Chương 4. Giải tích véc tơ

Định lý Green đưa ra mối quan hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong đơn kín C và tích phân kép trên miền phẳng D được giới hạn bởi C. Chúng ta giả thiết rằng D chứa tất cả các đ[r]

MỤC LỤC

CHƯƠNG GIẢI TÍCH VÉC TƠ -

4.1 Trường véc tơ -

4.1.1 Trường véc tơ -

4.1.2 Trường Gradient -

4.2 Tích phân đường -

4.2.1 Tích phân đường mặt phẳng -

4.2.2 Tích phân đường khơng gian - 10

4.2.3 Tích phân đường trường véc tơ - 12

4.3 Định lý tích phân đường - 14

4.3.1 Định lý - 14

4.3.2 Không phụ thuộc đường lấy tích phân - 15

4.3.3 Bảo toàn lượng - 19

4.4 Định lý Green - 20

4.4.1 Định lý Green - 20

4.4.2 Công thức Green mở rộng - 22

4.5 Rota Dive - 24

4.5.1 Véc tơ xoáy Rota - 24

4.5.2 Đivê - 26

4.5.3 Dạng véc tơ Định lý Green - 27

4.6 Các mặt cong tham số diện tích chúng - 28

4.6.1 Mặt tham số - 28

4.6.2 Mặt tròn xoay - 32

4.6.3 Tiếp diện - 32

4.6.4 Diện tích mặt cong - 33

4.6.5 Diện tích mặt cong đồ thị hàm - 34

4.7 Tích phân mặt - 36

4.7.1 Mặt tham số - 36

4.7.2 Đồ thị - 37

4.7.3 Mặt định hướng - 39

4.7.4 Tích phân mặt trường véc tơ - 40

4.8 Công thức Stoke - 43

4.9 Định lý phân tán - 46

CHƯƠNG GIẢI TÍCH VÉC TƠ

Trong chương này, nghiên cứu phép toán trường vectơ (Đây hàm mà gán véc tơ thành điểm không gian.) Đặc biệt định nghĩa tích phân đường (line integrals), mà sử dụng để tính công sinh trường lực việc di chuyển đối tượng dọc theo đường cong Sau đó, định nghĩa tích phân mặt (surface integrals), sử dụng để tìm tốc độ dịng chảy qua bề mặt Mối liên hệ loại tích phân với tích phân đơn, tích phân kép tích phân bội ba đưa định lý tích phân khơng gian nhiều chiều: Định lý Green, Định lý Stokes, định lý phân tán

4.1 Trường véc tơ 4.1.1 Trường véc tơ

Các vectơ Hình vectơ vận tốc khơng khí tốc độ hướng gió điểm 10 m độ cao so với bề mặt khu vực vịnh San Francisco Chúng ta thấy mũi tên lớn phần (a) tốc độ gió lớn thời điểm gió vào vịnh qua cầu Golden Gate Phần (b) cho thấy mơ hình gió khác 12 trước Liên quan đến tất điểm khơng khí tưởng tượng véc tơ vận tốc gió Đây ví dụ trường véc tơ vận tốc

Một loại trường véc tơ, gọi trường lực, cho tương ứng vectơ lực với điểm miền Một ví dụ trường lực hấp dẫn mà xem xét Ví dụ

Nói chung, trường véc tơ hàm mà miền xác định tập điểm ℝ2 (hoặc ℝ3) miền giá trị tập véc tơ V2 (hoặc V3)

[1] Định nghĩa Giả sử D tập ℝ2 (miền phẳng) Một trường véc tơ ℝ2

một hàm F cho tương ứng điểm (x, y) D với véc tơ hai chiều F(x, y)

Cách tốt để minh họa hình ảnh trường véc tơ vẽ mũi tên biểu thị véc tơ F(x, y) bắt đầu điểm (x, y) Tất nhiên, làm điều cho tất điểm (x, y), đạt cảm giác hợp lý F cách thực cho vài điểm đại diện D Hình Bởi F(x, y) véc tơ hai chiều, viết qua hàm thành phần nó, P Q, sau:

F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j = P(x, y), Q(x, y), ngắn gọn, F = Pi + Qj

Chú ý P Q hàm vô hướng hai biến gọi trường vô hướng để phân biệt chúng với trường véc tơ

[2] Định nghĩa Giả sử E tập ℝ3 Một trường véc tơ ℝ3 hàm F

cho tương ứng điểm (x, y, z) E với véc tơ ba chiều F(x, y, z)

Một trường véc tơ ℝ3 minh họa hình ảnh Hình Chúng ta có

thể biểu diễn qua hàm thành phần P, Q R sau

F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k = P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) ngắn gọn, F = Pi + Qj + Rk

Giống hàm véc tơ mục 1.1, định nghĩa liên tục trường véc tơ F liên tục hàm thành phần liên tục

Đơi phân đồng (x, y, z) với véc tơ vị trí x = x, y, z viết F(x) thay cho F(x, y, z) Khi F trở thành hàm gán véc tơ F(x) từ véc tơ x

Ví dụ Một trường véc tơ ℝ2 xác định F(x, y) = –yi + xj Mô tả F

cách phác họa vài véc tơ F(x, y) Hình

Lời giải Bởi F(1, 0) = j, ta vẽ véc tơ j = 0, 1 bắt đàu điểm (1, 0) Hình Bởi F(0, 1) = –i, ta vẽ véc tơ –1, 0 bắt đàu điểm (0, 1) Tiếp tục cách đó, tính số giá trị đại diện khác F(x, y) bảng vẽ véc tơ tương ứng để thể trường véc tơ Hình

Hình cho thấy mũi tên tiếp tuyến đường tròn tâm gốc tọa độ Để khẳng định điều đó, ta lấy tích hữu hướng véc tơ vị trí x = xi + yj với véc tơ F(x) = F(x, y):

Điều chứng tỏ F(x, y) vng góc với véc tơ vị trí x, y tiếp tuyến đường trịn tâm gốc tọa độ bán kính |x| = + Chú ý

| ( , )| = (− ) + = + = | | nên độ lớn véc tơ F(x, y) bán kính đường trịn

Một số hệ thống máy tính có khả vẽ trường vectơ khơng gian hai ba chiều Chúng gây cảm nhận tốt trường véc tơ khả vẽ tay máy tính vẽ số lượng lớn vector đại diện Hình cho thấy máy tính vẽ trường vector Ví dụ 1, Hình Hình cho thấy hai trường véc tơ khác Chú ý máy tính xác định tỷ lệ độ dài vectơ vẽ chúng không dài tỷ lệ thuận với độ dài thực chúng

Chúng ta sử dụng MATLAB để vẽ trường véc tơ Ví dụ, với trường véc tơ Hình 6, ta sử dụng lệnh sau:

>> [X,Y] = meshgrid(-5:.5:5,-5:.5:5); >> F1 = -Y; F2 = X;

>> quiver(X, Y, F1, F2) >> axis equal; axis tight;

Ví dụ Phác họa trường véc tơ ℝ3 cho F(x, y, z) = z k

Chúng ta có khả vẽ tay trường véc tơ Ví dụ cơng thức đơn giản đặc biệt Hầu hết trường véc tơ ba chiều, nhiên, khơng thể phác họa tay cần nhờ đến hệ thống máy tính Các ví dụ thể hình 10, 11 12 Chú ý trường véc tơ Hình 10 11 có cơng thức tương tự, tất véc tơ Hình 11 trỏ vào hướng chung phía âm trục y thành phần y chúng –2 Nếu trường véc tơ Hình 12 biểu thị trường vận tốc, hạt quét lên theo đường xoắn ốc xung quanh trục y theo hướng chiều kim đồng hồ nhìn từ cao

Ví dụ Hãy tưởng tượng chất lỏng chảy đặn dọc theo đường ống giả sử V(x, y, z) véc tơ vận tốc điểm (x, y, z) Khi V gán véc tơ tới điểm (x, y, z) miền E (phần ống) V trường véc tơ ℝ3 gọi trường vận

tốc Một trường véc tơ minh họa Hình 13 Vận tốc điểm cho thị độ dài mũi tên

Trường vận tốc xảy vùng vật lý khác Ví dụ, trường véc tơ Ví dụ sử dụng trường vận tốc mô tả quay ngược bánh xe Chúng ta thấy ví dụ khác trường vận tốc Hình Hình

Ví dụ Định luật vạn vật hấp dẫn Newton phát biểu độ lớn lực hấp dẫn (gravitational force) hai vật có khối lượng m M | | = , r khoảng cách đối tượng G số hấp dẫn Giả sử đối tượng với khối lượng M nằm gốc tọa độ ℝ3 (Ví dụ, M khối lượng trái đất gốc tọa độ tâm nó.)

Giả sử véc tơ vị trí đối tượng với khối lượng m x = x, y, z

Khi r = |x|, r2 = |x|2 Lực hấp dẫn tác động lên đối tượng thứ hai hướng tới

[3] ( ) = − | |

Các nhà vật lý thường sử dụng ký hiệu r thay cho x véc tơ vị trí, xem cơng thức viết dạng = − Hàm cho phương trình ví dụ trường véc tơ, gọi trường hấp dẫn, gắn kết véc tơ [lực F(x)] với điểm x không gian

Công thức cách viết gọn trường hấp dẫn, viết theo hàm thành phần cách sử dụng kiện

x = xi + yj + zk | | = + + : ( , , ) =

( )/ +( ) / +( ) /

Trường hấp dẫn F minh họa Hình 14

Ví dụ Giả sử điện tích Q định vị gốc tọa độ Theo định luật Coulomb, điện trường F(x) tạo điện tích q định vị điểm (x, y, z) với véc tơ vị trí x = x, y, z

[4] ( ) = | |

trong  số (phụ thuộc vào đơn vị sử dụng) Đối với điện tích thế, ta có qQ > lực đẩy (repulsive) Với điện tích khác ta có qQ < lực hút (attractive) Chú ý tương tự công thức 4, hai trường véc tơ trường lực

Thay cho việc xem xét điện trường F, nhà vật lý thường xem xét lực đơn vị điện tích:

( ) =1 ( ) = | |

Khi E trường véc tơ ℝ3 gọi điện trường Q

4.1.2 Trường Gradient

Nếu f hàm vô hướng hai biến, nhắc lại mục 2.6, gradient nó, Đf (hoặc grad f) định nghĩa Ñf(x, y) = fx(x, y) i + fy(x, y) j

Vì Ñf trường véc tơ ℝ2 gọi trường véc tơ gradient Hơn nữa,

f hàm vô hướng ba biến, gradient trường véc tơ ℝ3 cho

Ñf(x, y) = fx(x, y, z) i + fy(x, y, z) j + fz(x, y, z) k Ví dụ Tìm trường véc tơ gradient cho

∇ ( , ) = + = + ( − )

Hình 15 thể đồ đồng mức f với trường véc tơ gradient Chú ý véc tơ gradient vng góc với đường mức, mong đợi từ mục 2.6

Một trường véc tơ F gọi trường bảo toàn (conservative) hay trường thế, gradient hàm vơ hướng đó, tức tồn hàm f cho F = Ñf Trong trường hợp f gọi hàm vị (potential function) F

Không phải trường véc tơ trường bảo toàn, trường xay thường xuyên vật lý Ví dụ, trường hấp dẫn F Ví dụ trường bảo tồn định nghĩa

( , , ) =

thì

∇ ( , , ) = + +

=

( ) / +( ) / +( ) / = F(x, y, z)

Trong mục 4.3 4.5 tìm hiểu làm để gọi hay không trường véc tơ cho trường bảo toàn

4.2 Tích phân đường

4.2.1 Tích phân đường mặt phẳng

Trong mục định nghĩa tích phân tương tự tích phân đơn ngoại trừ thay việc lấy tích phân đoạn [a, b], lấy tích phân đường cong C Các tích phân gọi tích phân đường, cho dù "tích phân đường cong" thuật ngữ thích hợp Chúng phát minh vào năm đầu kỷ 19 để giải vấn đề liên quan đến dòng chảy, lực, điện học từ tính

Chúng ta bắt đầu với đường cong phẳng C cho phương trình tham số [1] x = x(t) y = y(t) a ≤ t ≤ b

hoặc tương đương, theo phương trình véc tơ r(t) = x(t) i + y(t) j, giả sử C đường cong trơn [Nghĩa r' liên tục r'(t) ≠ Xem mục 1.3] Nếu chia đoạn tham số [a, b] thành n đoạn [ti–1, ti] đặt xi = x(ti) yi

= y(ti) điểm tương ứng Pi(xi, yi) chia C thành n cung nhỏ

với độ dài Δs1, Δs2, , Δsn (Xem Hình 1.) Chúng ta chọn

điểm Pi*(xi*, yi*) cung thứ i (ứng với điểm ti* [ti– 1, ti]) Bây f hàm hai biến có miền xác định chứa đường

cong C, tính f điểm (xi*, yi*), nhân với độ dài Δsi

cung nhỏ lập tổng

∑ ( ∗, ∗)∆

đó tổng Riemann Chuyển qua giới hạn tổng tạo định nghĩa sau tương tự tích phân đơn

[2] Định nghĩa Nếu f xác định đường cong trơn C cho phương trình tích phân đường f dọc theo C

∫ ( , ) = lim

→ ∑ (

Trong học phần Toán 2, biết độ dài C

∫ +

Nếu f liên tục giới hạn Định nghĩa tồn sử dụng cơng thức sau để tính tích phân đường:

[3] ∫ ( , ) = ∫ ( ( ), ( )) +

Giá trị tích phân đường khơng phụ thuộc tham số đường cong, với điều kiện đường cong không lặp lại t tăng từ a tới b

Nếu s(t) độ dài C r(a) r(t) = +

Vì cách để nhớ công thức đưa tất tham số t: sử dụng phương trình tham số để biểu diễn x y theo t viết = +

Trong trường hợp đặc biệt C đoạn thẳng nối (a, 0) tới (b, 0) sử dụng x tham số, ta viết phương trình tham số C x = x, y = 0, a ≤ x ≤ b Công thức trở thành ∫ ( , ) = ∫ ( , 0) , tích phân đường trở thành tích phân đơn

Giống tích phân đơn thơng thường, giải thích tích phân đường hàm dương diện tích Thật vậy, f(x, y) ≥ 0, ∫ ( , ) biểu thị diện tích "hàng rào" (fence) hay "tấm màn" (curtain) Hình 2, sở C chiều cáo điểm (x, y) f(x, y)

Ví dụ Tính ∫ (2 + ) , C nửa đường tròn đơn vị x2 + y2 =

Lời giải Để sử dụng công thức 3, cần phương trình tham số để biểu diễn C Nhớ lại vịng trịn đơn vị tham số hóa phương trình

x = cost y = sint

và nửa mô tả đoạn tham số ≤ t ≤ π (Xem Hình 3.) Từ cơng thức 3:

∫ (2 + ) = ∫ (2 + )√ + = ∫ (2 + ) = +

Bây ta giả thiết C đường cong trơn khúc (piecewise–smooth curve), tức C hợp (union) hữu hạn đường cong C1, C2, , Cn, đó, minh họa Hình

4, điểm bắt đầu Ci+1 điểm kết thúc Ci Khi định nghĩa tích phân f dọc

∫ ( , ) = ∫ ( , ) + ∫ ( , ) + ⋯ + ∫ ( , )

Ví dụ Tính ∫ , C bao gồm cung C1 parabola y = x2 từ (0, 0) tới (1, 1),

và sau đoạn thẳng đứng C2 từ (1, 1) tới (1, 2)

Lời giải Đường cong C ddcj Hình C1 đồ thị hàm biến x,

ta chọn x làm tham số phương trình C1 trở thành

x = x y = x2 ≤ x ≤

Do

∫ = ∫ √1 + = ∫ √1 + (1 + ) = (1 + ) / = √

Trên C2 ta chọn y làm tham số phương trình C2 x =

1 y = y ≤ y ≤

và ∫ = ∫ 2(1) =

Vì ∫ = ∫ + ∫ = √ + = √

Mọi giải thích vật lý tích phân đường ∫ ( , ) phụ thuộc vào giải thích vật lý hàm f Giả sử (x, y) thể mật độ tuyến tính điểm (x, y) dây mỏng có hình dạng đường cong C Khi khối lượng phần dây từ Pi–1 đến Pi Hình

xấp xỉ điện từ để hình khoảng đó, tổng khối lượng dây khoảng Bằng cách tham gia ngày nhiều điểm đường cong, có khối lượng dây giá trị giới hạn xấp xỉ ρ(xi*, yi*)Δsi tổng khối lượng dây xấp xỉ

ρ(xi*, yi*)Δsi Bằng cách tạo ngày nhiều điểm đường cong, ta nhận khối

lượng m dây giới hạn xấp xỉ đó: = lim

→ ∑ (

∗, ∗)∆ = ∫ ( , )

[Trong Ví dụ 1, f(x, y) = + x2y biểu thị mật độ sợi dây phủ nửa đường trịn

tích phân giá trị tích phân biểu thị khối lượng sợi dây.] Trọng tâm dây với hàm mật độ ρ tính theo cơng thức

[4] = ∫ ( , ) = ∫ ( , )

Các giải thích vật lý khác tích phân đường trình bày phần sau chương

Ví dụ Một sợi dây chiếm nửa đường tròn x2 + y2 = 1, y ≥ phần hai đầu dây dày

hơn phần dây Tìm trọng tâm dây mật độ tuyến tính điểm tỷ lệ thuận với khoảng cách đến đường thẳng y =

Lời giải Như Ví dụ 1, ta sử dụng tham số hóa x = cost, y = sint, ≤ t ≤ π, tìm thấy ds = diện tích Hàm mật độ tuyến tính ρ(x, y) = k(1 – y) với k số Khi

= ∫ (1 − ) = ∫ (1 − ) = [ + ] = ( − 2)

= ∫ ( , ) =

( )∫ (1 − ) = ∫ ( − )

= − − + =

( )

Do tính đối xứng nên = 0, trọng tâm sợi dây 0,

( ) ≈ (0, 0.38) (Xem Hình 6) Hai tích phân đường khác nhận cách thay Δsi

hoặc Δxi = xi – xi–1, Δyi = yi – yi–1 Định nghĩa Chúng

được gọi tích phân đường f dọc theo C theo x y:

[5] ∫ ( , ) = lim

→ ∑ (

∗, ∗)∆ [6] ∫ ( , ) = lim

→ ∑ (

∗, ∗)∆

Khi muốn phân biệt tích phân đường ban đầu với tích phân phương trình 6, gọi tích phân đường theo độ dài cung

Cơng thức sau nói tích phân đường theo x theo y tính cách biểu diễn tất theo t: x = x(t), y = y(t), dx = x'(t)dt, dy = y'(t)dt

[7] ∫ ( , ) = ∫ ( ( ), ( )) ( ) ∫ ( , ) = ∫ ( ( ), ( )) ( )

Nó thường xuất tích phân đường theo x theo y đồng thời Khi điều xảy ra, theo thói quen viết tắt:

∫ ( , ) + ∫ ( , ) = ∫ ( , ) + ( , )

Khi thiết lập tích phân đường, nhiều lúc khó tìm biểu diễn dạng tham số đường cong biết biểu diễn hình học Đặc biệt, thường tham số hóa đoạn thẳng, hữu ích nhớ biểu diễn véc tơ đoạn thẳng bắt đầu r0

kết thúc r1 cho bởi:

[8] r(t) = (1 – t)r0 + tr1 ≤ t ≤

Ví dụ Tính ∫ + , (a) C = C1 đoạn thẳng từ (–5, –3) tới (0, 2)

(b)C= C2 cung parabola x = – y2 từ (–5, –3) tới (0, 2) (Xem Hình 7.)

Lời giải (a) Biểu diễn tham số đoạn thẳng x = 5t – y = 5t – ≤ t ≤

(Sử dụng phương trình với r0 = –5, –3 r1 = 0, 2.) Khi

đó dx = 5dt, dy = 5dt công thức cho

∫ + = ∫ (5 − 3) (5 ) + (5 − 5)(5 )

(b) Bởi parabola cho hàm y, ta coi y tham số viết C2 sau

x = – y2 y = y –3 ≤ y ≤

Khi dx = –2dy theo cơng thức ta có

∫ + = ∫ (−2 ) + (4 − )

= ∫ (−2 − + 4) = − − + =

Chú ý nhận kết khác phần (a) (b) Ví dụ 4, hai đường cong có chung mút Nhìn chung, giá trị đường không phụ thuộc vào mút đường cong mà đường cong (Nhưng mục 4.3 cho điều kiện mà với tích phân khơng phụ thuộc đường đi.)

Cũng ý kết Ví dụ phụ thuộc vào hướng đường cong Nếu –C1 ký hiệu đoạn thẳng từ (0, 2) tới (–5, –3), sử dụng tham số hóa

x = –5t y = – 5t ≤ t ≤ ta kiểm tra rằng, ∫ + =

Nhìn chung, tham số hóa cho x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b, xác định hướng đường cong C, với hướng dương tương ứng với tăng giá trị tham số t (Xem Hình 8, điểm bắt đầu A tương ứng với giá trị tham số a điểm kết thúc B tương ứng với t = b.)

Nếu –C ký hiệu đường cong bao gồm điểm C đảo chiều (từ điểm bắt đầu B tới điểm kết thúc A Hình 8), ta có

∫ ( , ) = − ∫ ( , ) ∫ ( , ) = − ∫ ( , )

Nhưng tích phân theo độ dài cung, giá trị tích phân khơng thay đổi đảo ngược hướng đường cong:

∫ ( , ) = − ∫ ( , )

Đó Δsi ln dương, Δxi Δyi đỏi dấu đảo ngược hướng C

4.2.2 Tích phân đường khơng gian

Bây giả thiết C đường cong trơn đường cong cho phương trình tham số x = x(t) y = y(t) z = z(t) a ≤ t ≤ b

hoặc theo phương trình véc tơ r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k Nếu f hàm ba biến liên tục miền C đó, định nghĩa tích phân đường f dọc theo C (theo độ dài) tương tự trước với đường cong phẳng:

∫ ( , , ) = lim

→ ∑ (

∗, ∗, ∗)∆ Sử dụng công thức để tính nó:

[9] ∫ ( , , ) = ∫ ( ( ), ( ), ( )) + +

Đối với trường hợp đặc biệt f(x, y, z) =1, ta nhận

∫ = ∫ | ( )| =

trong L độ dài đường cong C (xem cơng thức 1.3.3)

Các tích phân đường dọc theo C theo x, y z định nghĩa Ví dụ, ∫ ( , , ) = lim

→ ∑ (

∗, ∗, ∗)∆ = ∫ ( ), ( ), ( ) ′( ) Do đó, với tích phân đường mặt phẳng, ta tính tích phân

∫ ( , ) + ( , ) + ( , ) cách biểu diễn tất (x, y, z, dx, dy, dz) theo tham số t

Ví dụ Tính ∫ , C đường xoắn trịn (circular helix) cho phương trình x = cost, y = sint, z = t, ≤ t ≤ 2π (Xem Hình 9.)

Lời giải Cơng thức cho

∫ = ∫ √ + + =√ ∫ (1 − )

=√ − = √2

Ví dụ Tính ∫ + + , C bao gồm đoạn thẳng C1 từ (2, 0, 0) tới

(3, 4, 5), sau đoạn thẳng C2 từ (3, 4, 5) tới (3, 4, 0)

Lời giải Đường cong C đường cong thể Hình 10 Sử dụng phương trình 8, ta viết C1 sau: r(t) = (1 – t)2, 0, 0 + t3, 4, 5 = 2 + t, 4t, 5t

hoặc dang tham số: x = + t y = 4t z = 5t ≤ t ≤ Vì

∫ + + = ∫ (4 ) + (5 ) + (2 + )5

= ∫ (10 + 29 ) = 10 + = Tương tự, C2 viết dạng

r(t) = (1 – t)3, 4, 5 + t3, 4, 0 = 3, 4, – 5t x = y = z = – 5t ≤ t ≤

∫ + + = ∫ 3(−5) = −15 Cộng giá trị tích phân, ta nhận

∫ + + =

4.2.3 Tích phân đường trường véc tơ

Trong học phần Tốn (Giải tích 1), biết rằng, cơng sinh lực thay đổi f(x) di chuyển chất điểm từ a tới b dọc theo trục x = ∫ ( ) Công sinh lực không đổi F di chuyển đối tượng từ điểm P tới điểm Q khơng gian W = F  D, D = ⃗ véc tơ dịch chuyển

Bây ta giả sử F = Pi + Qj + Rk trường lực liên tục ℝ3, giống trường

hấp dẫn Ví dụ mục 4.1 điện trường Ví dụ mục 4.1 (Một trường lực ℝ2 xem trường hợp đặc biệt R = P Q phụ thuộc x y.)

Chúng ta muốn tính cơng sinh lực di chuyển chất điểm dọc theo đường cong trơn C

Chúng ta chia C thành cung nhỏ Pi–1Pi với độ dài

Δsi cách chia đoạn tham số [a, b] thành n đoạn

bằng (Xem Hình trường hợp chiều Hình 11 trường hợp chiều.) Chọn điểm Pi*(xi*,

y i*, z i*) cung nhỏ thứ i tương ứng với giá trị tham số t i* Nếu Δsi nhỏ chất điểm di chuyển từ Pi–1 tới P1

dọc theo đường cong, xem di chuyển theo hướng T(t i*), véc tơ tiếp tuyến đơn vị P i* Vì cơng sinh lực F di chuyển chất

điểm từ Pi–1 tới Pi xấp xỉ

F(x i*, y i*, z i*)  [ΔsiT(t i*)] = [F(x i*, y i*, z i*)  T(t i*)]Δsi

và tổng công sinh di chuyển chất điểm dọc theo C xấp xỉ [11] ∑ [ ( ∗, ∗, ∗) ∙ ( ∗, ∗, ∗)]∆

trong T(x, y, z) véc tơ tiếp tuyến đơn vị điểm (x, y, z) C Bằng trực giác, thấy xấp xỉ trở nên tốt n lớn Do định nghĩa cơng sinh trường lực F giới hạn tổng Riemann [11], cụ thể

[12] = ∫ ( , , ) ∙ ( , , ) = ∫ ∙

Nếu đường cong C đường cong cho phương trình véc tơ r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k T(t) = r'(t)/|r'(t)|, sử dụng phương trình ta viết lại phương trình 12 dạng

= ∫ ( ) ∙ ( )

| ( )| | ′( )| = ∫ ( ) ∙ ′( )

Tích phân thường viết tắt ∫ ∙ xuất nhiều lĩnh vực khác vật lý Do định nghĩa tích phân đường trường véc tơ liên tục

[13] Định nghĩa Giả sử F trường véc tơ liên tục xác định đường cong trơn C đường cong cho hàm véc tơ r(t), a ≤ t ≤ b Khi tích phân đường F dọc theo C

Khi sử dụng Định nghĩa 13, nhớ F(r(t)) viết tắt F(x(t), y(t), z(t)), tính F(r(t)) đơn giản cách đặt x = x(t), y = y(t) z = z(t) biểu thức F(x, y, z) Chú ý viết thức dr = r'(t)dt

Ví dụ Tìm công sinh trường lực F(x, y) = x2 i – xy j di chuyển chất điểm

dọc theo phần tư đường tròn r(t) = cost i + sint j, ≤ t ≤ π/2

Lời giải Vì x = cost y = sint nên F(r(t)) = cos2t i + cost sint j, r'(t) = –sint i + cost j

Do cơng sinh

∫ ∙ = ∫ / ( ( )) ∙ ( ) = ∫ / (−2 ) = / = −

Chú ý Mặc dù

∫ ∙ = ∫ ∙

và tích phân theo độ dài cung không đổi đổi hướng, công thức sau

∫ ∙ = − ∫ ∙

bởi véc tơ tiếp tuyến đơn vị T thay –T C thay –C

Hình 12 mơ tả trường lực đường cong Ví dụ Cơng sinh âm lực cản trở di chuyển dọc theo đường cong

Ví dụ Tính ∫ ∙ , F(x, y, z) = xy i + yz j + zx k C đường xoắn bậc cho phương trình x = t y = t2 z = t3 ≤ t ≤

Lời giải Ta có r(t) = t i + t2 j + t3 k, r'(t) = i + 2t j + 3t2 k, F(r(t)) = t3 i + t5 j + t4 k

Vì ∫ ∙ = ∫ ( ) ∙ ( ) = ∫ ( + ) = + =

Cuối cùng, nhận thấy mối liên hệ tích phân đường trường vectơ tích phân đường trường vô hướng Giả sử trường vector F ℝ3 cho

trong dạng thành phần phương trình F = P i + Q j + R k Chúng ta sử dụng Định nghĩa 13 để tính tích phân đường dọc theo C:

∫ ∙ = ∫ ( ) ∙ ( ) = ∫ ( + + ) ∙ ′( ) + ′( ) + ′( ) = ∫ ( ), ( ), ( ) ′( ) + ( ), ( ), ( ) ′( ) + ( ), ( ), ( ) ′( )

Nhưng tích phân cuối tích phân đường [10] Do ta có ∫ ∙ = ∫ + + F = P i + Q j + Q k

4.3 Định lý tích phân đường 4.3.1 Định lý

Nhớ lại rằng, định lý giải tích viết [1] ∫ ( ) = ( ) − ( )

trong F' liên tục [a, b] Chúng ta cịn gọi phương trình Định lý biến động: Tích phân vận tốc độ biến động

Nếu xem véc tơ gradient ∇f hàm f hai ba biến dạng đạo hàm f, định lý sau xem phiên định lý tích phân đường

[2] Định lý Giả sử C đường cong trơn đường cong cho phương trình véc tơ r(t), a ≤ t ≤ b Giả sử f hàm khả vi hai ba biến mà véc tơ gradient liên tục C Khi

∫ ∇ ∙ = ( ) − ( )

Chú ý Định lý nói tính tích phân đường trường bảo tồn (véc tơ gradient hàm vị f) đơn giản cách biết trị f mút C Trong thực tế, Định lý nói tích phân đường ∇f độ biến động f Nếu f hàm hai biến C đường cong phẳng với điểm bắt đầu A(x1, y1) điểm kết thúc B(x2, y2), Hình

1, Định lý trở thành

∫ ∇ ∙ = ( , ) − ( , )

Nếu f hàm ba biến C đường cong không gian nối điểm A(x1, y1, z1) tới điểm

B(x2, y2, z2), ta có

∫ ∇ ∙ = ( , , ) − ( , , ) Chúng ta chứng minh Định lý cho trường hợp

Chứng minh Định lý Sử dụng Định nghĩa 4.2.13, ta có

∫ ∇ ∙ = ∫ ∇ ( ) ∙ ′( ) = ∫ + +

= ∫ ( ) = ( ) − ( )

Bước cuối dẫn từ phương trình

Mặc dù chứng minh Định lý cho đường cong trơn, cho đường cong trơn khúc Điều thấy cách chia C thành số hữu hạn đường cong trơn cộng kết tích phân lại

( ) = − | |

khi di chuyển chất điểm có khối lượng m từ điểm (3, 4, 12) tới điểm (2, 2, 0) dọc theo đường cong trơn khúc C (Xem Ví dụ mục 4.1.)

Lời giải Từ mục 4.1 biết F trường bảo toàn thực tế, F = Δf,

( , , ) =

Do đó, theo Định lý 2, cơng sinh

∫ ∙ = ∫ ∇ ∙ = (2,2,0) − (3,4,12) =

√ −=√ = √ −

4.3.2 Không phụ thuộc đường lấy tích phân

Giả sử C1 C2 hai đường cong trơn khúc (gọi đường đi) có điểm bắt đầu

A điểm kết thúc B Từ Ví dụ mục 4.2 biết rằng, nói chung, ∫ ∙ ≠ ∫ ∙ Nhưng hàm ý Định lý

∫ ∇f ∙ ≠ ∫ ∇f ∙

tại nơi Δf liên tục Nói khác đi, tích phân đường trường bảo toàn phụ thuộc vào điểm đầu điểm cuối đường cong

Nhìn chung, F trường véc tơ liên tục với miền xác định D, nói tích phân đường ∫ ∙ không phụ thuộc đường ∫ ∇f ∙ = ∫ ∇f ∙ cặp đường C1 C2 thuộc D, có điểm bắt đầu điểm kết thúc Với thuật ngữ này,

chúng ta nói tích phân đường trường bảo tồn khơng phụ thuộc đường Một đường cong gọi kín (closed) điểm kết thúc trùng với điểm bắt đầu, tức r(b) = r(a) (Xem Hình 2.) Nếu ∫ ∙ không phụ thuộc đường D C đường cong kín D, chọn hai điểm A B C xem C hợp đường C1 từ A tới B đường C2 từ B tới A (Xem Hình 3.) Khi

∫ ∙ = ∫ ∙ + ∫ ∙ = ∫ ∙ −≠ ∫ ∙

vì C1 –C2 có điểm bắt đầu kết thúc

Ngược lại, điều đúng, ∫ ∙ = với C đường kín D, mơ khơng phụ thuộc đường sau Tạo hai đường C1

C2 từ A tới B D định nghĩa C hợp C1 với C2 Khi

do ∫ ∙ = ∫ ∙ Như ta chứng minh định lý sau

[3] Định lý ∫ ∙ không phụ thuộc đường D ∫ ∙ = với đường kín C D

Bởi tích phân đường trường bảo tồn khơng phụ thuộc đường nên ∫ ∙ = đường kín Giải thích vật lý cơng sinh trường bảo tồn (ví dụ trường hấp dẫn điện trường mục 4.1) di chuyển đối tượng quanh đường kín

Định lý sau nói trường véc tơ mà không phụ thuộc đường trường bảo tồn Nó phát biểu chứng minh cho đường cong phẳng, có phiên tương tự cho đường cong không gian Chúng ta giả thiết D "mở", nghĩa với điểm P thuộc D, tồn hình trịn tâm P nằm trọn D (Vì D khơng chứa điểm biên nào.) Hơn nữa, giả thiết D liên thông (connected), nghĩa hai điểm thuộc D nói đường nằm trọn D

[4] Định lý Giả sử F trường véc tơ liên tục miền liên thông mở D Nếu ∫ ∙ không phụ thuộc đường D F trường bảo tồn D, tức là, tồn hàm f cho Δf = F Chứng minh Giả sử A(a, b) điểm cố định D Ta xây dựng hàm vị f sau

( , ) = ∫( , )( , ) ∙

với điểm (x, y) D Bởi ∫ ∙ khơng phụ thuộc đường nên không quan trọng đường C từ (a, b) tới (x, y) dùng để tính f(x, y) Do D mở, tồn hình trịn tâm (x, y) nằm trọn D Chọn điểm (x1, y) hình trịn với x1 < x giả sử C bao

gồm phần đường C1 từ (a, b) tới (x1, y) đoạn thẳng C2 từ (x1,

y) tới (x, y) (Xem Hình 4.) Khi

( , ) = ∫ ∙ + ∫ ∙ = ∫( , )( , ) ∙ + ∫ ∙

Chú ý tích phân không phụ thuộc x nên lấy đạo hàm riêng hai vế theo x:

( , ) = + ∫ ∙

Nếu ta viết F = P i + Q j

∫ ∙ = ∫ Pdx + Qdy

Trên C2, y không đổi nên dy = Sử dụng t tham số, với x1 ≤ t ≤ x, ta có

( , ) = ∫ Pdx + Qdy = ∫ P(t, y)dt = ( , ) Tương tự, sử dụng đoạn thẳng đứng (xem Hình 5),

( , ) = ∫ Pdx + Qdy = ∫ Q(x, t)dt = ( , ) Vì = + = + = ∇ , F trường bảo toàn

= = Do theo Định lý Clairaut,

= = =

[5] Định lý Nếu F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j trường bảo tồn với P Q có đạo hàm riêng liên tục miền D khắp nơi D ta có

=

Phần ngược lại Định lý với kiểu miền đặc biệt Để giải thích điều đó, trước hết cần đưa khái niệm đường cong đơn (simple curve), đường cong không tự cắt nơi hai điểm mút [Xem Hình 6, r(a) = r(b) đường cong đơn kín, r(t1) ≠ r(t2) a < t1 < t2 < b.]

Trong Định lý cần miền liên thông mở Với định lý cần điều kiện mạnh Một miền đơn liên (simply–connected) mặt phẳng miền liên thông cho đường cong kín D bao quanh điểm thuộc D Chú ý từ Hình 7, nói theo trực quan, miền đơn liên không chứa lỗ bao gồm hai mảnh riêng biệt

Với thuật ngữ miền đơn liên, phát biểu phần ngược Định lý 5, đưa phương pháp chung để kiểm tra trường véc tơ ℝ2 trường bảo toàn Lời chứng minh

nhất định phác họa mục hệ Định lý Green

[6] Định lý Giả sử F = P i + Q j trường véc tơ miền đơn liên D Giả sử P Q có đạo hàm riêng liên tục hầu khắp D,

= F trường bảo tồn

Ví dụ Xác định trường véc tơ F(x, y) = (x – y) i + (x – 2) j trường bảo tồn hay khơng

Lời giải Giả sử P(x, y) = x – y Q(x, y) = x – Khi −1 = ¹ = 1, khơng phải trường bảo toàn

Lời giải Giả sử P(x, y) = + 2xy Q(x, y) = x2 – 3y2 Khi = = 2 Ngoài

miền xác định D F toàn mặt phẳng (D = ℝ2), nên D mở đơn liên Do chúng

ta áp dụng Định lý kết luận F trường bảo tồn

Hình tương ứng cho thấy trường véc tơ ví dụ Các véc tơ Hình mà bắt đầu đường cong kín C gần hướng C Vì vậy, ∫ ∙ > F trường bảo tồn Tính tốn Ví dụ khẳng định cảm nhận Một số vector gần đường cong C1 C2 Hình gần hướng với đường cong,

trong khác theo hướng ngược lại Vì vậy, thể hợp lý tích phân đường dọc theo đường cong kín Ví dụ F thực trường bảo toàn Trong Ví dụ 3, Định lý nói với F trường bảo tồn, khơng làm tìm hàm vị f cho F = Δf Lời chứng minh Định lý cho đầu mối để tìm f Chúng ta sử dụng tích phân phần ví dụ sau

Ví dụ (a) Nếu F(x, y) = (3 + 2xy) i + (x2 – 3y2) j, tìm hàm f cho F = Δf

(b) Tính tích phân đường ∫ ∙ với C đường cong cho r(t) = etsint i + etcost j 0 ≤ t ≤ π

Lời giải (a) Từ Ví dụ ta biết F trường bảo tồn, tồn hàm f để Δf = F, tức

[7] fx(x, y) = + 2xy

[8] fy(x, y) = x2 – 3y2

Tích phân [7] theo x ta nhận

[9] f(x, y) = 3x + x2y + g(y)

Chú ý số phép lấy tích phân theo x, tức hàm y mà ta gọi g(y) Tiếp theo ta đạo hàm hai vế [9] theo y:

[10] fy(x, y) = x2 + g'(y)

So sánh [8] [10] ta thấy g'(y) = –3y2

Tích phân theo y ta có g(y) = –y3 + K, với k – số

Đặt vào cơng thức [9], ta có f(x, y) = 3x + x2y – y3 + K, hàm vị mong muốn

(b) Để sử dụng Định lý 2, tất phải biết điểm đầu cuối C, cụ thể r(0) = (0, 1) r(π) = (0, –eπ) Trong biểu thức f(x, y) phần (a), giá trị

nào số k làm thế, ta chọn k = Khi ta có

Phương pháp ngắn nhiều phương pháp đơn giản tính tích phân đường mà ta xem xét mục 4.2

Via dụ Nếu F(x, y, z) = y2 i + (2xy + e3z) j + 3ye3z k, tìm hàm f cho Δf = F

Lời giải Nếu có hàm f [11] fx(x, y, z) = y2

[12] fy(x, y, z) = 2xy + e3z

[13] fz(x, y, z) = 3ye3z

Tích phân [11] theo x, ta nhận [14] f(x, y, z) = xy2 + g(y, z)

trong g(y, z) số theo x Đạo hàm [14] theo y ta có fy(x, y, z) = 2xy + gy(y, z), so sánh

với [12] cho gy(y, z) = e3z Vì g(y, z) = ye3z + h(z) ta viết lại [14]:

f(x, y, z) = xy2 + ye3z + h(z)

Cuối cùng, đạo hàm theo z so sánh với [13] ta nhận h'(z) = h(z) = K, số Hàm mong muốn f(x, y, z) = xy2 + ye3z + K Dễ kiểm tra Δf = F

4.3.3 Bảo toàn lượng

Chúng ta áp dụng tư tưởng chương tới trường lực liên tục F di chuyển đối tượng dọc theo đường C cho r(t), a ≤ t ≤ b, r(a) = A điểm bắt đầu r(b) = B điểm kết thúc C Được suy từ Định luật Newton thứ chuyển động (xem mục 1.4), lực F(r(t)) điểm C liên quan tới gia tốc a(t) = r"(t) theo phương trình

F(r(t)) = mr"(t)

Vì cơng sinh lực tác động lên đối tượng = ∫ ∙ = ∫ ( ) ∙ ′( ) = ∫ "( ) ∙ ′( )

= ∫ [ ′( ) ∙ ′( )] = ∫ = [| ′( )| ] = (| ′( )| −| ′( )| ) Do

[16] =1

2 | ( )| −

2 | ( )| v = r' vận tốc

Đại lượng | ( )| (một nửa tích khối lượng với bình phương vận tốc) gọi động (kinetic energy) đối tượng Do viết phương trình 15 sau

[16] W = K(B) – K(A)

nghĩa công sinh trường lực dọc theo C thay đổi động mút C Bây tiếp tục giả định F trường bảo toàn, tức viết F = Δf Trong vật lý, động đối tượng điểm (x, y, z) xác định P(x, y, z) = –f(x, y, z), ta có F = –ΔP Khi theo Định lý ta có

= ∫ ∙ = − ∫ ÑP ∙ = − ( ) − ( ) = ( ) − ( )

4.4 Định lý Green 4.4.1 Định lý Green

Định lý Green đưa mối quan hệ tích phân đường quanh đường cong đơn kín C tích phân kép miền phẳng D giới hạn C (Xem Hình Chúng ta giả thiết D chứa tất điểm C tất điểm thuộc C.) Để bắt đầu, sử dụng quy ước hướng dương đường cong đơn kín C hướng mà người dọc theo C theo chiều ngược chiều kim đồng hồ thấy phần miền gần giới hạn C nằm bên tay trái Vì đường cong C cho hàm véc tơ r(t), a ≤ t ≤ b miền D ln ln nằm bên trái điểm r(t) (xem Hình 2)

Định lý Green Giả sử C đường cong đơn kín, định hướng dương, trơn khúc mặt phẳng giả sử D miền đường cong giới hạn C Nếu P Q có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa D

∫ + = ∬ −

Chú ý Ký hiệu ∮ + hay

CPdxQdy



 sử dụng để thị tích phân đường tính theo chiều dương đường cong C Một ký hiệu khác cho biên định hướng dương D ¶D, cơng thức Green viết lại

[1] ∬ − = ∫¶ +

So sánh phương trình với phương trình Định lý giải tích (phần 2): ∫ ( ) = ( ) − ( )

ta thấy hai liên quan đến đạo hàm (F', ∂Q/∂x, ∂P/∂y) vế trái phương trình Và hai vế phải liên quan đến giá trị hàm gốc (F, P, Q) biên miền

Định lý Green không dễ dàng chứng minh trường hợp tổng quát, đưa chứng minh cho trường hợp đặc biệt miền loại loại (xem mục 3.3) Chúng ta gọi miền miền đơn (simple region)

Chứng minh Định lý Green D miền đơn

Chú ý Định lý Green định chứng minh

[2] ∫ = − ∬ [3] ∫ = − ∬

Chúng ta chứng minh phương trình cách biểu diễn D loại 1: D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}

trong g1 g2 hàm liên tục Điều cho phép tính tích phân kép bên vế phải

[4] ∬ = ∫ ∫ ( )( ) ( , ) = ∫ [ ( , ( )) − ( , ( ))] bước cuối suy từ Định lý

Bây tính vế trái phương trình cách bẻ gãy C thành bốn đường cong C1, C2, C3 C4 Hình Trên C1 ta xem

x tham số: x = x, y = g1(x), a ≤ x ≤ b Do

∫ = ∫ ( , ( ))

Nhận thấy C3 từ phải sang trái nên –C3 từ trái sang phải,

vì viết phương trình tham số –C3 x = x, y = g2(x), a ≤ x ≤ b Vì

∫ ( , ) = − ∫ ( , ) = − ∫ ( , ( ))

Trên C2 C4 (chúng suy biến thành điểm), x số, dx =

∫ ( , ) = ∫ ( , ) =

Vì

∫ ( , ) = ∫ ( , ) + ∫ ( , ) + ∫ ( , ) + ∫ ( , ) = ∫ ( , ) = ∫ [ ( , ( )) − ( , ( ))]

So sánh biểu thức với phương trình 4, ta thấy

∫ ( , ) = − ∬

Phương trình chứng minh tương tự cách biểu diễn D miền loại Sau cách cộng phương trình 3, ta nhận cơng thức Green

Ví dụ Tính ∫ + , C đường tam giác gồm đoạn thẳng (0, 0) tới (1, 0), từ (1, 0) tới (0, 1) từ (0, 1) tới (0, 0)

Lời giải Mặc dù tích phân đường cho tính cách sử dụng phương pháp mục 4.2, liên quan đến việc tính ba tích phân riêng biệt dọc theo ba cạnh tam giác, sử dụng công thức Green Chú ý D miền kín C đơn C có hướng dương (xem Hình 4) Nếu đặt P(x, y) = x4 Q(x, y) = xy ta có

∫ + = ∬ − = ∫ ∫ ( − 0)

= ∫ = ∫ (1 − ) = − (1 − ) =

Ví dụ Tính ∫ − + + + , C đường tròn x2 + y2 =

Lời giải Miền D giới hạn C đĩa x2 + y2 ≤ 9, chuyển sang tọa

độ cực sau áp dụng công thức Green:

∫ − + + + = ∬ (7 − 3) = ∬

= ∫ ∫p = ∫ p ∫ = 36p

Ví dụ Tính diện tích miền giới hạn ellipse + =

Lời giải Ellipse có phương trình tham số x = acosst, y = bsint, ≤ t ≤ 2π Sử dụng công thức thứ phương trình 5, ta có

= ∫ − = ∫ + = ∫ =

Công thức dùng để giải thích cách hoạt động planimeter Đây cơng cụ khí dùng để đo diện tích miền cách lần theo đường biên Các thiết bị hiệu khoa học: sinh học để đo diện tích cánh, y học để đo kích thước mặt cắt quan khối u, lâm nghiệp để ước lượng kích thước vùng rừng từ ảnh

Hình cho thấy hoạt động planimeter cực: Cực cố định đầu dò di chuyển dọc theo đường biên miền, bánh xe phần trượt phần lăn vng góc với cánh tay dị Các planimeter đo khoảng cách mà bánh xe lăn tỷ lệ thuận với diện tích miền Giải thích hệ cơng thức tìm thấy viết sau đây:

 R W Gatterman, “The planimeter as an example of Green’s Theorem” Amer Math Monthly, Vol 88 (1981), pp 701–

 Tanya Leise, “As the planimeter wheel turns” College Math Journal, Vol 38 (2007), pp 24 –31

4.4.2 Công thức Green mở rộng

Mặc dù chứng minh Định lý Green với trường hợp D miền đơn, mở rộng tới trường hợp D hợp hữu hạn miền đơn Ví dụ, D miền thể Hình 6, viết D = D1D2, D1 D2

là miền đơn Biên D1 C1C3 biên D2 C2(-C3), áp dụng Định lý Green

tới D1 D2 riêng biệt, ta nhận

∫ ∪ + = ∬ − ∫ ∪( ) + = ∬ −

Nếu cộng hai phương trình này, tích phân đường dọc theo C3 –C3 hủy

bỏ, ta nhận

∫ ∪ + = ∬ −

đó Định lý Green cho D = D1D2, biên C = C1C2

Ví dụ Tính ∫ + , C biên miền D nửa vành khuyên (semiannular) phía hai đường trịn x2 + y2 =

Lời giải Chú ý miền D khơng đơn, trục y chia thành hai miền đơn (xem Hình 8) Trong tọa độ cực ta viết D = {(r, θ) | ≤ r ≤ 2, ≤ θ ≤ π}

Do Định lý Green đưa

∫ + = ∬ (3 ) − ( ) = ∬

= ∫ ∫ = ∫ ∫ = [− ] =

Định lý Green mở rộng để áp dụng tới miền bị hổng, tức miền không đơn liên Nhận thấy biên C miền D Hình bao gồm hai đường cong đơn kín C1 C2 Chúng ta giả thiết đường cong định hướng cho miền D

luôn bên trái di chuyển đường cong C Vì hướng dương ngược chiều kim đồng hồ đường cong bên C1, chiều kim đồng hồ đường cong

bên C2 Nếu chia D thành hai miến D' D" đường thẳng nằm ngang Hình 10 sau áp dụng Định lý Green cho D' D", ta nhận

∬ − = ∬ − + ∬ " −

= ∫ + + ∫ " +

Vì tích phân đường dọc theo biên chung ngược chiều nên chúng triệt tiêu ta nhận

∬ − = ∫ + + ∫ + = ∫ +

đó Định lý Green cho miền D

Ví dụ Cho F(x, y) = (-y i + x j)/(x2 + y2), ∫ ∙ = 2 với đường

đơn kín định hướng dương bao quanh gốc tọa độ

Lời giải Vì C đường kín tùy ý bao quang gốc tọa độ, khó để tính trực tiếp tích phân cho Vì vật xem xét đường trịn C' định hướng ngược chiều kim đồng hồ nằm bên C (Xem Hình 11.) Giả sử D miền giới hạn C C' Khi biên định hướng dương C(-C') Định lý Green cho

∫ + + ∫ + = ∬ −

= ∬ ( ) −

( ) =

Bây dễ dàng tính tích phân cuối cách sử dụng phương trình tham số cho r(t) = acost i + asint j, ≤ t ≤ 2π Vì

∫ ∙ = ∫ ∙ = ∫ ( ) ∙ ′(t)dt

= ∫ ( )( ) ( )( ) = ∫ =

Chúng ta kết thúc mục cách sử dụng Định lý Green để thảo luận kết nêu phần trước

Phác thảo chứng minh định lý 4.3.6 Chúng ta giả thiết F = P i + Q j trường véc tơ miền mở liên thông D, tức P Q có đạo hàm riêng cấp liên tục, thỏa mãn

= khắp D

Nếu C đường đơn kín D R miền cho bao C Định lý Green cho

∫ ∙ = ∫ + = ∬ − = ∬ =

Một đường cong không đơn tự cắt nhiều điểm chia thành số đường cong đơn Chúng ta tích phân đường F dọc theo đường cong đơn cộng tích phân lại ta thấy ∫ ∙ = với đường cong kín C Do ∫ ∙ khơng phụ thuộc đường D theo Định lý 4.3.3 Điều dẫn tới F trường véc tơ bảo tồn

4.5 Rota Dive

Trong phần định nghĩa hai hoạt động thực trường véc tơ đóng vai trò ứng dụng giải tích véc tơ dịng chảy điện trường từ trường Cùng tác động đạo hàm tương tự nhau, sinh trường véc tơ, tạo trường vô hướng

4.5.1 Véc tơ xoáy Rota

Nếu F = P i + Q j + R k trường véc tơ ℝ3 đạo hàm riêng P, Q

R tồn tại, rot F trường véc tơ ℝ3 xác định

[1] = − + − + −

Để dễ nhớ, viết lại phương trình sử dụng ký hiệu tốn tử Chúng ta đưa toán tử véc tơ đạo hàm ∇ sau

∇= + +

Nó có nghĩa tác động vào hàm vơ hướng để sinh gradient f:

∇ = + +

∇ × = = − + − + − =

Vì cách dễ để nhớ Định nghĩa nhớ biểu thức ký hiệu [2] rot F = ∇  F

Ví dụ Nếu F(x, y, z) = xz i + xyz j – y2 k, tìm rot F

Lời giải Sử dụng phương trình ta có

= ∇ × =

−

= − (2 + ) + +

Nhớ lại gradient hàm f ba biến trường véc tơ ℝ3

tính rot Định lý sau nói rot trường véc tơ gradient

[3] Định lý Nếu f hàm ba biến có đạo hàm riêng cấp liên tục rot(∇f) = Chứng minh

(∇f) = ∇ × (∇f) =

= − + − + − = + + =

Một trường véc tơ bảo tồn F = ∇f, Định lý phát biểu lại sau: Nếu F bảo tồn rot F =

Điều cho cách kiểm tra trường véc tơ không bảo tồn

Ví dụ Chứng tỏ trường véc tơ F(x, y, z) = xz i + zỹ j – y2 k khơng bảo tồn

Lời giải Trong Ví dụ ta rot F = -y(2 + x) i + x j + yz k

Điều chứng tỏ rot F ≠ vậy, theo Định lý 3, khơng bảo tồn

Điều ngược lại Định lý nói chung khơng đúng, định lý sau nói điều ngược lại F xác định khắp nơi (Tổng quát hơn, miền xác định đơn liên, tức "không bị thủng".) Định lý phiên thứ ba Định lý 4.3.6 Việc chứng minh địi hỏi Định lý Stoke phác thảo cuối phần 4.8

[4] Định lý Nếu F trường véc tơ xác định ℝ3, hàm thành phần có

các đạo hàm riêng liên tục rot F = 0, F trường véc tơ bảo tồn

Ví dụ (a) Chứng tỏ F(x, y, z) = y2z3 i + 2xyz3 j + 3xy2z2 k bảo toàn

(b) Tìm hàm f cho F = ∇f Lời giải (a) Ta tính rot F:

= ∇ × =

2

= (6 − ) − (3 − ) + (2 − ) =

(b) Kỹ thuật để tìm f đưa mục 4.3 Ta có [5] fx(x, y, z) = y2z3

[6] fy(x, y, z) = 2xyz3

[7] fz(x, y, z) = 3xy2z2

Tích phân [5] theo x ta nhận

[8] f(x, y, z) = xy2z3 + g(y, z)

Đạo hàm [8] theo y, ta có fy(x, y, z) = 2xyz3 + gy(y, z), so sánh với [6] gy(y, z) = Vì

vậy g(y, z) = h(z) fz(x, y, z) = 3xy2z2 + h'(z)

Khi [7] cho h'(z) = Do f(x, y, z) = xy2z3 + K

Lý đặt tên rot liên quan đến quay (rotation) Một liên quan ảy F trường vận tốc dịng chất lỏng (xem Ví dụ mục 4.1) Những hạt gần (x, y, z) có xu hướng xoay quanh trục mà hướng theo hướng rot F(x, y, z), độ dài véc tơ rot cho biết hạt di chuyển quanh trục nhanh (xem Hình 1) Nếu rot F = điểm P chất lỏng khỏi quay tại P F đường cong gọi không quay P Nói khác đi, khơng có xốy hay xoắn P Nếu rot F = guồng (paddle wheel) di chuyển theo chất lỏng không quay quanh trục Nếu rot F ≠ 0, guồng quay quanh trục Chúng ta cung cấp lời giải thích chi tiết mục 4.8 hệ Định lý Stokes

4.5.2. Đivê

Nếu P i + Q j + R k trường véc tơ ℝ3 ∂P/∂x, ∂Q/∂y ∂R/∂z tồn đivê

của F hàm ba biến xác định

[9] = + +

Nhận thấy rot F trường véc tơ div F trường vơ hướng Theo ký hiệu tốn tử gradient ∇ = (∂/∂x) i + (∂/∂y) j + (∂/∂z) k, đivê F viết dạng ký hiệu tích vơ hướng ∇ F:

[10] div F = ∇  F

Ví dụ Cho F(x, y, z) = xz i + xyz j + y2 k, tìm div F

Lời giải Theo định nghĩa đivê ta có

div F = ∇  F = ( )+ ( )+ ( )= +

Nếu F trường véc tơ ℝ3 rot F trường véc tơ ℝ3 Vì

có thể tính đivê Định lý sau

[11] Định lý Nếu F = P i + Q j + R k trường véc tơ ℝ3 P, Q, R có đạo

hàm riêng cấp liên tục, div (rot F) =

Chứng minh Sử dụng định nghĩa đivê rơta, ta có

div rot F = ∇  (∇F) = − + − + −

= − + − + − =

Ví dụ Chứng tỏ trường véc tơ F(x, y, z) = xz i + xyz j – y2 k rôta

của trường véc tơ nào, tức không tồn trường véc tơ G để rot F = G

Lời giải Trong Ví dụ div F = z + xz, div F ≠ Nếu F = rot G theo Định lý 11 có div F = div rot G = 0, mâu thuẫn với div F ≠ Vì F khơng rot trường véc tơ

Một lần nữa, lý tên đivê hiểu ngữ cảnh dòng chảy Nếu F(x, y, z) vận tốc chất lỏng (hoặc khí) div F(x, y, z) thể tốc độ thay đổi (theo thời gian) khối lượng chất lỏng (hoặc khí) sau điểm (x, y, z) đơn vị thể tích Nói khác đi, div F(x, y, z) phản ánh xu hướng chất lỏng tách từ điểm (x, y, z) Nếu div F = F gọi khơng nén

Một tốn tử khác xuất tính đivê trường véc tơ gradient ∇f Nếu f hàm ba biến, ta có

(∇ ) = ∇ ∙ (∇ ) = + + biểu thức xuất thường xuyên viết ∇2f

Toán tử ∇2 = ∇  ∇ gọi toán tử Laplace liên quan tới phương trình

Laplace

∇ = + + =

Chúng ta áp dụng tốn tử Laplace ∇2 tới trường véc tơ F(P, Q, R)

∇2F = ∇2P i + ∇2Q j + ∇2R k

4.5.3 Dạng véc tơ Định lý Green

Các toán tử rot div cho phép viết Định lý Green dạng hữu ích cho cơng việc sau Chúng ta giả sử miền phẳng D giới hạn đường cong C hàm P Q thỏa mãn giả thiết Định lý Green Khi xem xét trường véc tơ F = P i + Q j, tích phân đường

∮ ∙ = ∮ +

và F trường véc tơ ℝ3 với thành phần thứ ba 0, ta có

=

0

= −

Do

( ) ∙ = − ∙ = −

và viết lại phương trình Định lý Green dạng véc tơ [12] ∮ ∙ = ∬ ( ) ∙

Nếu C cho phương trình véc tơ r(t) = x(t) i + y(t) j, a ≤ t ≤ b, véc tơ tiếp tuyến đơn vị (xem Hình 1.2)

( ) = ( ) | ( )| +

( ) | ( )|

Dễ kiểm tra véc tơ đơn vị ngược hướng ( ) = −| ( )|( ) −| ( )|( )

(Xem Hình 2.) Khi từ phương trình 4.2.3 ta có ∮ ∙ = ∫ ( ∙ )( )| ′( )| = ∫ ( ( ), ( ))| ( )| ( )− ( ( ), ( )) ( )

| ( )| | ′( )|

= ∫ ( ), ( ) ( ) − ( ( ), ( )) ( )

= ∫ − = ∬ +

theo Định lý Green Nhưng biểu thức tích phân kép lại đivê F Do có dạng véc tơ thứ hai Định lý Green

[13] ∮ ∙ = ∬ div ( , )

Phiên nói lên tích phân đường thành phần pháp tuyến F dọc theo C tích phân kép đivê F miền D giới hạn C

4.6 Các mặt cong tham số diện tích chúng

Trước xem xét số mặt đặc biệt: mặt trụ, mặt bậc hai, đồ thị hàm hai biến mặc mức hàm ba biến Ở sử dụng hàm véc tơ để mô tả nhiều mặt tổng quát, gọi mặt cong tham số tính diện tích chúng Sau xây dựng cơng thức tính diện tích mặt cong tổng quát thấy ứng dụng tới mặt đặc biệt

4.6.1 Mặt tham số

Tương tự cách mô tả đường cong không gian phương trình véc tơ r(t) tham số t, mơ tả mặt cong hàm véc tơ r(u, v) hai tham số u v Chúng ta giả sử

[1] r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k

là hàm véc tơ xác định miền D thuộc mặt phẳng uv Vì x, y z (các hàm thành phần r) hàm hai biến u v với miền xác định D Tập điểm (x, y, z) ℝ3 cho

[2] x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)

Ví dụ Nhận dạng phác họa mặt cong với phương trình véc tơ r(u, v) = 2cosu i + v j + 2sinu k

Lời giải Phương trình tham số mặt cong là: x = 2cosu y = v z = 2sinu Vì với điểm (x, y, z) mặt cong ta có: x2 + z2 = 4cos2u + 4sin2u =

Điều nghĩa mặt cắt theo chiều dọc song song với mặt phẳng xz (tức y khơng đổi) đường trịn bán kính Bởi y = v khơng bị hạn chế đặt v, mặt cong mặt trụ trịn với bán kính có trục trục y (xem Hình 2)

Trong Ví dụ đặt không hạn chế tham số u v nhận tồn mặt trụ Ví dụ, ta hạn chế u v cách viết miền tham số

≤ u ≤ π/2 ≤ v ≤

thì x ≥ 0, z ≥ 0, ≤ y ≤ 3, ta nhận phần tư mặt trụ với độ dài minh họa Hình

Nếu mặt tham số S cho hàm véc tơ r(u, v) hai họ đường cong nằm S, họ với u không đổi họ với v không đổi Các họ tương ứng với đường thẳng dọc ngang mặt phẳng uv Nếu giữ u không đổi cách đặt u = u0 r(u0, v)

trở thành hàm véc tơ tham số v xác định đường cong C1 nằm S (Xem Hình 4.)

Tương tự, giữ v không đổi cách đặt v = v0, nhận đường

Ví dụ 1, lưới nhận cách cho u không đổi đường ngang, lưới với v không đổi đường trịn.) Thực tế, máy tính vẽ mặt cong tham số, thường mơ tả mặt cong cách vẽ lưới ta thấy ví dụ sau

Ví dụ Sử dụng máy tính vẽ mặt cong r(u, v) = (2 + sinv)cosu, (2 + sinv)sinu, u + cosv Lưới có u khơng đổi? Lưới có v khơng đổi?

Lời giải Chúng ta vẽ phần mặt cong với miền tham số ≤ u ≤ 4π, ≤ v ≤ 2π Hình Nó có hình dạng xoắn ốc Để nhậ dạng lưới, ta viết phương trình tham số tương ứng:

x = (2 + sinv)cosu y = (2 + sinv)sinu z = u + cosu Nếu v khơng đổi sinv cosv khơng đổi, phương trình tham số giống xoắn Ví dụ mục 1.1 Vì lưới với v khơng đổi đường xoắn Hình Chúng ta suy luận lưới với u không đổi đường cong mà giống đường trịn Thêm chứng cho ví dụ u giữ không đổi, u = u0, phương trình z = u0 + cosv giá trị z biến thiên từ

u0 – đến u0 +

Trong ví dụ 2, đưa phương trình véc tơ yêu cầu vẽ đồ thị mặt tham số tương ứng Trong ví dụ sau đây, nhiên, đưa vấn đề khó khăn việc tìm kiếm hàm véc tơ để mô tả mặt cong định Trong phần lại chương thường cần phải làm xác điều

Ví dụ Tìm hàm véc tơ biểu diễn mặt phẳng qua điểm P0 với véc tơ vị trí r0 chứa

hai véc tơ không song song a b

Lời giải Nếu P điểm mặt phẳng, nhận từ P0

cách di chuyển khoảng định theo hướng a khoảng theo hướng b Vì tồn số u v cho ⃗ = ua + vb (Hình minh họa cách làm việc theo quy tắc hình bình hành, trường hợp u v dương.) Nếu r véc tơ vị trí P r = ⃗ + ⃗ = r0 + ua + vb

Vì phương trình véc tơ mặt phẳng viết r(u, v) = r0 + ua + vbm

u v số thực

Nếu ta viết r = x, y, z, r0 = x0, y0, z0, a = a1, a2, a3 b = b1, b2, b3 có

thể viết phương trình tham số mặt phẳng qua điểm (x0, y0, z0) là:

x = x0 + ua1 + vb1 y = y0 + ua2 + vb2 z = z0 + ua3 + vb3

Ví dụ Tìm biểu diễn tham số mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2

Lời giải Mặt cầu có biểu diễn đơn giản ρ = a tọa độ cầu, chọn góc ϕ θ tọa độ cầu làm tham số (xem mục 3.9) Sau đó, đặt ρ = a phương trình chuyển từ tọa độ cầu tới tọa độ Đề (Phương trình 3.9.1), ta nhận

x = asinϕ cosθ y = asinϕ sinθ z = acosϕ

r(ϕ, θ) = asinϕ cosθ i + asinϕ sinθ j + acosϕ k

Chúng ta có ≤ ϕ ≤ π ≤ θ ≤ 2π, miền xác định tham số hình chữ nhật D = [0, π][0, 2π] Các lưới với ϕ khơng đổi đường trịn với vĩ độ khơng đổi Các lưới với θ không đổi kinh tuyến (nửa đường tròn) nối cực bắc nam (xem Hình 7)

Chú ý Chúng ta thấy Ví dụ lưới mặt cầu đường cong với vĩ độ kinh độ cố định Với mặt tham số tổng quát tạo đồ lưới tương tự đường có vĩ độ kinh độ Mô tả điểm mặt tham số cách giá trị u v, giống đưa vĩ độ kinh độ điểm

Một sử dụng mặt tham số đồ họa máy tính Hình biểu thị kết việc vẽ đồ thị mặt cầu x2 + y2 + z2 = cách giải phương trình z vẽ bán cầu

trên riêng biệt Một phần cầu bị hệ thống lưới hình chữ nhật sử dụng máy tính Hình ảnh tốt nhiều Hình vẽ máy tính cách sử dụng phương trình tham số tìm thấy Ví dụ

Ví dụ Tìm biểu diễn tham số mặt trụ x2 + y2 = 0 ≤ z ≤

Lời giải Mặt trụ có biểu diễn đơn giản r = tọa độ trụ, chọn tham số θ z tọa độ trụ Khi phương trình tham số mặt trụ

x = 2cosθ y = 2sinθ z = z ≤ θ ≤ 2π ≤ z ≤

Ví dụ Tìm hàm véc tơ biểu diễn paraboloid elliptic z = x2 + 2y2

Lời giải Nếu xem x y tham số phương trình tham số đơn giản x = x y = y z = x2 + 2y2

và phương trình véc tơ r(x, y) = x i + y j + (x2 + 2y2) k

Sự biểu diễn tham số (cũng đường cong gọi tham số hóa) mặt cong khơng Ví dụ hai cách tham số hóa mặt nón

Ví dụ Tìm biểu diễn tham số cho mặt cong z = + , tức nửa mặt nón z2 = 4x2 + 4y2

Lời giải Một khả nhận cách chọn x y làm tham số: x = x y = y z = +

Vì phương trình véc tơ r(x, y) = x i + y j + +

Một cách khác nhận từ việc chọn tham số tọa độ cực r θ Một điểm (x, y, z) mặt nón thỏa mãn x = rcosθ , y = rsinθ z = + = 2r Vì phương trình véc tơ mặt nón r(r,θ) = rcosθ i + rsinθ j + 2r k, r ≥ ≤ θ ≤ 2π

4.6.2 Mặt tròn xoay

Mặt trịn xoay biểu diễn tham số vẽ máy tính Ví dụ, xem xét mặt cong S nhận cách quay quanh trục x đường cong y = f(x), a ≤ x ≤ b, f(x) ≥ Giả sử θ góc quay Hình 10 Nếu (x, y, z) điểm thuộc S

[3] x = x y = f(x)cosθ z = f(x)sinθ

Do lấy x θ làm tham số phương trình phương trình tham số S Miền xác định tham số cho ≤ x ≤ b, ≤ θ ≤ 2π

Ví dụ Tìm phương trình tham số mặt cong sinh quay quanh trục x đường cong y = sinx, ≤ x ≤ 2π Sử dụng phương trình để vẽ mặt trịn xoay

Lời giải Từ phương trình 3, phương trình tham số

x = x y = sinxcosθ z = sinxsinθ

và miền tham số ≤ x ≤ 2π, ≤ θ ≤ 2π Sử dụng máy tính để vẽ phương trình quay ảnh, ta nhận đồ thị Hình 11 Chúng ta theo phương trình để biểu diễn mặt cong nhận thông qua quay quanh trục y trục z

4.6.3 Tiếp diện

Bây tìm tiếp diện mặt tham số S cho hàm véc tơ r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k

tại điểm P0 với véc tơ vị trí r(u0, v0) Nếu giữ u không đổi cacgs đặt u = u0,

r(u0, v) trở thành hàm véc tơ biến v xác định lưới C1 thuộc S (Xem Hình 12.) Véc

tơ tiếp tuyến C1 P0 nhận cách lấy đạo hàm r theo v:

Tương tự, v cố định cách đặt v = v0, ta nhận lưới C2

cho r(u,v0) thuộc S véc tơ tiếp tuyến P0

[5] = ( , ) + ( , ) + ( , )

Nếu ru rv ≠ mặt S gọi trơn (smooth) Với mặt trơn, tiếp diện mặt phẳng

mà chứa véc tơ tiếp tuyến ru bà rv, véc tơ ru rv véc tơ pháp tuyến mặt phẳng

Ví dụ Tìm tiếp diện điểm (1, 1, 3) mặt cong có phương trình tham số x = u2 y = v2 z = u + 2v

Lời giải Trước hết tính véc tơ tiếp tuyến: ru = 2u i + k, rv = 2v j + k

Vì véc tơ phấp tuyến tiếp diện

× =

0

= −2 − +

Chú ý điểm (1, 1, 3) tương ứng với giá trị tham số u = v = 1, véc tơ pháp tuyến –2 i – j + k

Do phương trình tiếp diện (1, 1, 3)

–2(x – 1) – 4(y – 1) + 4(z – 3) = hay x + 2y – 2z + = 4.6.4 Diện tích mặt cong

Bây xác định diện tích mặt tham số tổng quát cho phương trình Để đơn giản, bắt đầu với giả thiết miền tham số mặt cong hình chữ nhật, chia thành hình chữ nhật nhỏ Rij chọn (ui*, vj*) góc bên trái

Rij (Xem Hình 14.)

Phần Sij mặt S tương ứng với Rij gọi miếng vá (patch) có điểm Pij với véc

tơ vị trí r(ui*, vj*) góc Giả sử ru* = ru(ui*, vj*) rv*= rv(ui*, vj*)

Hình 15(a) hai cạnh miếng vá gặp Pij xấp xỉ

véc tơ Các véc tơ xấp xỉ véc tơ Δuru* Δvrv* đạo hàm

riêng xấp xỉ thương vi phân Vì xấp xỉ Sij hình bình

hành xác định véc tơ Δuru* Δvrv* Hình bình hành Hình

15(b) thuộc tiếp diện S Pij Diện tích hình bình hành

|(Δuru*)  (Δvrv*)| = |ru*  rv*|ΔuΔv

vì xấp xỉ diện tích S ∑ ∑ | ∗× ∗|∆ ∆

Trực giác mách bảo xấp xỉ tốt tăng số hình chữ nhật, ghi nhận tổng kép tổng Riemann tích phân kép ∬ | × |

Điều dẫn đến định nghĩa sau

[6] Định nghĩa Nếu mặt tham số trơn S cho phương trình r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k (u, v) ∈ D

và S phủ lần (u, v) biến thiên miền D, diện tích miền S ( ) = ∬ | × |

trong = + + = + + Ví dụ 10 Tính diện tích mặt cầu có bán kính a

Lời giải Trong Ví dụ ta tìm biểu diễn tham số mặt cầu x = asinϕ cosθ y = asinϕ sinθ z = acosϕ miền tham số D = {(ϕ,θ) | ≤ ϕ ≤ π, ≤ θ ≤ 2π}

Trước hết tính tích hữu hướng véc tơ tiếp tuyến

× = = −

−

= a2sin2cos i + a2sin2sin j + a2sincos k

Vì |r  r|2 = a4sin4cos2 + a4sin4sin2 + a4sin2cos2 = a4sin2ϕ

Vì ≤ ϕ ≤ π nên sinϕ ≥ |r  r| = a2sinϕ Theo định nghĩa 6, diện tích mặt cầu

= ∬ | × | = ∫ ∫ = ∫ ∫ =

(Bằng lần diện tích thiết diện qua xích đạo) 4.6.5 Diện tích mặt cong đồ thị hàm

x = x y = y z = f(x, y) = + = +

[7] × = 0

= − − +

Vì ta có

[8] × = + + = + +

và cơng thức diện tích mặt cong định nghĩa trở thành

[9] ( ) = ∬ + +

Chúng ta thấy tương tự công thức cơng thức tính độ dài cung

= ∫ +

Ví dụ 11 Tính diện tích phần paraboloid z = x2 + y2 nằm phía mặt phẳng z =

Lời giải Mặt phẳng giao với paraboloid theo đường tròn x2 + y2 = 9, z = Do mặt

phẳng cho nằm đĩa D với tâm gốc tọa độ bán kính (Xem Hình 16.) Sử dụng cơng thức ta có

= ∬ + + = ∬ + 4( + )

Chuyển sang tọa độ cực ta

= ∫ ∫ √1 + = ∫ ∫ √1 +

= (1 + ) / = 37√37 − 1

Câu hỏi lại liệu định nghĩa diện tích mặt cong [6] phù hợp với cơng thức diện tích mặt cong hàm biến = ∫ ( ) + [ ′( )]

Chúng ta coi mặt cong S nhận cách quay đường cong y = f(x) , a ≤ x ≤ b, quanh trục x, f(x) ≥ f khả vi liên tục Từ phương trình ta biết phương trình tham số S x = x y = f(x)cosθ xz = f(x)sinθ a ≤ x ≤ b, ≤ θ ≤ 2π

Để tính diện tích mặt cong S ta cần véc tơ tiếp tuyến

rx = i + f '(x)cosθ j + f '(x)sinθ k rθ = – f'(x)sinθ j + f'(x)cosθ k

Vì

× = ( ) ( )

0 − ( ) ( )

= ( ) ( ) − ( ) − ( )

Vì f(x) ≥ nên

= ∬ | × | = ∫ ∫ ( ) + [ ′( )] = ∫ ( ) + [ ′( )] Đây cơng thức sử dụng để tính diện tích mặt trịn xoay hàm biến 4.7 Tích phân mặt

Mối quan hệ tích phân mặt diện tích mặt cong giống mối quan hệ tích phân đường độ dài cung Giả sử f hàm ba biến có miền xác định chứa mặt cong S Chúng ta định nghĩa tích phân mặt f S giống cách f(x, y, z) = 1, giá trị tích phân diện tích mặt S Chúng ta bắt đầu với mặt tham số xử lý trường hợp đặc biệt S đồ thị hàm hai biến

4.7.1 Mặt tham số

Giả sử mặt cong S có phương trình véc tơ

r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k (u, v) ∈ D

Trước hết giả thiết miền tham số D hình chữ nhật chia thành hình chữ nhật nhỏ Rij với kích thước Δu Δv Khi mặt cong S chia thành

các miếng vá Sij Hình Chúng ta tính f điểm Pij* thuộc miếng vá, nhân với

diện tích ΔSij miếng vá lập tổng Riemann

∑ ∑ ∗ ∆

Sau lấy giới hạn số miếng vá tăng định nghĩa tích phân mặt f S

[1] ∬ ( , , ) = lim

, → ∑ ∑

∗ ∆

Chú ý tương tự định nghĩa tích phân đường (4.2.2) tương tự với định nghĩa tích phân kép (3.1.5)

Để tính tích phân mặt phương trình xấp xỉ diện tích miếng vá ΔSij diện

tích parabola thuộc tiếp diện Trong mục 3.6 ta đánh giá ΔSij ≈ |ru rv|Δu Δv,

= + + = + +

là véc tơ tiếp tuyến góc Sij Nếu thành phần liên tục ru rv khác không

và không song song miền D, định nghĩa 1, chí D khơng phải hình chữ nhật,

[2] ∬ ( , , ) = ∬ ( , ) | × | Điều cần phải so sánh với cơng thức tích phân đường:

∫ ( , , ) = ∫ ( ) | ( )|

∬ = ∬ | × | = ( )

Cơng thức cho phép tính tích phân mặt cách chuyển sang tích phân kép miền tham số D Khi sử dụng công thức này, nhớ f(r(u, v)) tính cách viết x = x(u, v), y = y(u, v) z = z(u, v) cơng thức f(x, y, z)

Ví dụ Tính tích phân mặt ∬ , S mặt cầu đơn vị x2 + y2 + z2 =

Lời giải Như Ví dụ mục 4.6, sử dụng biểu diễn tham số

x = sinϕcosθ y = sin ϕsinθ z = cos ϕ ≤ ϕ ≤ π ≤ θ ≤ 2π tức là, r(ϕ, θ) = sin ϕ cos θ i + sin ϕ sin θ j + cos ϕ k

Như Ví dụ 10 mục 4.6, tính |rϕ  rθ | = sin ϕ

Do theo cơng thức 2,

∬ = ∬ ( ϕcosθ) × = ∫ ∫ ϕcos θ ϕdϕdθ

= ∫ cos θdθ ∫ ϕ ϕdϕ = ∫ (1 + cos2θ)dθ ∫ ( ϕ − ϕ ϕ)dϕ

+ − + =

Tích phân mặt có ứng dụng tương tự tích phân mà đa xem xét trước Ví dụ, mỏng (lá nhơm chẳng hạn) có hình dạng mặt cong S mật độ (khối lượng/đơn vị diện tích) điểm (x, y, z) ρ(x, y, z) , khối luongj mỏng

= ∬ ( , , )

và trọng tâm nó, ( , , ), tính theo cơng thức

= ∬ ( , , ) = ∬ ( , , ) = ∬ ( , , ) Mô men quán tính định nghĩa trước

4.7.2 Đồ thị

Bất kỳ mặt cong S với phương trình z = g(x, y) xem mặt tham số với phương trình tham số x = x y = y z = g(x, y)

và ta có = + = + Vì

[3] × = − − +

và × = + +

Vì trường hợp công thức trở thành

[4] ∬ ( , , ) = ∬ ( , , ( , )) + +

Các công thức tương tự áp dụng thuận tiện để chiếu đối tượng S lên mặt phẳng yz xz Ví dụ, S mặt cong với phương trình y = h(x, z) D chiếu lên mặt phẳng xz,

Ví dụ Tính ∬ , S mặt cong z = x + y2, ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 2.( Hình 2)

Lời giải Vì = = , Công thức đưa

∬ = ∬ + +

= + +

= √2 +

= √2 ∫ + (1 + )

= √2 (1 + ) / = √

Nếu S mặt cong trơn phần, tức hợp hữu hạn mặt cong trơn S1, S2, , Sn,

mặt cong giao biên, tích phân mặt S định nghĩa ∬ ( , , ) = ∬ ( , , ) + ∬ ( , , ) + ⋯ + ∬ ( , , )

Ví dụ Tính ∬ , mặt cong S hợp mặt bên S1 cho mặt trụ

x2 + y2 = 1, mặt đáy S

2 đĩa x2 + y2 ≤ 1, mặt S3 phần mặt phẳng z = + x nằm S2

Lời giải Mặt S Hình Với S1 ta sử dụng θ z làm tham số (xem Ví dụ

5 mục 4.6) viết phương trình tham số x = cosθ y = sinθ z = z

trong ≤ θ ≤ 2π ≤ z ≤ + x = + cosθ Do

× = −

0

= +

và

| × | = √ + =

Vì tích phân mặt S1

∬ = ∬ | × | = ∫ ∫ = ∫ (1 + ) =

Bởi S2 thuộc mặt phẳng z = 0, ta có

∬ = ∬ =

Mặt S3 thuộc mặt phẳng z = + x nằm đĩa D nên đặt g(x, y) = + x công thức

4 chuyển sang tọa độ cực, ta có

∬ = ∫ ∫ (1 + )√1 + + = √2 ∫ ∫ ( + )

= √2 ∫ ( ) = √2 + = √2

Do

4.7.3 Mặt định hướng

Để định nghĩa tích phân mặt trường véc tơ, cần loại trừ mặt không định hướng giống dải Mobius Hình [Nó mang tên nhà hình học người Đức August Mobius (1790 – 1868).] Bạn tự tạo từ dải giấy hình chữ nhật, xoắn nửa vòng dán hai cạnh ngắn lại với Hình Nếu kiến bị dọc theo dải Mobius bắt đầu điểm P, kết thúc "phía bên kia" dải

Từ trở xem xét mặt định hướng (hai phía) Ta bắt đầu với mặt cong S có tiếp diện điểm (x, y, z) S (ngoại trừ biên) Tại điểm (x, y, z), có hai véc tơ pháp tuyến đơn vị n1 n2 = –n1 (xem Hình 6)

Nếu chọn véc tơ pháp tuyến đơn vị n điểm (x, y, z) cho n biến thiên liên tục S, S gọi mặt định hướng chọn n định hướng cho mặt S Có hai khả định hướng cho mặt cong định hướng (xem Hình 7)

Với mặt cong z = g(x, y) cho đồ thị g, sử dụng phương trình để gán cho mặt hướng tự nhiên cho véc tơ đoen vị

[5] =

Bởi thành phần thứ ba (hệ số k) dương nên xác định hướng phía mặt Nếu S mặt cong trơn định hướng được cho dạng tham số hàm véc tơ r(u, v) tự động định hướng theo véc tơ pháp tuyến đơn vị

[6] = ×

| × |

và hướng ngược lại –n Ví dụ, Ví dụ mục 4.6, với mặt cầu x2 + y2 + z2, tìm

được biểu diễn tham số r(ϕ, θ) = a sinϕ cosθ i + a sin ϕ sinθ j + a cos ϕ k Khi Ví dụ 10 mục 4.6, thấy rϕ  rθ = a2sin2ϕcosθ i + a2sin2ϕsinθ j + a2sinϕcosϕ k,

Vì hướng sinh r(ϕ, θ) xác định véc tơ pháp tuyến đơn vị = ×

| × |= + + = ( , )

Nhận thấy n có hướng với véc tơ vị trí, tức phía mặt cầu (xem Hình 8) Hướng ngược lai nhận (xem Hình 9) đảo thứ tự tham số, rθ rϕ = –rϕ  rθ

Với mặt kín, tức mặt cong giới hạn vật thể E, quy ước hướng dương hướng mà véc tơ pháp tuyến trỏ từ E ngoài, hướng âm hướng véc tơ pháp tuyến trỏ từ vào E (xem Hình 8)

4.7.4 Tích phân mặt trường véc tơ

Giả sử S mặt định hướng với véc tơ pháp tuyến đơn vị n, tưởng tượng chất lỏng với mật độ ρ(x, y, z) trường vận tốc v(x, y, z) chảy qua S (Hình dung S bề mặt tưởng tượng mà khơng cản trở dịng chảy chất lỏng, giống lưới đánh cá dịng sơng.) Khi tỷ lệ chất lỏng (khối lượng/đơn vị thời gian) đơn vị diện tích ρv Nếu chia S thành miếng vá Sij, Hinh 10 (so

sánh với Hình 1), Sij gần phẳng xấp xỉ khối lượng chất lỏng

trên đơn vị thời gian xuyên qua Sij theo hướng pháp tuyến n cơng thức (ρv  n)A(Sij),

trong ρ, v, n tính điểm Sij (Nhớ thành phần véc tơ ρv

theo hướng véc tơ đơn vị n ρv  n.) Bằng cách lấy tổng chuyển qua giới hạn, theo định nghĩa 1, tích phân mặt hàm ρv  n S là:

[7] ∬ ∙ = ∬ ( , , ) ( , , ) ∙ ( , , ) điều giải thích vật lý tốc độ chất lỏng xuyên qua S

Nếu ta viết F = ρv F trường véc tơ ℝ3 tích phân phương trình

7 trở thành

∬ ∙

Ttichs phân mặt dạng thường xuất vật lý, F khác ρv, gọi tích phân mặt F S

[8] Định nghĩa Nếu F trường véc tơ liên tục xác định mặt định hướng S với véc tơ pháp tuyến đơn vị n, tích phân mặt F S

∬ ∙ = ∬ ∙

Bằng lời, định nghĩa nói tích phân mặt trường véc tơ S tích phân mặt thành phần pháp tuyến S (như định nghĩa trước đây)

Nếu S cho hàm véc tơ r(u, v) n cho phương trình 6, từ định nghĩa phương trình ta có

∬ ∙ = ∬ ∙| ×

× | S = ∬ ( , ) ∙ ×

| × | | × | A

trong D miền tham số Vì ta có

[9] ∬ ∙ = ∬ ( , ) ∙ ( × ) A

Ví dụ Tính thơng lượng trường véc tơ F(x, y, z) = z i + y j + x k xuyên qua mặt cầu đơn vị x2 + y2 + z2 =

Lời giải Như Ví dụ 1, sử dụng biểu diễn tham số

x = sinϕcosθ y = sin ϕsinθ z = cos ϕ ≤ ϕ ≤ π ≤ θ ≤ 2π Khi F(r(ϕ, θ)) = cosϕ i + sinϕsinθ j + sinϕcosθ k

và từ Ví dụ 10 mục 4.6,

rθ rϕ = sin2ϕcosθ i + sin2ϕsinθ j + sinϕcosϕ k

Do

F(r(ϕ, θ))  (rθ rϕ) = cosϕsin2ϕcosθ + sin3ϕsin2θ + sin2ϕcosϕcosθ

và theo công thức 9, thông lượng

∬ ∙ = ∬ ∙ ( × ) A

= ∫ ∫ (2 + )

= ∫ ∫ + ∫ ∫

= + ∫ ∫ = (cùng kết Ví dụ 1)

Ví dụ, trường véc tơ Ví dụ trường vận tốc mơ tả dịng chất lỏng với mật độ 1, kết 4π/3 thể tốc độ dòng chảy xuyên qua mặt cầu theo đơn vị khối lượng đơn vị thời gian

Trong trường hợp mặt cong S cho đồ thị z = g(x, y), xem x y tham số sử dụng phương trình để viết

∙ × = ( + + ) ∙ − − +

Vì cơng thức trở thành

[10] ∬ ∙ = ∬ − − +

Công thức cho hướng dương (trong ngoài) S Các cơng thức tương tự có S cho y = h(x, z) x = k(y, z)

Ví dụ Tính ∬ ∙ , F(x, y, z) = y i + x j + z k S biên vật thể E bao quanh paraboloid z = – x2 – y2 mặt phẳng z =

Lời giải S bao gồm mặt S1 parabolic mặt đáy S2 hình trịn (Xem Hình

12.) Bởi S mặt kín, sử dụng hướng dương quy ước (từ ngoài) Nghĩa S1 định hướng lên ta sử dụng phương trình 10 với D chiếu S1 lên mặt phẳng xy,

P(x, y, z) = y Q(x, y, z) = x R(x, y, z) = z = – x2 – y2

và ∂g/∂x = -2x, ∂g/∂y = -2y nên có

∬ ∙ = ∬ − − +

= [− (−2 ) − (−2 ) + − − ]

= (1 + − − )

= ∫ ∫ (1 + − )

= ∫ ∫ ( − + ) = ∫ + =

Vì S2 định hướng xuống nên véc tơ pháp tuyến đơn vị n = -k ta có

∬ ∙ = ∬ ∙ (− ) = ∬ (− ) = ∬ (0) = (vì z = S2)

Cuối cùng, theo định nghĩa,

∬ ∙ = ∬ ∙ + ∬ ∙ = + =

Mặc dù sử dụng ví dụ dịng chất lỏng để trình bày tích phân mặt trường véc tơ, nội dung nhiều tượng vật lý khác Ví dụ, E điện trường (xem Ví dụ mục 4.1), tích phân mặt ∬ ∙ gọi thông lượng điện trường E qua mặt S Một định luật quan trọng tĩnh điện Định luật Gauss, nói điện tích bao quanh mặt cong S

[11] = ∬ ∙

trong 0 số điện môi (permitivity) phụ thuộc vào đơn vị sử dụng (Theo hệ thống đo

lường quốc tế, 0 8.854210-12C2/N.m2) Do trường véc tơ F Ví dụ biểu thị

điện trường, kết luận điện tích bao quanh S Q =

Một ứng dụng khác tích phân mặt xuất nghiên cứu luồng nhiệt Giả sử nhiệt độ điểm (x, y, z) vật thể u(x, y, z) Khi luồng nhiệt định nghĩa trường véc tơ F = –K∇u, K số thực nghiệm, gọi độ dẫn nhiệt (conductivity) chất Tốc độ dòng nhiệt qua mặt S vật thê cho tích phân mặt

∬ ∙ = − ∬ ∇ ∙

Ví dụ Nhiệt độ bóng kim loại tỷ lệ với bình phương khoảng cách từ tâm bóng Tìm tỷ lệ dịng nhiệt qua hình cầu S bán kính a với tâm tâm bóng Lời giải Đặt tâm bóng vào gốc tọa độ, ta có u(x, y, z) = C(x2 + y2 + z2), C

là số tỷ lệ Khi dòng nhiệt F(x, y, z) = -K∇u = -KC(2x i + 2y j + 2z k), K độ dẫn nhiệt kim loại Thay cho việc sử dụng tham số hóa mặt cầu Ví dụ 4, nhận thấy véc tơ pháp tuyến đơn vị hướng mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2

tại (x, y, z)

∙ = − ( + + )

Nhưng S ta có x2 + y2 + z2 = a2 nên F  n = -2aKC Do tốc độ dịng nhiệt qua S

∬ ∙ = ∬ ∙ = −2 ∬ = −2 ( ) = −8

4.8 Cơng thức Stoke

Định lý Stokes coi Định lý Green không gian nhiều chiều Trong Định lý Green cho mối liên hệ tích phân kép miền phẳng D với tích phân đường dọc theo đường cong phẳng biên D, Định lý Stoke cho mối liên hệ tích phân mặt mặt cong S với tích phân đường dọc theo biên mặt cong S (đường cong khơng gian)

Hình biểu thị mặt định hướng với véc tơ pháp tuyến đơn vị n Hướng S xác định hướng dương đường biên C hình vẽ Nghĩa ta dọc C theo hướng dương với đầu phía hướng n mặt cong ln ln bên tay trái

Định lý Stoke Giả sử S mặt cong trơn khúc định hướng được, có biên đường cong C đơn kín, trơn khúc theo hướng dương Giả sử F trường véc tơ mà hàm thành phần có đạo hàm riêng liên tục miền mở thuộc ℝ3 chứa S Khi

∫ ∙ = ∬ ∙ Bởi

∫ ∙ = ∫ ∙ ∬ ∙ = ∬ ∙

nên Định lý Stoke nói tích phân đường quanh biên S thành phần tiếp tuyến F tích phân mặt S thành phần pháp tuyến rot F

Biên định hướng dương mặt định hướng S thường ký hiệu ∂S,

[1] ∬ ∙ = ∫ ∙

Có tương tự Định lý Stoke, Định lý Green Định lý giải tích Như trước đây, có tích phân liên quan đến đạo hàm bên trái phương trình (nhớ lại rot F dạng đạo hàm F) bên phải liên quan đến giá trị F biên S

Sự thật là, trường hợp đặc biệt mặt cong S phẳng thuộc mặt phẳng xy với hướng lên trên, pháp tuyến đơn vị k, tích phân mặt trở thành tích phân kép, Định lý Stoke trở thành

∫ ∙ = ∬ ∙ = ∬ ∙

Đây dạng véc tơ Định lý Green cho phương trình 4.5.12 Vì xem Định lý Green trường hợp đặc biệt Định lý Stoke

Chứng minh trường hợp riêng Định lý Stoke Chúng ta giả thiết phương trình S z = g(x, y), (x, y) ∈ D, g có đạo hàm riêng cấp liên tục D miền phẳng đơn liên có biên đường cong C1 tương ứng với C Nếu hướng S lên

thì hướng dương C tương ứng với hướng dương C1

(Xem Hình 2.) Chúng ta cho F = P i + Q j + R k, đạo hàm riêng P, Q R liên tục

Bởi S đồ thị hàm nên áp dụng cơng thức 4.7.10 với F thay rot F Kết

[2] ∬ = ∬ − − − + −

trong đạo hàm riêng P, Q R tính (x, y, g(x, y))

Nếu x = x(t) y = y(t) a ≤ t ≤ b tham số biểu diễn C1 tham số

biểu diễn C x = x(t) y = y(t) z = g(x(t), y(t)) a ≤ t ≤ b Theo quy tắc dây chuyền, ta tính tích phân đường sau:

∫ ∙ = ∫ + + = ∫ + + −

= ∫ + + + = ∫ + + +

= ∬ + − +

ở sử dụng Định lý Green bước cuối Sau đó, sử dụng quy tắc dây chuyền lần nhớ P, Q R hàm x, y z, z lại hàm x y, ta nhận

∫ ∙ = ∬ + + + +

− + + + +

Bốn hạng thức tích phân kép triệt tiêu cịn lại sáu hạng thức xếp để trùng với vế phải phương trình Do

∫ ∙ = ∬ ∙

Ví dụ Tính ∫ ∙ , F(x, y, z) = -y2 i + x j + z2 k C giao mặt phẳng

y + z = với mặt trụ x2 + y2 = (Hướng C ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ trên.)

Lời giải Đường cong C ellipse Hình Mặc dù ∫ ∙ tính trực tiếp, dễ dàng sử dụng Định lý Stoke Trước hết ta tính

= −

= (1 + )

Mặc dù có nhiều mặt cong với biên C, lựa chọn thuận lợi miền ellipse S mặt phẳng y + z = bao C Nếu định hướng S lên C có hướng dương Hình chiếu D S mặt phẳng xy đĩa x2 + y2 ≤ sử

∫ ∙ = ∬ ∙ = ∬ (1 + ) = ∫ ∫ (1 + )

= ∫ + = ∫ + = (2 ) =

Ví dụ Sử dụng Định lý Stoke để tính tích phân ∬ ∙ ,

F(x, y, z) = xz i + yz j + xy k S phần mặt cấu x2 + y2 + z2 = nằm hình trụ x2 +

y2 ≤ 1, mặt phẳng xy

Lời giải Để tìm biên C giải phương trình x2 + y2 + z2 = x2 + y2 = Sau

khi trừ, ta nhận z = √3 (vì z > 0) Vì C đường tròn x2 + y2 = 1, z = √3 Phương trình véc tơ C r(t)

= cost i + sint j + √3k ≤ t ≤ 2π, r'(t) = -sint i + cost j

Như ta có F(r(t)) = √3cost i + √3sint j + costsint k Theo Định lý Stoke,

∬ ∙ = ∫ ∙ = ∫ ( ) ∙ ′( )

= ∫ −√3 + √3 = ∫ (0) =

Chú ý Ví dụ tính tích phân mặt đơn giản cách biết giá trị F biên đường cong C Điều có nghĩa là, có tích phân mặt khác với biên C nhận xác giá trị

Tổng quat, S1 S2 mặt định hướng với cùng biên định hướng C

hai thỏa mãn giả thiết Định lý Stoke,

[3] ∬ ∙ = ∫ ∙ = ∬ ∙

Sự kiện hiệu khó tích phân mặt cong lại dễ tích phân mặt cong khác

Bây giả thiết P0(x0, y0, z0) điểm chất lỏng giả sử Sa đĩa nhỏ bán kính a

và tâm P0 Khi (rot F)(P)  (rot F)(P0) với điểm P Sa rot F liên tục Vì

vậy, theo Định lý Stoke, nhận lưu số xấp xỉ quanh biên hình trịn Ca sau đây:

∫ ∙ = ∬ ∙ = ∬ ∙

≈ ∬ ( ) ∙ ( ) = ( ) ∙ ( ) Xấp xỉ trở nên tốt a → ta có

[4] ( ) ∙ ( ) = lim

→ ∫ ∙

Phương trình cho mối liên hệ rơta lưu số Nó rot v  n số đo hiệu ứng quay chất lỏng quanh trục n Hiệu ứng quay lớn quanh trục song song với rot v

Cuối cùng, mong muốn Định lý Stoke sử dụng để chứng minh Định lý 4.5.4 (ở phát biểu rot F = tồn ℝ3 F bảo tồn) Từ kết

trước (Các định lý 4.3.3 4.3.4) ta biết F bảo toàn ∫ ∙ d = với đường kín C Cho C, giả sử tìm mặt có hướng S có biên C (Điều thực được, việc chứng minh địi hỏi kỹ thuật cao.) Khi Định lý Stoke cho

∫ ∙ d = ∬ ∙ = ∬ ∙ =

Một đường cong không đơn tách thành số đường cong đơn, tích phân quanh đường cong đơn Cộng tích phân lại ta nhận ∫ ∙ d = với đường cong kín C

Hãy tưởng tượng bánh xe mái chèo nhỏ đặt chất lỏng điểm P, Hình 6, bánh xe quay nhanh trục song song với rot v

4.9 Định lý phân tán

Trong mục 4.5 viết Định lý Green dạng véc tơ ∮ ∙ = ∬ div ( , )

trong C đường cong định hướng dương giới hạn miền D Nếu mở rộng cho trường véc tơ ℝ3, đoán

[1] ∬ ∙ = ∭ div ( , )

trong S biên vật thể E Nó phương trình đúng, với giả thuyết thích hợp, gọi Định lý phân tán Nhận thấy tương đồng với lý Green Định lý Stokes chỗ liên quan đến tích phân đạo hàm hàm (rot F trường hợp này) miền E với tích phân hàm F biên miền E

một mặt kín, sử dụng quy ước, giới thiệu mục 4.7, hướng dương từ ngoài, tức véc tơ pháp tuyến đơn vị định hướng từ Định lý phân tán Giả sử E vật thể đơn với biên mặt S định hướng dương Giả sử F trường véc tơ mà hàm thành phần có đạo hàm riêng liên tục miền chứa E Khi

∬ ∙ = ∭ div ( , )

Vì Định lý phân tán phát biểu rằng, với điều kiện cho, thông lượng F qua mặt biên E tích phân bội ba đivê F E

Chứng minh Giả sử F = Pi + Qj + Rk,

= + + nên ∭ = ∭ + ∭ + ∭

Nếu n véc tơ pháp tuyến đơn vị S hướng phía ngồi, tích phân mặt bên vế trái Định lý phân tán

∬ ∙ = ∬ ∙ = ∬ ( + + ) ∙

= ∬ ∙ + ∬ ∙ + ∬ ∙

Do đó, để chứng minh Định lý phân tán, ta chứng minh ba phương trình sau

[2] ∬ ∙ = ∭

[3] ∬ ∙ = ∭

[4] ∬ ∙ = ∭

Để chứng minh phương trình 4, sử dụng kiện E miền loại 1:

E = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}

trong D chiếu E lên mặt phẳng xy Theo phương trình 3.7.6 ta có

∭ = ∬ ∫ ( , )( , ) ( , , )

và đó, theo Định lý giải tích

[5] ∭ = ∬ , , ( , ) − , , ( , )

Biên S bao gồm ba mảnh: mặt đáy S1, mặt S2 mặt xung quanh S3 (Xem Hình

Có thể S3 khơng thể hiển thị, chẳng hạn mặt cầu.) Chú ý S3 ta có k  n = 0, n

nằm ngang k thẳng đứng, nên

∬ ∙ =

Vì vậy, cho dù có mặt thẳng đứng, viết

[6] ∬ ∙ = ∬ ∙ + ∬ ∙

Phương trình S2 z = u2(x, y) , (x, y) ∈ D, véc tơ pháp tuyến n hướng lên nên

từ phương trình 4.7.10 (F thay Rk) ta có

∬ ∙ = ∬ , , ( , )

∬ ∙ = − ∬ , , ( , ) Do phương trình cho

∬ ∙ = ∬ , , ( , ) − , , ( , )

So sánh với phương trình 5,

∬ ∙ = ∭

Các phương trình chứng minh hồn tồn tương tự xem E tương ứng loại

Ví dụ Tính thơng lượng trường véc tơ F(x, y, z) = z i + y j + x k qua mặt cầu x2 +

y2 + z2 =

Lời giải Trước hết tính đivê F: = ( ) + ( ) + ( ) =

Mặt cầu đơn vị S biên cầu B cho phương trình x2 + y2 + z2 ≤ Vì

thế, theo Định lý phân tán, thông lượng

∬ ∙ = ∭ = ∭ = ( ) = (1) =

Ví dụ Tính ∬ ∙ , ( , , ) = + + + sin( , ) S mặt vật thể E giới hạn mặt trụ parabolic z = – x2 mặt phẳng z = 0, y =

và y + z = (Xem Hình 2.)

Lời giải Rất khó để tính trực tiếp tích phân mặt cho (Chúng ta cần phải tính bốn tích phân mặt tương ứng với mảnh S.) Hơn nữa, đivê F phức tạp F:

= ( ) + + + (sin ( )) = + =

Do sử dụng Định lý phân tán để chuyển tích phân mặt cho sang tích phân bội ba Cách dễ để tính tích phân bội ba biểu diễn E miền loại 3:

E = {(x, y, z) | -1 ≤ x ≤ 1, ≤ z ≤ – x2, ≤ y ≤ – z}

Khi ta có

∬ ∙ = ∭ = ∭ = ∫ ∫ ∫

= ∫ ∫ (2 − ) = ∫ − (2 − )

= − ∫ [( + 1) − 8] = − ∫ ( + + − 7) =

Mặc dù chứng minh Định lý phân tán miền vật thể đơn, chứng minh miền hợp hữu hạn miền đơn Ví dụ, xem xét miền E nằm mặt kín S1 S2, S1 bên S2 Giả sử n1

n2 pháp tuyến hướng S1 S2 Khi biên

E S = S1∪S2 pháp tuyến n = -n S1 n = n2

[7] ∭ = ∬ ∙ = ∬ ∙ = ∬ ∙ − ∬ ∙ Ví dụ Trong Ví dụ mục 4.1 xem xét điện trường

( ) =| |

trong điện tích Q đặt gốc tọa độ x = x, y, z véc tơ vị trí Sử dụng Định lý phân tán để chứng tỏ điện thông E qua mặt cong kín S2 bao quanh gốc tọa độ

bằng

∬ ∙ =

Lời giải Rất khó mà khơng biết rõ phương trình S2 mặt cong

kín bao quanh gốc tọa độ Mặt cong đơn giản mặt cầu, giả thiết S1 mặt cầu nhỏ với bán kính a tâm gốc tọa độ Dễ kiểm tra div E = Do

đó phương trình cho

∬ ∙ = ∬ ∙ + ∭ div = ∬ ∙ = ∬ ∙

Điểm đưa tính tích phân mặt cầu S1 Véc tơ pháp tuyến

đơn vị x x/|x| Do ∙ =

| | ∙ | | =| | ∙ =| | = phương trình S1 |x| = a Vì ta có

∬ ∙ = ∬ ∙ = ∬ = ∬ = ( ) =

Điều chứng tỏ điện thông E qua mặt kín chứa gốc tọa độ 4πεQ [Đây trường hợp riêng Định luật Gauss (Phương trình 4.7.11) điện tích đơn Mối quan hệ ε ε0 ε = 1/(4πε0).]

Một ứng dụng khác Định lý phân tán xuất dòng chất lỏng Giả sử v(x, y, z) trường vận tốc chất lỏng với mật độ không đổi ρ Khi F = ρv tốc độ chất lỏng đơn vị diện tích Nếu P0(x0, y0, z0) điểm chất lỏng Ba khối cầu tâm P0 với

bán kính nhỏ a, div F(P) ≈ F(P0) với điểm Ba div F liên tục Chúng ta xấp

xỉ thông lượng mặt cấu Sa sau:

∬ ∙ = ∭ div ≈ ∭ div ( ) = div ( ) ( ) Xấp xỉ trở nên tốt a → cho thấy

[8] div (P ) = lim

→ ( )∬ ∙

Phương trình nói div F(P0) vận tốc thực thơng lượng hướng ngồi

một đơn vị thể tích P0 (Đó lý có tên phân tán.) Nếu div F(p) > 0, thông lượng thực

hướng gần P P gọi điểm nguồn (source) Nếu div F(P) < 0, thông lượng hướng vào gần P P gọi điểm rò (sink)

Đối với trường véc tơ Hình 4, biểu thị véc tơ mà mút cuối gần P1 ngắn

hơn véc tơ mà mút gốc gần P1 Vì thơng lượng thực hướng gần P1, nên div F(P1) >

0 P1 điểm nguồn Mặt khác, gần P2, mũi tên vào dài mũi tên Ở

thức F để khẳng định cảm nhận Bởi F = x2 i + y2 j,

chúng ta có div F = 2x + 2y, dương y > -x Vì điểm nằm phía bên đường y = -x điểm nguồn, phía bên điểm rị

4.10 Tóm tắt

Các kết chương tất phiên nhiều chiều Định lý giải tích Để giúp ghi nhớ chúng dễ dàng, thu thập chúng lại với (khơng có giả thuyết) để nhìn thấy dễ dàng tương tự cần thiết chúng Chú ý trường hợp, phía bên trái tích phân "đạo hàm" miền, bên phải liên quan đến giá trị hàm biên miền

 Định lý giải tích

( ) = ( ) − ( )  Định lý tích phân đường

∇ ∙ = ( ) − ( )

 Định lý Green

− = +

 Định lý Stoke

∙ = ∙

 Định lý phân tán