Bai tap giai tich 12

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng -2.. 3..[r]

Bài tập giải tích 12.

Bài tập ứng dụng đạo hàm

Dạng 1: Sự đồng biến nghịch biến hàm số

Bài Xét đồng biến nghịch biến hàm số

1 y=2 x2−3 x +5 2 y=4+3 x − x2

3 y=1

3x

3

− x2+8 x −2 y=x4−2 x2+3 y=3 x+1

1 − x y=

x2−2 x

x −1

7 y=4 x − 1+

x − 1 y=x2 e− x

9 y=x +sin x 10 y=x ln x

Bài Tìm m để hàm số

1 y=x2+mx+1 đồng biến khoảng (1 ;+∞)

2 y=m x2−(m+6)x +3 nghịch biến khoảng

(−1 ;+∞) y=1

3x

3

− x2+mx− 2 đồng biến a) R

b) khoảng (− ∞;1) y=1

3x

3

+(m−1)x2+(m+3) x − 4 đồng biến khoảng (0 ;3) Bài Chứng minh hàm số

y= x

x2+1 đồng biến khoảng (−1 ;1) nghịch biến khoảng (− ∞ − 1) (1 ;+∞)

y=

√

2 x − x2 đồng biến khoảng (0 ;1) nghịch biến khoảng (1 ;2) .

Dạng 2: Cực đại cực tiểu.

Bài Áp dụng dấu hiệu I, tìm điểm cực trị hàm số y=2 x3− x2− x +1 y=x4− x2+2 y=x +1

x

1− x¿2

y=x3¿ Bài Áp dụng dấu hiệu II, tìm điểm cực trị hàm số y=x4− x2+1 y=sin x − x

Bài Chứng minh hàm số y=−

√

5x4 khơng có đạo hàm x=0 đạt cực đại điểm

Bài Xác định m để hàm số y=x

2

+mx+1

x +m đạt cực đại x=2

2 y=1

3x

3− mx2

+(m2− m+1)x +1 đạt cực tiểu x=1 y=x

2

− x +m x+1

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có hai cực trị hai cực trị trái dấu y=x3− x2+3 (m+2) x − m− 6

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có hai cực trị hai cực trị dấu y=− x +m

√

x2+1 có cực tiểu

Bài Chứng minh với giá trị tham số m hàm số y=x

2−(m2− 1)

x −m ln có cực đại cực tiểu

2 y=x

2

+2 x +m

x2+2 ln có cực đại cực tiểu

Dạng 3: Tìm đường tiệm cận

Bài Tìm tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số sau y=3 x −2

2 x +1 y=

x+2 x2−1

3 y=1 −2 x

2 x − 4 y=

3 x −2 1− x

Bài Tìm tiệm cân đưungs tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau y=3 x

2

−2 x+4

x+2 y=

− x2+4 x −3

x −2

Bài Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau y=x3+2 x2+x+1

x +2 y=

2 x2−8 x +11 x2− x +5

3 y= x − 2

x2−2 x +1

x −1¿3 ¿

y=x

3

− 4

5 y=

√

x2− x +2 y= x +1

√

x2− 4

7 y=

√

3 x3+9 x2− x −1 y=x +

√

x2− x

Dạng 4: Tìm GTLN – GTNN chứng minh bất đẳng thức.

Bài Chứng minh bất đẳng thức sau:

1 ex≥1+x với x thuộc R x −1>ln x>1 −1

x với x>1

3 cos x ≥ −x

2

2 với x thuộc R sin x>x −x

3

6 với x>0 x −x

2

2 ≤ ln(1+x)≤ x với x>0

6 Cho a+b=2 Chứng minh a4+b4≥ 2 Bài Tìm GTLN – GTNN

1 y=x3− x2−9 x +35 đoạn

[

−4 ; 4

]

y=

|

x2−3 x+2

|

đoạn

[

−10 ;10

]

3 y=

√

5 − x đoạn

[

−1 ;1

]

y=sin x − x đoạn

[

−π

2;

π

2

]

y=2 sin x −4

3sin

3

x đoạn

[

0 ;π

]

y=x4−3 x3− x2+9 x đoạn

[

−4 ;4

]

7 y=3 x +

√

10− x2 trên R y=(x+2)

√

4 − x2 R

9 y=(3 − x)

√

x2+1 đoạn

[

0 ;2

]

10 y=

√

16 − x2 đoạn

[

−2 ; 3

]

11 y= x

9+x2 R 12 y=cos x − cos x R

13 y=sin x +

√

3 cos x+2 R 14 y=x +

√

6 − x2 R

15 y=x +1 −

x +2 đoạn

[

0 ;2

]

16 y= x

2+cos x đoạn

[

0;

π

2

]

17 y=− x+

x − 1 đoạn

[

2;5

]

18 y=

√

− x2+6 x − R

19 y=ln(x2−3 x −4 ) đoạn

[

5;6

]

20 y=cos2x +4 sin x+4 R

21 y=x2−2 x +5

1 − x đoạn

[

2; 4

]

22 y=

x +1

√

x2+1 đoạn

[

−1 ;2

]

23 y=3+

√

x2− x +5 R 24 y=sin4

x − sin2x+5 R 25 y=x2− x +1

x − 1 (1 ;+∞)

Loại Hàm số bậc ba.

Bài Cho hàm số y=x3+3 x2+1 (1) Khảo sát hàm số

2 Từ gốc toạ độ kẻ tiếp tuyến đồ thị (1) Viết phương trình tiếp tuyến

3 Dựa vào đồ thị (1), biện luận số nghiệm phương trình theo m : x3−3 x2

+m=0

Bài Cho hàm số y=x3− x2+2 (C)

1 Khảo sát hàm số (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn (C)

3 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(0; 3)

4 Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=− x +1 Bài Cho hàm số y=x3− mx2+3(2 m− 1) x+1 (Cm)

1 Khảo sát hàm số m=1

2 Xác định m cho hàm số đồng biến tập xác định

3 Xác định m cho hàm số có cực đại cực tiểu Tìm toạ độ điểm cực tiểu Bài Cho hàm số y=x3+mx2+1 (Cm)

1 Khảo sát hàm số m=−3

2 Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y=− x+1 điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho tiếp

tuyến với (Cm) B C vng góc với Bài Cho hàm số y=2 x3− x2 (C)

1 Khảo sát hàm số (C)

2 Một đường thẳng d qua gốc tọa độ O có hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm đường thẳng d với đồ thị (C) hàm số

3 Khi đường thẳng d tiếp xúc với (C) điểm A khác gốc tọa độ O, tính diện tích hình phẳng giới hạn cung OA tiếp tuyến

4 Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

y=−

12x +5 Bài Cho hàm số y=1

3x

3

− mx2+3 x (Cm)

1 Khảo sát hàm số (C) m=1

2 Tìm giá trị m để hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu

3 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm x=2

Loại Hàm số trùng phương.

Bài Cho hàm số y=1

2x

4

−3 x2+3

2 (C) Khảo sát hàm số (C)

3 Tìm tiếp tuyến (C) qua điểm A (0 ;3

2) Bài Cho hàm số y=− x4+2 mx2− 2m+1 (C

m)

1 Khảo sát hàm số m=5

2 Biện luận theo m số cực trị hàm số

3 Xác định m cho (Cm) cắt trục hồnh bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng

Xác định cấp số cộng Bài Cho hàm số y=mx2− x4

1 Khảo sát hàm số (C) m=2

2 Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A (− 2;− 16)

3 Tìm m để hàm số có cực trị Bài Cho hàm số y=x4+2(m−2) x2

+m2− m+5 (Cm)

1 Khảo sát hàm số (C) m=1

2 Tìm m để (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt

Bài Cho hàm số y=a+bx2−x4

4 với a, b tham số Khảo sát hàm số (C) a=1 ,b=2

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: 1+2 x2−x

4

4 =m Tìm a, b để hàm số cho đạt cực trị x=2

Bài Cho hàm số x2−3¿2+m

y=¿ (Cm) Khảo sát hàm số (C) m=1

2 Viết phương tình tiếp tuyến đường cong (C) điểm A (− 1; 4) B (1; 4) \ Tìm m để (Cm) qua điểm N(1; 0)

Bài Cho hàm số y=− x4+2 mx2− 2m −1 (Cm)

1 Khảo sát hàm số (C) m=1

2 Chứng minh (Cm) qua hai điểm cố định A, B với giá trị m Tìm m để tiếp tuyến A, B (Cm) vng góc với

Loại Hàm số phân thức y=ax +b

cx +d (c ≠ ;ad − bc ≠ 0) Bài Cho hàm số y=2 x +1

x − 1 (C)

1 Khảo sát hàm số (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm M(2; 5)

Bài Cho hàm số y= x

1− x (C) Khảo sát hàm số (C)

2 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm (-1; 0) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm đồ thị (C) d

Bài Cho hàm số y=ax +b

1 − x (C)

1 Tìm giá trị a, b để (C) cắt trục tung điểm A(0; -1) tiếp tuyến A có hệ số góc -3 Khảo sát hàm số với giá trị a, b vừa tìm

2 Đường thẳng d có hệ số góc m qua điểm B(-2; 2) Với giá trị m d cắt (C)

3 Nếu d cắt (C) hai điểm phân biệt, tìm tập hợp trung điểm đoạn thẳng nối hai giao điểm Bài Cho hàm số y=3 x −2

x +1 (C)

1 Khảo sát hàm số (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ -2

3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-1; 3) Bài Cho hàm số y=(2 m− 1) x − m

2

x −1 (1)

1 Khảo sát hàm số (1) m=−1