BD. Gọi E,F là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm EF. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm. Bài 12: Cho tam giác ABC [r]
(1)WWW.VNMATH.COM
TRƯỜNG THPT GỊ CƠNG ĐƠNG
TÀI LIỆU HỌC TẬP
GV: Trần Duy Thái
CHƯƠNG I: VECTƠ
§ : CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT:
• Vectơ đoạn thẳng có hướng Ký hiệu :
AB;
CD
a;
b
• Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Ký hiệu
0
• Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ
• Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng
• Hai vectơ phương hướng ngược hướng
• Hai vecto hướng ln phương
• Độ dài vecto
AB độ dài đoạn thẳng AB Kí hiệu:
AB = AB
• Hai vectơ chúng hướng độ dài
Vậy:
, cïng h−íng
a b
a b
a b
=
= ⇔
Các phương pháp chứng minh:
• Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔
,
AB AC phương
• Chứng minh = ⇔
AB DC ABCD hình bình hành
B CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Xác định vectơ, phương hướng hai vectơ
Phương pháp giải:
• Để xác định vectơ ta cần biết độ dài hướng vectơ, biết điểm đầu điểm cuối vectơ Ví dụ điểm phân biệt A, B ta có vectơ khác
ABvà
BA
• Vectơ
a vectơ-không =
0
a hoặc =
a AA với A điểm
Bài tập:
Bài 1: Cho ∆ABC Có vectơ lập từ cạnh tam giác
Bài 2: Cho điểm phân biệt A, B, C, D Có vectơ lập từ điểm
cho
Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE
a) Có vectơ lập từ cạnh đường chéo ngũ giác b) Có vectơ lập từ dỉnh ngũ giác
Dạng 2: Khảo sát vectơ
Phương pháp giải: Để chứng minh vectơ có cách:
•
cïng h−íng
a b
a b
a v b
=
⇒ =
(2)
• ABCD hbh ⇒ =
AB DC =
BC AD
• Nếu
a =
b,
b =
cthì
a =
c
Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F trung điểm BC, CA, AB Tìm
vectơ chứng minh
Bài 2: Cho điểm M
a Dựng điểm N cho: a) =
MN a b)
MN phương với
a có độ dài
a
Bài 3: Cho hình vng ABCD tâm O Liệt kê tất vectơ (khác 0) nhận đỉnh tâm hình vuông làm điểm đầu điểm cuối
Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Chứng
minh =
MN AB =
MN DC, ABCD hình bình hành
Bài 5: Cho tứ giác ABCD, chứng minh =
AB DC =
AD BC
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng với C qua D Chứng tỏ:
=
AE BD
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M đoạn AB điểm N đoạn CD
sao cho AM=CN Chứng minh: =
AN MC =
MD BN
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD Gọi M N trung điểm AB CD
AN CM cắt BD E F Chứng ming rằng: = =
E
DE F FB
Bài 9: Cho tam giác ABC điểm M tam giác Gọi A’, B’, C’ trung điểm BC, CA, AB M, N, P điểm đối xứng với M qua A’, B’, C’
Chứng minh: a) =
AQ CN =
AM PC b) AN, BP, CQ đồng quy
Bài 10: Cho lục giác ABCDEF có tâm O
a) Tìm vecto khác
0 phương với
OA b) Tìm vecto vecto
, AB OE
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có tâm O.Tìm vectơ từ điểm A,B,C,D,O:
a) Bằng vectơ
AB ;
OB b) Có độ dài
OB
Bài 12: Cho tam giác ABC Các đẳng thức sau hay sai?
a) =
AB BC b) = −
AB AC c) =
AB AC
Bài 13 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA
Chứng minh : = =
;
MN QP NP MQ
Bài 14: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC
AD Gọi I giao điểm AM BN, K giao điểm DM CN
CMR: = =
,
AM NC DK NI
Bài 15 : Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’
là điểm đối xứng B qua O Chứng minh : =
'
AH B C
§ : TỔNG VÀ HIỆU CỦA CÁC VECTƠ
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT:
* Định nghĩa: Cho =
AB a; =
BC b Khi = +
AC a b
* Tính chất : * Giao hoán : +
a b = +
b a
* Kết hợp : ( +
a b) +
c = +
(
a b +
c) * Tính chất vectơ –khơng :
a+
0=
a
* Quy tắc điểm : Cho A, B ,O tùy ý, ta có :
• AB=AO OB+ (phép cộng)
• AB OB OA=− (phép trừ)
* Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành = +
AC AB AD
* Vecto đối: Vecto đối vecto
a vecto có độ dài ngược hướng Kí hiệu: −
a Vậy + − =
( ) 0
a a
Chú ý: = −
AB BA
* Tính chất trung điểm tính chất trọng tâm:
• I trung điểm AB ⇔ + =
0 IA IB
• G trọng tâm ∆ABC ⇔ + + =
0 GA GB GC B CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm tổng hai vectơ tổng nhiều vectơ
Phương pháp giải:
Dùng định nghĩa tổng vectơ, quy tắc điểm, quy tắc hbh tính chất của tổng vectơ
Bài tập:
Bài 1: Cho hbh ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD
a) Tìm tổng vectơ
NC
MC;
AM
CD;
AD
NC b) Chứng minh + = +
AM AN AB AD
Bài 2: Cho lục giác ABCDEFF tâm O Chứng minh
+ + + + + =
OF 0
OA OB OC OD OE
Bài 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E Hãy tính tổng + + +
AB BC CD DE
Dạng 2: Tìm vectơ đối hiệu vectơ
Phương pháp giải:
• Theo định nghĩa, tìm hiệu
a -
b, ta làm hai bước sau:
(3)WWW.VNMATH.COM
- Tính tổng + −
( )
a b
• Vận dụng quy tắc − =
OA OB BA với ba điểm O, A, B
Bài Tập:
Bài 1: Cho tam giac ABC Các điểm M, N P trung điểm AB, AC
BC
a) Tìm hiệu − − − −
, , ,
AM AN MN NC MN PN BP CP
b) Phân tích
AM theo vectơ
MN
MP
Bài 2: Cho điểm A, B, C, D Chứng minh − = −
AB CD AC BD
Bài 3: Cho điểm phân biệt A B Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện sau:
a) − =
MA MB BA b) − =
MA MB AB c) + =
0 MA MB
Bài 4: Chứng minh điểm I trung điểm đoạn thẳng AB
= −
IA IB
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ:
Phương pháp giải:
+ Sử dụng qui tắc ba điểm;quy tắc hình bình hành; trung điểm
+ Vận dụng các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP ngược lại; biến đổi hai vế thành đẳng thức; biến đổi đẳng thức cho thành đẳng thức
Bài tập:
Bài 1: Cho điểm A, B, C, D Chứng minh đẳng thức sau:
a) + = +
AC BD AD BC b) + = +
AB CD AD CB c) − = −
AB CD AC BD
Bài 2: Cho điểm A, B, C, D, E, F tùy ý Chứng minh rằng:
+ + = + +
E A
AC BD F F BC ED
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O Chứng minh:
− = −
BD BA OC OB − + =
0
BC BD BA
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm tùy ý Chứng minh:
+ =
AB OA OB + = +
MA MC MB MD
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi M N trung điểm AD BC Chứng
minh rằng:
a) + + =
0
AD MB NA b) − + =
0 CD CA CB Bài 6: Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR : (Bằng nhiều cách khác nhau)
a) + = +
AB CD AD CB b) − = +
AB CD AC DB
c) − = −
AB AD CB CD d) + + + =
0 AB BC CD DA
e) + + = + +
AD BE CF AE BF CD f) + − − + =
AC DE DC CE CB AB
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, M tùy ý Cm: + = +
MA MC MB MD
Bài 8: ∆ABC có G trọng tâm, điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA Chứng minh + + =
0
GM GN GP
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có tâm O CMR:
a) − =
CO OB BA b) − =
AB BC DB
c) − = −
DA DB OD OC d) − + =
0
DA DB DC
Bài 10: Cho ∆ABC Bên ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: + + =
0
RJ IQ PS
Bài 11: Cho lụ giác ABCDEF có tâm O CMR :
a) OA+ OB+ OC+ OD+ OE+ OF= 0 b) OA+ OC+ OE =
0 c) AB+ AO+ AF =
AD d)
MA+
MC+
ME =
MB+
MD+
MF ( M tùy ý )
Bài 12: Cho điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Chứng minh :
a)
AB +
CD +
EA =
CB +
ED
b)
AD +
BE +
CF =
AE +
BF +
CD
c)
AB +
CD +
EF +
GA =
CB +
ED +
GF d)
AB -
AF +
CD -
CB +
EF -
ED =
0
Bài 13: Cho tam giác ABC Gọi M,N,P trung điểm AB, AC, BC CMR: với điểm O
bất kì: + + = + +
OA OB OC OM ON OP
Bài 14 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng B qua A, B’ điểm đối
xứng với C qua B, C’ điểm đối xứng A qua C Với điểm O bất kỳ, CMR:
+ + = + +
' ' '
OA OB OC OA OB OC
Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường
kính AD
a) Chứng minh
HB +
HC =
HD
b) Gọi H’ đối xứng H qua O Chứng minh
HA +
HB +
HC =
' HH Bài 16: CMR: =
AB CD trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trùng
Bài 17: Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO =
a ;
BO =
b
Tính
AB ;
BC ;
CD ;
DA theo
a
b
Bài 18: Cho tam giác ABC Xác định điểm M cho − + =
0 MA MB MC Dạng 4: Tính độ dài vectơ:
Phương pháp giải:
Đưa tổng hiệu vectơ vectơ có độ dài cạnh đa giác
Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC vng A biết AB=a, AC=2a Tính: +
AB AC
−
AB AC
Bài 2: Cho tam giác ABC cạnh a Tính: +
AB BC −
(4)
WWW.VNMATH.COM
Bài 3: Cho tam giác ABC vng A biết AB=a B=600 Tính: +
AB BC
−
AB AC
Bài 4: Cho tam giác ABC cạnh a đường cao AH Tính: +
AB AC ;
+
AB BH ; −
AB AC
Bài 5: Cho hình vng ABCD cạnh a Tính BC +
AB ;
AB -
AC theo a
Bài 6: Cho hình thoi ABCD có BAD=600 cạnh a Gọi O giao điểm hai
đường chéo Tính:
a +
AB AD b −
BA BC c −
OB DC
Bài 7: Cho hình vng ABCD cạnh a có O giao điểm hai đường chéo Tính
a −
OA CB b +
AB DC c −
CD DA
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD
a Với M tùy ý, Hãy chứng minh + = +
MA MC MB MD
b Chứng minh rằng: + = −
AB AD AB AD
Bài 9: Cho véc tơ a
b khác
0 Khi thì:
a) + = +
a b a b ; b) + = −
a b a b ; C) − = −
a b a b
Bài 10: Tìm tính chất tam giác ABC, biết : CA +
CB =
CA -
CB
§ TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT:
* Cho số thực k≠0 ,
a ≠0 Tích số thực k vecto
a vectơ, kí hiệu:
ka xác định:
Nếu k > k
a hướng với
a ; k < k
a ngược hướng với
a
Độ dài: .
k a = k .
a Tính chất :
a) k(m
a) = (km)
a b) (k + m)
a = k
a + m
a
c) k(
a +
b) = k
a + k
b d) k
a =
0 ⇔ k =
a =
0
• b phương
a(
a ≠
0) có số k thỏa
b =k
a
• Điều kiện cần đủ để A , B , C thẳng hàng có số k cho AB =k
AC
• Tính chất trung điểm tính chất trọng tâm:
I trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ: + =
2
MA MB MI
G trọng tâm ∆ABC, với điểm M bất kỳ: + + =
3
MA MB MC MG
• Phân tích vecto theo hai vecto không phương:
Cho
b,
a hai vecto không phương, với
xtùy ý, đó:
x= m
a + n
b ( m, n )
B CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Cmr: + + =
2 3
AB AC AD AC
Bài 2: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến, D trung điểm AM Cm:
a) + + =
2DA DB DC 0 b) + + =
2OA OB OC 4OD( với O tùy ý)
Bài 3: Cho tam giác ABC có G trọng tâm CMR: + + =
3
MA MB MC MG, với M
bất kỳ
Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm đường chéo AC
BD CMR: + =
2
AB CD MI
Bài 5: Gọi I, J trung điểm đoạn thẳng AB CD
Chứng minh rằng: = + = +
IJ AC BD AD BC
Bài 6: CMR G G' trọng tâm ∆ABC ∆A'B'C'
= + +
3GG' AA' BB' CC'
Bài 7: Cho tứ giác ABCD Gọi E,F trung điểm AB, CD O trung điểm EF
CMR: a) = ( + )
1 2
EF AC BD b) + + + =
0 OA OB OC OD
c) + + + =
4
MA MB MC MD MO (M điểm bất kỳ)
Bài 8: Gọi M,N trung điểm AB CD tứ giác ABCD Cmr:
= + = +
2MN AC BD BC AD
Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi M,N,P trung điểm BC, CA, AB
CMR: + + =
0
AM BN CP
Bài 10: CMR: G G’ trọng tâm hai tam giác ABC A’B’C’
thì + + =
' ' ' '
3
AA BB CC GG Suy điều kiện để hai tam giác có trọng tâm
Bài 11: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
G trọng tâm tam giác ABC ⇔ + + =
0 GA GB GC
⇔ + + =
3
MA MB MC MG
(5)WWW.VNMATH.COM
a) Chứng minh tứ giác HCDB hình bình hành b) Chứng minh:
+ =
2
HA HD HO, + + =
2
HA HB HC HO, + + =
OA OB OC OH
c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC CMR: =
3
OH OG
Từ có kết luận điểm O,H,G
Bài 13: Cho tứ giác ABCD
a) Gọi M,N trung điểm AD, BC, chứng minh: = ( + )
1 2
MN AB DC
b) Gọi O điểm nằm đoạn MN OM = 2ON
CMR: − − + =
2 2 0
OA OB OC OD
Bài 14: Cho tam giác A, B, C G trọng tâm tam giác M điểm tuỳ ý
trong mặt phẳng CMR: a) + + =0
GB GB GC b) + + =3
MB MB MC MG
Bài 15: Cho hình bình hành ABCD tâm I = ; =
AO a BO b
a) Chứng minh rằng: + =2
AB AD AI
b) Tính ; ; ; ; ;
AC BD AB BC CD DA theo ; a b
Bài 16: Cho điểm A, B, C, D; M, N trung điểm AB, CD Chứng minh
rằng: + + + =4
AD BD AC BC MN
Bài 17: Gọi O; H; G tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm tam
giác ABC Chứng minh rằng: a) + + =2
HA HB HC HO b) =2
HG GO
Bài 18: Cho tam giác ABC tâm O M điểm tuỳ ý bên tam giác; D, E,
F hình chiếu BC, CA, AB Chứng minh rằng:
2
+ + =
MD ME MF MO
Bài 19: Cho điểm A, B, C, D; I, F trung điểm BC, CD CM:
( )
2 + + + =3
AB AI FA DA DB
Bài 20: Cho tam giác ABC với G trọng tâm; H điểm đối xứng với B qua G CM:
a) 2AC 1AB
3
= −
AH ; 1(AB AC)
3
= − +
CH
b) M trung điểm BC CM: 1AC 5AB
6
= −
MH
Dạng 2: Tìm điểm thỏa đẳng thức vecto cho trước
* Phương pháp tìm điểm M thỏa đẳng thức vecto cho trước:
• B1: Biến đổi đẳng thức cho dạng: =
AM u, A điểm cố định,
u cố định
• B2: Dựng điểm M thỏa =
AM u
Bài Tập:
Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A B tìm điểm K cho: + =
3KA 2KB 0
Bài 2: Cho tam giác ABC
a) Tìm điểm I cho + =
2 0
IA IB
b) Tìm điểm O cho + + =
0 OA OB OC
c) Tìm điểm K cho + =
2
KA KB CB
d) Tìm điểm M cho + + =
2 0
MA MB MC
Bài 3: Cho tứ giác ABCD Tìm điểm O cho + + + =
0 OA OB OC OD Bài 4: Cho tam giác ABC
a) Tìm điểm I cho + =
2IB 3IC 0
b) Tìm điểm J cho − − =
2 0
JA JB JC
c) Tìm điểm K cho + + =
KA KB KC BC
d) Tìm điểm K cho + + =
2
KA KB KC BC
e) Tìm điểm L cho − + =
3LA LB 2LC 0
HD:
c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, với K ta có: + + =
3
KA KB KC KG
e) − + = − + +
3LA LB 2LC (LA LB) 2(LA LC) Sau áp dụng quy tắc điểm hệ thức trung điểm
Bài 5: Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết: 2 −3 =0
MA MB
Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh
AC cho NC=2NA
a) Xác định điểm K cho: +2 −12 =0
AB AC AK
b) Xác định điểm D cho: +4 −12 =0
AB AC KD
Bài 7: Cho điểm A, B, C, D, E Xác định điểm O, I, K cho:
)
)
) 3( )
+ + = + + + =
+ + + + =
a OA OB OC
b IA IB IC ID
c KA KB KC KD KE
Bài 8: Cho tam giác ABC Xác định điểm M, N cho:
a) +2 =0
MA MB b) +2 =
NA NB CB
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả mãn:
3 = + +
AM AB AC AD
Bài 10: Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm O thoả mãn: + + + =0
(6)
WWW.VNMATH.COM Dạng 3: Phân tích vecto theo hai vecto không phương
* Phương pháp: Áp dụng kiến thức: * Quy tắc điểm: = +
AB AO OB (phép cộng)
= −
AB OB OA (phép trừ)
* Quy tắc đường chéo hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành
= +
AC AB AD
* Tính chất trung điểm: I trung điểm AB ⇔ + =
0 IA IB
⇔ + =
2
MA MB MI (M bất kỳ)
* Tính chất trọng tâm: G trọng tâm ∆ABC ⇔ + + =
0 GA GB GC
⇔ MA MB MC++=3MG (M bất kỳ)
Bài Tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Cho điểm D,E,F trung điểm
các cạnh BC, CA, AB I giao điểm AD EF Hãy phân tích vecto
, , ,
AI AG DE DC theo hai vecto
, AE AF
Bài 2: Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC cho =
3
MB MC Hãy phân tích vecto
AM theo hai vecto
, AB AC
Bài 3: Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC cho MB = 2MC Hãy phân tích
vecto
AM theo hai vecto
, AB AC
Bài 4: Cho AK BM hai trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vecto
, ,
AB BC CA theo hai vecto
,
AK BM
Bài 5: Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi I trung điểm đoạn AG, K điểm cạnh AB cho =1
5
AK AB Hãy phân tích
, , ,
AI AK CI CK theo
, CA CB
Bài 6: Cho lục giác ABCDEF tâm O cạnh a
a Phân tích vecto
AD theo hai vecto
, AB AF b Tính độ dài = +
1 1
2 2
u AB BC theo a
Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Phân tích
AM theo hai vecto
, AB AC
Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, N điểm cạnh AC cho
NA = 2NC Gọi K trung điểm MN Phân tích vecto
AK theo
, AB AC
Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, N điểm cạnh AC cho
NC = 2NA Gọi K trung điểm MN a Phân tích vecto
AK theo
, AB AC
b Gọi D trung điểm BC Cm: = +
1 1
4 3
KD AB AC
Bài 10: Cho tam giác ABC Gọi M,N,P trung điểm BC,CA,AB Tính vecto
, ,
AB BC CA theo vecto
, BN CP
Bài 11: Cho hình vng ABCD, E trung điểm CD Hãy phân tích
AE theo hai vecto
, AD AB
Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi G trọng tâm H điểm đối xứng B qua G
a) Chứng minh: = −
2 1
3 3
AH AC AB, = − ( + )
1
3
BH AB AC
b) Gọi M trung điểm BC, chứng minh: = −
1 5
6 6
MH AC AB
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, tâm O đặt = =
,
AB a AD b Hãy tính vecto sau theo
, a b a)
AI (I trung điểm BO) b)
BG (G trọng tâm tam giác OCD)
* ĐS: = + = − +
3 1 1 5
4 4 2 6
AI a b BG a b
Bài 14: Cho tam giác ABC G trọng tâm B1 đối xứng với B qua G M trung
điểm BC Hãy biểu diễn véc tơ AM,
1 1
, , , ,
AG BC CB AB MB qua hai véc tơ
, AB AC
Bài 15: Cho tam giác ABC, gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI J thuộc
BC kéo dài cho 5JB = 2JC a) Tính
,
AI AJ theo hai véc tơ
,
AB AC Từ biểu diễn
,
AB AC theo
, AI AJ b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính
AG theo
, AI AJ
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
* Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ =
.
AB k AC
Để chứng minh điều ta áp dụng hai phương pháp: + Cách 1: Áp dụng quy tắc biến đổi véctơ
(7)WWW.VNMATH.COM
Bài Tập:
Bài : Cho điểm O, A, B, C cho 3OA−2OB−OC=0
CMR: A, B, C thẳng hàng
Bài : Cho tam giác ABC có AM trung tuyến Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK = 1
3AC
a) Phân tích vecto
,
BK BI theo hai vecto
, BA BC
b) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Bài 3: Cho ∆ABC I điểm cạnh AC cho =1
4
CI AC, J điểm mà
= −
1 2
2 3
BJ AC AB
a) Chứng minh = −
3
4
BI AC AB
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng
Bài 4: Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC; D E hai điểm cho:
= =
BD DE EC
a) Chứng minh: + = +
AB AC AD AE
b) Tính véctơ: = + + +
AS AB AD AC AE theo
AI c) Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng
Bài 5: Cho tam giác ABC Đặt = ; =
AB u AC v
a) Gọi P điểm đối xứng với B qua C Tính
AP theo ;
u v?
b) Qọi Q R hai điểm định bởi: ;
2
= =
AQ AC AR AB Tính ;
RP RQ theo ;
u v
c) Suy P, Q, R thẳng hàng
Bài 6: Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J cho: +3 =0
IA IC ,
2 +5 +3 =0
JA JB JC
a) CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N trung điểm AB BC b) CMR: J trung điểm BI
Bài 7: Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J thoả mãn: =2
IA IB;
3 +2 =0
JA JC Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 8: Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P thoả mãn: + =0
MA MB
3 −2 =0; =2
AN AC PB PC Chứng minh: M, N, P thẳng hàng
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm I, J thoả mãn:3 +2 −2 =0
JA JC JD
2
− + =
JA JB JC
Chứng minh : I, J, O thẳng hàng với O giao điểm AC BD
Bài 10: Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P cho: −3 =0
MB MC ,
3
=
AN NC, + =0
PA PB Chứng minh M, N, P thẳng hàng
Bài 11: Cho tam giác ABC điểm M thỏa =3 −2
AM AB AC.Chứng minh B,M,C thẳng hàng
Bài 12: Cho tam giác ABC Gọi M, N điểm thuộc cạnh AB, AC cho
AM=
2MB , AN= 3NC điểm P xác định hệ thức +9 =0
PB PC Gọi K trung điểm MN
a) Chứng minh:
6
= +
AK AB AC
b) Chứng minh : Ba điểm A, K, P thẳng hàng
Bài 13 : Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức
+ = − − =
; 3
BC MA O AB NA AC O Chứng minh MN // AC
Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau: * Phương pháp :
Để chứng minh M M' trùng nhau, ta lựa chọn hai hướng:
+ Cách 1: Chứng minh '=0
MM + Cách 2: Chứng minh = '
OM OM với O điểm tuỳ ý
Bài 1: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD,
DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm
Bài 2: Cho lục giác ABCDEF Gọi M,N,P,Q,R,S trung điểm cạnh AB,
BC, CD, DE, EF, FA Cmr hai tam giác MPR NQS có trọng tâm
Bài 3: Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA Cmr
hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm
Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi I,J trung điểm AB CD
a) CMR: + = + =
2
AC BD AD BC IJ
b) Gọi G trung điểm IJ Cm: + + + =
0
GA GB GC GD
c) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng AC BD, M N trung điểm AD BC CMR: Ba đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm
Dạng 5: Quỹ tích điểm *Phương pháp:
Đối với tốn quỹ tích, học sinh cần nhớ số quỹ tích sau:
- Nếu =
MA MB với A, B cho trước M thuộc đường trung trực đoạn AB - Nếu =
MC k AB với A, B, C cho trước M thuộc đường trịn tâm C, bán kính
k AB
- Nếu =
(8)
WWW.VNMATH.COM
+ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC k∈R
+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC hướng
BC k∈R+
+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng
BC k∈R−
* Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:
a)
2
+ + = +
MA MB MC MB MC
b) +3 −2 = − −
MA MB MC MA MB MC
Bài 2: Cho tam giác ABC M điểm tuỳ ý mặt phẳng
a) CMR: véctơ =3 −5 +2
v MA MB MC khơng đổi
b) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: +2 −2 = −
MA MB MC MB MC
§ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT:
1 Định nghĩa tọa độ vectơ, độ dài đại số vectơ trục
• a=( ;a a1 2)⇔ =a a i a j1.+ 2.
• M có tọa độ (x; y)⇔ = +
. .
OM x i y j
• A x y( A; A) B x y( B; B)⇒ =( − − )
;
B A B A
AB x x y y
2 Tọa độ + −
, , k
a b a b a
* Cho = = ∈
1 2
( ; ), ( ; ), k R
a a a b b b
Ta có: + = + +
1 2
( ; )
a b a b a b ; − = − −
1 2
( ; )
a b a b a b ; =( )
1;
ka ka ka
* Hai vectơ
avà
b (
a≠0) phương ⇔ ∃ ∈k : =
=
1
2
b ka
b ka
3.+ I trung điểm đoạn thẳng AB ta có:
+
=
+
=
2 2
I
A B
A B
I
x x
x
y y
y
+ G trọng tâm tam giác ABC ta có:
+ +
=
+ +
=
3 3
G
A B C
A B C
G
x x x
x
y y y
y
B CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng1: Xác định tọa độ véctơ điểm mp tọa độ Oxy:
Phương pháp giải:
Căn vào định nghĩa tọa độ vectơ tọa độ điểm trêm mp tọa độ Oxy
* Nếu biết tọa độ hai điểm A (xA,yA), B(xB, yB) thị ta tính tọa độ
= − −
: ( B A; B A)
AB AB x x y y
* Nếu M N có tọa độ a, b MN= −b a
Bài tập:
Bài 1: Trên trục (O,
i) cho hai điểm M N có tọa độ -5; tìm tọa độ
điểm P trục cho =1 2 PM
PN
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 chiều cao ứng với cạnh AD=3, góc
BAD=600, chọn hệ trục (A;
,
i j ) cho
i
AD hướng Tìm tọa độ vectơ
, , ,
AB BC CD AC
Bài 3: Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −2 a) Tìm tọa độ
→
AB
b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB c) Tìm tọa độ điểm M cho
→
MA + 5
→
MB = 0
d) Tìm tọa độ điểm N cho 2NA + NB = −1
Bài 4: Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c
a) Tìm tọa độ trung điểm I AB b) Tìm tọa độ điểm M cho
→
MA +
→
MB −
→
MC = 0
c) Tìm tọa độ điểm N cho
→
NA −
→
NB =
→
NC
Bài 5: Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −3 a) Tìm tọa độ điểm M cho MA − MB =
b) Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = AB
Bài 6: Trên trục x'Ox cho điểm A (−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) a) CMR :
AC +
1
AD =
2
AB
b) Gọi I trung điểm AB CMR: IC ID IA =
c) Gọi J trung điểm CD CMR: AC AD =AB AJ
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1) Tìm tọa độ đỉnh D Bài 8: Cho ∆ABC, điểm M(1;0); N(2;2) P(-1;3) trung điểm cạnh BC; CA; AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác
(9)WWW.VNMATH.COM
Bài 10: Cho ∆ABC, điểm A(-5;6); B(-4;-1) C(4;3) Tìm tọa độ trung điểm I AC Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
Bài 11: Cho điểm A(2;5); B(1;1); C(3;3)
a) Tìm tọa độ điểm D cho = −
3 2
AD AB AC
b) Tìm tọa độ điểm E cho tứ giác ABCE hình bình hành Tìm tọa độ tâm hình bình hành
Bài 12: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C nằm Oy trọng tâm G nằm
trên Ox Tìm tọa độ C
Dạng 2: Tìm tọa độ vectơ + −
; ;
u v u v ku
Phương pháp giải: Tính theo cơng thức tọa độ + −
; ; u v u v ku
Bài tập:
Bài 1: Cho = = =
(2;1); (3;4); (7;2)
a b c
a).Tìm tọa độ vectơ = − +
2 3
u a b c
b).Tìm tọa độ vectơ + = −
x a b c
c).Tìm hai số j; k cho = +
c ka lb
Bài 2: Cho = = − = − −
(1;2); ( 3;1); ( 4; 2)
a b c
a) Tìm tọa độ vectơ = − +
2 4
u a b c ; = − + −
1 1
3 2
v a b c ; = + +
3 2 4
u a b c
và xem vectơ vectơ phương với véctơ
i phương với
j b) Tìm số m, n cho = +
a mb nc
Bài 3: Tìm x để cặp vectơ sau phương
a) a=(2;3) µv b=(4; )x
b) u=(0;5) µv b=( ;7)x
c) m=( ; 3) µx − v n= −( 2;2 )x
Bài 4: Biểu diễn véc tơ
c theo véc tơ ; a b biết:
a) (2; 1);− ( 3; 4);− ( 4; 7)−
a b c b) (1;1); (2; 3);− ( 1;3)−
a b c
Bài 5: Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3) Hãy biểu diễn véc tơ AD theo véc tơ
AB;
AC
Bài 6: Biểu diễn véc tơ
c theo véc tơ ; a b biết:
a) ( 4;3);− ( 2; 1);− − (0;5)
a b c b) (4; 2); (5;3); (2; 0)
a b c
Bài 7: Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4) Hãy biểu diễn véc tơ AD theo véc tơ
AB;
AC
Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng:
Phương pháp giải:
Sử dụng điều kiện cần đủ sau:
* Hai vectơ ≠
, 0)
a b phương có số k để =
a kb
* Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k để =
AB k AC
Bài tập:
Bài 1: Cho điểm A(-1;1); B(1;3) C(-2;0) Chứng minh điểm A; B; C thẳng
hàng
Bài 2: Cho điểm M(4 7;
3 3); N(2;1) P(1;3) Chứng minh điểm M; N; P
thẳng hàng
Bài 3: Cho điểm A(3; 4); B(2; 5) C(1; 5) Tìm x để (-7; x) thuộc đường thẳng AB Bài 4: Cho điểm A(-3; 4); B(1; 1) C(9; -5)
a) Chứng minh điểm A; B; C thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D cho A trung điểm BD c) Tìm tọa độ điểm E trục Ox cho A; B; E thẳng hàng
Bài 5: Cho A(2;1); B(6;-1) Tìm toạ độ:
a) Điểm M trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b) Điểm N trục tung cho A, B, N thẳng hàng
c) Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hàng PA=2
Bài 6: Cho A(-1;-4); B(3;4) Tìm toạ độ:
a) Điểm M trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b) Điểm N trục tung cho A, B, N thẳng hàng
c) Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hàng PA=3
Bài 7: Tìm điểm P đường thẳng (d): x+y=0 cho tổng khoảng cách từ P tới A
và B nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) B(-2;-4) b) A(1;1) B(3;-2)
Dạng 4: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, độ dài:
Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)
a) Xác định toạ độ điểm E cho =2
AE BC
b) Xác định toạ độ điểm F cho AF=CF=5
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1) Xác định toạ độ:
a) Trọng tâm G
b) Véc tơ trung tuyến AA1
c) Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác d) Điểm D cho ABCD hình bình hành
Bài 3: Cho M(1+2t; 1+3t) Hãy tìm điểm M cho xM2 +y nhỏ M2
Bài 4: Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;3
(10)WWW.VNMATH.COM
a) CM: ∆ABC vng b) Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC
Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2) Tìm toạ độ của:
a) Trọng tâm G tam giác b) Vectơ trung tuyến ứng với cạnh BC
c) Điểm D cho ABCD hình bình hành d) Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC e) Điểm M biết: =2 −3
CM AB AC
f) Điểm N biết: +2 −4 =0
AN BN CN
Bài 6: Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D cho
ABCD hình bình hành
Bài Tập Tổng Hợp: Bài 1: Trong hệ trục Oxy , cho A(1; 2), B(-2; 3), C(-4;6)
a) Tìm tọa độ AB+2BC−3AC
b) Tìm tọa độ trung điểm M BC
c) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC d) Biểu diễn AG
theo AB AC,
e) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành Tìm tọa độ tâm I hình bình hành
f) Tìm tọa độ điểm E thuộc Ox cho ABCE hình thang Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo hình thang
Bài 2: Trong hệ trục toạ độ oxy , cho tam giác ABC có A(4 ;-1) , B(-2 ;- 4), C( -2;2) a) Tính chu vi tam giác ABC
b) Tìm toạ độ trực tâm H tam giác ABC c) Tìm toạ độ điểm I biết +3 +2 =0
AI BI CI
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8)
a) Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác
b) Tìm D để BCGD hình bình hành Biểu diễn
AG theo hai ,
AB AD
c) Tìm tọa độ M thỏa + +2 + = −5
AM AG MB CM BC
d) Tìm N thuộc cạnh BC cho diện tích tam giác ANB gấp lần diện tích tam giác ANC
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1;2); B(2;3) C(1; -4)
a) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành
b) Tìm tọa độ điểm N trục hoành cho ba điểm A, B, N thẳng hàng c) Tìm tọa độ M thuộc BC thỏa S∆AMB =7S∆ABC
d) Gọi M, P trung điểm cuả AB BC Phân tích
AC theo hai vectơ AP
và
CM
Bài 5: : Cho hai điểm A(3 , 4) ; B(2 ; )
a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua B
b) Tìm toạ độ điểm D Ox cho điểm A , B , D thẳng hàng
c) Tìm toạ độ điểm C cho O trọng tâm tam giác ABC
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 0), B(2; -4),
C(0; -2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC M, N, P
trung điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh hai tam giác ABC tam giác MNP có trọng tâm
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2) Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox B
thuộc Oy cho G trọng tâm tam giác OAB
Bài 8: Trong hệ trục Oxy cho véctơ a=(2; 1),− b= − −( 1; 3),c=(3;1)
a) Tìm toạ độ véctơ u= +a b v, = − +a b c w, =2a− +3b 4 c
b) Biểu diễn véctơ c
theo hai véctơ a
b
c) Tìm toạ độ véctơ d
cho a+2d = −b 3c
Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A ( 1;3) , B ( -5; 7) , C ( 3; )
a) Xác định toạ độ điểm M cho AB−2AC+AM =0
b) Xác định toạ độ điểm P trục tung cho P thẳng hàng với A B
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8)
a) Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác
b) Tìm D để BCGD hình bình hành Biểu diễn
AG theo hai ,
AB AD
c) Tìm tọa độ M thỏa + +2 + = −5
AM AG MB CM BC
Hết
