c) Tìm tập ảnh của ánh xạ.. Chứng minh rằng các tập con sau là các không gian con của 3. Tính các định thức.. Hệ nào trong số các hệ véc tơ sau là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình[r]
(1)ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ
PHẦN AGV: Hoàng Phi Dũng
Bài Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh sau đơn ánh khơng tồn ánh
a)
x f x
x
; b)
2 x f x
x
Bài Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh sau tồn ánh khơng đơn ánh
a)
1 x f x
x
; b)
2 3 1
1
x x
f x
x
Bài Cho ánh xạ f :33 có cơng thức xác định ảnh sau f x y z
, ,
2
xyz, x 3y2 ,z x4y2z
a) Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh song ánh
b) Viết cơng thức xác định f1 c) Tìm tập ảnh ánh xạ
d) Xác định tập f1
Bài Hãy xác định
chou
tổ hợp tuyến tínhu u u
1,
2,
3: a) u(7, 2, ); u1 (2,3,5),u2 (3, 7,8),u3 (1, 6,1) b) u(1,3,5); u1 (3, 2,5),u2 (2, 4, 7),u3 (5, 6, )Bài Chứng minh
v v1, 2,v3
sở
3, tìm toạ độu
sở a) u(6,9,14); v1 (1,1,1),v2 (1,1, 2),v3 (1, 2, 3)b) u(6,9,14); v1 (1,1, 2),v2 (1, 2,3),v3 (1,1,1) Bài Tìm chiều sở không gian 4
a) Các véc tơ có dạng
(
a
,
b
,
c
,
0
)
b) Các véc tơ có dạng
(
a
,
b
,
c
,
d
)
vớid
a
b
c
a
b
c) Các véc tơ có dạng(
a
,
b
,
c
,
d
)
với ca2b d 0Bài Tìm chiều sở không gian sinh hệ véc tơ sau: a) v1(2, 4,1),v2 (3, 6, 2), v3 ( 1, 2, 2)
(2)a) Nếu
v v1, 2
độc lập tuyến tính
v1v2, v1v2
độc lập tuyến tính b) Nếu
v v v1, 2, 3
độc lập tuyến tính
v1v2,v2v3, v3v1
độc lập tuyến tínhBài Chứng minh tập sau không gian 3
V
( , , )x y z 3 x2y z 0
, W
( , , )x y z 3 3x y z 0
a) Tìm sở ,V W V, W
b) Tìm số chiều khơng gian ,V W V, W c) Tính W1W2
Bài 10 Cho W W1, 2 hai không gian véc tơ 4 xác định sau:
1 ( , , , ) , , , ;
W x y z t x y z t y z t ;
2 ( , , , ) , , , ; 0,
W x y z t x y z t x y z t
Tìm sở chiều không gian véc tơ W W1, 2 W1W2 Tính W1W2
Bài 11 Trong không gian 4 xét:
span (1, 0, 0,2);(0,2,1, 1);( 1, 6, 3,7)
V , W span (3,2, 0,1);(1,2,1,1)
Tìm số chiều V W V, , W Bài 12 Cho
3
A
,
0
B
,
1 1
C
Tính 3A4B2C
Bài 13 Cho
1 3 A
,
0 2 B
,
2 C
Tính:
a) (AB)C ; b) A(BC) ; c) A B Ct, t, t ; d) A Bt ; e) BCt
Bài 14 Trong không gian véc tơ
M
2 ma trận vng cấp Tìm tọa độ ma trận4 A
sở 1 1
, 1
, 1 0
, 0
(3)
a)
0 1 1 1 1 1 1
; b)
2
3
5
4
; c)
7
6
3
7
3
5
7
2
5
4
3
5
5
6
5
4
; d)
6
5
8
4
9
7
5
2
7
5
3
7
4
8
8
3
Bài 16 Cho
1 3 6
t A t t
a) Tìm giá trị t để A khả nghịch b) Khi t 3 tìm A1
Bài 17 Tìm hạng ma trận sau:
a,
0 1 1 1 1 1 1
; b)
4
8
8
4
8 6
; c)
3
1
1 10 17
4 3
m
Bài 18 Các ma trận sau có khả nghịch khơng, khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo:
a)
1
1
2
C ; b)
1 2 3 D
Bài 19 Giải hệ phương trình sau:
a)
1
1
1
1
2
4
8 12
3 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
; b)
1
1
1
1
2 13
5
2 3
3
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Bài 20 Tìm điều kiện , ,a b c để hệ phương trình sau có nghiệm:
a)
2
2 11
2
x y z a
x y z b
x y z c
; b)
2
2
3
x y z a
x y z b
x y z c
Bài 21 Đặt V1, V2 hai khơng gian nghiệm hệ phương trình (I) hệ phương trình (II) sau:
1
1
1
4
( )
5
x x x x
I x x x x
x x x
,
1
1
1
2 3
( )
3 4
x x x x
II x x x x
x x x x
(4)Hãy tìm sở, số chiều khơng gian V1, V2, V1V2
Bài 22 Tìm hệ nghiệm số chiều không gian nghiệm của hệ phương trình sau:
a)
1
1
1
2 20
4 15
2
x x x x
x x x x
x x x x
; b)
2
x y z t
x y z t
;
Bài 23 a) Chứng tỏ v1(1, 2,3),v2 (2, 5,3),v3 (1, 0,10) sở 3
b) Tìm công thức xác định ảnh ( , , )f x y z ánh xạ tuyến tính f :33 biết ( )f v1 (1, 0, 0), f v( 2)(0,1, 0), (f v3)(0, 0,1)
Bài 24 Cho hệ phương trình
1
1
1
2
0
3
5 3
2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
Hệ số hệ véc tơ sau hệ nghiệm hệ phương trình
a) 1
1, 2,1, 0, ;
2
1, 2, 0,1, ;
3
0, 0,1, 1, ;
4
1, 2, 3, 2, ;
b) 1
1, 2,1, 0, ;
2
4, 0, 0, 6, ;
3
0, 0, 1,1, ;
Bài 25 Cho phép biến đổi tuyến tính f :33 có ma trận tắc
0 1 0 A
Hãy tìm ma trận f sở
v v v1, 2, 3
; Với v1(1,1,1), v2 (1,1, 0), v3 (1, 0, 0) Bài 26 Viết ma trận dạng toàn phương Q sở tắc 3 Tìm sởcủa 3để biểu thức tọa độ Q sở có dạng tắc:
2 2
( , y, z) 4
Q x x y z xy xz a) Bằng phương pháp Lagrange;
b) Bằng phương pháp Jacobi
Bài 27 Rút gọn sau vẽ sơ đồ mạng công thức đại số Boole sau:
a A
yz
x'z
xz'
y
x y z
y'z
yz'
x
b B
y'z
yz'
x
x'z
xz'
y
Bài 28 Cho ánh xạ tuyến tính
f
:
4
3 xác định bởi: (5)a) Viết ma trận f sở tắc
4
3 b) Tìm sở Kerf ImfBài 29 Tìm ma trận trực giao P cho P APt ma trận chéo Trong
a
7
2
2
2
5
0
2
0
5
A
; b
0
2
2
2
3
1
2
1
3
A
; c
5
1 2
1
5
2
2
2
2
A
Bài 30 Giả sử
w
1, ,
w
n
hệ trực chuẩnv
véc tơ không gian véc tơ EuclideV
Chứng minh1
,
n n
k k k k
k k
v
v w
w
v
a w
, với số thực1
, ,
na
a
Bài 31 Tìm ma trận trực giao T cho T1AT ma trận chéo Trong
a
7
2
2
2
5
0
2
0
5
A
, b
0
2
2
2
3
1
2
1
3
A
, c
5
1 2
1
5
2
2
2
2
A
Bài 32 Trong không gian véc tơ Euclide
V
,
,
a) Chứng minh bất đẳng thức hình bình hành
u
v
u
v
2
u
2
v
b) Công thức dạng cực,
1
1
4
4
u v
u
v
u
v
c)u
v
u
v u
,
v
0
d)
u
v
u
2
v
u v
,
0
e) Với
u
,
v
,
w
V
,u
v
2
u
w
2
w v
2
Bài 33 Cho định thức Vandermond
1 1
1
1
1
1
n n
n n n
n
x
x
x
D
x
x
x
Chứng minh:
1
1 1
(
)
(
)
(
)
n k n n
n i j k i k i
j i n k i i k i
D
x
x
x
x
x
x
