Tài liệu ôn tập môn đại số sơ cấp

Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 1 ÔN TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Chương 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC TOÁN HỌC Bài 1: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013 – 2014, vòng 1) 1. Cho biểu thức 3 2 2 3 3 a b a a b b ab a a b Q a b ab a a b a                với 0 a  , 0 b  , a b . Chứng minh giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a và b 2. Cho các số thực a, b, c thỏa 0 a b c    . Chứng minh đẳng thức     2 2 2 2 4 4 4 2 a b c a b c      1. Chứng minh giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a và b Điều kiện xác định: 0 a  , 0 b  , a b Với điều kiện trên ta có: 3 2 2 3 3 a b a a b b ab a a b Q a b ab a a b a                        3 3 3 3 3 2 3 a b a b a b a a a b a a b             3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 1 3 a a b a b b a b a b a a b              3 2 2 3 3 3 3 3 1 3 a a b a b a b a a b         2 2 3 3 1a a b b a b a b                 2 2 3 3 3 3 a b a a b b a b a b a b                 3 3 3 3 3 3 0 a b a b a b a b        Vậy: Q không phụ thuộc vào a và b Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 2 2. Chứng minh     2 2 2 2 4 4 4 2 a b c a b c      với 0 a b c    Ta có:     2 2 2 2 2 a b c a b c ab bc ca         Theo giả thiết thì 0 a b c    nên có   2 2 2 2 0 a b c ab bc ca       Hay:   2 2 2 2 a b c ab bc ca       Suy ra:     2 2 2 2 2 4 a b c ab bc ca        2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 a b b c c a ab c bc a ca b           2 2 2 2 2 2 4 8 a b b c c a abc a b c        2 2 2 2 2 2 4 a b b c c a    (vì 0 a b c    ) Mặt khác:     2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b b c c a                2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 a b c a b c a b b c c a                2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c              2 2 2 2 4 4 4 2 a b c a b c      Vậy: đẳng thức được chứng minh Bài 2: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013 – 2014, vòng 2) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai biểu thức.     a b b c c a abc     (1) Và     3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b b c c a a b c     (2) Chứng minh rằng: 0 abc  Ta có:     3 3 2 2 a b a b a ab b          3 3 2 2 b c b c b bc c          3 3 2 2 c a c a c ca a      Nhân vế theo vế ta được:     3 3 3 3 3 3 a b b c c a             2 2 2 2 2 2 a b b c c a a ab b b bc c c ca a           (3) Thay các đẳng thức (1) và (2) vào (3) cho:     3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c abc a ab b b bc c c ca a             2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 abc a ab b b bc c c ca a a b c             Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 3      2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 (4) 0 (5) abc a ab b b bc c c ca a a b c              (4) thỏa yêu cầu bài toán. Xét phương trình (5) Ta có:   2 0 a b    2 2 2 0 a b ab     2 2 2a b ab   Suy ra: 2 2 a ab b ab   Tương tự ta cũng có: 2 2 b bc c bc   và 2 2 c ca a ca   Nhân vế theo vế ta được:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a a b c        Hay:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a ab b b bc c c ca a a b c         Dấu đẳng thức xãy ra khi a b c  Thay vào (1) ta được 3 3 8 a a  0 a    b c  Suy ra: 0 abc  Vậy: 0 abc  Bài 3: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2013 – 2014, vòng 1) Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức     8 a b b c c a abc     . Chứng minh rằng:          3 4 a b c ab bc ca a b b c c a a b b c b c c a c a a b                Ta có:                a b c b c a c a b a b c VT a b b c c a a b b c b c c a c a a b                            ab ac bc ba ca cb a b b c b c c a c a a b                      ab bc ca a b b c b c c a c a a b                   ac ba cb a b b c b c c a c a a b          (1) Từ     8 a b b c c a abc     , suy ra          8 8 8 ac c a a b b c b ba b a b c c a c cb c b c a a b a                        Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 4 Cộng vế theo vế ta được:          ac ba cb a b b c b c c a c a a b                1 8 8 c a ac a b ab b c bc c a a b b c b c a abc                   2 2 2 2 2 2 8 c a a c a b b a b c c b abc       (2) Ta lại có:     8 a b b c c a abc      2 2 2 2 2 2 8 abc a b ac a c b c b a bc abc abc          2 2 2 2 2 2 6 a b ac a c b c b a bc abc       Thay vào (2) ta được:          6 3 8 4 ac ba cb abc a b b c b c c a c a a b abc           Thay vào (1) ta được:          3 4 ab bc ca VT VP a b b c b c c a c a a b            Vậy: đẳng thức được chứng minh Bài 4: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái năm 2013 – 2014) Cho biểu thức     1 3 3 1 : a a b a a P a ab b a a b b a b a ab b                    Tìm điều kiện của a , b để P có nghĩa, sau đó rút gọn P Điều kiện của a , b để P có nghĩa là 0 a  , 0 b  và a b Với điều kiện trên ta có:     1 3 3 1 : a a b a a P a ab b a a b b a b a ab b                          2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 : a a b a a b a a ab b a b a b a b a b                         3 3 2 3 3 3 3 3 . 1 a ab a a ab b a b a b a a b                     2 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 . . 1 1 a b a ab b a b a b a b a b a a b a a b              1 1a   Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 5 Vậy: 1 1 P a   Bài 5: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Bắc Giang – Bắc Giang năm 2013 – 2014) Cho biểu thức 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x A x x x x x x                  1. Tìm x để A có nghĩa, sau đó rút gọn A 2. Tính giá trị của biểu thức A khi 3 1 2 2 x   1. Điều kiện của x để A có nghĩa: 2 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 x x x x x x                     1 1 0 0 x x x x              1 1 0 x x        Với điều kiện trên ta có: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x A x x x x x x                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x                   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x                      2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x                               1 1 1 1 1 1 1 1 2 x x x x x x x x x                           2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x      Vậy: 2 2 1 x A x   2. Tính giá trị của biểu thức A khi 3 1 2 2 x   Ta có: 2 2 3 1 4 2 3 8 2 2 x             Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 6 Suy ra:   2 2 3 1 4 2 3 4 2 3 1 1 8 8 8 x         Nên:   2 2 3 1 3 1 1 8 2 2 x      (vì 3 1 0  ) Thay vào A ta được:     2 2 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 2 2 2 3 1 2 3 1 3 1 2 2 x A x             Vậy:   2 3 1 A   Bài 6: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Cao Bằng – Cao Bằng năm 2013 – 2014) Cho       2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 a a a a a x a a               1. Tìm điều kiện của a để x có nghĩa? 2. Tính giá trị của biểu thức 4 2 8 A x x    ? 1. Tìm điều kiện của a để x có nghĩa: 2 1 0 1 0 1 0 0 a a a a                1 1 0 a a a           1 1 0 a a        Với điều kiện trên ta có:       2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 a a a a a x a a                     2 3 3 2 2 2 1 1 1 2 2 1 a a a a a                        2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 a a a a a a a a a                        2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 a a a a a a a a a               Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 7     2 1 1 1 1 2 a a a a a           1 1 1 1 2 a a a a a            1 1 2 2 2 2 a a a a a         2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x      Vậy: 2 x  2. Tính giá trị của biểu thức 4 2 8 A x x    Thay 2 x  vào biểu thức ta được:     4 2 4 2 8 2 2 8 4 2 8 10 A x x           Vậy: 10 A  Bài 7: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Lào Cai – Lào Cai năm 2013 – 2014) 1. Tìm điều kiện của x , y để       3 3 2 3 x y x x y y x y xy y P x y x x y y          có nghĩa? Sau đó rút gọn P ? 2. Tính x biết 3 3 3 1 3 4 3 2 x    ? 1. Tìm điều kiện của x , y để P có nghĩa: 0 0 0 0 0 x y x y x x x y x y                   0 0 0 0 x y x y x y                0 0 x y x y         Với điều kiện trên ta có:       3 3 2 3 x y x x y y x y xy y P x y x x y y            3 3 3 3 3 2 3 x y x y y x y x y x y x y                  Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 8         3 3 3 3 3 2 3 x y x y x y x y y x y x y x y x y                      3 3 3 3 3 2 3 x y x y y x y x y        3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 x y x y y x x y y x y x y          3 3 3 3 3 3 3 x x y y x y x y x y            3 3 x x xy y y x y x y x xy y           3 3 3 3 x y y x x y x y x y         Vậy: 3 P  2. Tính x biết 3 3 3 1 3 4 3 2 x    Ta có:   3 3 3 3 3 3 2 1 2 3 4 3 2 1 1 3 4 3 2         Do đó:   3 3 3 3 3 1 3 4 3 2 2 1 x      Suy ra: 3 2 1 x   Vậy: 3 2 1 x   Bài 8: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam năm 2013 – 2014) Cho biểu thức:     2 2 3 3 2 3 2 2 2 3 a a a b b a b a M a ab        1. Tìm điều kiện của a , b để M có nghĩa? Sau đó rút gọn M ? 2. Tính giá trị của biểu thức M khi biết 1 3 2 a   và 11 8 10 3 b   ? 1. Tìm điều kiện của a , b để M có nghĩa: 0 0 2 3 0 a b a ab           0 0 0 0 a b a b             0 0 a b      Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 9 Với điều kiện trên ta có:     2 2 3 3 2 3 2 2 2 3 a a a b b a b a M a ab          2 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 3 a a ab ab b a a a b               2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 a b a b a b a a b a a b        2 3 3 2 a b b a a     Vậy: 3 2 b M a   2. Tính giá trị của biểu thức M khi biết 1 3 2 a   và 11 8 10 3 b   Ta có: 3 30 11 8 30 22 2 b          2 30 22 2 3 2 1 3 30 22 2 102 68 2 6 4 2 2 2 17 17 1 3 2 b a             Suy ra:   2 3 2 2 2 2 b a     Thay vào M ta được:   3 2 2 2 2 2 b M a        Vậy: 2M   Bài 9: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị năm 2013 – 2014) Hãy tính: 3 2 2 2 1 A x x    với 3 3 1 23 513 23 513 1 3 4 4 x              Đặt: 3 23 513 4 a   , 3 23 513 4 b   và y a b  Thì:   1 1 3 x y   . Hay 3 1y x  Mặt khác:     3 3 3 3 3 y a b a b ab a b      3 3 23 513 23 513 23 513 23 513 3 4 4 4 4 y        23 3 2 y  Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 10 Thay 3 1y x  vào ta được:     3 23 3 1 3 3 1 2 x x      3 2 23 27 27 9 1 9 3 2 x x x x       3 2 2 2 1 2 x x    Vậy: 3 2 2 2 1 2 A x x     Bài 10: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Trần Hưng Đạo – Bình Thuận năm 2013 – 2014) Rút gọn: 1 1 1 1 4 6 6 8 8 10 2014 2016 A          Trục căn ở mẫu ta được: 1 1 1 1 4 6 6 8 8 10 2014 2016 A          6 4 8 6 10 8 2016 2014 2 2 2 2            1 6 4 8 6 10 8 2016 2014 2              1 1 2016 4 12 14 2 6 14 1 2 2       Vậy: 6 14 1 A   Bài 11: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Nam – Đà Nẵng, NXBHN 1997”) Tìm điều kiện xác đinh và rút gọn biểu thức:   2 2 2 1 2 2 2 2 3 3 4 4 n n a a a a M a a a a a                   Điều kiện xác định của M 1 2 2 3 0 4 4 0 0 n n a a a a a                    2 3 0 4 1 0 1 0 n a a a a a               0 3 1 0 1 a a a a a               0 1 3 a a a          Với điều kiện trên ta có:   2 2 2 1 2 2 2 2 3 3 4 4 n n a a a a M a a a a a                               2 1 2 2 2 3 3 1 4 1 n a a a a a a a a a a a                    [...]... Khanh 13 Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp PHẦN BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 16: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý ôn, Quảng Nam – Đà Nẵng, NXBHN 1997”) 1 Chứng minh: a 2  3 a 4b 2  b 2  3 a 2 b 4  2 Chứng minh: nếu ax 3  by 3  cz 3 và 3  3 a2  3 b2 3  1 1 1    1 thì: x y z ax 2  by 2  cz 2  3 a  3 b  3 c Bài 17: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải... (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý ôn, Quảng Nam – Đà Nẵng, NXBHN 1997”) 1 Cho a  log 6 15 , b  log12 18 Tính log 25 24 2 Cho a  log 2 3 , b  log 2 5 Tính log ĐS: log 25 24  log 10 30 5b 2  a  ab  2b  1 30  10 2  a  b  1 b 1 Biên soạn: Trần Hữu Khanh 14 Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Bài 20: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần.. .Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp   M  a  1 a  2   1  3    a  1 a  2   a  3      a n  a  3  a  1 a  a  1  a n  a  3  a  a  1   Vậy:  a  1 a  2   4  a  1  3    a n  a  3  4  a  1 a  1 a  a  1  a2 a2  n 1 aa n a a2 a n 1 Bài 12: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý ôn, Quảng... a   1 a a a 2 N 0 Bài 12: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý ôn, Quảng Nam – Đà Nẵng, NXBHN 1997”) Tìm điều kiện xác đinh và rút gọn biểu thức: 1 1 2 1 n P  x x x : x 3 x 3 x 3    n Điều kiện xác định của P x  0  x0  x  0 Biên soạn: Trần Hữu Khanh 11 Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Với điều kiện trên ta có: 1 1 1 2 1 3 n 1 1 x 2... 2 Do đó, điều kiện xác định của A là: x 1  0 x  1 x  1   2  x  4  x  1  0   x  2   x  2 x 1  0 x  1   Với điều kiện trên ta có: Biên soạn: Trần Hữu Khanh 12 Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp A  x  4  x  1  x  4  x  1  1  1   2  x 1  x  4  x  1   2 x 1 1    x  2  2 x 1  1 2 x 1 1  x 1  1 x  2 x2 x 1 x 1 1  x 1  x 1 1 x... a  3 b  3 c Bài 17: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý ôn, Quảng Nam – Đà Nẵng, NXBHN 1997”) Cho log ab a  3 Tính log ab a  ĐS: log ab a   5 a b 8 5 Bài 18: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý ôn, Quảng Nam – Đà Nẵng, NXBHN 1997”) Chứng minh các hệ thức sau: 1 Cho a 2  b 2  c 2 , 0  a  b  1 ,... ta được: 2n 1 P x 2n 3n 1 x 2n 1 3n 1  n 2n 2.3 1 x 1 1 1   2n 2 2.3n 1  x2  1 1  2.3n 2n n x 2.3 Vậy: Px 1 1 1   2 2.3n 2n Bài 13: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý ôn, Quảng Nam – Đà Nẵng, NXBHN 1997”) Tìm điều kiện xác đinh và rút gọn biểu thức: A x  4  x  1  x  4  x  1  1  1   2  x 1  x  4  x  1 Với x  1 ta... ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Với điều kiện trên ta có: 1 1 1 2 1 3 n 1 1 x 2 x 4 x 2 P  x x x : x x 3 x 3     1 3 1 1 32  3n x x x n 1 1 1    n 4 2 n x2 1 x3  1 32   1 3n Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta được: 1 1 1 n 1 n n 1 1 1 1 1 2  2  1  1  2 1    n  2 4 2 2 1 1 2 1 2n 2n 2 2 1 1 1 1 n 1 n 1 n n 1 1 1 1 1 3  3  3  3 1  2   n  3 3 3 3 1 1...  x  2  2 x x 1   2  x 1 ,    2 ,  x 1  Vậy:  2  x 1 ,  A  2 ,  x 1  khi x  2 khi 1  x  2 khi x  2 khi 1  x  2 Bài 15: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý ôn, Quảng Nam – Đà Nẵng, NXBHN 1997”) 1 Rút gọn biểu thức: B  2  a  b  1  ab  1 2 2 2  1 a b  1      với a  0 , b  0 a   4 b     Điều kiện xác... viên THPT Chuyên Lê Quý ôn, Quảng Nam – Đà Nẵng, NXBHN 1997”) Chứng minh các đẳng thức sau: 1 Cho a  0 , b  0 thỏa a 2  4b 2  23ab và 0  N  1 Chứng minh rằng: log N a  2b 1   log N a  log N b  log N 3 3 2 2 Cho a  0 , b  0 thỏa a 2  4b 2  12ab và 0  N  1 Chứng minh rằng: log N  a  2b   2 log N a  1  log N a  log N b  2 Bài 21: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá . Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 1 ÔN TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Chương 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC TOÁN. Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 14 PHẦN BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 16: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý ôn, . b b     Tài liệu ôn tập môn Đại Số Sơ Cấp Biên soạn: Trần Hữu Khanh 15 Bài 20: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý ôn, Quảng Nam