ôn tập môn đại số

c) Tìm tập ảnh của ánh xạ.. Chứng minh rằng các tập con sau là các không gian con của  3. Tính các định thức.. Hệ nào trong số các hệ véc tơ sau là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình[r]

(1)

ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ PHẦN A

GV: Hoàng Phi Dũng

Bài Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh sau đơn ánh khơng tồn ánh

a)  

x f x

x  

 ; b)  

2 x f x

x  



Bài Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh sau tồn ánh khơng đơn ánh

a)  

1 x f x

x  



; b)  

2 3 1

1

x x

f x

x   



Bài Cho ánh xạ f :33 có cơng thức xác định ảnh sau f x y z , ,  2 xyz, x 3y2 ,z x4y2z

a) Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh song ánh

b) Viết cơng thức xác định f1 c) Tìm tập ảnh ánh xạ

d) Xác định tập f1 

Bài Hãy xác định  cho u tổ hợp tuyến tính u u u1, 2, 3: a) u(7, 2, );  u1 (2,3,5),u2 (3, 7,8),u3 (1, 6,1) b) u(1,3,5); u1 (3, 2,5),u2 (2, 4, 7),u3 (5, 6, )

Bài Chứng minh v v1, 2,v3 sở 3, tìm toạ độ u sở a) u(6,9,14); v1 (1,1,1),v2 (1,1, 2),v3 (1, 2, 3)

b) u(6,9,14); v1 (1,1, 2),v2 (1, 2,3),v3 (1,1,1) Bài Tìm chiều sở không gian 4

a) Các véc tơ có dạng (a,b,c,0)

b) Các véc tơ có dạng (a,b,c,d) với d ab cab c) Các véc tơ có dạng (a,b,c,d) với ca2b d 0

Bài Tìm chiều sở không gian sinh hệ véc tơ sau: a) v1(2, 4,1),v2 (3, 6, 2), v3  ( 1, 2, 2)

(2)

a) Nếu  v v1, 2 độc lập tuyến tính  v1v2, v1v2 độc lập tuyến tính b) Nếu  v v v1, 2, 3 độc lập tuyến tính  v1v2,v2v3, v3v1 độc lập tuyến tính

Bài Chứng minh tập sau không gian 3

V ( , , )x y z 3 x2y z 0, W ( , , )x y z 3 3x  y z 0

a) Tìm sở ,V W V, W

b) Tìm số chiều khơng gian ,V W V, W c) Tính W1W2

Bài 10 Cho W W1, 2 hai không gian véc tơ 4 xác định sau:

  

1 ( , , , ) , , , ;

W  x y z t x y z t  y  z t ;

  

2 ( , , , ) , , , ; 0,

W  x y z t x y z t  x  y z  t

Tìm sở chiều không gian véc tơ W W1, 2 W1W2 Tính W1W2

Bài 11 Trong không gian 4 xét:

 

span (1, 0, 0,2);(0,2,1, 1);( 1, 6, 3,7)

V    , W span (3,2, 0,1);(1,2,1,1) 

Tìm số chiều V W V, , W Bài 12 Cho

3

A    

 

,

0

B     

 

,

1 1

C      

 

Tính 3A4B2C

Bài 13 Cho

1 3 A

 

 

  

 

 

,

0 2 B

 

 

 

 

 

,

2 C



 

 

 

  

 

Tính:

a) (AB)C ; b) A(BC) ; c) A B Ct, t, t ; d) A Bt ; e) BCt

Bài 14 Trong không gian véc tơ M2 ma trận vng cấp Tìm tọa độ ma trận

4 A  



 

sở 1 1      

, 1



 

 

 

, 1 0



 

 

 

, 0

 

 

 

(3)

a)

0 1 1 1 1 1 1

; b)

2

3

5

4



 

; c)

7 6 3 7 3 5 7 2 5 4 3 5 5 6 5 4

; d)

6 5 8 4 9 7 5 2 7 5 3 7 4 8 8 3



  

Bài 16 Cho

1 3 6

t A t t                     

a) Tìm giá trị t để A khả nghịch b) Khi t 3 tìm A1

Bài 17 Tìm hạng ma trận sau:

a,

0 1 1 1 1 1 1

            ; b)

4

8

4

8 6

                      ; c)

3

1

1 10 17

4 3

m            

Bài 18 Các ma trận sau có khả nghịch khơng, khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo:

a)

1

2

C              ; b)

1 2 3 D           

Bài 19 Giải hệ phương trình sau:

a)

1

2

4

8 12

3 2

x x x x

                      

; b)

1

2 13

5

2 3

3

x x x x

                        

Bài 20 Tìm điều kiện , ,a b c để hệ phương trình sau có nghiệm:

a)

2

2 11

2

x y z a

x y z b

x y z c

             

; b)

2

3

x y z a

x y z b

x y z c

             

Bài 21 Đặt V1, V2 hai khơng gian nghiệm hệ phương trình (I) hệ phương trình (II) sau:

1

4

( )

5

x x x x

I x x x x

x x x

                ,

1

2 3

( )

3 4

x x x x

II x x x x

x x x x

(4)

Hãy tìm sở, số chiều khơng gian V1, V2, V1V2

Bài 22 Tìm hệ nghiệm số chiều không gian nghiệm của hệ phương trình sau:

a)

1

2 20

4 15

2

x x x x

   

 

   



    



; b)

2

x y z t

   

 

   



;

Bài 23 a) Chứng tỏ v1(1, 2,3),v2 (2, 5,3),v3 (1, 0,10) sở 3

b) Tìm công thức xác định ảnh ( , , )f x y z ánh xạ tuyến tính f :33 biết ( )f v1 (1, 0, 0), f v( 2)(0,1, 0), (f v3)(0, 0,1)

Bài 24 Cho hệ phương trình

1

2

0

3

5 3

2

x x x x x

x x x x

    



     

 

    



    



Hệ số hệ véc tơ sau hệ nghiệm hệ phương trình

a) 11, 2,1, 0, ;  2 1, 2, 0,1, ;  3 0, 0,1, 1, ;  4 1, 2, 3, 2, ;   b) 11, 2,1, 0, ;  2 4, 0, 0, 6, ;  3 0, 0, 1,1, ; 

Bài 25 Cho phép biến đổi tuyến tính f :33 có ma trận tắc

0 1 0 A

 

 

 

 

 

Hãy tìm ma trận f sở v v v1, 2, 3; Với v1(1,1,1), v2 (1,1, 0), v3 (1, 0, 0) Bài 26 Viết ma trận dạng toàn phương Q sở tắc 3 Tìm sở

của 3để biểu thức tọa độ Q sở có dạng tắc:

2 2

( , y, z) 4

Q x x  y  z  xy xz a) Bằng phương pháp Lagrange;

b) Bằng phương pháp Jacobi

Bài 27 Rút gọn sau vẽ sơ đồ mạng công thức đại số Boole sau:

a Ayzx'z  xz'yx y zy'z  yz'x b By'z  yz'xx'z  xz'y

Bài 28 Cho ánh xạ tuyến tính f :4 3 xác định bởi:

(5)

a) Viết ma trận f sở tắc 4 3 b) Tìm sở Kerf Imf

Bài 29 Tìm ma trận trực giao P cho P APt ma trận chéo Trong

a

7 2 2 2 5 0 2 0 5

A



 

 

  

 

 

; b

0 2 2 2 3 1 2 1 3

A

 

 

  

  

 

; c

5 1 2 1 5 2 2 2 2

A



 

 

  

 

 

Bài 30 Giả sử w1, ,wn hệ trực chuẩn v véc tơ không gian véc tơ Euclide V Chứng minh

1

,

n n

k k k k

k k

v v w w v a w

 

   , với số thực

1, , n

a a

Bài 31 Tìm ma trận trực giao T cho T1AT ma trận chéo Trong

a

7 2 2 2 5 0 2 0 5

A



 

 

  

 

 

, b

0 2 2 2 3 1 2 1 3

A

 

 

  

  

 

, c

5 1 2 1 5 2 2 2 2

A



 

 

  

 

 

Bài 32 Trong không gian véc tơ Euclide V, ,

a) Chứng minh bất đẳng thức hình bình hành uv  uv 2 u 2 v b) Công thức dạng cực , 1 1

4 4

u v  uv  uv c) u  v uv u, v 0

d) uv  u 2 v u v, 0

e) Với u,v,wV , uv 2 uw2  w v 2

Bài 33 Cho định thức Vandermond

1 1

1

1 1 1

n n

n n n

n

x x x

D

x  x  x 



Chứng minh:

1

1 1

( ) ( ) ( )

n k n n

n i j k i k i

j i n k i i k i

D x x x x x x

 

       

   

        

   

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	161,16 KB