Bài giảng Giải tích B1

Khi người ta yêu cầu chứng minh điều A, ta có thể giả thiết tạm rằng không có A rồi suy ra điều mâu thuẫn (với một giả thiết ngầm)... Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân C[r]

GIẢI TÍCH B1

Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier

Số thực Chuỗi số

Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier

Số thực

I Tập hợp

I Số thực

I Vài qui tắc suy luận

Tập hợp

Tập hợp dùng để mô tả quần thể đối tượng phân biệt mà tư thể chọn vẹn

I ChoAlà tập hợp, ta viếtx ∈Acó nghĩa làx phần tử viếtx ∈/ Acó nghĩa làx khơng phải phần tử củaA I Để diễn tả tập hợpngười ta dùng dấu móc{ .} Trong dấu

móc ta liệt kê tất phần tử tập hợp {x1,x2, ,xn}, nêu lên thuộc tính chung (P)

phần tử tập hợp cách viết {x :x thỏa mãnP}

I Ta quy ướctập rỗng (hay tập trống) tập hợp khơng có

Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier

Tập hợp

Tập hợp trùng

Ta nói tập A tập B trùng (hay nhau) viết

A=B (đọc Abằng B) chúng có phần tử, tức

làx∈Akhi khix ∈B Khi chúng khơng trùng ta viếtA6=B

Tập

Ta nói A tập B phần tử A phần tử

củaB Khi ta viếtA⊆B (đọc:Anằm trongB),B ⊇A(đọc

B chứa A) NếuA⊆B A6=B ta nói Alà tập thật

củaB Quy ước: tập rỗng tập tập

Hợp hai tập

Hợp hai tậpAvàB ký hiệu làA∪B (đọc: AhợpB) tập gồm tất phần tử thuộcAhoặc thuộcB Nghĩa là,

A∪B ={x :x ∈Ahoặc x∈B} Giao hai tập

Giao hai tập A B ký hiệu làA∩B (đọc: A giap

B) tập gồm tất phần tử vừa thuộc tậpAlại vừa thuộc tập B Vậy A∩B ={x :x∈Avà x∈B}

Phần bù

Phần bù củaA B ký hiệu B\A tập gồm tất

cả phần tử thuộc tậpB không thuộc tậpA Đôi

người ta gọi B\A hiệu B A Vậy B \A = {x :x ∈

Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier

Tập hợp

Tính chất phép tính ChoA,B C tập hợp Khi ta có:

I Tính kết hợp

I A∪(B∪C) = (A∪B)∪C, I A∩(B∩C) = (A∩B)∩C I Tính giao hốn

I A∪B=B∪A,

I A∩B=B∩A

I Tính phân phối

Tích tập hợp

Cho tập hợpA B Tập hợp tất cặp điểm(a,b), với

a∈Avà b∈B, lập thành tập hợp gọi làtích hai

tập A B, ký hiệu A×B Như vậy, phần tử

z tập tích B ln biểu diễn dạng z = (a,b), với

Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier

Số thực

I Ký hiệu Nlà tập số tự nhiênvà Z tập cácsố nguyên

I Theo định nghĩa số hữu tỷ số có dạng mn n∈N,

m∈Zvà (m,n) =1 (ước số chung lớn củam n 1, hay m n hai số nguyên tố nhau) Ta ký hiệu Qlà

tập số hữu tỷ.Những số không biểu diễn dạng

trên gọi số vô tỷ

I Các phép tính TrongRcũng trongQcũng có bốn phép tính số học bản: cộng, trừ, nhân chia Các phép tính có tính chất sau:

I Giao hoán: a+b=b+avàab=ba

I Kết hợp:(a+b) +c=a+ (b+c)và(ab)c=a(bc) I Phân phối:a(b+c) =ab+ac

I Thứ tự Bất hai phần tử a,b (thuộc QhoặcR) so sánha>b (alớn hơnb),a=b (abằngb) a<b

(anhỏ hơnb) Thứ tự (>) có tính chất sau: I Bắc cầu:a>b, b>c thìa>c

Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier

Số thực

Tập giới nội

Ta nóiA⊆Rbị chặn trênnếu có sốαđểa≤αvới mọia∈A;

sốα gọi làcận trêncủaA Tương tự Abị chặn

nếu có sốβ (gọi làcận dưới) đểa≥β với mọia∈A Một

tập vừa bị chặn vừa bị chặn gọi bị chặn hay giới

Biên

Biên A, ký hiệu supA, cận nhỏ A Nếu supA ∈ A viết maxA thay cho supA Đây số lớn A

Biên

Biên A, ký hiệu infA, cận lớn A Nếu infA ∈ A viết minA thay cho infA Đây số nhỏ A

Tiên đề tồn biên

Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier

Vài qui tắc suy luận

Phủ định tồn

I Mệnh đề “∃x∈D,T(x)” (đọc có mộtx thuộcD mang tính chấtT(x)) phủ định thành “∀x ∈D,T(x)” (đọc làtất x thuộc D khơng có tính chấtT(x)) I Mệnh đề “A∨B” (đọc A hay B, hàm ý có

một hai điềuA hayB xảy ra) phủ định thành

Phủ định mệnh đề bắt đầu ∀

I Mệnh đề “∀x∈D,T(x)” (đọc mọix thuộcD có tính chấtT(x)) phủ định thành “∃x ∈D,T(x)” (đọc làtồn phần tửx thuộcD khơng có tính chất

T(x))

I Mệnh đề “A∧B” (đọc A B, hàm ý hai điều

Avà B xảy ra) phủ định thành “A∨B” (đọc khơng-A hay khơng-B, hàm ý có điều A

Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier

Vài qui tắc suy luận

Phủ định nhân-quả

Mệnh đề “A⇒B” (hễ có A phải có B) phủ định thành “A∧B” (có A mà khơng có B)

Phép chứng minh qui nạp Giả sử rằng:

I Mệnh đềT(n0)

I HễT(k)xảy thìT(k+1) phải xảy (hàm ý với sốk ≥n0, mệnh đề “T(k)⇒T(k+1)” đúng)

Phép phản chứng kiểu phản đảo

I Mệnh đề “A⇒B” (hễ có A phải có B) nghĩa với

“B⇒A” (nếu khơng có B khơng có A)

I Áp dụng: người ta cho điều A yêu cầu chứng minh

điều B, ta giả sử phản chứng khơng có điều B suy luận dẫn đến khơng có điều A (trái với giả thiết) Vậy phải có điều B

Phép phản chứng trực tiếp

Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier

Bài tập áp dụng qui tắc suy luận đề tài số thực I

1 a) Cho số tự nhiên m Chứng minh nếum2 chẵn thìm

cũng số chẵn

b) Chứng minh số phương chẵn số phương chia hết cho

2 Chứng minh không tồn phân số dạng m

n, vớimvà n

là số tự nhiên (n6=0), thỏam

n

2

=2

3 Cho α >−1 vàn số tự nhiên tùy ý lớn Dùng phép qui nạp, chứng minh bất đẳng thức Bernouli:

(1+α)n>1+nα

4 Cho số athỏa ∀ε >0,|a|< ε Chứng minha=0

5 Chứng minh hai mệnh đề sau tương đương: Mệnh đề

6 Chứng minh hai mệnh đề sau tương đương: Mệnh đề “∀ε >0,a< ε”, mệnh đề “∀ε >0,a≤ε”

7 Chứng minh hai mệnh đề sau tương đương: Mệnh đề

“∀ε >0,a< ε”, mệnh đề “∀ε >0,a≤ ε 2”

8 Chứng minh bất đẳng thức sau (bất đẳng thức tam

giác

a) |x+y| ≤ |x|+|y| b) |x| − |y| ≤ |x−y|

c) ||a| − |b|| ≤ |a−b|

9 a) Dùng ký hiệu ∀hay ∃ để biểu thị phát biểu sau sau:

I Tập hợp A bị chặn

Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier

Bài tập áp dụng qui tắc suy luận đề tài số thực III

b) Cho A= [0,1) Số 999

1000 có phải cận A khơng?

Tại sao?

c) Chứng minh không tồn maxAvà chứng minh supA=1

d) Số tập A?

10 a) Dùng ký hiệu ∀hay ∃ để biểu thị phát biểu sau: I Tập hợp A bị chặn

I Sốαkhông phải cận tập A I Sốαkhông phải phần tử nhỏ A b) Cho A= (1,2] Số 1000

999 có phải cận A không?

Tại sao?

c) Chứng minh không tồn minA chứng minh infA=1

d) Số tập A? 11 Cho A=