AD OA=OC, Ta có: OA+OB+OC+OD=32cm, AB+BC+CD+DA=26cm nên OA+OB+OC+OD>AB+BC+CD+DA.
Bài 4. Chứng minh tứ giác thì:
a) Tổng độ dài cạnh đối diện nhỏ tổng độ dài hai đường chéo b) Tổng độ dài hai đường chéo lớn nửa chu vi tứ giác
(4)a, Gọi giao điểm đường chéo O Ta có: OA+OB>AB; OC+OD>DC Cộng theo vế bất đẳng thức trên suy ra: OA+OB+OC+OD>AB+DC hay AC+DB>AB+DC.
Chứng minh tương tự ta được: AC+BD>AD+BC.
b, AC+DB=OA+OC+OD+OB>(AB+BC+CD+DA):2 Theo 1.
HÌNH THANG – HÌNH THANG VNG 1 Định nghĩa:
Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hình thang vng hình thang có góc vng. 2 Tính chất:
Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên nhau, hai cạnh đáy
nhau.
Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song nhau.
Dạng Tính chất góc hình thang
PP: Sử dụng tính chất góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng song song: Hai góc sole trong nhau, phía bù nhau…
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ^A− ^D=200,B^=2C^ Tính góc hình thang.
HD:
Vì AB//CD nên ^A+ ^D=1800 ( hai góc phía) mà ^
A− ^D=200 nên
^
A=1000 ; ^D=800 .
Tương tự: B^+ ^C=1800 mà B=2^ C^ nên
2C^+ ^C=1800 =>
3C=180^ nên ^
C=600 B=120^ .
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD, AD = BC = AB, BDC^=300 Tính góc hình thang
HD:
^
DBA=^BDC=300 (sole); ^DBA=^ADB=300 ( ∆ ADB c â n ) Suy ^A=1200
và ^D=600 .
Từ B kẻ BE // AD Suy BE=AD CEB^=^D=600 ( đồng vị) mà CB=BE nên ∆ BCE
đếu
^
C=600 ; B^=1200 .
Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD Chứng minh rằng: ^A+ ^B> ^C+ ^D .
(5)Trên DC lấy E cho AB=DE Suy : ^A=^DEB ; ^D=^EBA ; ^A+ ^B = ^
A+ ^D+ ^EBC = ^D+ ^DEB+ ^EBC> ^D+ ^C
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường phân giác góc A B cắt điểm K thuộc đáy CD Chứng minh AD + BC = DC
HD:
∆ ADK cân D, ∆ CBK cân C ( có hai góc đáy nhau) nên AD=DK; KC=CB
Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB // CD)
a) Chứng minh hai tia phân giác hai góc A D qua trung điểm F cạnh bên BC cạnh bên AD tổng hai đáy
b) Chứng minh AD = AB + CD hai tia phân giác hai góc A D cắt trung điểm cạnh bên BC
HD:
Trên AD lấy K cho AK=AB
∆ AKF= ∆ ABF (c.g.c) nên ^AFK=^AFB
Vì ^A= ^D=1800 nên ^
FAK+ ^FDK=900 .
Ta có: ^AFK+ ^KFD=900 ; ^
AFB+ ^DFC=900 mà ^AFK=^ÂFB nên ^KFD=^CFD suy
ra ∆ KFD= ∆ CFD (g.c.g) nên KD=DC. AD=AK+KD=AB+CD đpcm.
Bài 6. Cho hình thang ABCD có ^A= ^B=90 AB=BC=AD
2 Lấy điểm M thuộc đáy nhỏ BC Kẻ Mx MA, Mx cắt CD N Chứng minh tam giác AMN vuông cân
HD:
Tính : C^=1350 ,
Trên AB lấy K cho BM=BK suy AK=MC,
Vì ∆ KBM vng cân nên ^AKM=1350 , mặt khác: ^AKM
=^NMC ( bù với góc ^AMB
)
suy ∆ AKM = ∆ MCN (g.c.g) nên AM=MN
Dạng Chứng minh tứ giác hình thang, hình thang vng
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AB = BC AC tia phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang
(6)∆ ABC cân nên BAC^=^BCA mà BAC^=^CAD nên CAD=^^ BCA suy BC//AD hay ABCD hình thang
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M thuộc cạnh BC cho AM=BC
2 , N trung điểm cạnh AB Chứng minh:
a) Tam giác AMB cân
b) Tứ giác MNAC hình thang vng
HD:
a, Vì AM=AB:2 nên AM đường trung tuyến suy AM=MB=MC, hay ∆ AMB cân M.
b, Vì ∆ AMB cân M, N trung điểm AB nên MN vng góc AB suy ANMC hình thang vuông.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Từ H kẻ HD AC, HE AB Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng HB, HC Chứng minh tứ giác DEMN hình thang vng
HD:
^MEH=^MHE=^MAE=^MDE=^MCD ; ^MBE=^MAD=^MED=^DMC nên ^MED=^EDN=900 suy MEDN hình thang vng.
HÌNH THANG CÂN 1 Định nghĩa:
Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy nhau.
2 Tính chất: Trong hình thang cân:
Hai cạnh bên nhau. Hai đường chéo nhau. 3 Dấu hiệu nhận biết:
Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân. Hình thang có hai đường chéo hình thang cân.
Dạng Sử dụng tính chất hình thang cân để tính tốn chứng minh
Bài 1. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Kẻ đường cao AE, BF hình thang Chứng minh DE = CF
HD:
∆ ADE= ∆ BCF (ch-gn) nên DE=CF.
Bài 2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) a) Chứng minh: ^ACD=^BDC .
b) Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh: EA EB .
(7)a, ∆ ACD= ∆ BDC (c.c.c) nên ^ACD=^BDC .
b, ^ABE=^BDC ; BAE^=^ACD nên ^ABE=^BAE suy ∆ AEB cân E nên EA=EB.
Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB > CD) có CD a , ^A+ ^B=1
2( ^C+ ^D) Đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC
a) Tính góc hình thang
b) Chứng minh AC phân giác góc ^DAB . c) Tính diện tích hình thang
HD: a, Ta có:
^
A+ ^B+ ^C+ ^D=360 mà C^+ ^D=2( ^A+ ^B) nên ^A+ ^B =120 Vì ABCD hình thang cân nên ^
A= ^B=60 ; C^+ ^D =120.
b, CAB=^^ DAC=30 nên AC phân giác ^DAB .
c, ∆ CAB vuông C mà CAB=30^ ; CB= a nên AB=2a ( cạnh đối diện góc 300 nửa cạnh
huyền) Suy AC= a √3 (Pytago cho tam giác ABC) Từ C kẻ CH vuông góc AB suy ra: CH.AB=AC.CB => CH= a√3
2 SABCD=
(AB+DC)CH
2 =
3a2√3 4 .
Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có BDC^=45 Gọi O giao điểm AC BD. a) Chứng minh tam giác DOC vng cân
b) Tính diện tích hình thang ABCD, biết BD = (cm)
HD:
a, BDC^=^ACD=45
b, SABCD=SABC+SDAC = DO AC2 +OB AC2 = AC.BD:2=6.6:2=18cm2
.
Dạng Chứng minh tứ giác hình thang cân
Bài 1. Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD, CE (D AC, E AB) Chứng minh BEDC hình thang cân có đáy nhỏ cạnh bên
HD:
Vì ∆ ABC ∆ AED cân A nên ED//BC, mà B=^^ C nên EDCB hình thang cân. Vì ED//BC nên BDE=^^ DBC ( sole trong) mà ^DBC=^DBE (gt) nên ^EDB=^BDE
(8)Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ^ACD=^BDC Chứng minh ABCD hình thang cân
HD:
Gọi giao điểm DB AC O, ta có: ^ODC=^OBA (sole trong) ; OAB=^^ OCD (sole
trong) mà ^OCD=^ODC (gt) nên ∆ ODC ∆ OAB tam giác cân O, suy ra
OA=OB; OC=OD hay AC=BD Vậy ABCD hình thang cân.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD = AE
a) Chứng minh BDEC hình thang cân
b) Tính góc hình thang cân đó, biết ^A=50 .
HD:
b) B=^^ C=65,^CED=^BDE=115 .
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC E Chứng minh:
a) Tam giác BDE tam giác cân
b) Các tam giác ACD BDC
HD:
a, ∆ BCE= ∆ CBA (g.c.g) nên BE=AC mà AC=BD nên ∆ DBE cân B. b, Vì AC=BD nên ABCD hình thang cân, suy AD=BC.
suy ∆ ACD= ∆ BDC (c.c.c)
Bài 5. Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D, đường thẳng song song với AC cắt BC E, đường thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh:
a) Các tứ giác BDME, CFME, ADMF hình thang cân
b) Chu vi tam giác DEF tổng khoảng cách từ M đến đỉnh tam giác ABC c) ^DME=^DMF=^EMF
HD:
c) ^DME=^DMF=^EMF=120 .
Bài 6. Cho hình thang ABCD (AD // BC, AD > BC) có đường chéo AC vng góc với cạnh bên CD, ^
BAC=^CAD ^D=600 a) Chứng minh ABCD hình thang cân
b) Tính độ dài cạnh đáy AD, biết chu vi hình thang 20 cm
HD:
a, Vì ^D=600 nên CAD^
=300 hay ^A=600 Vậy ABCD hình thang cân.
b, Vì CAD^=300 nên AD=2DC, ta có: ^ACB=^CAB=^CAD nên ∆ ACB cân B, suy
(9)ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 1 Đường trung bình tam giác:
Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác.
Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua
trung điểm cạnh thứ ba.
Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh ấy.
2 Đường trung bình hình thang
Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua
trung điểm cạnh bên thứ hai.
Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy.
Bài 1. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên cạnh AB, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EB Gọi I giao điểm AM với CD Chứng minh: AI = IM
HD:
∆ BDC có EM đường trung bình nên EM//DC hay EM//DI.
∆ AEM có DI//EM D trung điểm AE nên I trung điểm AM.
Bài 2. Cho tam giác ABC hai đường trung tuyến BD, CE cắt G Gọi M, N trung điểm BG, CG Chứng minh tứ giác MNDE có cặp cạnh đối song song
HD:
∆ ABC có DE đường trung bình nên DE//= 1
2 BC (1) ∆ GBC có NM đường trung bình nên MN//= 1
2 BC (2)
Từ (1)(2) suy DE//= MN. Tương tự: DN//= 1
2 AG; EM//= 1
2 AG nên DN//=EM.
Bài 3. Cho tam giác ABC Trên tia BA lấy điểm D cho A trung điểm BD Trên tia CB lấy điểm E cho B trung điểm CE Hai đường thẳng AC DE cắt I Chứng minh rằng:
DE DI
3
HD:
(10)Vì HB//IC B trung điểm EC nên H trung điểm EI (2). Từ (1)(2) suy 3DI=DE.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có góc C=40^ , ^D=80 , AD = BC Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB CD Tính góc nhọn tạo đường thẳng FE với đường thẳng AD BC
HD:
Gọi EF cắt AD BC M N, AD cắt BC O
Gọi I trung điểm BD, Suy IE đường trung bình ∆ DBA FI đường trung bình
∆ DBC.
Mà AD=BC nên IE=IF hay ∆ IEF cân I.
^
ONM=^FNC=^NFI ( hai góc sole trong) ^
OMN=^IEF ( hai góc đồng vị) mà ^NFI=^IEF nên ∆ OMN cân O mà ^NOM=120 nên ^ONM = ^OMN=30 .
Bài 5. Cho A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng d (AB > BC) Trên nửa mặt phẳng bờ d, vẽ tam giác AMB BNC Gọi P, Q, R, S trung điểm BM, CM, BN, AN Chứng minh:
a) PQRS hình thang cân
b) SQ MN
1 2
HD:
a, PQ đường trung bình ∆ MBC nên PQ//BC
SR đường trung bình ∆ NAB nên SR//AB Suy SR//PQ nên PQRS hình thang.
Gọi H I trung điểm AB BC Ta có: SH đường trung bình ∆ ABN nên SH//BN, mà BN//AM ( hai góc đồng vị nhau) nên SH//AM (1)
PH đường trung bình ∆ MAB nên PH//AM (2).
Từ (1)(2) suy P,S,H thẳng hàng PS//AM nên ^PSR=600 Chứng minh tương tự Q,R,I thẳng
hàng QRS=60^ nên PQRS hình thang cân.
b, SQ=PR= 1
2 MN.
Bài 6. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM, D giao điểm BI AC
a) Chứng minh: AD DC 1 2
b) So sánh độ dài BD ID
(11)Kẻ MO //BD suy O trung điểm CD (1) MO//ID
Vì MO//ID mà I trung điểm AM nên D trung điểm AO (2). Từ (1)(2) suy đpcm.
Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BC, AC, BD
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường thẳng b) Tính MN, PQ, biết cạnh đáy hình thang AB=a; CD=b (b>a) c) Chứng minh MQ = PQ = PN b=2a
HD:
a, MN đường trung bình hình thang nên MN//DC (1) MQ đường trung bình tam giác DAB nên MQ//AB (2) PN đường trung bình tam giác CAB nên PN//AB (3) Từ (1)(2)(3) suy M,N,P,Q nằm đường thẳng b, MN= (a+b):2
MQ=PN=AB:2=a:2 nên PQ=MN-(MQ+PN)= (b-a):2 c, Ta có:
PQ= (b-a):2 ; NP=MQ= a:2
Để PQ=NP (b-a):2=a:2 hay b-a=a b=2a.
Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, BD Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng
HD:
EK đường trung bình tam giác ADB nên EK//AB Tương tự: KF//DC mà AB//DC nên E,K,F thẳng hàng.
Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F trung điểm AD BC Đường thẳng EF cắt BD I, cắt AC K
a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID b) Cho AB = 6, CD = 10 Tính EI, KF, IK
HD:
a, EF đường trung bình hình thang nên EF//DC hay EK//DC mà E trung điểm AD nên K trung điểm AC => AK=KC Chứng minh tương tự: BI=ID
b, EF=(AB+CD):2=8cm, EI đường trung bình ∆ ADB nên EI=AB:2=3cm, tương tự FK=AB:2=3cm nên IK=2cm.
(12)b) Chứng minh:
AB CD EF
2
c) Khi
AB CD EF
2
tứ giác ABCD hình
HD:
a, EF ≤ EK+KF mà EK=DC:2; KF=AB:2 ( tính chất đường trung bình) nên EF ≤ AB+CD
2 .
b, Nếu EF=AB+CD
2 EF=EK+KF hay E.F.K thẳng hàng Mà FK//AB.\, EK//DC nên AB//CD
hay ABCD hình thang.
Bài 11.Tính độ dài đường trung bình hình thang cân biết đường chéo vng góc với 20cm, đường cao 10 cm
HD:
Gọi EF đường trung bình hình thang ABCD, AH đường cao: Ta có: SABCD=
(AB+CD) AH
2 =EF AH mà SABCD=
AC BD
2 nên AC BD
2 =EF AH
EF=20cm.
Bài 12.Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d qua G cắt đoạn thẳng AB, AC Gọi A’, B’ C’ thứ tự hình chiếu A, B, C d Tìm liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’
HD:
Gọi M trung điểm BC Kẻ MM’ vng góc với B’C’, suy 2MM’=(BB’+CC’) ( tính chất đường trung bình hình thang) mà 2MM’=AA’ nên AA’=BB’+CC’.
Bài 13.Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d nằm tam giác ABC Gọi A’, B’ C’, G’ thứ tự hình chiếu A, B, C, G d Tìm liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ , GG’
HD:
Gọi M trung điểm BC, E trung điểm AG, kẻ MM’ EE’ vng góc B’C’ Ta có:
2EE’=AA’+GG’; 2GG’=MM’+EE’; nên 2MM’ +(AA’+GG’)=4GG’ hay 2MM’+AA’=3GG’ suy AA’+BB’+CC’=3GG’.
(13)Bài 1. Cho góc ^xOy=50 điểm A nằm góc Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, điểm C đối xứng với A qua Oy
a) So sánh độ dài OB OC b) Tính số đo góc BOC^ .
HD:
a) OB=OC=OA b) BOC^=100 .
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Gọi K điểm đối xứng với H qua BC a) Chứng minh hai tam giác BHC BKC
b) Cho BAC^=70 Tính số đo góc BKC^ .
HD: b) BKC^=110 .
Bài 3. Cho hình thang vng ABCD (góc A=D=900) Gọi K điểm đối xứng với B qua AD, E giao
điểm CK AD Chứng minh CED=^^ AEB
HD:
^
CED=^AEB ( ^AEK )
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K điểm đối xứng với điểm H qua cạnh AB, AC Chứng minh:
a) Ba điểm I, A, K thẳng hàng b) Tứ giác BIKC hình thang c) IK 2AH
HD:
a, ^HAC=^CAK ; ^HAB=^BAI mà ^A=900 nên ^
IAK=1800 => A, I ,K thẳng hàng. b, BI vuông góc IK; CK vng góc IK nên BI//CK suy BIKC hình thang.
c, IA=AH; AH=AK nên IK=2AH.
Bài 5. Cho tam giác ABC, phân giác BM CN cắt I Từ A vẽ đường vng góc với BM CN, chúng cắt BC thứ tự E F Gọi I hình chiếu I BC Chứng minh E F đối xứng qua I
HD:
Xét ∆ AEF có : MB trung trực cạnh AE ( tự chứng minh); CN trung trực cạnh AF, mà CN giao BM I ; II’ vng góc với BC nên II’ trung trực cạnh EF suy E,F đối xứng nhau qua I’.
Bài 6. Cho hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Tìm điểm M d cho MA MB ngắn nhất.
(14)Gọi B’ điểm đối xứng B qua d, AB’ giao d M0; gọi M điểm bất bì thuộc d.
Ta có: MA+MB=MA+MB’ ≥ AB’=AM0+ M0B’=AM0+ M0B.
Dấu “=” xảy M ≡ M0.
Bài 7. Cho góc ^xOy=60 điểm A nằm góc Gọi B, C hai điểm đối xứng với điểm A qua Ox Oy,
a) Chứng minh tam giác BOC tam giác cân Tính góc tam giác
b) Tìm điểm I thuộc Ox điểm K thuộc Oy cho tam giác AIK có chu vi nhỏ
HD:
a) BOC^=120;OBC^=^OCB=30 b) I, K giao điểm đường thẳng BC với tia Ox Oy. Bài 8. Cho tam giác ABC, Cx phân giác ngồi góc C Trên Cx lấy điểm M (khác C) Chứng minh
rằng: MA + MB > CA + CB
HD:
Trên tia đối tia CB lấy E cho CE=CA Suy ∆ MCE= ∆ MCA (c.g.c) nên AM=ME Ta có: AM+MB=ME+MB>EB mà EB=EC+CB=AC+CB nên MA+MB>AC+CB.
Bài 9. Cho góc nhọn xOy điểm A góc Tìm điểm B tia Ox điểm C tia Oy
sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ
HD:
Gọi A’ A’’ hai điểm đối xứng với A qua Oy Ox, A’A’’ cắt Oy Ox C’ B’.
Gọi C B hai điểm thuộc Oy Ox, Chu vi ∆ ABC=AB+BC+CA=BA’’+BC+CA’ ≥
A’A’’=A’C’+C’B’+B’A’’.
Vậy chu vi ∆ ABC nhỏ = A’A’’ C ≡C ' ; B ≡ B ' .
HÌNH BÌNH HÀNH 1 Định nghĩa:
Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song.
2 Tính chất: Trong hình bình hành:
Các cạnh đối nhau. Các góc đối nhau.
Hai đường chéo cắt trung điểm đường. 3 Dấu hiệu nhận biết:
Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành. Tứ giác có cạnh đối hình bình hành.
Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành.
(15)Bài 1. Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm AD, F trung điểm BC a) Chứng minh BE DF ^ABE=^CDF .
b) Chứng minh tứ giác EBFD hình bình hành
c) Chứng minh đường thẳng EF, DB AC đồng quy
HD:
a, ∆ EAB= ∆ FCD (c.g.c)
b, Ta có: ED=BF (cmt) EB=DF ( Vì AD=BC)
c, Vì EBFD hình bình hành nên BD giao EF trung điểm BD (1) Vì ABCD hình bình hành nên AC giao BD trung điểm BD (2) Từ (1)(2) suy EF,AC,BD đồng quy.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác góc D cắt AB E, tia phân giác góc B cắt CD F
a) Chứng minh DE=BF b) Tứ giác DEBF hình gì?
HD:
a, ∆ ADE= ∆ CBF (g.c.g) b, DEBF hình bình hành
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD Gọi K, I trung điểm cạnh AB vad CD, M N giao điểm AI CK với BD
a) Chứng minh AI=CK b) Chứng minh: DM MN NB .
HD:
a, AKCI hình bình hành nên AI=CK
b, ∆ AMB có AM//KN mà K trung điểm AB nên N trung điểm MB hay MN=NB (1)
∆ DNC có IM//NC mà I trung điểm DC nên M trung điểm DN hay MN=MD (2) Từ (1)(2) suy đpcm
Dạng Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình bình hành
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ AH vng góc với BD H, CK vng góc với BD K Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành
HD:
AH//CK (1), ∆ ADB=∆ CBD nên SADB=SCBDhay
AH DB 2 =
CK DB
2 suy AH=CK (2)
Từ (1)(2) suy đpcm.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC E, F, vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD K, H Chứng minh tứ giác EKFH hình bình hành
(16)∆ AOK= ∆ COH(g.c.g) nên OH=OK(1) ; ∆ AOE= ∆ COF (g.c.g) nên OE=OF (2) Từ (1)(2) suy đpcm
Bài 3. Cho tam giác ABC Từ điểm E cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB F đường thẳng song song với AB cắt BC D Giả sử AE = BF
a) Chứng minh tam giác AED cân b) Chứng minh AD phân giác góc A
HD:
a, EDBF hình bình hành nên AE=DE ( BF) b, ^EAD=^EDA ( ∆ ADE cân E)
^
EDA=^DAF ( sole trong)
Bài 4. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA I, K trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh:
a) Các tứ giác MNPQ, INKQ hình bình hành b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy
HD:
a, MN đường trung bình tam giác ABC nên MN//=1/2.AC PQ đường trung bình tam giác DAC nên PQ//=1/2.AC Suy MN//=PQ nên MNPQ hình bình hành.
Chứng minh tương tự: QI//=KN
b, MNPQ INKQ hình bình hành nên MP.NQ,IK đồng quy trung điểm NQ.
Bài 5. Cho tam giác ABC H trực tâm Các đường thẳng vng góc với AB B, vng góc với AC C cắt D
a) Chứng minh tứ giác BDCH hình bình hành b) Tính số đo góc BDC^ , biết BAC^=60 .
HD:
a, DC//BH ( vng góc AC) ; BD//CH ( vng góc AB) nên BDCH hình bình hành. b, BDC^=^BHC mà ^HBA=^HCA=300
nên^HBC=^HCB=600 => ^ BHC=600
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD, AD2AB Từ C vẽ CE vng góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M vẽ MF vng góc với CE, MF cắt BC N
a) Tứ giác MNCD hình gì? b) Tam giác EMC tam giác gì? c) Chứng minh: BAD=2^ ^AEM .
HD:
a, MNCD hình thoi.
(17)c, Ta có: BAD^+ ^AEM=^EMD ; ^MEA=^EMF=^FMC=^MCD=^DMC nên ^
BAD+ ^AEM=3^AEM hay BAD=2^ ^AEM .
Bài 7. Cho tứ giác ABCD Gọi E, F giao điểm AB CD, AD BC; M, N, P, Q trung điểm AE, EC, CF, FA Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành
HD:
MN//=PQ ( song song nửa AC)
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC cho AE = EF = FC Gọi M giao điểm BF CD; N giao điểm DE AB Chứng minh rằng:
a) M, N theo thứ tự trung điểm CD, AB b) EMFN hình bình hành
HD:
a, DNBM hình bình hành nên EN//FB, mà E trung điểm AF nên N trung điểm AB. Chứng minh tương tự: M trung điểm CD.
b, Theo a) EN//FM (1) , ∆ AED= ∆ CFB (c.g.c) nên DE=BF, mà MF=DE:2; NE=FB:2 nên MF=EN (2)
Từ (1)(2) suy đpcm.
Bài 9. Cho hình thang vng ABCD, có ^A= ^B=90 AD = 2BC Kẻ AH vng góc với BD (H thuộc BD) Gọi I trung điểm HD Chứng minh rằng: CI AI
HD:
Gọi P trung điểm AH, suy PI//=BC (cùng song song AD:2) nên BCIP hình bình hành, suy PI vng góc AB CI//BP.
Trong ∆ BIA có P trực tâm tam giác nên BP vng góc AI mà BP//CI nên CI vng góc AI.
Bài 10.Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA L, M, N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng: đoạn thẳng EL, FM DN đồng quy
HD:
Dùng tính chất đường trung bình để chứng minh hình FDMN; LDEN hình bình hành nên LE; FM; DN động quy trung điểm đường
ĐỐI XỨNG TÂM
Tâm đối xứng hình bình hành giao điểm hai đường chéo.
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng với D qua A, F điểm đối xứng với D qua C Chứng minh:
a) 2AC=EF
b) Điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B
HD:
(18)b, Vì A trung điểm ED, mà AB//DF AB=DC=DF:2 nên B trung điểm EF.
Bài 2. Cho tam giác ABC, trung tuyến BD, CE Gọi H điểm đối xứng với B qua D, K điểm đối xứng với C qua E Chứng minh điểm H đối xứng với điểm K qua điểm A
HD:
DA=DC; HD=DB nên HABC hình bình hành => AH//=CB (1) Tương tự: AKBC hình bình hành nên AK//=BC (2)
Từ (1)(2) suy đpcm
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD điểm E cạnh AB, I K trung điểm cạnh AD BC Gọi điểm M, N đối xứng với điểm E qua điểm I điểm K
a) Chứng minh điểm M, N thuộc đường thẳng CD b) Chứng minh MN=2CD
HD:
a, ∆ AIE= ∆ DIM (c.g.c) nên ^MDI=^IAE mà hai góc vị trí sole nên MD//EA mà CD//EAB nên M thuộc CD.
Tương tự: CN//BE nên N thuộc CD.
b, Theo câu a): MD=AE; CN=EB; DC=AB nên MN=MD=DC+CN=AB+CD=2CD.
Bài 4. Cho góc vng xOy, điểm A nằm góc Gọi B điểm đối xứng với A qua Ox, C điểm đối xứng với A qua Oy Chứng minh B đối xứng với C qua O
HD:
^
COy=^yOA ;^AOx=^xOB(tính ch tấ đ iố x ngứ tr cụ );^xOy=900
; suy COB=180^
nên O,B,C thẳng hàng Mặt khác: CO=OA; OA=OB ( t/c đối xứng trục) nên OC=OB
Vậy: B C đối xứng qua O.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt cạnh AB CD theo thứ tự M N Chứng minh điểm M đối xứng với điểm N qua O
HD:
^AOM=^CON ;OA=OC ;^NCO=^MAO(sole trong) nên ∆ AOM= ∆ CON (g.c.g)
nên OM=ON
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có tâm đối xứng O, điểm E đoạn OD Gọi F điểm đối xứng điểm C qua E
a) Chứng minh tứ giác ODFA hình thang
b) Xác định vị trí điểm E OD để hình thang ODFA hình bình hành
HD:
a, OE đường trung bình ∆ ACF nên OE//FA hay OD//FA suy ODFA hình thang.
(19)Bài 7. Cho tam giác ABC, trọng tâm G Gọi M, N, P theo thứ tự điểm đối xứng A, B, C qua tâm G
a) Chứng minh tứ giác BPNC hình bình hành b) Chứng minh tam giác ABC, MNP
c) Chứng minh tam giác ABC, MNP có trọng tâm
HD:
a, PG=GC; BG=GN nên BPNC hình bình hành. b, ∆ GBA= ∆ NGM (c.g.c) nên NM=AB
∆ PGM= ∆ CGA (c.g.c) nên PM=AC Tương tự PN=BC Suy ∆ ABC= ∆ MNP (c.c.c)
c, J giao điểm PC MN, GNCM hình bình hành nên J trung điểm MN JG=JC suy PJ đường trung tuyến ∆ MNP mà PJ=3GJ nên G trọng tâm ∆ MNP.
Bài 8. Cho tam giác ABC, H trực tâm, I giao điểm đường trung trực K điểm đối xứng với H qua trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh K đối xứng với A qua I
HD:
Gọi P điểm đối xứng với C qua I,M trung điểm BC IM đường trung bình ∆ PBC nên 2IM=PB(1)
Gọi Q trung điểm AC, IQ vng góc AC mà IQ đường trung bình ∆ PAC nên AP vng góc AC.
Ta có: AP//BH ( vng góc AC); PB//AH ( vng BC) nên BPHA hình bình hành nên AH=PB (2)
Từ (1)(2)=> 2MI=AH mà MI//AH ( vuông BC) nên M trung điểm HK suy I trung điểm AK.
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên AB lấy điểm E, CD lấy điểm F cho AE = CF
a) Chứng minh E đối xứng với F qua O
b) Từ E dựng Ex // AC cắt BC I, dựng Fy // AC cắt AD K Chứng minh rằng: EI = FK; I K đối xứng với qua O
HD:
a, ∆ AOE= ∆ COF (c.g.c) nên OF=OE (1) ^AOE=^COF mà ^AOE+ ^EOC=180 nên ^
EOC+ ^COF=180 suy O,E,F thẳng hàng (2) Từ (1)(2) suy đpcm.
b, ∆ DOF= ∆ BOE nên EB=FD; ∆ DKF= ∆ BIE( g.c.g) nên KF=IE mà KF//IE nên EIFK hình bình hành Suy K,I đối xứng qua O
Bài 10. Cho tam giác ABC Gọi A' điểm đối xứng với A qua C, B' điểm đối xứng với B qua A, C' điểm đối xứng với C qua B Gọi BM trung tuyến tam giác ABC, B'M' trung tuyến tam giác A'B'C'
(20)b) Gọi G giao điểm BM B'M' Chứng minh G trọng tâm hai tam giác ABC tam giác A'B'C'
HD:
a, Xét ∆ CC’A’ có M’B đường trung bình nên M’B//AA’ hay M’B//AM (1). Vì M’B đường trung bình ∆ CC’A’ nên M’B=A’C:2=AC:2 hay M’B=AM (2) Từ (1)(2) suy đpcm.
b,
HÌNH CHỮ NHẬT 1 Định nghĩa:
Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng.
2 Tính chất:
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường.
3 Dấu hiệu nhận biết:
Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật.
Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật. Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật.
Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật. 4 Áp dụng vào tam giác:
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền.
Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam
giác vng.
Dạng Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình chữ nhật
Bài 1. Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I trung điểm AC, E điểm đối xứng với H qua I Gọi M, N trung điểm HC, CE Các đường thẳng AM, AN cắt HE G K a) Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật
b) Chứng minh HG = GK = KE
HD:
a, AHCE hình bình hành( hai đường chéo cắt trung điểm đường) mà AH vng góc CB nên AHCE hình chữ nhật.
b, ∆ EAC có K trọng tâm nên EK=2KI, tương tự: GH=2GI mà IE=IH nên HG=GK=KE
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì?
(21)Bài 3. Cho tam giác ABC vng A Về phía ngồi tam giác ABC, vẽ hai tam giác vng cân ADB (DA = DB) ACE (EA = EC) Gọi M trung điểm BC, I giao điểm DM với AB, K giao điểm EM với AC Chứng minh:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) Tứ giác IAKM hình chữ nhật c) Tam giác DME tam giác vuông cân
HD: a, ^DAE=450
+900+450=1800 .
b, ∆ AMB ∆ DAB cân nên DM trung trực AB, suy DM vng góc AB Tương tự: ME vng góc AC
c, ^EDM=^DEM=450
Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC, BC
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ABPN hình thang cân
c) Tìm hệ thức liên hệ AB CD để ABPN hình chữ nhật
HD:
c) Ta có: 2MN=AB+DC 2(MN+NP+PQ)=AB+CD
Thay NM=AB:2; PQ=AB:2; NP=AB ( ABPN HCN) ta DC=3AB.
Bài 5. Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác, M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC, AC, AB
a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành
b) Xác định vị trí điểm O đế tứ giác MNPQ hình chữ nhật
HD:
b) O thuộc đường cao AH ABC.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC, BC lấy điểm P, Q cho AP = CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M AB)
a) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật
b) Gọi I trung điểm PQ Chứng minh P di chuyển cạnh AC, Q di chuyển cạnh BC điểm I di chuyển đoạn thẳng cố định
HD:
b) Vì I trung điểm QP nên I trung điểm CM. Gọi E F trung điểm AC BC, suy :
IE//MA; FI//MB; mà EF//AB suy E,F,I thẳng hàng nên I di chuyển đường trung bình
(22)Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH FK vng góc với AB AD Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật
b) AF song song với BD KH song song với AC c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng
HD:
b, Gọi O giao AC DB suy EO đường trung bình ∆ FAC nên EO//FA hay FA//DB. c, Gọi HK giao FA I, I trung điểm AF nên IE đường trung bình tam giác AFC suy IE//AC , mà HK//AC nên H,K,E thẳng hàng.
Bài 8. Cho tam giác ABC H trực tâm Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC CA; D, E, F trung điểm đoạn HA, HB HC
a) Chứng minh tứ giác MNFD MEFP hình chữ nhật
b) Để đoạn MD, ME DP tam giác ABC phải tam giác gì?
HD:
a, MNFD hình bình hành mà MD//BH; DF//AC mà BH vng góc AC nên MD vng góc DF suy ra MNFD hình chữ nhật.
b, 2MD=BH; 2EM=HA; 2DP=HC nên MD=ME=DP HA=HB=HC suy ∆ ABC tam giác đều.
Dạng Vận dụng kiến thức hình chữ nhật để giải tốn
Bài 1. Tính độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng có cạnh góc vng 7cm 24cm
HD:
Biết hai cạnh góc vng, dùng Pytago để tính cạnh huyền , trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền nên trung tuyến AM12,5( )cm .
Bài 2. Cho tam giác ABC cân A, CH đường cao (H AB) Gọi D điểm đối xứng với điểm B qua A
a) Chứng minh tam giác DCB tam giác vuông b) Chứng minh ^DCA=^HCB .
HD:
a, Vì A trung điểm BD mà AB=AC=AD nên ∆ DCB vng C( tính chất trung tuyến) b, ^DCA=^CDA mà CDA=^^ HCB ( phụ góc B) nên ^DCA=^HCB .
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH AC (H AC) Gọi M, K trung điểm AH DC; I, O trung điểm AB IC
a) Chứng minh IC KB MO IC 1 2
(23)b) Tính số đo góc ^BMK .
HD
a) IBCK hình chữ nhật
MI đường trung bình tam giác AHB nên MI vng góc AH, Tam giác IMC vng M có MO trung tuyến nên MO=IC:2.
b)Vì MO=IC:2=BK:2 mà O trung điểm KB nên tam giác BMK vng ( tính chất đường trung tuyến ) ^BMK=90 .
Bài 4. Cho tam giác ABC vng A M điểm thuộc cạnh BC Vẽ MD AB, ME AC O trung điểm DE
a) Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng
b) Khi điểm M di chuyển cạnh BC điểm O di chuyển đường nào? c) Điểm M vị trí cạnh BC AM có độ dài ngắn
HD:
b) O di chuyển đường trung bình ABC c) M ≡ H (AH BC).
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD Vẽ tia AM (M thuộc cạnh DC) cho ^DAM=150 . Chứng minh tam giác ABM tam giác cân
HD:
Lấy I trung điểm AB, dựng vào phía hình chữ nhật góc ^IAK=^IBK=150 , suy ra
AK=KB
∆ IAK= ∆ DAM (cgv-gnk) nên AK=AM mà ^KAM=600 nên ∆ AKM suy ra ^AKM=600 MK=KB.
Vì MK=KB mà ^AKM=600 ; ^AKB
=1500 suy ^MKB=1500 hay ^KMB=150 .
Suy ^BAM=^BMA=750
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông A, AC > AB AH đường cao Trên tia HC lấy HD = HA, đường vng góc với BC D cắt AC E
a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M trung điểm BE Tính số đo góc ^AHM .
HD:
a, Kẻ EK vuông AH suy EK=HD,
Xét ∆ ABH ∆ AEK có AH=KE ^HAB=^KEA ( phụ ^HAE ) nên ∆ ABH = ∆ AEK (cgv-gnk) suy AB=AE.
b, Nối AM, MD Ta có: AM=MD=BE:2 ( tính chất trung tuyến tam giác vng) suy ∆ AHM = ∆ DHM (c.c.c) nên ^AHM=450
(24)HD:
Trên tia đối AB lấy I cho AB=AI, vẽ hình chữ nhật AINC.
Ta có: ∆ BIM= ∆ MNC= ∆ EAB nên : BEA^=^MBI=^CMN=^MCA ∆ BMC
vuông cân.
^
ACB+ ^AEB=^ACB+ ^MCA=^BCM=450 .
Bài 8. Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH BD Gọi I trung điểm DH Kẻ đường thẳng vng góc với AI I cắt cạnh BC K Chứng minh K trung điểm cạnh BC
HD:
Gọi N trung điểm AH suy IN đường trung bình tam giác AHD suy IN//AD hay IN//BK(1)
Trong tam giác ABI có NI vng AB ( IN//AD); AH vng IB nên N trực tâm tam giác hay NB vng góc AI, suy NB//IK (2)
Từ (1)(2) suy NBKI hình bình hành nên KB=IN mà IN=AD:2 ( tính chất đường trung bình ) hay KB=BC:2 suy K trung điểm BC.
HÌNH THOI 1 Định nghĩa:
Hình thoi tứ giác có bốn cạnh nhau.
2 Tính chất: Trong hình thoi:
Hai đường chéo vng góc với nhau.
Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi. 3 Dấu hiệu nhận biết:
Tứ giác có bốn cạnh hình thoi.
Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi.
Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi. Dạng Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình thoi
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi
HD:
MN//=PQ ; NP//=MQ ; MN=NP ( AC=BD)
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có C^=40,^D=80 , , AD=BC Gọi E, F, M, N trung điểm AB, DC, DB, AC
a) Chứng minh tứ giác EMFN hình thoi b) Tính góc ^MFN .
(25)Bài 3. Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi E, F, G, H giao điểm phân giác tam giác OAB, OBC, ODC, ODA
a) Chứng minh: ba điểm E, O, G thẳng hàng, ba điểm H, O, F thẳng hàng b) Chứng minh tam giác AEB CGD
c) Chứng minh tứ giác EFGH hình thoi
HD:
a, Vì ^AOB ^COD hai góc đối đỉnh mà OE phân giác góc ^AOB , OG phân giác
góc ^COD nên E,O,G thẳng hàng Chứng minh tương tự: H, O, F thẳng hàng.
b, ∆ AEB= ∆ CGD ( g.c.g)
c, ∆ OEB= ∆ OGD ( c.g.c) nên OE=OG, tương tự OF=OH nên EFGH hình bình hành, mà EG vng góc HF ( phân giác hai góc kề bù) nên EFGH hình thoi.
Bài 4. Cho tam giác ABC điểm M thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC E đường thẳng song song với AC, cắt AB F
a) Chứng minh tứ giác AFME hình bình hành
b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tứ giác AFME hình thoi
HD:
b) M chân đường phân giác góc A ABC.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD , ^D=700 Vẽ BH AD (H AD) Gọi M, N lần lượt trung điểm cạnh CD, AB
a) Chứng minh tứ giác ANMD hình thoi b) Tính góc ^HMC
HD: b) ^HAB=700 , Vì ∆ HNA cân N ( tính chất trung tuyến ) nên ^HNA
=400 , mà ^ANM=700 nên ^HNM
=1100 , ∆ HNM cân N ( HN=NM=AN) nên ^NMH=350 , mà ^NMC
=700 suy ^HMC=105 .
Bài 6. Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm tam giác, AD đường cao Trên cạnh BC lấy điểm M Từ M vẽ ME AB (E AB) MF AC (F AC) Gọi I trung điểm AM
a) Chứng minh tứ giác DEIF hình thoi
b) Chứng minh đường thẳng MH, ID, EF đồng quy
HD:
a, Ta có: EI=ID=IF =AM:2 ( tính chất trung tuyến )
^
EIM=2^EAM ;^MID=2^MAD nên^EID=2^EAD=600 nên ∆ IED đều, chứng minh tương tự ∆ IDF nên IFDE hình thoi.
b, EF giao ID trung điểm ID ( tính chất hình thoi) (1)
(26)Bài 7. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt O Hai đường thẳng d1 d2 qua
O vng góc với Đường thẳng d1 cắt cạnh AB CD M P Đường thẳng d2 cắt
các cạnh BC AD N Q Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi
HD:
MNPQ hình bình hành ( hai đường chéo cắt trung điểm đường) mà MP vng góc NQ nên MNPQ hình thoi.
Dạng Vận dụng kiến thức hình thoi để giải tốn Bài 1. Cho hình thoi ABCD có AC = 8cm, BD = 10cm Tính độ dài cạnh hình thoi
HD: AB 41 ( )cm .
Bài 2. Cho hình thoi ABCD có ^A=60 Trên cạnh AB, BC lấy hai điểm M, N cho BM = CN Chứng minh tam giác MDN tam giác
HD:
∆ ABD nên AB=BD=DA, ∆ MBD= ∆ NCD (c.g.c) nên MD=ND và
^MDN=600 .
Bài 3. Cho hình thoi ABCD có ^A=60 Trên AD CD lấy điểm M, N cho AM + CN = AD Gọi P điểm đối xứng N qua BC, MP cắt BC Q Tứ giác MDCQ hình ?
HD:
Bài 4. Cho P điểm chuyển động tam giác ABC cho ^PBA=^PCA Hạ PM AB; PN AC (M AB; N AC) Gọi K, S hai đỉnh khác hình thoi KMSN Chứng minh KS qua điểm cố định
HD:
Gọi Q, I, R trung điểm BP, BC, PC Ta có: MQ=IR ( BP:2) QI=NR ( PC:2)
∆ BQM cân Q nên 2 ^QBM=^MQN ; ∆ NRC cân R nên 2 ^RCN=^NRM (1) ^
NQI=^QBI+ ^QIB ;
^
MRI=^MCI+ ^CIR ; mà QBI^=^CIR ; QIB=^^ MCI ( đồng vị) (2)
Mà ^QBM=^RCN (3)
Từ (1)(2)(3) suy ^MQI=^IRN Suy ∆ MQI= ∆ IRN ( c.g.c) nên MI=IN hay I nằm
trên trung trực MN Vậy KS qua trung điểm I BC.
(27)Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh nhau.
2 Tính chất:
Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi.
3 Dấu hiệu nhận biết:
Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng.
Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng. Hình thoi có góc vng hình vng.
Hình thoi có hai đường chéo hình vng.
Một tứ giác vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi tứ giác hình vng.
Dạng Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình vng
Bài 1. Cho tam giác ABC vng A Phân giác AD góc A (D BC) Vẽ DF AC, DE AB Chứng minh tứ giác AEDF hình vng
HD:
AEDF hình chữ nhật mà AD phân giác góc A nên AEDF hình vng.
Bài 2. Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = DH Chứng minh tứ giác EFGH hình vng
HD:
∆ BEF= ∆ CFG ( 2cgv) nên EF=FG BEF^=^CFG ; mà BEF^+ ^CFG=900 nên ^
BFE+ ^CFG=900 hay ^EFG=900
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB AC, chúng cắt cạnh AB, AC theo thứ tự E F
a) Tứ giác AFME hình gì?
b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tứ giác AFME hình vng
HD:
a, AFME hình chữ nhật.
b, Vì AFME hcn, để AFME hình vng AM phải phân giác góc A Vậy M chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A.
Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE
a) Tứ giác ADFE hình gì? b) Tứ giác EMFN hình gì?
HD:
a, ADFE hình vng.
(28)Bài 5. Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABC’D ACEF Gọi Q, N giao điểm đường chéo ABC’D ACEF; M, P trung điểm BC DF Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng
HD:
∆ ABF= ∆ ADC (c.g.c) nên DC=BF DC vng góc BF (1)
MN, QP đường trung bình ∆ BFC ∆ BFD nên QP//MN//BF 2QP=2MN=BF (2) MQ, BN đường trung bình ∆ BDC ∆ FDC nên QM//PN//DC 2QM=2PN=DC (3) Từ (1)(2)(3) suy PNMQ hình vng.
Dạng Vận dụng kiến thức hình vng để giải tốn
Bài 1. Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AD, DC lấy điểm E, F cho AE = DF Gọi M, N trung điểm EF, BF
a) Chứng minh tam giác ADF BAE b) Chứng minh MN vng góc với AF
HD:
a, ∆ ADF= ∆ BAE (2cgv)
b, ^EBA=^FAD mà ^EBA+ ^AEB=900 nên mà ^
FAD+ ^AEB=900 suy EB
vng góc AF.(1)
Vì MN đường trung bình tam giác FEB nên MN//EM (2) Từ (1)(2) suy ra: MN vng góc AF.
Bài 2. Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E, tia đối tia CB lấy điểm F cho AE = CF
a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân
b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh BI = DI
c) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh O, C, I thẳng hàng
HD:
a, ∆ AED= ∆ CFD (2cgv) nên DE=DF ^ADE=^CDF , mà ^ADE+ ^EDC=900 NÊN ^
CDF+ ^EDC=900 Suy ra: ^EDF=900 .
b, BI=DI=EF:2 ( tính chất trung tuyến tam giác vng).
c, Ta có: OC vng góc DB (1), ∆ BDI cân I nên IO vng góc OB (2) Từ (1)(2) suy O,C,I thẳng hàng.
Bài 3. Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác hình vng ABC’D ACEF Vẽ đường cao AH kéo dài HA gặp DF I Chứng minh DI = IF
(29)Dựng hình bình hành AFGD Xét ∆ GDA ∆ CAB có : AC=AF=DG; AB=DA,
^
GDA=^CAB ( bù với góc ^DAF ) nên ∆ GDA = ∆ CAB (c.g.c) suy ra ^DAG=^ABC ( hai góc tương ứng ) mà ^ABC+ ^HAB=900 nên ^DAG+ ^HAB=900
hay G, A, H thẳng hàng, mà AFGD hình bình hành nên AG cắt DF trung điểm I DF
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành, hai hình vng ABEF ADGH Chứng minh:
a) AC = FH AC FH
b) Tam giác CEG tam giác vuông cân
HD:
a, Xét ∆ AFH ∆ BAC có: HA=BC; AF=AB; B^=^HAF ( bù với góc ^DAB ) nên ∆ AFH = ∆ BAC (c.g.c) nên HF=AC.
Kéo dài AC giao HF P Ta có: ^PHA=^BCA (cmt) ; BCA^=^CAD (sole trong) suy ra ^
PHA=^CAD mà ^HAD=900 nên ^^PAH
+ ^PHA=900 hay ^^HPA=900 .
b, ∆ GDC= ∆ CBE nên GC=CE.
^ECG=^ECB+ ^BCG Mà ^ECB=^CGD nên ^ECB+ ^BCG=^CGD+ ^BCG=900 ( Vì CD
vng góc AD mà AD//BC nên GD vng góc BC ).
Bài 5. Cho đoạn thẳng AB điểm M thuộc đoạn thẳng Vẽ phía AB, hình vng AMCD, BMEF
a) Chứng minh AE vng góc với BC
b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng
c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng cố định AB
\ HD:
c) DF qua K (K = AF AC).
Bài 6. Cho hình vng ABCD Trên cạnh CD lấy điểm M Tia phân giác góc ^ABM cắt AD I. Chứng minh rằng: BI MI
HD:
Trên tia đối tia CD lấy điểm J cho CJ = AI Qua M vẽ đường thẳng song song với BI cắt BJ N
Tam giác vuông ABI = Tam giác vuông CBJ => BI = BJ Mặt khác dễ cm BI vng góc BJ => MN vng góc BJ
^ MBJ=900
−^MBI=¿900−^ABI=900−^CBJ=^MJB => tam giác MBJ cân M => N trung
điểm BJ
Ta có MI ≥ BN = BJ/2 = BI/2 ( BIMN hình thang vng B N) Hay BI ≤ 2MI (đpcm)
(30)a) Chứng minh rằng: EB = FG EB FG
b) Chứng minh rằng: Các đường thẳng BE, AG, CF đồng quy
HD:
a, ∆ EBD cân E nên EB=ED Vì EFDG hcn nên DE=FG suy EB=FG.
Gọi AB giao EG H, EB giao FG P, ∆ HBE= ∆ FEG (2cgv) nên ^HBE=^EGF Mà
^^
HBE+ ^HEB=900 nên ^^EGF+ ^PEG=900 hay ^^ EPG=900
Bài 8. Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC, hình vng ABDE ACFG Vẽ hình bình hành EAGH Chứng minh rằng:
a) AH = BC AH BC
b) Các đường thẳng HA, BF, CD đồng quy
HD:
a, Xét ∆ HEA ∆ CAB có : AC=AG=EH; AB=EA; ^HEA=^CAB ( bù với góc ^
EAG ) nên ∆ HEA = ∆ CAB (c.g.c) suy AH=BC ( hai cạnh tương ứng). b, Gọi AH giao BC M Ta có: ^EAH=^ABM (cmt) mà ^EAH+ ^BAM=900 nên
^ABM+^BAM=900 hay AM vng góc BC.
DC, BF, AH ba đường cao tam giác HBC nên DC, BF, AH đồng quy.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Bài 1. Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA Các đường chéo AC, BD tứ giác ABCD thoả điều kiện tứ giác EFGH là:
a) Hình chữ nhật b) Hình thoi c) Hình vng
HD:
a, AC BD b, AC = BD. c, AC = BD AC BD.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Gọi I trung điểm AC, K điểm đối xứng điểm M qua điểm I
a) Tứ giác AMCK hình gì? b) Tứ giác AKMB hình gì?
c) Có trường hợp tam giác ABC để tứ giác AKMB hình thoi
HD: a) AMCK hình chữ nhật b) AKMB hình bình hành c) Khơng.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A Về phia ngồi tam giác, vẽ hình vng ABDE, ACGH a) Chứng minh tứ giác BCHE hình thang cân
(31)HD: b) Đồng quy F với F DE GH .
Bài 4. Cho hình thang cân ABCD với AB // CD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA
a) Tứ giác MNPQ hình gì?
b) Cho biết diện tích tứ giác ABCD 30cm2 Tính diện tích tứ giác MNPQ
HD: a) MNPQ hình thoi b) SMNPQ cm
2 15
.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông A, trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB, E điểm đối xứng điểm M qua điểm D
a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB b) Các tứ giác AEMC, AEBM hình gì?
c) Cho BC = 4cm Tính chu vi tứ giác AEBM
d) Tam giác vuông thoả điều kiện AEBM hình vng
HD:
b) AEMC hình bình hành, AEBM hình thoi c) PAEBM 8cm d) ABC vuông cân.
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Các đường thẳng BM, DN cắt đường chéo AC P, Q
a) Chứng minh AP = PQ = QC b) Tứ giác MPNQ hình gì?
c) Xác định tỉ số
CA
CD để MPNQ hình chữ nhật.
d) Xác định góc ^ACD để MPNQ hình thoi.
e) Tam giác ACD thoả mãn điều kiện để MPNQ hình vng
HD:
b) MPNQ hình bình hành nên MP//NQ Trong ∆ AQD có MP//DQ mà MA=MD nên QP=PA Tương tự: CQ=QP nên AP=PQ=QC.
c)Để MPNQ hcn MN=PQ mà 3MN=AC; PQ=DC nên CA=3CD. d) Để MPNQ hình thoi MN vng góc PQ mà MN//DC nên ^ACD=90
e) ACD vuông C CA=3CD.
Bài 7. Cho hình thoi ABCD, O giao điểm hai đường chéo Vẽ đường thẳng qua B song song với AC, đường thẳng qua C song song với BD, hai đường thẳng cắt K
a) Tứ giác OBKC hình gì? b) Chứng minh AB = OK
(32)HD:
a) OBKC hình chữ nhật c) ABCD hình vng.
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB ^A=60 Gọi E, F trung điểm BC AD
a) Tứ giác ECDF hình gì? b) Tứ giác ABED hình gì? c) Tính số đo góc ^AED .
HD:
a) ECDF hình thoi b) ABED hình thang cân c) ^AED=90 .
Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi O trung điểm EF Qua O vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AD BC theo thứ tự M N
a) Tứ giác EMFN hình gì?
b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện để EMFN hình thoi c) Hình thang ABCD có thêm điều kiện để EMFN hình vng
HD:
a) EMFN hình bình hành b) ABCD hình thang cân c) ABCD hình thang cân có hai đường chéo vng góc.
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông A với AB = AC = a
a) Lấy điểm D cạnh AC điểm E cạnh AB cho AD = AE Các đường thẳng vng góc với EC vẽ từ A D cắt cạnh BC K L Chứng minh BK = KL
b) Một hình chữ nhật APMN thay đổi có đỉnh P cạnh AB, đỉnh N cạnh AC có chu vi 2a Điểm M di chuyển đường nào?
c) Chứng minh hình chữ nhật APMN thay đổi đường vng góc vẽ từ M xuống đường chéo PN qua điểm cố định
HD:
b) M di chuyển cạnh BC c) HM qua điểm I cố định (với ACIB hình vng).
Bài 11. Cho hình vuông ABCD E điểm cạnh DC, F điểm tia đối tia BC cho BF = DE
a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân
b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh I thuộc BD
c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I Chứng minh tứ giác AEKF hình vng
HD:
a, ∆ ABF= ∆ ADE (2cgv) nên AF=AE ^DAF=^BAE mà ^DAE+ ^EAB=900 nên ^
BAF+ ^EAB=900 nên ∆ AEF vuông cân.
(33)∆ EMI= ∆ FBI (g.c.g) nên IF=IE Vậy trung điểm EF thuộc BD.
c, Tứ giác AEKF hình bình hành ( hai đường chéo cắt trung điểm đường ) mà ∆ AEF vng cân nên AEKF hình vng.
Bài 12. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB, ^A=600 Gọi E F trung điểm của BC AD
a) Chứng minh AEBF
b) Chứng minh tứ giác BFDC hình thang cân
c) Lấy điểm M đối xứng A qua B Chứng minh tứ giác BMCD hình chữ nhật d) Chứng minh ba điểm M, E, D thẳng hàng
HD:
a, ABEF hình thoi.
b, BFDC hình thang có B^=^C=600 .
c, Xét ∆ ABD có AF=FD=BF nên ^ABD=900 ( tính chất trung tuyến tam giác vng) (1).
Vì BM//=DC nên BMCD hình bình hành (2). Từ (1)(2) => đpcm.
d, Vì BMCD hình chữ nhật mà E trung điểm BC suy E trung điểm MD Vậy M, E, D thẳng hàng.
Bài 13. Cho tam giác ABC vuông A có B^=600 Kẻ tia Ax song song với BC Trên Ax lấy điểm D cho AD = DC
a) Tính số đo góc BAD ,^ ^DAC .
b) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân
c) Gọi E trung điểm BC Chứng minh tứ giác ADEB hình thoi
HD: a,
Bài 14. Cho ABCD hình bình hành Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi K giao điểm AC DM, L giao điểm BP AC
a) Tứ giác MNPQ hình gì? b) Tứ giác MDPB hình gì? c) Chứng minh: AK = KL = LC
HD:
a, MNPQ hình bình hành. b, MDPB hình bình hành.
c, MK // LB mà M trung điểm AB suy K trung điểm AL Tương tự L trung điểm KC Vậy AK=KL=LC.
(34)b) Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Chứng minh tứ giác EMFN hình chữ nhật
c) Hình bình hành ABCD nói có thêm điều kiện để EMFN hình vng?
HD:
a, AEFD hình thoi, AECF hình bình hành.
b, Vì AEFD EBCF hình thoi nên ^M=^N=900 (1).
Xét ∆ DEC có DF=FC=EF nên ∆ DEC vuông E (2) Từ (1)(2) => đpcm. c, ABCD hình chữ nhật.
Bài 16. Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi H điểm đối xứng với M qua AB, E giao điểm MH AB Gọi K điểm đối xứng với M qua AC, F giao điểm MK AC
a) Xác định dạng tứ giác AEMF, AMBH, AMCK b) Chứng minh H đối xứng với K qua A
c) Tam giác vng ABC có thêm điều kiện AEMF hình vng?
HD:
Bài 17: Cho hình bình hành ABCD có A=1200, phân giác góc D qua trung điểm I cạnh AB, kẻ AH
vuông DC a CMR: AB=2AD b CMR: DI=2AH c CMR: AC vuông AD
d Gọi M điểm cạnh CD trung điểm O đoạn AM chuyển đường nào? HD:
a ADI cân, b K giao AH DI,Gọi P,Q trung điểm DK DI, HK=1/2AK, KA=1/2KI c ∆ CIB nên góc CAI=30^ .
Bài 18: Cho hình bình hành ABCD vẽ tam giác ABE ADF nằm hình bình hành O giao điểm hai đường chéo
a CM: DFC=BCE
b FCE đều
c M N trung điểm AE AF, tính góc NOM
HD: a DFC=BCE(c.g.c) b DFC=AFE ( góc FAE+DAB=FDC+DAB=240)
c.MN,NO,MO đường trung bình nên MO=MN=ON suy MON=60
Bài 19: Cho ABC vuông A, AC=2AB, đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác At, Từ B vẽ Bx vuông At cắt AC F, vẽ CE vuông At CMR:
(35)c ABEF hình vng
d Gọi P,Q giao BF với AH AM, Tứ giác APEQ hình gì?
HD:
Bài 20: Cho ABC vng A, AC>AB, đường cao AH, K thuộc HC cho HK=AH, kẻ Ax//BC, Kt//AH, Ax giao Kt E, AC giao KE P
a AHKE hình gì? b APB vuông cân
c Q điểm thứ hình bình hành APQB, I giao PB AQ CM: AIK cân H,I,E thẳng hàng d HE//QK
HD:
Bài 21: Cho tam giác ABC cân A, M,N,P trung điểm AB,AC,BC.CMR: a Tứ giác MNCB hình gì?
b MP qua trung điểm O BN c AMPN hinh thoi
d Tìm điều kiện tam giác ABC để AMPN hình vng
HD:
Bài 22: Cho hình thang vng MNPQ(M=90) có QP=2MN, cạnh bên kéo dài cắt A, gọi B,C trung điểm MN,PQ
a MNCQ la hình gì?
b CM: MANC hình bình hành
c MN giao PQ H, CMR: B,H,C thẳng hàng CH=2BH
HD:
a hình CN b Dùng tc đường trung bình suy M,N trung điểm c H tâm tam giác QAP.
Bài 23: Cho hình vng ABCD M điểm BC, Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vng AMHN, qua M vẽ d//AB cắt AH E, AH giao DC F
a CM: BM=ND b N,D,C thẳng hàng c EMFN hình gì?
d CM: DF+BM=FM chu vi tam giác FMC không đổi M thay đổi
HD:
Bài 24: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABDG ACEF, DG giao EF I CMR:
(36)b IH,DC,BE đồng quy
HD:
Bài 25: Cho hình chữ nhật ABCD M la điểm BC CMR: a SABCD=2SAMD
b C h o AB=3cm , AD=5cm , Tìm vịtrí M đểSMCD=SABM
HD:
Bài 26: Cho tam giác ABC vuông A Gọi D,E,F trung điểm AB,AC,BC a So sánh diện tích ABC ADEF,
b Cho AB=6cm, BC=10cm, Gọi M,N,K trung điểm DF, CD,DE, Tính diện tích MFNK?
HD:
CHƯƠNG II: ĐA GIÁC
1 Định nghĩa
Đa giác lồi đa giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh
nào đa giác đó.
Đa giác đều đa giác có tất cạnh tất góc nhau. 2 Một số kết quả
Tổng góc đa giác n cạnh n
0 ( 2).180 .
Mỗi góc đa giác n cạnh
n n
0 ( 2).180
.
Số đường chéo đa giác n cạnh
n n( 3) 2
.
3 Diện tích
Diện tích tam giác bằng nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó:
S 1 a h
2
.
Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vuông:
S 1ab
2
.
Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước nó: S ab .
Diện tích hình vng bằng bình phương cạnh nó: S a 2.
(37)Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S ah . Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo:
S 1d d1 2
2
.
Bài 1. Cho hình thoi ABCD có ^A=60 Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh đa giác EBFGDH lục giác
HD: ∆ AHE đều, góc H=E=B=F=G=D=1200, HE=EB=…
Bài 2. Cho tam giác ABC đều, O trọng tâm tam giác Gọi E, F, G điểm đối xứng với điểm O qua trung điểm AB, BC, AC Chứng minh lục giác AEBFCG lục giác
HD:
Bài 3.Cho ngũ giác ABCDE có cạnh ^A= ^B=^C . a) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân
b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF ngũ giác
HD:
Bài 4.Cho ngũ giác ABCDE Gọi K giao điểm hai đường chéo AC BE a) Tính số đo góc ngũ giác
b) Chứng minh CKED hình thoi
HD:
Bài 5.Cho hình chữ nhật ABCD E điểm nằm đường chéo AC Đường thẳng qua E, song song với AD cắt AB, DC F, G Đường thẳng qua E, song song với AB cắt AD, BC H, K Chứng minh hai hình chữ nhật EFBK EGDH có diện tích
HD: ∆ HEA ∆ KEC nênHE EK=
AH KC
Bài 6.Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC Vẽ BP MN, CQ MN (P, Q MN)
a) Chứng minh tứ giác BPQC hình chữ nhật
b) Chứng minh SBPQC SABC
HD: a, MN đường trung bình b.Kẻ AH vng BC, AH=2BP
Bài 7.Cho hình vng ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Chứng minh tứ giác ADCM ABCN có diện tích
HD:
(38)HD: Kẻ BH vuông CD, ∆ BHC vuông cân SABCD 20cm2.
Bài 9.Cho tam giác ABC vng A Về phía ngồi tam giác, vẽ hình vng ABDE, ACFG, BCHI Chứng minh SBCHI SABDE SACFG.
HD: Dùng Pitago.
Bài 10. Diện tích hình bình hành 24cm2 Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến đường thẳng chứa cạnh hình bình hành 2cm 3cm Tính chu vi hình bình hành
HD: PABCD 20cm.
Bài 11. Cho hình bình hành ABCD Gọi K, O, E, N trung điểm AB, BC, CD, DA Các đoạn thẳng AO, BE, CN DK cắt L, M, R, P Chứng minh SABCD 5.SMLPR
HD:
Bài 12. Cho tam giác ABC Gọi E, F trung điểm BA, BC Lấy điểm M đoạn thẳng EF (M E, M F) Chứng minh SAMBSBMC SMAC
HD:
Bài 13. Cho tam giác ABC cân A, điểm M thuộc đáy BC Gọi BD đường cao tam giác ABC; H K chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Chứng minh: MH MK BD
HD:
Bài 14. Cho hình bình hành ABCD Gọi K L hai điểm thuộc cạnh BC cho BK = KL = LC Tính tỉ số diện tích của:
a) Các tam giác DAC DCK b) Tam giác DAC tứ giác ADLB c) Các tứ giác ABKD ABLD
HD: a)
DAC DCK S S
3
b)
DAC ADLB
S S
3 5
c)
ABKD ABLD
S S
4 5
.
Bài 15. Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM, BN cắt G Diện tích tam giác AGB 336cm2 Tính diện tích tam giác ABC
HD: SABC 1008cm2.
(39)a) Chứng minh: FD = FC
b) Chứng minh: SABC 2SAFB
HD:
Bài 17. Cho tam giác ABC, đường cao AH điểm M thuộc miền tam giác Gọi P, Q, R chân đường vng góc kẻ từ M đến BC, AC, AB
Chứng minh: MP + MQ + MR = AH
HD:
Bài 18. Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Từ N kẻ đường thẳng song song với BM cắt đwịng thẳng BC D Biết diện tích tam giác ABC a cm( 2)
a) Tính diện tích hình thang CMND theo a
b) Cho a128cm2 BC32cm Tính chiều cao hình thang CMND.
HD:
HD: a) SCMND a cm( 2) b) h4( )cm .
Bài 19.* Cho tứ giác ABCD Kéo dài AB đoạn BM = AB, kéo dài BC đoạn CN = BC, kéo dài CD đoạn DP = CD kéo dài DA đoạn AQ = DA Chứng minh SMNPQ 5.SABCD
HD: Từ SPDQ 2SDAC, SMNB 2SABC , SQAM 2SDAB, SPNC 2SDBC đpcm.
Bài 20. * Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ba đường cao ứng với ba cạnh có độ dài h h ha, ,b c Gọi r khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác tam giác đến
cạnh tam giác Chứng minh ha hb hc r
1 1 1 1
HD:
Bài 21. * Cho tam giác ABC Gọi M, N, P điểm nằm cạnh BC, CA, AB tam giác cho đường thẳng AM, BN, CP đồng quy điểm O Chứng minh
Chứng minh:
(40)HD: Từ
ACP AOP BCP BOP
S S AP
S S PB
AOC BOC
S AP
S PB (1) Tương tự AOCAOB
S BM
S MC (2), BOCAOB
S CN
S NA (3)
Nhân (1), (2), (3), vế theo vế, ta đpcm.
Bài 22. Cho tứ giác ABCD Gọi M, P, N, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD; O giao điểm MN PQ Chứng minh:
a) SAOQSBOP SMPQ b) SAOD SBOC SABCD
1 2
HD: Vẽ AA, BB, MM vng góc với PQ.
Bài 23. Cho tứ giác ABCD Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC Đường thẳng cắt cạnh DC E Chứng minh: SADE SABCD
HD: Chú ý: SBAC SEAC .
Bài 24. Cho tứ giác ABCD có AC = 10cm, BD = 12cm Hai đường chéo AC BD cắt O Biết ^
AOB=30 Tính diện tích tứ giác ABCD
HD: SABCD 30cm2.
Bài 25. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) Gọi I, J, K, L trung điểm AB, BC, CD, DA
a) Tứ giác IJKL hình gì?
b) Cho biết diện tích hình thang ABCD 20cm2 Tính diện tích tứ giác IJKL
HD: a) IJKL hình thoi b) SIJKL 10cm2.
Bài 26. Cho hình bình hành ABCD Vẽ phân giác AM góc A (M CD), phân giác CN góc C (N AB) Các phân giác AM, CN cắt BD E F Chứng minh diện tích hai tứ giác AEFN CFEM
HD: AEFN CFEM hai hình thang có cạnh đáy tương ứng chiều cao nên có diện tích nhau.
BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, AD = 6,8 cm Gọi H, I, E, K trung điểm tương ứng BC, HC, DC, EC
(41)EHIK
Scm 7,65
HD: a) SDBE 20,4cm2 b) .
Bài 2. Cho hình vng ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a Một góc vng xOy có tia Ox cắt cạnh AB E, tia Oy cắt cạnh BC F Tính diện tích tứ giác OEBF
HD: OEBF AOB
a
S S
4
.
Bài 3. Tính diện tích hình thang vng, biết hai đáy có độ dài cm cm, góc tạo cạnh bên đáy lớn có số đo 450
HD: SABCD 22,5cm2.
Bài 4. Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm, độ dài hai đường chéo AC = 16cm, BD = 12cm Từ A vẽ đường thẳng song song với BD, cắt CD E
a) Chứng minh tam giác ACE tam giác vng b) Tính diện tích hình thang ABCD
HD: b) SABCD 96cm2.
Bài 5. Gọi O điểm nằm hình bình hành ABCD Chứng minh: SABOSCDO SBCOSDAO
HD: SABO SCDO SBCO SDAO SABCD
1 2
.
Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD, O điểm nằm hình chữ nhật, AB a AD b , Tính tổng diện tích tam giác OAB OCD theo a b
HD: SOAB SODC AB AD ab
1 . 1
2 2
.
Bài 7. Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB Trên cạnh AC, lấy điểm N cho AN = 2NC Gọi I giao điểm BN CM Chứng minh:
a) SBIC SAIC b) BI 3IN
HD:
(42)Bài 8. Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AC, BC Chứng minh
ABNM ABC
S 3S
4
HD: Từ SABM SABC SBMN SABC
1 , 1
2 4
đpcm.
Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F hai điểm hai cạnh AB DC cho AE = CF; I điểm cạnh AD; IB IC cắt EF M N
Chứng minh: SIMN SMEBSNFC
HD: Từ SBEFC SIBC SDBC SABCD
1 2
đpcm.
Bài 10.Cho tứ giác ABCD Chứng minh ta vẽ tam giác mà diện tích diện tích tứ giác ABCD
HD: Qua B, vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Suy SADE SABCD.
Bài 11.Cho tam giác ABC điểm D cạnh BC Hãy chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích đường thẳng qua D
HD: Xét hai trường hợp:
– Nếu D trung điểm BC AD đường thẳng cần tìm.
– Nếu D không trung điểm BC Gọi I trung điểm BC, vẽ IH // AD (H AB)
Từ SADH SADI DH đường thẳng cần tìm.
Bài 12. Cho tam giác ABC có BC = a, đường cao AH = h Từ điểm I đường cáo AH, vẽ đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC M N Vẽ MQ, NP vng góc với BC Đặt AI = x
a) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a, h, x
b) Xác định vị trí điểm I AH để diện tích tứ giác MNPQ lớn
HD: a) MNPQ
ax h x S
h
( )
b)
ah h
S khi x
max
4 2
I trung điểm AH.
Bài 13. Cho tam giác ABC ba đường trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh sáu tam giác tạo thành tam giác ABC có diện tích
HD:
Bài 14. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N trung điểm AB, CD Một đường thẳng song song với hai đáy cắt AD E, MN I, BC F Chứng minh IE = IF
(43) EKI FHI EI = FI.
Bài 15. Cho tứ giác ABCD Qua trung điểm K đường chéo BD, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt AD E Chứng minh CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích
HD: Xét trường hợp:
a) E thuộc đoạn AD b) AC qua trung điểm K BD c) E nằm đoạn thẳng AD.
Bài 16. Cho tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm M, N cho AM = MN = NC Đường thẳng qua M, song song với AB, cắt đường thẳng qua N song song với BC O Chứng minh OA, OB, OC chia tam giác ABC thành ba phần có diện tích
HD:
Bài 17.* Cho ngũ giác ABCDE Hãy vẽ tam giác có diện tích diện tích ngũ giác ABCDE
HD: Vẽ BH // AC (H DC), EI // AD (I DC) SABCDE SAIH CHƯƠNG III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
I ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1 Tỉ số hai đoạn thẳng
Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo.
Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo. 2 Đoạn thẳng tỉ lệ
Hai đoạn thẳng AB CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB CD có tỉ lệ thức:
AB A B
CD C D
hay
AB CD
A B C D 3 Định lí Ta-lét tam giác
Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định trên hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
B’C’//BC AB '
AB = AC '
AC ; AB ' BB'=
AC ' CC ';
AB B ' B=
AC C ' C 4 Định lí Ta-lét đảo
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác.
AB' B ' B=
AC '
C ' C=¿B ' C ' //BC 5 Hệ quả
(44)Nếu B ' C ' //BC AB '
AB = AC '
AC = B ' C '
BC
Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng song song với cạnh cắt phần kéo dài hai cạnh lại.
A
B C
B’ C’
6 Tính chất đường phân giác tam giác
Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn
AD, AE phân giác ngồi góc
^ BAC
DB AB EB
DC AC EC
7 Nhắc lại số tính chất tỉ lệ thức
ad bc a b c d
a c a b c d
b d b d
a c a c a c
b d b d b d
Dạng Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 27.Cho tam giác ABC, G trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt cạnh AB, BC D E Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết DA+EC=16cm chu vi tam giác ABC 75cm
HD: Vẽ DN // BC DNCE hbh DE = NC Và DB=2DA, DE = 18 cm.
Bài 28.Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD M, cắt cạnh BC N cho MD = 3MA
a) Tính tỉ số
NB NC .
b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm Tính MN
HD: a) Vẽ AQ // BC, cắt MN P ABNP, PNCQ hbh
NB NC
1 3
(45)b) Vẽ PE // AD MPED hbh MN = 11 cm.
Bài 29.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B, C cho
AB AC
AB AC
Qua B vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC C
a) So sánh độ dài đoạn thẳng AC AC b) Chứng minh BC // BC
HD: a) AC = AC b) C trùng với C BC // BC.
Bài 30.Cho tam giác ABC, đường cao AH Đường thẳng a song song với BC cắt cạnh AB, AC đường cao AH B, C, H
a) Chứng minh
AH B C
AH BC
b) Cho AH AH 1 3
diện tích tam giác ABC 67,5cm2 Tính diện tích tam giác ABC
HD: b) SAB C SABC cm
2
1 7,5
9
.
Bài 31.Cho tam giác ABC Gọi D điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = 13,5cm, DB = 4,5cm Tính tỉ số khoảng cách từ điểm D B đến cạnh AC
HD: Vẽ BM AC, DN AC
DN
BM 0,75.
Bài 32.Cho tam giác ABC có BC = 15cm Trên đường cao AH lấy điểm I, K cho AK = KI = IH Qua I K vẽ đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M AB; F, N AC)
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN EF
b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết diện tích tam giác ABC 270cm2
HD: a) EF = 10 cm, MN = 5cm b) SMNFE SABC cm
2
1 90
3
.
Bài 33.Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh AB, BC tia DA, DC theo thứ tự điểm M, N, P, Q
a) Chứng minh:
IM IB
OA OB
IM IB OD
IP ID OB. .
b) Chứng minh:
IM IN IP IQ .
HD: Sử dụng định lí Ta-lét.
(46)Chứng minh hai đoạn thẳng DE BF chia đường chéo AC thành ba đoạn
HD: Gọi M, N giao điểm DE BF với AC Chứng minh: AM = MN = NC.
Bài 35.Cho hình thang ABCD (AB // CD) Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD M,
cắt cạnh BC N Biết
DM CN m
MA NB n Chứng minh rằng:
mAB nCD MN m n .
HD: Gọi E giao điểm MN với AC Tính
m n
EN AB ME CD
m n , m n
.
Bài 36.Cho tứ giác ABCD có góc B D góc vng Từ điểm M đường chéo AC, vẽ MN
BC, MP AD Chứng minh:
MN MP AB CD 1.
HD: Tính riêng tỉ số
MN MP
AB CD; , cộng lại.
Bài 37.Cho hình bình hành ABCD Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC I cắt cạnh BC N, cắt đường thẳng AB M
a) Chứng minh tích AM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí cát tuyến qua D
b) Chứng minh hệ thức: ID2IM IN .
HD:a) AM
DC= AI IC=
AD CN b)
IC IA=
ID ℑ =IB¿
Bài 38.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B, C
Chứng minh: ABC AB C
S AB AC
S AB AC
HD: Vẽ đường cao CH CH
AC CH
ACC H .
Bài 39.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CD lấy điểm D, E, F cho
AD 1AB
4
, BE BC 1 4
, CF CA 1 4
Tính diện tích tam giác DEF, biết diện tích tam
giác ABC a cm2( 2)
HD: SBED SCEF SADF SABC
3 16
DEF
S 7 a cm2( 2) 16
.
Bài 40.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm K cho
AK BK
1 2
(47)cho
CL BL
2 1
Gọi Q giao điểm đường thẳng AL CK Tính diện tích tam giác ABC,
biết diện tích tam giác BQC a cm2( 2)
HD: Vẽ LM // CK
BLQ CLQ BLA CLA
S S
S S
4 7
ABC BQC
S 7S 7 ( )a cm2
4 4
.
Bài 41.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, E, F cho:
AD BE CF AB BC CA
1 3
Tính diện tích tam giác tạo thành đường thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác ABC S
HD: Gọi M, P, T giao điểm AE CD, AE BF, BF CD Qua D vẽ DD// AE Tính
DD CM
ME CD
7 6
6 7
CMA CAD ABC
S 6S 2S 2S
7 7 7
.
MPT ABC CMA APB BTC
S S (S S S ) 1S
7
.
Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H
cho
AE AH CF CG
AB AD CB CD .
a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành
b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi khơng đổi
HD: b) Gọi I, J giao điểm AC với HE GF PEFGH 2(AI IJ JC ) 2 AC.
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC
a) Chứng minh IK // AB
b) Đường thẳng IK cắt AD, BC E F Chứng minh EI = IK = KF
HD: a) Chứng minh
MI MK IK AB
IA KB P .
Bài 3. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC M AB K Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB F Qua F, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC P Chứng minh rằng:
(48)b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy
HD: b) Gọi I giao điểm DB với CF Chứng minh P, I, M thẳng hàng.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng song song với BC qua O, cắt AB E đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD F
a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD
b) Từ O vẽ đường thẳng song song với AB AD, cắt BC DC G H Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH
HD: a) Chứng minh
AE AF
AB AD b) Dùng kết câu a) cho đoạn GH.
Dạng Tính chất đường phân giác tam giác
Bài 1. Cho tam giác ABC cân A, BC = 8cm, phân giác góc B cắt đường cao AH K,
AK AH
3 5
a) Tính độ dài AB
b) Đường thẳng vng góc với BK cắt AH E Tính EH
HD: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm.
Bài 2. Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n; AD đường phân giác góc A Tính tỉ số diện tích tam giác ABD tam giác ACD
HD:
ABD ACD
S m
S n .
Bài 3. Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC = 10cm, AB = 15cm a) Tính AD, DC
b) Đường phân giác ngồi góc B tam giác ABC cắt đường thẳng AC D Tính DC
HD: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) DC = 10cm.
Bài 4. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM đường phân giác AD
a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) diện tích ABC S
b) Cho n = 7cm, m = 3cm Diện tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC?
HD: a) ADM ABC
n m
S S
m n
2( )
b) SADM 20%SABC.
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai đường phân giác BD, AE
(49)HD: a) AD2,5cm b) OG // DM OG // AC.
Bài 6. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc ^AMB cắt AB D, đường phân giác góc ^AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE // BC.
HD:
DA EA DE BC
DB EC P .
Bài 7. Cho tam giác ABC (AB < AC), AD phân giác góc A Qua trung điểm E cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC F, cắt đường thẳng AB G Chứng minh CF = BG
HD:
BG BE CD BA CD AB
CF BD CE AC BD AC
. . . 1
. .
.
Bài 8. Cho tam giác ABC ba đường phân giác AM, BN, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4, 7,
a) Tính MC, biết BC = 18cm b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm
c) Tính tỉ số
OP OC .
d) Chứng minh:
MB NC PA MC NA PB. . 1.
e) Chứng minh: AM BN CP BC CA AB
1 1 1 1 1 1
HD: a) MC = 10cm b) AC = 11cm c)
OP OC
1 3
e) Vẽ BD // AM BD < 2AB
AC AB AM
AC AB
2 .
AM AB AC
1 1
.
Tương tự: BN AB BC
1 1 1 1
2
, CP AC BC
1 1 1 1
2
đpcm.
Bài 9. Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC Đường phân giác góc AIB cắt cạnh AB M Đường phân giác góc AIC cắt cạnh AC N
a) Chứng minh MM // BC
b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN = AI? c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN AI?
HD: a) Chứng minh
AM AN
BM CN .
(50)chéo AC I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số 4
11 cắt đáy AB M Tính cạnh đáy AB, DC, biết MA – MB = 6cm
HD: Chứng minh DC = AB + AD DC = AB + AM
MB MA
3 4
DC = 66cm, AB = 42cm.
Bài 11. Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB E, AD F cắt đường chéo AC G
Chứng minh hệ thức:
AB AD AC AE AF AG.
HD: Vẽ DM // EF, BN // EF Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADM, ABN.
Bài 12. Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CD lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng MN, DB, AC đồng quy
HD:
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1 Khái niệm hai tam giác đồng dạng
a) Định nghĩa: Tam giác ABC gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: ^
A= ^A ' ;B=^^ B ' ;C=^^ C ' ; A
'B'
AB = B'C'
BC = C'A'
CA
Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng: A B C ∽ ABC.
b) Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với hai cạnh cịn lại nó tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho.
Chú ý: Định lí trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại.
A
B C
M N
2 Các trường hợp đồng dạng hai tam giác
Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
A B B C C A
AB BC CA
ABC∽ABC
(51)^
A= ^A ' ; A
'
B' AB =
C'A'
CA ABC∽ABC
Trường hợp 3: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với nhau.
^
A= ^A ' ;B=^^ B ' ; ABC∽ABC 3 Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông
Trường hợp 1: Nếu tam giác vuông có một góc nhọn góc nhọn tam giác vng kia thì hai tam giác vng đồng dạng với nhau.
Trường hợp 2: Nếu tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng của tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với nhau.
Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông của tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng của tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với nhau.
4 Tính chất hai tam giác đồng dạng
Nếu hai tam giác đồng dạng với thì:
Tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng. Tỉ số hai đường phân giác tương ứng tỉ số đồng dạng. Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng. Tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng.
Tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng.
Dạng Sử dụng tam giác đồng dạng để tính tốn Bài 1. Cho tam giác ABC đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k
a) Tính tỉ số chu vi hai tam giác
b) Cho k 3 5
hiệu chu vi hai tam giác 40dm Tính chu vi tam giác
HD: a)
P k
P
b) P 60( ),dm P100( )dm .
Bài 2. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số
k 4
3
Tính chu vi tam giác ABC, biết chu vi tam giác ABC 27cm
HD: P20,25( )cm .
Bài 3. Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm Tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABC có chu vi 75cm Tính độ dài cạnh ABC
HD: A B 15 ,cm B C 25 ,cm A C 35cm.
(52)a) Chứng minh ABH ∽ ACK b) Cho ^ACB=40 Tính ^AKH
HD: b) ^AKH=^ACB .
Bài 5. Cho hình vng ABCD Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P Q cho BP = BQ Gọi H hình chiếu B đường thẳng CP
a) Chứng minh BHP ∽ CHB b) Chứng minh:
BH CH BQ CD . c) Chứng minh CHD ∽ BHQ Từ suy ^DHQ=90
HD: c) Chứng minh ^DHQ=^CHD+ ^CHQ = ^BHQ+^CHQ=^BHC .
Bài 6. Hai tam giác ABC DEF có ^A= ^D ;^B= ^E , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm a) Tính độ dài cạnh AC, DF, EF, biết cạnh AC dài cạnh DF 3cm
b) Cho diện tích tam giác ABC 39,69cm2 Tính diện tích tam giác DEF
HD: a) ABC ∽DEF EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) SDEF cm 22,33( )
.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm Gọi I, K hình chiếu H lên AB, AC
a) Chứng minh AKI ∽ ABC b) Tính diện tích tam giác ABC c) Tính diện tích tứ giác AKHI
HD: b) SABC 39cm2 c) SAKHI cm
2 216
13
.
Bài 8. Cho tam giác ABC, có ^A=90+ ^B , đường cao CH Chứng minh: a CBA=^^ ACH b CH2BH AH
HD:
Bài 9. Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM CN cắt G Tính diệnt ích tam giác GMN, biết diện tích tam giác ABC S
HD: GMN
S S
12
.
Bài 10. Cho hình vng ABCD, cạnh a. Gọi E điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD I Trên EB lấy điểm M cho DM = DA
a) Chứng minh EMC ∽ ECB b) Chứng minh EB.MC = 2a2 c) Tính diện tích tam giác EMC theo a
HD: c) SEMC a
2 4 5
.
(53)thẳng qua M, song song với BC, cắt AC N Một đường thẳng qua N, song song với AB, cắt BC D
a) Chứng minh AMN ∽ NDC
b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm Tính diện tích cáctam giác AMN, ABC NDC
HD: b) SAMN 24cm2, SABC cm
2 200
3
, SNDC cm
2 32
3
.
Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Bài 1. Cho tam giác ABC Gọi A, B, C trung điểm cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh ABC ∽ CAB
b) Tính chu vi ABC, biết chu vi ABC 54cm
HD: b) P 27( )cm .
Bài 2. Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác Gọi E, F, H trung điểm AG, BG, CG Chứng minh tam giác EFH ABC đồng dạng với G trọng tâm tam giác EFH
HD: Sử dụng tính chất đường trung bình trọng tâm tam giác.
Bài 3. Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm M, N, P cho AM, BN, CP đồng quy O Qua A C vẽ đường thẳng song song với BO cắt CO, OA E F
a) Chứng minh: FCM ∽ OMB PAE ∽ PBO
b) Chứng minh:
MB NC PA MC NA PB. . 1.
HD: b) Sử dụng định lí Ta-lét tam giác đồng dạng.
Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AD = 8cm, AE = 6cm
a) Chứng minh AED ∽ ABC
b) Tính chu vi tam giác ADE, biết BC = 25cm c) Tính góc ADE, biết C=20^ .
HD: b) PADE 24( )cm c) ^ADE=20 .
Bài 5. Cho góc xOy Trên cạnh Ox, lấy điểm A, B cho OA = 5cm, OB = 16cm Trên cạnh Oy, lấy điểm C, D cho OC = 8cm, OD = 10cm
a) Chứng minh: OCB ∽ OAD
b) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh BAI^= ^DCI .
(54)a ) OC
OA= OB OD=
8
5 O^ chung => OCB ∽OAD b) Theo a => OBC=^^ ODA => IBA ∽ IDC
Bài 6. Cho tam giác ABC có cạnh AB = 24cm, AC = 28cm Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi M, N hình chiếu điểm B, C đường thẳng AD
a) Tính tỉ số
BM
CN b) Chứng minh
AM DM AN DN .
HD: a) Chứng minh BDM ∽CDN
BM CN
6 7
b) Chứng minh ABM ∽CAN. Bài 7. Cho hình bình hành ABCD Vẽ CE AB CF AD, BH AC
a) Chứng minh ABH ∽ ACE b) Chứng minh: AB AE AD AF AC
HD: b) Chứng minh: AB.AE = AC.AH, AD.AF = AC.CH đpcm.
Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a) Chứng minh OA.OD = OB.OC
b) Đường thẳng qua O, vng góc với AB, CD theo thứ tự H, K Chứng minh
OH AB
OK CD .
HD: a) Chứng minh OAB ∽OCD.
Bài 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi O giao điểm ba đường cao AH, BK, CI a) Chứng minh OK.OB = OI.OC b) Chứng minh OKI ∽ OCB
c) Chứng minh BOH ∽ BCK d) Chứng minh BO BK CO CI BC
HD:
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm a) Tính BC
b) Từ trung điểm M BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt đường thẳng AC H cắt đường thẳng AB E Chứng minh EMB ∽ CAB
c) Tính EB EM
d) Chứng minh BH vng góc với EC e) Chứng minh HA.HC = HM.HE
HD: a) BC9( )cm c) EM 6( ),cm EB7,5( )cm
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Hãy nêu cặp tam giác đồng dạng
b) Cho AB = 12,45cm, AC = 20,50cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH, CH
(55)Bài 12. Cho tam giác ABC đường cao AH, AB = 5cm, BH = 3cm, AC cm
20 3
a) Tính độ dài AH b) Chứng minh ABH ∽ CAH Từ tính BAC^
HD: a) AH = 4cm b) BAC^=90
Bài 13. Cho tứ giác ABCD, có ^DBC=90 , AD 20cm, AB4cm, DB6cm, DC9cm. a) Tính góc BAD^ b) Chứng minh BAD ∽ DBC c) Chứng minh DC // AB.
HD: a) BAD=90^
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông A, AB = 15cm, AC = 20cm Tia phân giác góc A, cắt cạnh BC D
a) Tính
DB DC .
b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC E Chứng minh EDC ∽ ABC c) Tính DE diện tích tam giác EDC
HD: a)
DB DC
3 4
c) DE60 ( )7 cm , SEDC cm
2 2400 ( )
49
.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a Vẽ đường cao BH, CK
a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC HK
HD: c)
a HC
b
2 2
,
a KH a
b
3 2
.
Bài 3. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm K, H cho BK CH BI 2 Chứng minh:
a) KBI ∽ ICH b) KIH ∽ KBI
c) KI phân giác góc ^BKH d) IH KB HC IK HK BI .
HD: d) Chứng minh IH KB HC IK BI KI IH ( )HK BI .
Bài 4. Cho tam giác ABC (AB < AC) Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM
a) Chứng minh HD DM HM
b) Vẽ đường cao BF, CE So sánh hai đoạn thẳng BF CE c) Chứng minh AFE ∽ ABC
(56)HD:
a) AB < AC DC > MC, CAH^>^A
2 D nằm H M đpcm.
b) BF < CE d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH
Bài 5. cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho
AD AE
AB AC .
Đường trung tuyến AI (I BC) cắt đoạn thẳng DE H Chứng minh DH = HE
HD:
DH HE
BI IC đpcm.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông A, C^=30 và đường phân giác BD (D AC).
a) Tính tỉ số
DA
CD b) Cho AB = 12,5cm Tính chu vi diện tích tam giác ABC.
HD: a)
DA DC
1 2
b) BC = 25cm, AC = 21,65cm.
Bài 7. Cho tam giác ABC cạnh a, M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho ^DME=60 .
a) Chứng minh
a
BD CE.
4
b) Chứng minh MBD ∽ EMD ECM ∽ EMD ∽ c) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE
HD: c) Vẽ MH DE, MK EC MH = MK;
a
MK MC2 CK2 3
4
.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân A, ^A=20 , AB = AC = b, BC = a Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho ^DBC .
a) Chứng minh BDC ∽ ABC
b) Vẽ AE vng góc với BD E Tính độ dài đoạn thẳng AD, DE, AE
c) Chứng minh a3b33ab2.
HD: b)
b
AE 3
2
,
b
DE a
2
,
a AD b
b
2
c) AD2DE2AE2 đpcm.
Bài 9. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, K điểm AM cho AM = 3AK, BK cắt AC N, P trung điểm NC
a) Tính tỉ số diện tích tam giác ANK AMP
(57)c) Một đường thẳng qua K cắt cạnh AB, AC I J Chứng minh
AB AC AI AJ 6.
HD: a)
ANK AMP
S S
1 9
b) SAMP SAMC SAMC SABC
3 ; 1
5 2
ANK
S S
30
. c) Vẽ BE // IJ, CH // IJ (E, H AM) EBM = HCM EM = MH;
AB AE AC AH
AI AK AJ, AK đpcm.
Bài 10. Cho tam giác ABC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC O giao điểm đường trung trực, H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC
a) Chứng minh OMN ∽ HAB b) So sánh độ dài AH OM c) Chứng minh HAG ∽ OMG
d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng GH = 2GO
HD: b) AH = 2OMd) ^HGO=^HGM+ ^MGO=^HGM+ ^AGH=^MGA đpcm.
Bài 11. Cho tam giác ABC, đường cao AK BD cắt G Vẽ đường trung trực HE, HF AC BC Chứng minh:
a) BG = 2HE b) AG = 2HF
HD: ABG ∽FEH đpcm.
Bài 12. Cho hình thang vng ABCD (AB // DC, ^A= ^D=90 ) Đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC Chứng minh BD2 AB DC .
HD: Chứng minh ABD ∽BCD.
Bài 13. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), O trung điểm cạnh đáy BC Một điểm D di động
cạnh AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho
OB CE
BD
2
Chứng minh: a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng
b) Tam giác DOE đồng dạng với hai tam giác
c) DO phân giác góc BDE^ , EO phân giác góc CED^ . d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi D di động AB
HD: d) Vẽ OI DE, OH AC OI = OH.
Bài 14. Cho tam giác ABC, B,C góc nhọn Các đường cao AA, BB, CC cắt H
a) Chứng minh: AA.AH = AB.AC
(58)Chứng minh: A A 3A B A C .
HD: a) Chứng minh BAH ∽ BBC, CAA∽CBB b) GH // BC
A A A H 3 .
Bài 15. Cho hình thang KLMN (KN // LM) gọi E giao điểm hai đường chéo Qua E, vẽ
đường thẳng song song với LM, cắt MN F Chứng minh: EF KN LM
1 1 1
HD: Tính tỉ số
EF EF LM KN, .
Bài 16. Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC BC D E; đường thẳng song song với AC, cắt AB BC F K; đường thẳng song song với BC, cắt AB AC M N Chứng minh:
AF BE CN AB BC CA 1.
HD: Chứng minh
AF KC CN KE
AB BC CA BC , đpcm.
Bài 17. Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, AB
lần lượt A, B, C Chứng minh:
OA OB OC
AA BB CC 1
.
HD: Vẽ AH BC, OI BC
OA OI AA AH ; BOC ABC S OI
S AH
BOC ABC S OA S AA . Tương tự: COA AOB ABC ABC
S OB S OC
S BB S, CC
đpcm.
Bài 18. Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R Chứng minh
nếu đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy O
PB QC RA
PC QA RB 1 (định lí Ceva).
HD: Qua C A vẽ đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP E cắt đường
thẳng CR D Chứng minh
PB OB RA AD QC EC
PC EC RB OB QA , , AD đpcm.
(59)PB QC RA
PC QA RB. . 1 (định lí Menelaus).
HD: Gọi khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng PQR m, n, p.
Ta có:
PB n QC p RA m
PC p QA m RB, , n đpcm.
Bài 20: Cho ∆ DEG vng D có DE=6cm, DG=8cm, đường cao DH a Chứng minh ∆ GED ∽∆ DEH DE2=EH.EG.
b Tính EG, DH
c Phân giác góc DEG cắt DG K, tính EK
HD:
a, ∆ GED ∽∆ DEH (g.g) nên EH
DE= DE EG
b, Dùng Pytago cho tam giác DEG tính EG=10cm, Theo a) suy : EG
DE= DG
DH từ tính
DH=4,8cm. c, DK
KG= DE EG=
3
5mà ED+EG=8cm nên ED=3cm, EG=5cm Dùng Pytago cho tam giác DEK
tính EK= √45cm
Bài 21: Cho hình bình hành MNPQ có E trung điểm PQ, G trọng tâm ∆ MPQ, F thuộc cạnh MQ cho FG//NM
a Tính tỉ số QE FG
b Chứng minh ∆ QGE ∽∆ NGM tìm tỉ số đồng dạng
HD:
a, FG//QE nên QE
FG= ME MG=
3
2 (tính chất trọng tâm)
b, ∆ QGE ∽∆ NGM (g.g) tỉ số đồng dạng k= QE
NM= QE QP=
1 2
Bài 22: Cho hình bình hành ABCD, F thuộc BC Tia AF cắt BD DC E G CMR: a ∆ BEF ∽ ∆ DEA ∆ DGE ∽ ∆ BAE
b AE2=EF.EG.
c BF.DG không thay đổi
HD:
a, ∆ BEF ∽ ∆ DEA (g.g) ∆ DGE ∽ ∆ BAE(g.g)
b, Theo a) ¿
EA= DE BE
BE DE=
EF
EA suy AE
¿ =
(60)c, ∆ BEF ∽ ∆ DEA nên BF
DA= BE
DE ; ∆ DGE ∽ ∆ BAE nên BE DE=
BA DG suy
ra BF
DA= BA
DG hay BF.DG=AD.AB (không đổi)
Bài 23: Cho ∆ ABC nhọn có đường cao AD,BE,CF cắt H a Chứng minh AB.AF=AC.AE
b Chứng minh ∆ AEF ∽ ∆ ABC c Chứng minh BEF=^^ BCF
d Chứng minh EH phân giác ¿^ ( hai cách) e Chứng minh BH.BE+CH.CF=BC2.
f Cho AE=3cm, AB=6cm, AH=5cm: Chứng minh dt( ∆ ABC)=4.dt( ∆ AEF); Tính dt( ∆ BEC); kẻ HM//AC Tính HM
g Chứng minh : AF FB.
BD DC.
CE EA=1
HD:
a, ∆ ABE ∽∆ ACF (g g) nên AB
AC= AE AF ;
b, Xét ∆ AEF ∆ ABC có AB
AC= AE
AF góc A chung nên ∆ AEF ∽ ∆ ABC
(c.g.c)
c, Vì ∆ AEF ∽ ∆ ABC nên ^AEF=^ABC mà^AEF+ ^BEF=^FCB+ ^ABC nênBEF=^^ BCF . d, Theo câu b) suy ra: ^AEF=^B ; Chứng minh tương tự câu b) suy ra: ∆ CED ∽ ∆ CBA nên B=^^ CED => CED=^^ AEF mà CED+ ^^ DEH=^HEF+ ^AEF=900 nên ^DEH=^HEF
.
e, ∆ BHD ∽ ∆ BCE (g.g) nên BH.BE=BD.BC.(1) ; ∆ CHD ∽ ∆ CBF nên CH.CF=BC.CD (2) cộng vế (1) (2) ta được: BH.BE+CH.CF=BC(CD+DB)=BC2
f, Vì ∆ AEF ∽ ∆ ABC(g.g) theo tỉ số đồng dạng k=AE AB=
3 6=
1
2nên S∆ AEF=
1 4S∆ ABC
- Dùng Pytago cho ∆ AEB ∆ EAH tính EB= √27 ; EH=4cm Suy ra
S∆ AEB=AE EB:2=3
2√27 Vì ∆ ABE ∽ ∆ HCE theo tỉ số k= AE
HE= 3
4nên S∆ EHC=
27
32√27 suy EC=2. S∆ EHC :EB=
27
16 Từ tính S∆ CEB .
g, AF FB. BD DC. CE EA= AF EA. BD FB. CE DC= AC AB. BA BC . BC AC=1
(61)a Tính BC,DE
b Chứng minh ∆ ACB ∽∆ ADE
c Đường vuông góc với DE D E cắt BC M N, Chứng minh M trung điểm BH, N trung điểm CH
d Chứng minh BN2-CN2=AB2. HD:
a, Pytago cho ∆ ABC: AB2+AC2=BC2 Thay số BC=13cm
Ta có: EHDA hình chữ nhật nên AH=ED, mà AH.CB=AB.AC => AH= 60
13cm .
b, ^EDA=^HAD ;^HAD+ ^B=^C+ ^B nên^HAD= ^C=¿^EAD= ^C => ∆ ACB ∽∆ ADE (g.g)
c, ^NEH+ ^HED=^NHE+ ^EHA mà^EHA=^HED nên^NEH=^NHE=¿HN=NE(1) . ^
C+ ^CHE=^NEH+ ^NEC mà^NEH=^NHE nênC=^^ NEC=¿NE=NC(2) . Từ (1)(2) suy N trung điểm HC Chứng minh tương tự M trung điểm HB. d, BN2-CN2=(BN+CN)(BN-CN)=BC.BH (3)
mà ∆ ABC ∽∆ HBA(g.g) nên AB
HB= BC
BA=¿AB
=BC HB (4) Từ (3)(4) suy BN2-CN2=AB2 đpcm
Bài 25: Cho ∆ ABC vuông A, đường cao AH, a Chứng minh ∆ AHB ∽ ∆ CAB
b Phân giác BD cắt AH E, cho AB=12cm, BC=16cm, Tính tỉ số diện tích ∆ EBH/ ∆ DBA c Chứng minh EA.DA=EH.DC
d Giả sử ∆ ABC vuông cân A, lấy M trung điểm AC, đường thẳng qua A vng góc BM cắt BC F, chứng minh BF=2FC
HD:
a, C+ ^^ B=^HAB+ ^B=900
nênC^ = ^HAB => ∆ AHB ∽ ∆ CAB(g.g)
b, Dùng Pytago cho ∆ ABC : AB2+AC2=BC2 => AC=4
√7cm Có AH.BC=AB.AC => AH=3 √7cm, mà AH2+HB2=AB2 nên HB= 9cm.
Xét ∆ EBH ∆ DBA có ^EBH=^DBA (phân giác DB) nên ∆ EBH ∽ ∆ DBA(g.g) theo tỉ số k= BH
BA= 9 12=
3
4 nên
S∆ EBH S∆ DBA
= 16 .
c,
DA DC=
BA BC;
EH EA=
HB
AB(tính ch tấ phân giác)mà HB AB=
AB BC nên
AD DC=
EH
EA hay EA DA=EH DC
. d,
(62)cho ^ABF=^ACB .
a Chứng minh: ∆ ABF ∽ ∆ ACB b Chứng minh : SABC=2.SADC
c Gọi O giao BF AD, CO cắt AB E, Từ A,C dựng đường thẳng song song với
BF cắt CO J cắt AD I Chứng minh FC.JA=CI.FA DB DC .
FC FA .
EA EB=1
HD:
a, ∆ ABF ∽ ∆ ACB(g.g) ^A chung, ^ABF=^ACB .
AF
AB= AB
AC => AF=2cm nên FC=6cm,
b, Vì 2DC=BC nên SABC=2.SADC .
c, Vì OF//IC nên FC
FA= IO OA mà
IO OA=
CI
AJ(Vì AJ song song IC)nên FC
FA= CI AJ
Dùng tính chất đường đồng quy:
Bài 27: Cho hình chữ nhật ABCD kẻ AH vuông BD.
a Chứng minh ∆ AHD ∽ ∆ BDC BC2=DH.DB.
b Gọi S trung điểm BH, R trung điểm AH Chứng minh: SH.BD=SR.DC c Gọi T trung điểm DC chứng minh DRST hình bình hành
d Tính ^AST .
HD:
Bài 28: Cho ∆ ABC vuông A có góc B=2C, đường cao AD a Chứng minh: ∆ ADB ∽ ∆ ABC
b Kẻ phân giác góc B cắt AD F cắt AC E CMR: AB2=AE.AC.
c Chứng minh: DF FA=
AE EC
d Cho AB=2BD, Chứng minh : SABC=3.SBFC
HD:
Bài 29: Cho ∆ ABC nhọn , M N trung điểm BC AC Đường trung trực BC AC cắt O Qua A kẻ đường thẳng // với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt H Gọi G trọng tâm ∆ ABC
a ∆ ABH đồng dạng với tam giác nào? b Chứng minh ∆ HAG ∽ ∆ OMG c Chứng minh H,G,O thẳng hàng
(63)Bài 30: Cho ∆ ABC vuông B, đường cao BK a Chứng minh ∆ AKB ∽ ∆ ABC b Chứng minh AK.BC=AB.BK
c Cho AB=15cm, BK=12cm, - Tính AK,KC,BC
- Kẻ KM vuông AB M, KN vuông BC N, gọi O giao điểm BK MN, trung tuyến BQ tam giác ABC cắt MN I Tính diện tích ∆ BOI
HD:
Bài 31: Cho ∆ ABC nhọn, hai đường cao AK BH cắt O a Chứng minh ∆ AKC ∽ ∆ BHC từ suy ra: CH.CA=CK.CB b Chứng minh ∆ CHK ∽ ∆ CBA
c Cho ^AOB=1200và S
∆ ABC=200cm2,Tính S∆ CHK
HD: c, ^AOH=600 nên HK=1/2AC( cạnh đối diện với góc 300) mà ∆ CHK ∽ ∆ CBA theo
k= HK
AC= 1
2 Nên S∆ ABC=4.S∆ CHK => S∆ CHK=50cm2 .
Bài 32: Chu vi tam giác ABC cân A 80cm, phân giác góc A góc B cắt I, AI cắt BC D. Cho AI
ID= 4
3 Tính cạnh ∆ ABC
HD:
Bài 33: Cho ∆ ABC, lấy D BC cho DC=2DB Qua D kẻ đường thẳng //AC cắt AB F, qua D kẻ đường thẳng //AB cắt AC E, gọi M trung điểm AC
a So sánh BF AB
AE AC b Chứng minh EF//BM
c Giả sử: BD
DC=k , Tìm k để EF//DC
HD:
Bài 34: Cho ∆ ABC điểm D cạnh AB, đường thẳng qua D song song BC cắt AC E cắt đường thẳng qua C song song với AB G, BG cắt AC H, qua H kẻ đường thẳng song song AB cắt BC I
a CMR: DA.EG=DB.DE b HC2=HE.HA.
c 1 IH=
1 AB+
(64)HD: a, DE
EG= DA GC=
DA
DB nên DE.DB=DA.EG.
b, HC
HA= IC IB= HG BH= EH
HC nên HC2=HA.HE.
c, GC
AB= HG HB=¿
GC HG=
AB HB=
GC+AB HG+HB=
GC+AB
BG nên GC+AB=
AB BG
HB chia vế cho
CG.AB ta được:
a 1
AB+ 1 CG=
AB BG
HB AB CG mà BG.IH=HB.GC nên
BG HB CG=
1
IH Vậy 1 IH= 1 AB+ 1 CG đpcm
Bài 35: Cho hình vng ABCD điểm E BC Kẻ Ax vuông AE cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Qua E kẻ đường thẳng song song AB cắt AI G
a Chứng minh AE=AF b Tứ giác EGFK hình thoi c ∆ FIK đồng dạng ∆ FCE
d EK=BE+DK chu vi tam giác ECK không đổi E chuyển BC
HD:
a, ^FAD+ ^DAE=900;^DAE+ ^EAB=900
=¿^FAD=^EAB => ∆ FAD= ∆ EAB(ch-gn) nên
AE=AF.
b, ∆ AEF cân nên AI trung trực FE, Vì GE//FK nên ^IFK=^IEG(sole) => ∆ IEG= ∆ IFK
nên GI=IK mà GK vng góc FE nên EGFK hình thoi. c, Xét ∆ FIK ∆ FCE Có: ^F chung ;^I= ^C=900
; ∆ FIK đồng dạng ∆ FCE (g.g). d, Theo b) ta có: EK=KF=DK+DF=DK+BE( theo câu a DF=BE).
Ta có: EC+CK+KE=EC+CK+(BE+DK)=DC+BC=2BC khơng đổi.
Bài 36: Cho ∆ ABC vuông A, AB=8cm, AC=6cm, phân giác AD, a Tính CD BD
b Từ D kẻ DE DF vng góc với AB AC Tính chu vi diện tích AEDF
HD:
a, Dùng Pytago: BC2=AB2+AC2 nên BC=10cm, Vì AD phân giác nên : CD
AC= DB
AB=¿ CD
6 = DB
8 =
CD+DB 6+8 =
10
14 nên CD= 30
7 cm; DB= 40
7 cm.
b, ∆ CFD ∽ ∆ CAB nên FD=AB.CD/CB=24/7 cm.
(65)Bài 37: Cho ∆ ABC có AC>AB, phân giác AD, Qua C kẻ Cx cho tia CB nằm hai tia CA Cx BCx^= ^BAD , AD giao Cx E.
a ∆ DCE ∽ ∆ DAB b ∆ EBC cân
c ∆ ABD ∽ ∆ AEC từ suy ra: AB.AC=AD2+ BD.DC HD:
a, Xét ∆ DCE ∆ DAB có: ^DCE=^BAD (gt) ^EDC=^BDA (đối đỉnh) nên ∆ DCE ∽ ∆ DAB(g.g)
b, Xét ∆ DEB ∆ DCA có: BD
ED= DA
DC (theo câu a) ^EDB=^CDA (đối đỉnh) nên ∆ DEB ∽ ∆ DCA Suy ra: ^EBD=^DAC mà ^DCE=^BAD AD phân giác nên ^EBD=^ECD Vậy ∆ EBC cân
c, Vì ∆ DCE ∽ ∆ DAB nên ^DEC=^DBA nên ∆ ABD ∽ ∆ AEC(g.g)
Có: AB
AE= AD
AC nên AB.AC=AD.AE=AD(AD+DE)=AD2+AD.DE mà AD.DE=DB.DC suy ra:
AB.AC=AD2+BD.DC.
Bài 38: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, kẻ BH, CM, CN, DI vng góc với AC, AB, AD, AC
a Chứng minh AH=CI
b Chứng minh : AB.CM=CN.AD c Tứ giác BIDH hình gì? d AD.AN+AB.AM=AC2 HD:
a, Xét ∆ AHB ∆ CID có AB=CD BAH^=^DCI(sole trong) nên ∆ AHB = ∆
CID(ch-gn) => AH=CI.
b, S∆ ABC=S∆ ADC nên AB CM
2 =
AD CN
2 hay AB.CM=AD.CN (đpcm)
c, Theo câu a, BH=ID BH//ID ( vng góc AC) nên BIDH hình bình hành. d, ∆ AID ∽ ∆ ANC nên AD.AN=AC.AI (1)
∆ ABH ∽ ∆ ACM nên AB.AM=AC.AH mà AH=IC nên AB.AM=AC.IC (2). Lấy (1)+(2) theo vế ta được: AD.AN+AB.AM=AC.AI+AC.IC=AC(AI+IC)=AC2 (đpcm).
Bài 39: Cho ∆ ABC vuông A, đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài 9, gọi D E hình chiếu H lên AB, AC
a Tính AB, AC, DE
(66)c Tính diện tích DEMN
HD:
a, ∆ AHC ∽ ∆ BAC nên AC2=CH.CB=4.13=52 nên AC=
√52 cm, Tương tự: AB2=HB.BC=9.13=117 nên AB=
√117 cm Ta có AH=DE( AEHD hình chữ nhật) mà AH2=AC2
-CH2 (pytago) nên AH=6cm hay DE=6cm.
b, ^MDB=^HDE (cùng phụ ^HDM ) mà ^HDE=^AHD ^AHD=^HBD (cùng phụ ^DHB ) nên ^MDB=^MBD suy DM đường trung tuyến ∆ DHB nên M trung điểm
BH.
Chứng minh tương tự: N trung điểm HC.
c, DEMN hình thang vng nên: SDEMN=(EN+DM) ED
2 với EN=CH:2=2cm,
DM=HB:2=4,5cm DE=6cm Suy SDEMN =19,5cm2.
Bài 40: Cho ∆ ABC vuông A, đường cao AH, gọi E, F hình chiếu H lên AB AC a Chứng minh AEFH hình chữ nhật
b Chứng minh AE.AB=AF.AC
c Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I, Chứng minh I trung điểm BC
d Chứng minh rằng: Nếu diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật tam giác ABC tam giác vng cân
HD:
Bài 41: Cho ∆ ABC đường cao BK CI cắt H, đường thẳng kẻ từ B vng góc với AB đường thẳng kẻ từ C vng góc với AC cắt D
a Chứng minh BHCD hình bình hành b Chứng minh : AI.AB=AK.AC
c Chứng minh ∆ AIK ∽ ∆ ACB
d ∆ ABC có thêm điều kiện để đường thẳng DH qua A? Khi tứ giác BHCD hình gì?
HD:
Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB//CD, góc A D vng, AB=2cm, AD=CD=8cm, a Tính BC
b Gọi O trung điểm AD, chứng minh ∆ BOC vuông
c Chứng minh ∆ AOB ∽ ∆ DOC; ∆ ABO ∽ ∆ OBC
HD:
Bài 43: Cho ∆ ABC đều, gọi O trung điểm BC Tại O dựng góc xOy=600, Ox cắt AB M, Oy cắt
(67)a ∆ BOM ∽ ∆ CNO b BC2=4BM.CN.
c ∆ BOM ∽ ∆ ONM OM phân giác góc BMN d Chứng minh ON2=CN.MN
HD:
Bài 44: Cho ∆ ABC vuông C( AC<CB) Lấy I AB, nửa mp bờ AB chứa C kẻ tia Ax By vuông góc AB, đường vng góc với IC qua C cắt Ax , By M N
a Chứng minh ∆ CAI ∽ ∆ CBN b Chứng minh: AB.NC=IN.CB
c Chứng minh ^MIN=900 .
d Tìm vị trí I để diện tích tam giác IMN gấp lần diện tích tam giác ABC
HD:
a, ^NBC=^CAB ( phụ với góc CBA^ ). ^
NCB=^ICA ( phụ với góc ^ICB ) nên ∆ CAI ∽ ∆ CBN (g.g).
b,
CHƯƠNG IV: HÌNH LĂNG TRỤ – HÌNH CHÓP ĐỀU
I Mở đầu hình học khơng gian 1 Đường thẳng, mặt phẳng
– Qua ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng. – Qua hai đường thẳng cắt xác định mặt phẳng.
– Đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.
2 Hai đường thẳng song song không gian
– Hai đường thẳng a, b gọi song song với chúng nằm mặt phẳng và không có điểm chung Kí hiệu a // b.
– Hai đường thẳng phân biệt, song song với đường thẳng thứ ba song song với nhau.
Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt không gian có thể:
– Cắt nhau – Song song – Chéo (không nằm mặt phẳng)
3 Đường thẳng song song với mặt phẳng
– Một đường thẳng a gọi song song với mặt phẳng (P) đường thẳng khơng nằm trong mặt phẳng (P) song song với đường thẳng b nằm mặt phẳng
Kí hiệu a // (P).
(68)4 Hai mặt phẳng song song
– Nếu mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng cắt nhau, song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) Kí hiệu (Q) // (P).
– Hai mặt phẳng song song với khơng có điểm chung.
– Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có chung đường thẳng qua điểm chung (đường thẳng chung giao tuyến hai mặt phẳng).
5 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng
– Đường thẳng a gọi vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (P) Kí hiệu a (P).
– Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) điểm A vng góc với mọi đường thẳng nằm (P) qua điểm A.
6 Hai mặt phẳng vng góc
– Mặt phẳng (Q) gọi vng góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) Kí hiệu (Q) (P).
II Hình hộp chữ nhật - Hình lập phương Hình hộp chữ nhật có: mặt hình chữ nhật, đỉnh, 12 cạnh. Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vng. Thể tích hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc. Thể tích hình lập phương cạnh a là: V a
3
.
III Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng có:
– Hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song.
– Các cạnh bên song song, vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài cạnh bên là chiều cao hình lăng trụ đứng.
– Các mặt bên hình chữ nhật vng góc với hai mặt phẳng đáy. – Hình hộp chữ nhật, hình lập phương hình lăng trụ đứng.
– Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành hình hộp đứng.
Diện tích - Thể tích
– Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng chu vi đáy nhân với chiều cao:
xq
S 2ph
(p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao)
– Diện tích tồn phần hình lăng trụ đứng tổng diện tích xung quanh diện tích hai đáy.
tp xq
S S 2S
(69)V S h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) IV Hình chóp - Hình chóp cụt
Hình chóp có:
– Đáy đa giác, mặt bên tam giác có chung đỉnh. – Đường thẳng qua đỉnh vng góc với mặt phẳng đáy gọi đường cao.
Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, mặt bên tam giác cân bằng
nhau có chung đỉnh.
– Chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn qua đỉnh mặt đáy. – Đường cao vẽ từ đỉnh mặt bên hình chóp trung đoạn hình chóp đó.
Hình chóp cụt phần hình chóp nằm mặt phẳng đáy hình chóp mặt phẳng
song song với đáy cắt hình chóp.
– Mỗi mặt bên hình chóp cụt hình thang cân.
Diện tích - Thể tích:
– Diện tích xung quanh hình chóp tích nửa chu vi đáy với trung đoạn:
xq
S p d
(p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)
– Diện tích tồn phần hình chóp tổng diện tích xung quanh diện tích đáy:
tp xq
S S S
(S: diện tích đáy)
– Thể tích hình chóp phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao:
V S h
(S: diện tích đáy, h: chiều cao)
* Đường tròn qua tất đỉnh đa giác đường tròn ngoại tiếp đa giác đó.
Dạng 1: Chứng minh tính chất song song - vng góc
Bài 42.Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp(ABC) Nối S với A, B, C Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, SC, SA
a) Chứng minh MQ // mp(SBC) NP // mp(SAB) b) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành
HD:
Bài 43.Cho hình thang vng ABCD, B^=^C=900 AD khơng song song với BC Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) B, lấy điểm S nối S với A, C, D
a) Chứng minh AB mp(SBC)
(70)c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (SAD)
HD:
Bài 44.Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) O, lấy điểm S nối S với A, B, C, D
a) Chứng minh mp(SAC) mp(SBD)
b) Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Chứng minh mp(MNPQ) // mp(ABCD)
c) Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích tứ giác biết AB = a
HD: c) MNPQ hình vng; SMNPQ a
2 1 4
.
Bài 45.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH
a) Đường thẳng BF vng góc với mặt phẳng nào? b) Chứng minh mp(AEHD) mp(CGHD)
c) Gọi M, P theo thứ tự trung điểm AE, CG Chứng minh MP // AC
d) Gọi N, Q theo thứ tự trung điểm BF, DH Chứng tỏ M, N, P, Q nằm mặt phẳng mp(MNPQ) song song với mặt phẳng nào?
HD:
Dạng 2: Tính diện tích - thể tích
Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = 12cm, AD = 16cm, AA = 25cm a) Chứng minh ACCA, BDDB hình chữ nhật
b) Chứng minh BD2AB2AD2AA2.
c) Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD
HD:
Bài 2. Một thùng hình lập phương, cạnh 7dm, có chứa nước với độ sâu nước 4dm Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2dm, chiều rộng 1dm chiều cao 0,5dm vào thùng Hỏi nước thùng dâng lên cách miện thùng bao nhiêm dm? (giả thiết toàn gạch ngập nước gạch không thấm nước)
HD: Nước dâng lên cách miệng thùng 2,49dm.
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a M trung điểm cạnh BC ^A ' MA=60 .
a) Tính độ dài đoạn thẳng AA
b) Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lăng trụ
HD: a)
a
AA 3
2
b) xq tp
a a
S 9 2;S (9 3) 2;V 3 3a3
2 2 8
(71)Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ^DAB=60 , AA = a
a) Chứng minh mp(ABD) // mp(CBD) b) Chứng minh mp(ACCA) mp(BDDB)
c) Tính diện tích tồn phần thể tích hình lăng trụ
HD: c) tp
a
S (4 3) ;a V2 3
2
.
Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác đều, AA = 5cm ^BAB '=45 Tính diện tích xung quanh thể tích lăng trụ
HD: Sxq cm V cm
2 125 3
75 ;
4
.
Bài 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có cạnh AB = a, AD = b M N hai điểm cạnh AB, BC Mặt phẳng (MDD) cắt AB M, mặt phẳng (NDD) cắt BC N Các mặt phẳng chia hình hộp thành ba phần tích
a) Tính AM, CN theo a, b
b) Tính tỉ số thể tích hai hình lăng trụ đứng DMN.DMN BMN.BMN
HD: a)
a
AM 2 ;CN 2b
3 3
Sử dụng giả thiết thể tích. b)
DMN D M N BMN B M N V
V . 5.
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên 25cm, đáy hình vng có cạnh 30cm a) Tính độ dài đường cao, diện tích tồn phần thể tích hình chóp
b) Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng, O trung điểm SO Cắt hình chóp mặt phẳng qua O song song với mp(ABCD) ta hình chóp cụt ABCD.ABCD Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp cụt
HD: a) SO cm Stp cm V cm
2
5 43 ; 2100 ; 1500 43
b) Sxq cm V cm
2 2625 43
900 ;
2
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, bán kính R = OA = 2 3cm M, N, P trùng điểm cạnh AB, BC, CA
a) Chứng minh SMO=^^ SNO=^SPO .
b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp, biết SMO=60^ .
HD:
(72)a) Chứng minh hình chóp S.ABCD hình chóp b) Tính tỉ số thể tích hình chóp S.ABCD hình lập phương
HD: b)
S ABCD ABCD A B C D
V
V .
1 3
.
Bài 10. Cho hình chóp lục giác S.MNOPQR H tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác đáy có bán kính R = HM = 12cm, chiều cáo SH = 35cm
a) Tính diện tích đáy thể tích hình chóp
b) Tính độ dài cạnh bên SM diện tích tồn phần hình chóp
HD: a) SMNOPQR cm V cm
2
6 108 ; 70 108
b)SM cm Stp cm
2
37 ; 36 1333 108 ( )
Bài 11. Cho hình chóp cụt ABC.ABC có cạnh AB = 2a, AB = a, đường cao mặt bên a
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt
b) Tính cạnh bên, chiều cao thể tích hình chóp cụt
HD: a) xq
a
S 9
2 b) a AA 5 2 , a OO 17 2 3
, VABC A B C a
3 65
.
Bài 12. Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi S giao điểm hai đường chéo AC BD, M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh hình chóp S.MNPQ hình chóp
b) Tính tỉ số thể tích hình chóp S.MNPQ hình hộp đứng
HD: b) V V1 1 6 .
Bài 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 8cm, chiều cao 10cm a) Tính diện tích tồn phần hình chóp
b) Tính thể tích hình chóp
HD: a) Sxq cm Stp cm
2
16 116 ( ), 16 116 64( )
b) V cm
3 640 ( )
3
.
BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV
Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD, đáy ABCD hình thang vng có ^A= ^D=90 , AB = BC = AA = 4cm, C^=60
a) Chứng minh mp(ABBA) mp(ADDA)
(73)HD: b) Sxq cm V cm
2
34,92( ), 69,20( )
.
Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD a) Tứ giác AACC hình gì?
b) Gọi O giao điểm AC AC Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng c) Tính thể tích hình hộp, biết AD = 4cm, AB = 3cm, BD = 13cm
HD: a) AACC hình chữ nhật b) O trung điểm BD c) V cm 144( )
.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác có cạnh 4cm Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
a) Chứng minh SAH^=^SBH=^SCH .
b) Tính thể tích hình chóp, biết SAH^ =45.
HD: b) V 5,33(cm3).
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy hình thoi cạnh 6cm, góc ^ABD=60 Gọi M, N trung điểm cạnh AA, CC
a) Tứ giác BMDN hình gì?
b) Khi tứ giác BMDN hình vng, tính thể tích hình lăng trụ
HD: a) BMDN hình thoi b) V cm 264,72( )
Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có đáy ABCD hình vng, AB = 20cm, AA = 19,4cm
a) Chứng minh tứ giác ABCD, CDAB hình chữ nhật b) Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp
c) Gọi S giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh S.ABCD hình chóp đều.\ d) Tính độ dài cạnh bên SA, diện tích tồn phần thể tích hình chóp
HD: b) Stp cm V cm
2
2352( ), 7760( )
d) SA cm Stp cm V cm
2
24( ), 1272( ), 2586,7( )