Tuyển chọn 100 bài toán hình học giải tích phẳng oxyz - Nguyễn Minh Tiến

Biết diện tích tam giác ABC bằng ba lần diện tích tam giác IBC với I là tâm đường tròn (T ) và điểm A có tung độ dương.[r]

(1)

TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC

SẮC

Giáoviên:NguyễnMinhTiến

(2)

Đề 01: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cóA(1; 5), điểm B nằm đường thẳng (d1) : 2x+y+ = chân đường cao hạ đỉnh B xuống đường thẳng AC nằm đường thẳng(d2) : 2x+y−8 = Biết điểm M(3; 0) trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh B C tam giác

Lời giải tham khảo :

Gọi điểmB(a;−2a−1)∈(d1) ĐiểmH(b; 8−2b)∈(d2)

Ta có M trung điểm BC⇒ C(6−a; 2a+ 1) Ta cóH ∈AC nên−−→AH và−−→HC phương

−−→

AH = (b−1; 3−2b) vàHC−−→= (6−a−b; 2a+ 2b−7)

−−→

AH và−−→HC phương ⇒ b−1

6−a−b =

3−2b

2a+ 2b−7 ⇔a= 11−6b (1) H chân đường cao hạ từ B xuống AC⇒AH⊥BH ⇔−−→AH.−−→BH =

−−→

BH = (b−a; 2a−2b+ 9)⇒−−→AH.−−→BH = 0⇔(b−1) (b−a) + (3−2b) (2a−2b+ 9) =

⇔5b2−5ab−25ab+ 7a+ 27 = (2) Thay (1)vào (2)ta 5b2−5b(11−6b)−25b+ (11−6a) + 27 =

⇔35b2−122b+ 104 = 0⇔ 

 

b= b= 52

35 Thay ngược lại ta có điểmB vàCcần tìm

Đề 02 : Trong hệ tọa độ Oxy hình thang cân ABCD có diện tích 45

2 , đáy lớn CD nằm đường thẳng (d) :x−3y−3 = Biết hai đường chéo AC BD vng góc với cắt điểm I(2; 3) Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hồnh độ dương

ABCD hình thang cân⇒ tam giác ICD vuông cân I Ta cóCD= 2d(I;CD) = 2.|2−√3.3−3|

10 =

√

10⇒IC =√20

(3)

Đặt IA=IB=x⇒SIAB = 2x

2;SIAD =x√5 =SIBC;SICD= 10

⇒SABCD = 2x

2+ 2x√5 + 10 = 45 ⇔





x=√5 (tm) x=−5√5 (loai)

⇒ DI

IB = 2⇒

−→

DI = 2−→IB (∗) GọiB(b; 2b−1)∈BD từ (∗)⇒B(3; 5)

Phương trình đường thẳng BC qua B C ⇒BC: 4x+ 3y−27 = Bài toán giải xong

Đề 03 (k2pi Lần 15 - 2014) : Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng AD là(d) : 3x−4y−7 = Gọi E điểm nằm bên hình vng ABCD cho tam giác EBC cân cóBEC\= 150o Viết phương trình đường thẳng AB biết điểmE(2;−4)

Tam giác BEC cân có \BEC= 150o ⇒ tam giác BEC cân E

Gọi H hình chiếu E lên AD ⇒H trung điểm AD vàHE =d(E;AD) = Đặt cạnh hình vng AB=x

Tam giác BEC cân E có \BEC= 150o ⇒\EBC = 15o Gọi I trung điểm BC⇒BI = x 2;EI = x−3

Tam giác BIE vng I có gócEBI[ = 15o ⇒tan 15o = EI BI =

(4)

⇒2−√3 = 2x−6

x ⇔x=

√

3

Phương trình đường thẳng EH qua điểm E vng góc với AD ⇒EH : 4x+ 3y+ = Đường thẳng AB // EH ⇒ AB có dạng(d) : 4x+ 3y+α=

Ta cód(E, AB) = |α−4|

5 =BI =

√

3⇔α= 4±5√3 Phương trình đường thẳng AB là(d) : 4x+ 3y+ 4±5√3 = Bài toán giải xong

Đề 04: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B phân giác kẻ từ C có phương trình là(d1) : 3x−4y+ 27 = 0; (d2) : 4x+ 5y−3 = 0; (d3) :x+ 2y−5 = Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta cóAH⊥BC ⇒BC có vtcp −→u4 = (3;−4)

Gọi−→u5 = (a;b)là vtcp đường thẳng AC Ta có CD phân giác góc C

⇒cos (−→u3,−→u4) = cos (u3,→− −→u5) −→u3= (2;−1)

⇒ √|2a−b|

5.√a2+b2 = 10

√

5.√25 ⇔



 

b= b=−4

3a Vớib=−4

3a⇒chọn

− →

u5 = (3;−4)loại trùng với−→u4 Vớib= 0⇒ −→u5 = (1; 0)

ĐiểmA∈(d1)⇒A(−1 + 4a; + 3a) vàC∈(d3)⇒C(5−2c;c)⇒−→AC = (6−2c−4a;c−3a−6) Ta có−→u5

−→

AC phương⇒c−3a−6 = (1) M trung điểm AC⇒M

4a+ 4−2c

2 ;

3a+c+

(5)

⇒4.4a+ 4−2c +

3a+c+

2 −3 = 0⇔31a−3a+ 40 = (2) Từ(1) và(2)⇒a= 1;c= 3⇒A(−5; 3) ;C(−1; 3)

Phương trình đường thẳng BC qua C vng góc với AH⇒BC : 4x+ 3y−5 = B giao điểm BM BC⇒B(2;−1)

Bài toán cở : Biết tọa độ đỉnh tam giác tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Tâm I

−3;−13

8

vàR=

√

65

Đề 05: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB BC (d1) : 7x−y+ 17 = 0; (d2) :x−3y−9 = Viết phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh C tam giác ABC biết điểmM(2;−1)nằm đường thẳng AC

Đường thẳng AB có vtpt là−n→1 = (7;−1), BC có vtpt −→n2= (1;−3) Gọi−n→3 = (a;b) vtpt đường thẳng AC

Tam giác ABC cân A ⇒cos (−→n1,n2) = cos (→− −n2,→ −n3)→ ⇒ √ 10

50.√10 =

|a−3b| √

10.√a2+b2

⇔a2+ 6ab−7b2= 0⇔ 



a=b a=−7b

X Vớia=−7b chọn n3→− = (7;−1)loại phương với−→n1

X Vớia=bchọn −→n3 = (1; 1)⇒ đường thẳngAC :x+y−1 =

Tọa độ C giao điểm BC AC⇒C(3;−2)

Phương trình đường cao xuất phát từ C (d) :x+ 7y+ 11 =

Đề 06 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao đường phân giác xuất phát từ đỉnh A (d1) :x−2y= 0; (d2) :x−y+ = Biết điểm M(1; 0) nằm cạnh AB diện tích tam giác ABC 180

7 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

(6)

A giao điểm của(d1) (d2)⇒ tọa độ điểm A(−2;−1) Qua M kẻ đường thẳng⊥(d2) cắt(d2) I AC N MN qua M ⊥(d2)⇒(M N) :x+y−1 =

I giao điểm MN và(d2)⇒I(0; 1) I trung điểm MN ⇒N(−1; 2)

Phương trình đường thẳng (AB) :x−3y−1 = 0và (AC) : 3x−y+ = ĐiểmB ∈AB⇒B(3a+ 1;a), điểmC ∈AC ⇒C(b; 3b+ 5)

Ta cóBC⊥AH ⇔−−→AH⊥BC−−→⇔−−→AH.−BC−→=

−−→

AH = (2; 1) ;−BC−→= (b−3a−1; 3b+ 5−a)

⇒2 (b−3a−1) + (3b+ 5−a) = 0⇔5b−7a+ = (1) Ta cóSABC =

1

2d(C, AB).AB =

|8b+ 14| √

10

q

(3a+ 3)2+ (a+ 1)2= 180

7 (2)

Từ(1) và(2)⇒ 

 

a= a=−22

7

thay ngược lại ta có điểm A, B, C

Bài toán giải xong

Đề 07 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vng A có AC = 2AB, phương trình đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình (d) : 2x−y+ = 0, điểmG

0;1

là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hồnh độ bé

−2

(7)

Gọi −→n1 vtpt đường thẳng (d) ⇒ −→n1 = (2;−1) −→n2 = (a;b) vtpt đường thẳng BG

⇒cos (−n→1,−n→2) =

√

2 ⇒

|2a−b| √

5.√a2+b2 =

√

2

⇔3a2−8ab−3b2 = 0⇔ 

 

a= 3b a=−1

3b

X Vớia= 3bchọn −→n2= (3; 1)⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt −n2→⇒BG: 9x+y−1 =

B giao điểm AB BG⇒   

 

x=−4

3 y= 13

3

loại hoành độ điểm B nhỏ hơn−2

X Vớia=−b

3 chọn

−→

n2 = (1;−3)⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt −n2→⇒BG:x−3y+ = B giao điểm AB BG⇒B(−4;−1)( thỏa mãn )

M trung điểm AC⇒M(3a−1;a)∈BG ta có −BG−→=

−−→

BM ⇒M(2; 1)

Phương trình đường thẳng AC qua điểm M vng góc với AB ⇒AC:x+ 2y−4 = Tọa độ điểm A giao điểm AC AB⇒A(−2; 3)⇒C(6;−1)

Đề 08 ( k2pi Lần 14 - 2014) : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm B

1 2;

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA AB D, E F Biết điểm D(3; 1) phương trình đường thẳng EF có phương trình là(d) :y−3 = Tìm tọa độ đỉnh A biết đỉnh A có tung độ khơng âm

Phương trình đường thẳng BC qua điểm B D⇒BC :y−1 = 0⇒BC//EF Do tam giác ABC cân A D trung điểm BC

(8)

ĐiểmE(a; 3)∈EF ta có BE =BD⇒

a−1

2

+ 22= 25 ⇔

a−1

2 = ⇔  

a= a=−1 X a= 2⇒ phương trình AB qua điểm B E ⇒AB: 4x−3y+ =

A giao điểm AB AD⇒A

3;13

X a=−1⇒ phương trình AB qua điểm B E ⇒AB: 4x+ 3y−5 =

A giao điểm AB AD⇒A

3;−7

3

( loại)

Vậy điểm A

3;13

Đề 09 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB điểm A(1; 5), phương trình đường chéo BD là3x+ 4y−13 = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật biết B có hồnh độ âm

Xét tam giác ABD vuông A cóBD2 =AB2+AD2 = 5AB2 ⇒BD=AB√5

⇒cosABD\= AB BD =

1

√

5

Phương trình đường chéo BD có vtpt−n1→= (3; 4) Gọi−→n = (a;b) vtpt đường thẳng AB

⇒cos\ABD= |3a+ 4b| 5.√a2+b2 =

1

√

5 ⇔4a

2+ 24ab+ 11b2= 0⇔



 

a=−11

2 b a=−1

2b

X Vớia=−11

2 b chọn

−

→n = (11;−2)⇒ đường thẳng AB có phương trình 11x−2y−1 = 0

Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒B

5; 14

loại B có hồnh độ âm

X Vớia=−1

2bchọn

−

→n = (1;−2)⇒ đường thẳng AB có phương trìnhx−2y+ = 0

(9)

Phương trình đường thẳng AD qua điểm A vng góc với AB⇒AD: 2x+y−7 = Tọa độ điểm D giao điểm AD BD ⇒D(3; 1)

Trung điểm I BD có tọa độI

1;5

⇒C(1; 0) Vậy B(−1; 4) ;D(3; 1) ;C(1; 0)

Đề 10 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo BD (d) : x− y = Đường thẳng AB qua điểm P 1;√3, đường thẳng CD qua điểm Q −2;−2√3

Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết độ dàiAB =AC điểm B có hồnh độ lớn

Ta cóAB=AC ⇒ tam giácABC ⇒\ABC = 60o ⇒\ABD= 30o

Đường thẳng BD có vtpt−n1→= (1;−1) Giả sử−→n = (a;b) vtpt củaAB

⇒cos (−n→1,−→n) =

|a−b| √

2.√a2+b2 =

√

3 ⇔a

2+ 4ab+b2 = 0⇔a= −2±√3

b X Với a = −2−√3

b chọn −→n = −2−√3;

đường thẳng AB qua điểm P có vtpt −→n ⇒

AB: +√3x−y−2 =

Tọa độ điểm B giao điểm AB vàBD⇒B

2 +√3;

2 +√3

loại doxB>1

X Với a = −2 +√3b chọn −→n = −2 +√3; đường thẳng AB qua điểm P có vtpt −→n ⇒

AB: 2−√3

x−y−2 + 2√3 =

Tọa độ điểm B giao điểm AB vàBD⇒B(2; 2)thỏa mãn Ta cóCD // AB vàCD qua điểmQ⇒CD: 2−√3

x−y+ 4−4√3 =

(10)

Phương trình đường chéoAC qua điểmK vng góc với BD⇒AC :x+y+ = Tọa độ điểmA giao điểm củaAB AC⇒Ặ )

Tọa độ điểmC giao điểm CD AC⇒C( ) Bài toán giải xong

Đề 11: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giácABC cóA(5; 2)phương trình đường trung trực cạnhBCvà trung tuyến xuất phát từ đỉnhClần lượt là(d1) : 2x+y−5 = 0; (d2) :x+y−6 = 0.Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC

Giả sử điểmB(a;b) Ta có trung điểm củaAB làM

a+ ;

b+ 2

∈(d2)

⇒ a+

2 + b+

2 −6 = 0⇔a+b−7 = 0⇔b= 7−a⇒B(a; 7−a) Lấy điểmC(c; 6−c)∈(d2)

(d1) trung trực củaBC ⇒ trung điểm củaBC làN

a+c ;

13−a−c

∈(d1)

⇒a+c+13−a−c

2 −5 = 0⇔a+c+ = (1) (d1) trung trực củaBC ⇒BC⊥(d1)⇒

−−→

BC⊥−→ud1 ta có −→

ud1 = (1;−2) ; −−→

BC = (c−a;a−1−c)

⇒c−a−2 (a−1−c) = 0⇔3c−3a+ = (2)

Từ(1) và(2)ta có

 



c+a=−3 3c−3a=−2

⇔   

 

a=−7

6 c=−11

6

⇒ tọa độ điểm B C Bài toán giải xong

Đề 12 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(−1;−3), trực tâm H(1;−1) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I(2;−2) Xác định tọa độ đỉnh B, C tam giácABC

Gọi D điểm đối xứng với A qua I ⇒ AD đường kính đường trịn tâm I I trung điểm AD⇒D(5;−1)

AD đường kính đường trịn tâm I ⇒CD⊥AC, H trực tâm⇒BH⊥AC ⇒CD//BH

(11)

⇒ trung điểm M DH trung điểm BC ta có M(3;−1)

Phương trình đường thẳng BC qua điểm M vng góc với AH⇒BC :x+y−2 = Phương trình đường trịn tâm I có bán kínhIA=√10

⇒(C) : (x−2)2+ (y+ 2)2 = 10 Tọa độ điểm B C giao điểm đường thẳng BC và(C) Bài toán giải xong

Đề 13: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giácABC có đường cao BH :x+ 2y−3 = 0, trung tuyến AM :3x+ 3y−8 = CạnhBC qua điểmN(3;−2) Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC biết đỉnh C thuộc đường thẳng (d) :x−y+ =

Lấy điểmB(3−2b;b)∈BH vàC(c;c+ 2)∈(d) Gọi M trung điểm BC⇒M

3−2b+c

2 ;

b+c+ 2

Ta cóM ∈AM

⇒3.3−2b+c +

b+c+

2 −8 = 0⇔3b−6c+ = (1) Cạnh BC qua điểm N(3;−2)⇒−−→BN và−−→N C phương

Ta có−−→BN = (2b;−2−b) và−−→N C= (c−3;c+ 4)

⇒ c−3

2b = c+

−2−b ⇔3bc+ 5b+ 2c−6 = (2) Từ(1) và(2)⇒b= ;c= ⇒ tọa độ điểm B C

(12)

Ta có(d1)⊥(d2)⇒ hình thang cânABCD có hai đường chéo vng góc

⇒S=

2.AC.BD= 36⇒AC

2= 72⇒AC=BD= 6√2

Ta có hai tam giác AIB tam giác CIDđồng dạng⇒ AB

CD = IA IC =

1

2 ⇒IA=

3AC =

√

2 =IB I giao điểm hai đường chéo⇒I(3; 1)

Lấy điểmA(a; 4−a)∈(d1)⇒IA2 = (a−3)2+ (a−3)2 = 8⇔





a= a=

⇒ 



A(1; 3) (tm) A(5;−1) (loai)

Lấy điểmB(b;b−2)∈(d2)⇒IB2 = (b−3)2+ (b−3)2 = 8⇔ 



b= b=

⇒ 



B(1;−1) (loai) B(5; 3) (tm) Lấy điểmC(c; 4−c)∈(d1) ta có IC = 2IA⇒2

−→

AI =−IC→⇒C(7;−3) Lấy điểmD(d;d−2)∈(d2) ta có ID= 2IB⇒2−→BI =−→ID⇒D(−1;−3) Bài tốn giải xong

Đề 15 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhậtABCD có điểmC thuộc đường thẳng (d) :x+ 3y+ = 0vàA(1; 5) GọiM điểm nằm tia đối tiaCB choM C = 2BC, N hình chiếu vng góc B lên đường thẳngM D Xác định tọa độ đỉnhB C biết N −5 2;

Gọi điểmC(−3c−7;c)∈(d) Gọi I tâm hình chữ nhậtABCD

⇒I trung điểm AC⇒I

−3c−6 ;

c+

Xét tam giác DN B vuông tạiN có I trung điểm củaBD⇒IN =IB =ID I tâm hình chữ nhật ⇒IA=IB=ID⇒IN =IA

⇒

−3c−6 −1

2

+

c+ −5

2

=

−3c−6

2 + 2 +

c+ −

1

2

(13)

Giả sửB(a;b) có AB⊥BC ⇒AB−−→⊥−→AC có AB−−→= (a−1;b−5) ;−BC−→= (a−2;b+ 3)

⇒(a−1) (a−2) + (b−5) (b+ 3) = (1) Ta cóCM = 2BC⇒−−→CM = 2BC−−→⇒M(6−2a;−9−2b) M N⊥BN ⇒−−→M N⊥−−→BN mà−−→BN =

a+ 2;b−

1

;−−→M N =

17

2 −2a;− 19

2 −2b

⇒

a+5

17 −2a

+

b−1

2 −

19 −2b

= (2)

Từ(1) và(2)⇒a= ;b= ⇒B( ) Bài toán giải xong

Đề 16 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhậtABCD, biết phân giác góc\ABC qua trung điểm M cạnh AD, phương trình đường thẳng BM (d) : x−y+ = 0, điểm D thuộc đường thẳng (d1) : x+y−9 = 0, điêm E(−1; 2) thuộc đường thẳng AB điểm B có hồnh độ âm Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật

Ta cóBM phân giác góc \ABC ⇒ABM\ = 45o⇒∆ABM vng cân A

Gọi→−n = (a;b)là vtpt đường thẳng AB, có n−→1 = (1;−1)là vtpt củaBM

⇒cos (−→n ,−→n1) =

|a−b| √

2.√a2+b2 =

√

2

2 ⇔ab= 0⇔





(14)

X Vớia= 0chọn −→n = (0; 1)⇒ phương trình đường thẳng AB qua điểm E có vtpt−→n ⇒AB : y−2 = 0⇒ Tọa độB giao điểm củaAB BM ⇒B(0; 2) ( loại)

X Vớib= 0chọn −→n = (1; 0)⇒ phương trình đường thẳng AB qua điểm E có vtpt−→n ⇒AB : x+ = 0⇒ Tọa độB giao điểm củaAB BM ⇒B(−1; 1)( thỏa mãn)

Giả sử điểmA(−1;a)∈AB vàD(d; 9−d)∈(d1) Trung điểm M củaAD có tọa độM

d−1 ;

9−d+a

∈(d)

⇒ d−1

2 −

9−d+a

2 + = 0⇔2d−a−6 = (1) Ta cóAD⊥AB⇒−AD−→⊥−AB−→ màAB−−→= (0; 1)và −AD−→= (d+ 1; 9−d−a)

⇒9−d−a= 0⇔a+d= (2)

Từ(1) và(2)⇒  



d= a=

⇒  



A(−1; 4) D(5; 4) Gọi I tâm hình chữ nhất⇒I

2;5

.I trung điểm AC ⇒C(5; 1) Bài toán giải xong

Đề 17: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giácABC vuông tạiA, biếtB vàC đối xứng qua gốc tọa độO Đường phân giác gócB có phương trình (d) :x+ 2y−5 = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳngAC qua điểmK(6; 2)

Gọi điểmB(5−2b;b)∈(d).B C đối xứng qua gốc tọa độO ⇒C(2b−5;−b) QuaO kẻ đường thẳng vuông góc với (d)cắt (d)và AB tạiF I

Đường thẳng OF qua O vng góc với (d)⇒OF : 2x−y = Tọa độF giao điểm (d) vàOF ⇒F(1; 2)

(15)

Tam giácABC vng tạiA⇒AB⊥AC ⇒AB−−→⊥−→AC có AB−−→= (3−2b;b−4)và−→AC = (2b−11;−b−2)

⇒(3−2b) (2b−11) + (b−4) (−b−2) = 0⇔ −5b2+ 30b−25 = 0⇔ 



b= b=

Vớib= 1⇒B(3; 1) ⇒

C(−3;−1)

Phương trình đường thẳng AB quaB vàI ⇒AB: 3x+y−10 = Phương trình đường thẳng AC qua C vàK ⇒AC :x−3y= A giao điểm củaAB AC⇒A(3; 1) ( loại trùng điểmB) Trường hợp b= xét tương tự

Đề 18 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có diện tích 45

8 Phương trình hai cạnh đáy AB :x−3y+ = 0và CD :2x−6y+ 17 = AD BC cắt điểm K(2; 6) Hai đường chéo cắt điểmI

1;7

Xác định tọa độ đỉnh hình thang ABCD

Khoảng cách AB CD d= √15

40 Ta có diện tích hình thangS =

2.(AB+CD).d⇒AB+CD= 3√10

2 (1)

ABCD hình thang⇒ AB

CD =

d(I, AB)

d(I, CD) = (2) Từ(1) và(2)⇒AB = 2.CD=√10

(16)

Phương trình đường thăng KI qua K I⇒KI : 11x−3y−4 = M giao điểm KI AB ⇒M

2;

Ta có AB = √10 M trung điểm AB ⇒ A B thuộc đường tròn tâm M bán kínhR =

√

10

⇒(C) :

x−

2

+

y−1

2

=

A, B giao điểm của(C) đường thẳng AB⇒ A, B có tọa độ là(2; 1) ; (−1; 0) Do C, D có tọa độ

2;7 ; 2;

Đề 19 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có BC = 2AB, phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B (d) :x+y−2 = Biết ABC\= 120o điểm A(3; 1) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại tam giác

Đặt AB=x⇒BC= 2x Áp dụng định lý Cosin vào tam giác ABC ta có

AC2 =AB2+BC2−2.AB.BC.cos\ABC = 7x2 ⇒AC =x√7

Áp dụng cơng thức tính đường trung tuyến vào tam giác ABC ta BM2 = AB

2+BC2

2 −

AC2 =

3x2 Trong tam giácABM có AB=x, BM2 = 3x

2

4 ;AM = x√7

2 ⇒AM

2=AB2+BM2

⇒∆ABM vng tạiB ⇒AB⊥BM

Phương trình đường thẳng AB quaA vng góc với BM ⇒AB:x−y−2 = B giao điểm AB vàBM ⇒B(2; 0)

Lại cóAB=d(A, BM) =√2 =x⇒BM =

√

6

2 GọiM(m; 2−m)∈BM

⇒BM2 = (m−2)2=

2 ⇔m= 2±

√

(17)

Thay vào ta điểm M, lại có M trung điểm AC ⇒tọa độ điểm C 2±√3; 4±√3 Bài toán giải xong

Đề 20 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A, phương trình cạnh BC (d) : 2x−y+ = Điểm I(−2;−1) trung điểm cạnh BC, điểm E(4; 1) nằm cạnh AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết diện tích tam giác ABC 90

Tam giácABC cân A⇒AI vừa đường cao vừa đường phân giác gócA Phương trình đường phân giác AI quaA vng góc với BC ⇒AI :x+ 2y+ = QuaE kẻ đường thẳng vng góc với AI cắtAI AC F M

Phương trình đường thẳng EM quaE vng góc vớiAI ⇒EM : 2x−y−7 =

Tọa độ điểmF giao điểm EM vàAI ⇒F(2;−3).F trung điểm củaEM ⇒M(0; 7) Lấy điểmB(b; 2b+ 3)∈BC ⇒C(−4−b; 5−2b)

Tam giácABC cân A⇒ABC\=\ACBhay (BE, BC) = (M C, BC)

−−→

BE = (b−4; 2b−2),−−→M C = (4 +b; 2b−2),−BC−→= (1; 2)

⇒ √|b−4 + 2b−4|

5.√5b2−16b+ 20 =

|5b| √

5.√5b2+ 20 ⇔





b= b= X Vớib= 1⇒B(1; 5)⇒C(−5;−7)⇒BC = 6√5

S=

2.AI.BC= 90⇒AI =

√

5 Lấy điểmA(−2a−4;a)∈AI

⇒AI2= (2a+ 2)2+ (a+ 1)2 = 90⇔ 



a= a=−7

⇒ 



A(−14; 5) A(10;−7) X Vớib= xét tương tự

(18)

Đề 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giácABC có điểmA(−1;−3), B(5; 1) Điểm M nằm đoạn thẳng BC cho M C = 2M B Tìm tọa độ điểm C biết M A = AC = đường thẳng BC có hệ số góc số nguyên

Giả sử điểmM(a;b) ta cóM A= 5⇒(a+ 1)2+ (b+ 3)2 = 25

a2+ 2a+b2+ 6b= 15 (1)

GọiD trung điểm củaCM ta có M A=AC = 5⇒∆CAM cân A⇒AD⊥CM

Theo giả thiếtM C = 2M B⇒M B =M D⇒M trung điểm BD⇒D(2a−5; 2b−1)

−−→

AD= (2a−4; 2b+ 2) ;−→BI = (2a−10; 2a−2)

AD⊥BI ⇒−AD.−→−→BI = 0⇒(2a−4) (2a−10) + (2b+ 2) (2b−2) =

⇒a2−7a+b2 =−9 (2)

Từ(1) và(2)⇒ 

 

a= 2;b= a= 50

13;b=− 23 13 X Vớia= 50

13;b=− 23 13 ⇒M

50 13;−

23 13

Phương trình đường thẳng BC qua B vàM ⇒ BC : 12x−5y−55 = ( loại phương trình BC có hệ số góc ngun)

X Vớia= 2;b= 1⇒M(2; 1) phương trìnhBC qua M vàB ⇒BC :y= ( thỏa mãn)

Tọa độ điểmD(−1; 1)⇒C(−4; 1) Bài toán giải xong

(19)

Ta cóHD = 2⇒(xD+ 3)2+ (yD−2)2=

⇔x2D+yD2 + 6xD−4yD+ = (1) ĐiểmA∈(d)⇒A(3a+ 3;a) ta cóAD⊥DH ⇒−AD.−→−−→HD=

(xD−3a−3) (xD+ 3) + (yD−a) (yD−2) =

x2D+y2D−3axD−(a+ 2)yD −7a−9 = (2) Tứ(1) và(2)⇒(6 + 3a)xD+ (a−2)yD+ 7a+ 18 =

Tương tự ta có (6 + 3a)xE + (a−2)yE+ 7a+ 18 =

Do phương trình đường thẳngDE có dạng (d1) : (6 + 3a)x+ (a−2)y+ 7a+ 18 = Mà điểm F ∈(d1)⇒a= 0⇒A(3; 0)

Đề 23 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 1), đường cao từ đỉnh A có phương trình(d) : 2x−y+ = Các đỉnhB C thuộc đường thẳng (d1) :x+ 2y−1 = Xác định tọa độ đỉnh tam giác biết tam giácABC có diện tích

(20)

GọiM trung điểm BC ⇒G∈AM vàAG= 2GM ⇒−→AG= 2−−→GM

⇒M

3−a ; 1−a

mặt khác M ∈(d1)

⇒ 3−a

2 + (1−a)−1 = 0⇒a= 1⇒A(1; 3)⇒M(1; 0) GọiH giao điểm (d) và(d1)⇒H

−1

5;

⇒AH= √6

5 S =

2.AH.BC = 6⇒BC=

√

5⇒M B=M C =√5 ĐiểmB ∈(d1)⇒B(1−2b;b)⇒M B2 = 5b2 = 5⇔b=±1

X b= 1⇒B(−1; 1)⇒C(3;−1) X b=−1⇒B(3;−1)⇒C(−1; 1) Bài toán giải xong

Đề 24 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhậtABCD có diện tích Phương trình đường thẳng chứa đường chéo BD là(d) : 2x+y−11 = 0, đường thẳngAB qua điểmM(4; 2), đường thẳngBC qua điểm N(8; 4) Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết điểm B, D có hồnh độ lớn

VìB ∈(d)⇒B(b; 11−2b).AB⊥BC ⇒M B⊥N B ⇒−−→M B.−−→N B =

⇒(b−4) (b−8) + (9−2b) (7−2b) = 0⇒5b2−44b+ 95 = 0⇔ 



b= 19 b=

⇒B(5; 1)

Phương trình đường thẳng AB qua điểmB vàM ⇒AB:x+y−6 = Phương trình đường thẳng BC qua điểm B N ⇒AC :x−y−4 = A∈AB⇒A(a; 6−a) C∈BC ⇒C(c;c−4)

GọiI tâm hình chữ nhật ⇒I

a+c ;

c−a+ 2

∈BD

⇒a+c+c−a+

2 −11 = 0⇔3c+a−20 = (1)

(21)

Từ(1) và(2)⇒ "

a= 2;c= a= 8;c= ⇒

"

A(2; 4), C(6; 2)⇒I(4; 3)⇒D(3; 5) (loai) A(8;−2), C(4; 0)⇒I(6;−1)⇒D(7;−3) (tm) Bài toán giải xong

Đề 25 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (C) :x2+y2+ 2x−4y+ = Tìm tọa độ đỉnh tam giácABC biết điểmM(0; 1) trung điểm cạnh AB điểmA có hồnh độ dương

Tam giácABC nội tiếp đường tròn tâmI(−1; 2) ;R= 2.M trung điểm AB⇒IM⊥AB Phương trình đường thẳng AB quaM vng góc với IM ⇒AB:x−y+ =

Có điểmA∈AB⇒A(a;a+ 1)⇒IA= 2⇒(a+ 1)2+ (a−1)2 = 4⇒a=±1⇒A(1; 2)⇒B(−1; 0) Phương trình đường thẳng BC qua điểm B vng góc với AI ⇒BC :x+ =

C giao điểm BC và(C)⇒C(−1; 4) Bài toán giải xong

Đề 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 10, phương trình đường thẳng chứa cạnh AD (d) : 3x−y = Lấy điểm M đối xứng với điểm D qua điểmC đường thẳngBM có phương trình(d1) : 2x+y−10 = Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết đỉnh B có hồnh độ dương

GọiN giao điểm BM AD⇒N(2; 6)

ĐiểmD∈AD⇒D(d; 3d) vàB ∈BM ⇒B(b; 10−2b) vớib >0 A trung điểm N D⇒A

d+ 2 ;

3d+

(22)

Blà trung điểm củaM N ⇒M(2b−2; 14−4b)màClà trung điểm củaM D⇒C

2b−2 +d

2 ;

14−4b+ 3d

AB⊥AD⇒−AB.−→AD−−→= có −AB−→=

d+ 2−2b

2 ;

3d+ 4b−14

⇒ d+ 2−2b

2 +

3d−14 + 4b

2 = 0⇔b+d= (1) Từ(1) có AD2 =AN2 = 10

4 (d−2)

2 và AB2 = 10

4 (d−2)

⇒S= 10

4 (d−2)

= 10⇒ 



d= 0⇒b= (tm) d= 4⇒b= (loai) Do B(4; 2), D(0; 0), C(3;−1), A(1; 3)

Đề 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giácABC vuông tạiA Trên tia đối tiaCAlấy điểmK choAC =CK KẻKE vng góc vớiBC (E thuộc đường thẳng BC) cắt đường thẳng AB tạiN(−1; 3) Tìm tọa độ đỉnh tam giácABC biếtAEB\= 45o, phương trình đường thẳng BK (d) : 3x+y−15 = 0và hoành độ điểm B lớn

(23)

Tam giácN BK có BE KA hai đường cao ⇒C trực tâm ⇒ NC⊥ BK

Tứ giácBAEK nội tiếp⇒\BEA=AKB\= 45o ⇒∆ABK vuông cân A ⇒ABK\ = 45o

Gọi−→n = (a;b)là vtpt đường thẳng AB, có −n1→= (3; 1)là vtpt đường thẳngBK

⇒cos (−→n ,−→n1) =√ |3a+b|

10.√a2+b2 =

√

2 ⇒4a

2+ 6ab−4b2 = 0⇒





b= 2a a=−2b

X Vớia=−2b⇒ chọn−→n = (−2; 1)⇒AB:−2x+y−5 = 0⇒B(2; 9) ( loại)

X Vớib= 2a⇒ chọn −→n = (1; 2)⇒AB:x+ 2y−5 = 0⇒B(5; 0)(thỏa mãn)

Phương trình đường thẳng NM qua điểm N vng góc với BK⇒M N :x−3y+ 10 = Có∆ABK ∆KCM vng cân ⇒KM = √1

2.CK =

√

2 2.AC=

1 2√2

1

√

2BK = BK

4 M giao điểm củaM N BK⇒M

7 2;

9

Có BK = 4MK⇒K(3; 6)

Phương trình đường thẳng AC qua K vng góc với AB ⇒AC : 2x−y= A giao điểm AC AB⇒A(1; 2)

C trung điểm AK⇒C(2; 4) Bài toán giải xong

Đề 28 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm cạnh AC cho AB = 3AM Đường trịn tâm I(1;−1)đường kính CM cắt BM D Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng BC qua điểmN

4 3;

, phương trình đường thẳng CD :x−3y−6 = 0và điểm C có hồnh độ dương

Tam giác ABM vng A có AB = 3AM ⇒BM =√10AM ⇒cosABM\ = √3

(24)

Tứ giác BADC nội tiếp ⇒ABM\ =\DCA⇒cos\DCA= √3

10 Gọi

−

→n = (a;b) là vtpt đường thẳng

AC

⇒cos\DCA= √ |a−3b|

10.√a2+b2 =

√

10 ⇒8a

2+ 6ab= 0⇒



 

a= a=−3b

4 X Vớia=−3b

4 ⇒chọn

−

→n = (3;−4).Phương trình đường thẳng AC qua điểm I có vtpt−→n

⇒AC : 3x−4y−7 = C giao điểm AC CD⇒C

−3

5;− 11

5

( loại ) X Vớia= 0⇒ chọn −→n = (0; 1) Phương trình AC qua điểm I có vtpt−→n

⇒AC :y+ = 0⇒ tọa độ điểm C làC(3;−1)( thỏa mãn )

I trung điểm CM⇒M(−1;−1)⇒phương trình đường trịn tâm I (C) : (x−1)2+ (y+ 1)2 = D giao điểm CD (C)⇒D

−3

5;− 11

5

Phương trình đường thẳng BM : 3x+y+ = Phương trình đường thẳng BC :3x+ 5y−4 = B giao điểm BM BC⇒B(−2; 2) Phương trình đường thẳng AB qua B vng góc với AC⇒ AB : x+ =

A giao điểm AB AC⇒A(−2;−1) Bài toán giải xong

Đề 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD cóD(−6;−6), đường trung trực (d1) đoạn thẳng CD có phương trình là(d1) : 2x+ 3y+ 17 = đường phân giác (d2) góc \BAC có phương trình (d2) : 5x+y−3 = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành ABCD

Đường thẳng CD qua điểm D vng góc với (d1)⇒CD: 3x−2y+ =

(25)

Qua C kẻ đường thẳng vng góc với (d2)cắt (d2)tại G cắt AB H⇒CH :x−5y+ = G giao điểm CH (d2)⇒G

2;

G trung điểm CD ⇒H(3; 1) Phương trình đường thẳng AB qua H song song với CD⇒AB: 3x−2y−7 = A giao điểm AB và(d2)⇒A(1;−2)

Phương trình đường thẳng BC qua điểm C song song với AD ⇒BC: 4x−7y+ = B giao điểm AB BC⇒B(5; 4)

Đề 30 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB AD tiếp xúc với đường tròn (C) : (x+ 2)2 + (y−3)2 = Đường chéo AC cắt (C) điểm M −16 ; 23

và điểm N thuộc trục Oy Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết điểm A có hồnh độ âm điểm D có hồnh độ dương, diện tích tam giác AND 10

Đường tròn(C) cắt trục Oy điểmN(0; 3)⇒M N =

√

5

5 phương trình MN :x+ 2y−6 = Giả sử đường tròn (C) tiếp xúc với AB, AD điểm G F ⇒AGIF hình vng ⇒ AF = IF = AMN cát tuyến (C) AF tiếp tuyến của(C)⇒AM.AN =AF2=

VìA∈M N ⇒A(6−2a;a) và−−→AM −−→AN = ( A nằm M N )

⇒

−16

5 −6 + 2a

(2a−6) +

23 −a

(3−a) = 4⇔ 

 

a= a= 13

5 ⇒   A 5; 13

A(−4; 5)

⇒A(−4; 5)

Giả sử điểmD(b;c) Gọi d khoảng cách từ D đến AN ta có SAN D =

1

2.d.AN = 10⇒d=

√

5⇒ |b+ 2c√ −6|

5 =

√

(26)

cos

−−→

AD,−AI→

= √ |b+ 4−c+ 5|

q

(b+ 4)2+ (c−5)2 = √1

2 ⇒





c= b=−4

Vớic= thay vào(1)⇒ 



b= b=−14

D có hồnh độ dương ⇒D(6; 5)

Phương trình AD qua điểm A D ⇒AD:y= Phương trình CD qua D vng góc với AD

⇒CD:x=

C giao điểm AC CD⇒C(6; 0) Gọi I tâm hình chữ nhật⇒I

1;5

I trung điểm BD ⇒B(−4; 0)

Đề 31 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M(2; 1) trung điểm AC Điểm H(0;−3)là chân đường cao hạ từ A, điểm E(23;−2)thuộc trung tuyến kẻ từ C Tìm tọa độ đỉnhB biết đỉnhAthuộc đường thẳng (d) : 2x+ 3y−5 = 0và điểm C có hồnh độ dương

VìA∈(d)⇒A(3a+ 1; 1−2a) M trung điểm AC ⇒C(3−3a; + 2a) H chân đường cao hạ từ A⇒ AH⊥CH ⇒−−→AH⊥−−→CH

⇒(3a+ 1) (3−3a) + (4−2a) (4 + 2a) = 0⇒ −13a2+ 6a+ 19 = 0⇒ 

 

a=−1 a= 19

13

⇒ 

 

C(6;−1) C −18 13; 51 13

⇒C(6;−1)⇒A(−2; 3)

Phương trình đường trung tuyến kẻ từ C qua C E⇒CE:x+ 17y+ 11 = Phương trình đường thẳng BC qua C H⇒BC :x−3y−9 =

Lấy điểmB ∈BC ⇒B(3b+ 9;b) Trung điểm AB điểmN

3b+ ;

b+

N ∈CE⇒ 3b+

2 + 11 +b

(27)

Đề 32 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo AC là(d) :x+ 7y−31 = Các đỉnhB, D thuộc đường thẳng(d1) :x+y−8 = 0; (d2) :x−2y+ = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết hình thoi có diện tích 75 đỉnh Acó hồnh độ âm

B ∈(d1)⇒B(b; 8−b) vàD∈(d2)⇒D(2d−3;d)

ABCD hình thoi⇒trung điểm BD∈AC Gọi I trung điểm AC⇒I

b+ 2d−3

2 ;

8−b+d

I ∈AC⇒ b+ 2d−3

2 +

8−b+d

2 −31 = 0⇒2b−3d+ = (1)

Mặt khác BD⊥AC⇒7 (2d−3−b)−(d−8 +b) = 0⇒ −8b+ 13d−13 = (2) Từ(1) và(2)⇒

(

b= d= ⇒

(

B(0; 8)

D(−1; 1) ⇒BD=

√

2

S =

2.AC.BD= 75⇒AC= 15

√

2 Tam hình thoi I

−1

2;

A∈AC ⇒A(31−7a;a) CóIA= AC =

15√2

⇒IA2= ⇒ tọa độ điểm A⇒ tọa độ điểm C Bài toán giải xong

Đề 33 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có A(1; 1) AB = Gọi M trung điểm BC, K

9 5;−

3

là hình chiếu D lên AM Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình vng biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ

(28)

Ta cóAK =

√

5

5 AM =

√

5⇒ AK

AM = Lấy điểmM(m; 3−2m) Ta có AK

AM = ⇒

−−→

AK =

−−→

AM ⇒M(3;−3) Giả sử điểmB(a;b) vớia >2 ABCD hình vuông nên AB ⊥BM

⇒(a−1) (a−3) + (b−1) (b+ 3) = 0⇔a2−4a+b2+ 2b= (1) AB= 4⇒(a−1)2+ (b−1)2= 16⇔a2−2a+b2−2b= 14 (2)

Từ(1) và(2)⇒B(1;−3) M trung điểm BC⇒C(5;−3)

Phương trình đường thẳng AD qua A vng góc với AB⇒AD:y= Phương trình đường thẳng CD qua C vng góc với BC ⇒CD:x= D giao điểm CD AD⇒D(5; 1)

Đề 34 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm đường thẳng (d) :x+y−1 = ĐiểmE(9; 4) nằm đường thẳng chứa cạnh AB, điểm F(−2;−5)nằm đường thẳng chứa cạnh AD, AC = 2√2 Xác định tọa độ đỉnh hình thoi biết điểm C có hồnh độ âm

Qua E kẻ đường thẳng vng góc với đường chéo AC cắt AC M cắt AD N Phương trình đường thẳng EN qua E vng góc với AC⇒EN :x−y−5 = AC cắt EN điểm M⇒M(3;−2) M trung điểm EN⇒N(−3;−8)

Phương trình đường thẳng AD qua F N ⇒AD: 3x−y+ = A giao điểm AC AD⇒A(0; 1)

(29)

Gọi I tâm hình thoi⇒ I trung điểm AC⇒I(−1; 2)

Phương trình đường chéo BD qua điểm I vng góc với AC⇒BD:x−y+ = D giao điểm AD BD ⇒D(1; 4) I trung điểm BD⇒B(−3; 0)

Đề 35: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểmC(5; 1), trung tuyến AM, điểm B thuộc đường thẳng (d) : x+y+ = Điểm N(0; 1) trung điểm AM, điểm D(−1;−7) không nằm đường thẳng AM khác phía so với đường thẳng BC đồng thời khoảng cách từ A D tới đường thẳng BC Xác định tọa độ điểm A B

Giả sử−→n = (a;b)là vtpt đường thẳng BC ⇒BC:ax+by−5a−b= Ta cód(A, BC) =d(D, BC) = 2d(N, BC)⇒ |−√6a−8b|

a2+b2 =

2|5a| √

a2+b2

⇒16a2−24ab−16b2 = 0⇒ 



a=−1

2b a= 2b

X Vớia= 2b⇒BC : 2x+y−11 = ( loại N D phía với BC)

X Vớia=−1

2b⇒BC :x−2y−3 = ( thỏa mãn ) B giao điểm đường thẳng BC và(d)⇒B(−3;−3)

(30)

Đề 36: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có A(−2; 6), đỉnh B nằm đường thẳng (d) :x−2y+ = Trên hai cạnh BC CD lấy hai điểm M N cho BM = CN Xác định tọa độ đỉnh hình vng biết AM BN cắt điểm I

2 5;

14

Ta có∆ABM = ∆BCN ⇒BM A\ =BN C\ ⇒BM A\ +CBN\ = 90o⇒ BN⊥AM

Phương trình đường thẳng AI qua A I⇒AI : 4x+ 3y−10 =

Phương trình đường thẳng BN qua I vng góc với AI⇒BI : 3x−4y+ 10 = B giao điểm đường thẳng(d) BI⇒B(2; 4)

Phương trình đường thẳng BC qua B vng góc với AB⇒BC : 2x−y= M giao điểm BC AI⇒M(1; 2)

Ta cóAB= 2√5, BM =√5⇒BM =

2BC ⇒ M trung điểm BC

⇒ tọa độ điểm C(0; 0)

Giả sử H tâm hình vng⇒ H trung điểm AC ⇒H(−1; 3) H trung điểm BD⇒D(−4; 2)

Đề 37 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD Gọi E trung điểm cạnh AD, điểm H

11 ;−

2

là hình chiếu B lên CE M

3 5;−

6

là trung điểm BH Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A có hồnh độ âm

(31)

Gọi G trung điểm BC ⇒ GM đường trung bình tam giác BCH ⇒GM // CE ABCD hình vng có E, G trung điểm AD BC⇒ AG // CE

Qua G có hai đường thẳng song song với CE A, G, M thẳng hàng hay AM ⊥BH

⇒ phương trình đường thẳng AM :2x+y= 0, phương trình đường thẳng CE : 2x+y−4 = M trung điểm BH ⇒B(−1;−2)

Hai tam giác ABM CED đồng dạng⇒ BM

AM = ED CD =

1

2 ⇒AM = 2BM CóBM =

√

5

5 Tam giác ABM vuông M có AM = 2BM = 8√5

5 ⇒ AB =

Lấy điểmA(a;−2a)∈AM ⇒AB= (a+ 1)2+ (2−2a)2 = 16⇔5a2−6a−11 = 0⇔ 

 

a=−1 a= 11

5

⇒A(−1; 2)⇒phương trình đường thẳng AD qua A vng góc với AB ⇒AD:y= E giao điểm AD CE⇒E(1; 2), E trung điểm AD ⇒D(3; 2)

Phương trình đường thẳng BC qua B song song với AD ⇒BC:y=−2 C giao điểm CE BC ⇒C(3;−2)

Đề 38: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnhA(−3; 4), đường phân giác góc A có phương trình (d) :x+y−1 = tâm đường tròn ngoại tiếp làI(1; 7) Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích tam giác ABC gập bốn lần diện tích tam giác IBC

(32)

AD phân giác góc A nên D trung điểm cung nhỏ BC⇒ ID ⊥BC

Phương trình đường thẳng BC nhận−AD−→ làm vtpt ⇒ phương trình BC có dạng :3x+ 4y+α= Ta có diện tích tam giác ABC gấp lần diện tích tam giác IBC nên d(A, BC) = 4d(I, BC)

⇔ |7 +α|

5 = 31 +α

5 ⇔



 

α=−114

3 α=−131

5 Phương trình đường thẳng BC





9x+ 12y−114 = 15x+ 20y−131 = Bài toán giải xong

Đề 39: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có điểmA(3; 5) Điểm H(1; 3)là hình chiếu B lên AC đường trung trực BC có phương trình(d) :x+4y−5 = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành

(33)

Phương trình đường thẳng BH qua H vng góc với AC⇒BH :x+y−4 = Lấy điểmB(b; 4−b)∈BH vàC(c;c+ 2)∈AC

Đường thẳng (d) trung trực BC⇒ BC⊥(d)

⇒4 (c−b)−(c+b−2) = 0⇔3c−5b+ = (1) Trung điểm BC điểm M

b+c ;

6−b+c

∈AC

⇒ b+c

2 +

6−b+c

2 −5 = 0⇔5c−3b+ = (2) Từ(1) và(2)⇒

(

b=−2 c=−4 ⇒

(

B(−2; 6) C(−4;−2) Gọi I tâm hình bình hành ⇒D(1;−3) Bài tốn giải xong

Đề 40 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD biếtB(3; 3), C(5;−3) Giao điểm I hai đường cheo nằm đường thẳng(d) : 2x+y−3 = Diện tích tam giác ABC 12 Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình thang biết CI = 2BI, điểm I có hồnh độ dương điểm A có hồnh độ âm

Lấy điểmI(m; 3−2m)∈(d) Ta có IC = 2IB

⇒(m−5)2+ (6−2m)2= (m−3)2+ (2m)2 ⇔ 

 

m= m=−5

3

⇒I(1; 1)

Phương trình đường thẳng AC qua I C⇒AC :x+y−2 = SABC =

1

2.d(B, AC).AC= 12⇒AC =

√

(34)

Lấy điểmA(a; 2−a)∈AC Ta cóAC= 6√2

⇒(a−5)2+ (5−a)2 = 72⇒ 



a= 11 a=−1

⇒A(−1; 3)

Phương trình đường thẳng CD qua C song song với AB ⇒CD:y=−3 Phương trình đường thẳng BD qua B I⇒BD:x−y=

D giao điểm BD CD⇒D(−3;−3) Bài toán giải xong

Đề 41 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vng A, có trọng tâm G

5 3;−2

, bán kính đường tròn ngoại tiếp B C thuộc đường thẳng(d) : 4x+3y−9 = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC

Gọi M trung điểm BC, ta có GM = 3AM =

1 3R=

5

⇒ M thuộc đường tròn tâm G bán kính

3 hay M ∈(C) :

x−5

3

2

+ (y+ 2)2= 25 Tọa độ M giao điểm của(C) (d)⇒M(3;−1)

Phương trình đường thẳng AM qua G M ⇒AM : 3x−4y−13 = G trọng tâm tam giác ABC⇒AM = 3GM ⇒A(−1;−4)

Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm M R =

(35)

Đề 42 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có điểm M(3; 2) nằm đường chéo BD Từ M kẻ đường thẳng ME MF vng góc với AB E(3; 4) AD tạiF(−1; 2) Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD

Phương trình đường thẳng AB qua E vng góc với ME⇒AB:y = Phương trình đường thẳng AD qua F vng góc với MF⇒AD:x=−1 A giao điểm AB AD⇒A(−1; 4)

ABCD hình vng ⇒ ME = BE = AE = MF =

Lấy điểmB(b; 4)∈AB Có AE = 2EB ⇒−→AE = 2−EB−→⇒B(5; 4) Phương trình đường thẳng BD qua M B⇒BD:x−y−1 = D giao điểm AD BD ⇒D(−1;−2)

Gọi I tâm hình vng⇒ I trung điểm BD ⇒I(2; 1)⇒C(5;−2) Bài toán giải xong

Đề 43 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC) có tọa độ đỉnh B(2; 1) Đường cao AH có phương trình x+ 2y−10 = Trên cạnh AC lấy điểm D cho AB = CD Kẻ DM vng góc với AH M Đường phân giác góc CBM\ cắt AH N Tìm tọa độ điểm N

Từ D hạ DI vng góc với BC ( I thuộc BC)

Ta cóBAH\ =DCI[ ⇒∆ABH = ∆CDI ⇒DI = BH

(36)

Phương trình đường thẳng BC qua B vng góc với AH ⇒BC: 2x−y−3 = Gọiα góc tạo BN BH ta có cos 45o= cos2α−1⇒cosα=

r√

2 + Phương trình đường thẳng BN qua B tạo với BC gócα

Đến tốn đơn giản viết phương trình đường thẳng tạo với đường thằng cho trước góc cho trước ( dành cho bạn đọc )

Đề 44: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vng A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ Biết điểm M(−3;−1) N(2;−1) thuộc cạnh BC, Q thuộc cạnh AB, P thuộc cạnh AC, đường thẳng AB có phương trìnhx−y+ = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC

Phương trình đường thẳng BC qua M N⇒BC :y=−1

MNPQ hình chữ nhật ⇒MN ⊥MQ ⇒phương trình MQ qua M vng góc BC ⇒M Q:x=−3 Q giao điểm MQ AB ⇒Q(−3; 2)

Phương trình PQ qua P vng góc với MQ ⇒P Q:y= Phương trình NP qua N vng góc với MN ⇒N P :x= P giao điểm PQ NP ⇒P(2; 2)

(37)

A giao điểm AB AC⇒A

−1

2;

C giao điểm BC AC⇒C(5;−1) Bài toán giải xong

Đề 45 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cóI

3 2;

1 16

vàE(1; 0) tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Đường tròn (T) tiếp xúc với cạnh BC cạnh AB, AC kéo dài có tâm làF(2;−8) Xác định tọa độ đỉnh tam giác biết A có tung độ âm

Gọi D, K giao điểm thứ hai AE, BE với đường tròn tâm I

Sử dụng góc nội tiếp góc có đỉnh bên đường trịn ta có EBD\=BED\ ⇒∆EDB cân D

Ta có đường trịn tâm F tiếp xúc với BC cạnh AB, AC kéo dài⇒ AF phân giác góc\BAC BF phân giác ngồi góc \ABC

⇒A, E, F thẳng hàng BE⊥BF Tam giác BEF vng B có BD = DE⇒D trung điểm EF D trung điểm EF ⇒D

3 2;−4

Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

(C) :

x−3

2

+

y−

16

2

=

65 16

2

Phương trình đường thẳng AF qua E F ⇒AF : 8x+y−8 = A giao điểm đường tròn(C) AF ⇒Ặ )

(38)

BE⊥BF ⇒ phương trình Từ ta có điểm B Bài tốn giải xong ( Bài lười tính hihi )

Đề 46 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M(3;−1)là trung điểm BC Đường thẳng AC qua điểmF(1; 3) ĐiểmE(−1;−3)thuộc đường cao xuất phát từ B Xác định tọa độ đỉnh tam giác biết điểmD(4;−2)là điểm đối xứng với điểm A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

D đối xứng với A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ⇒ AD đường kính⇒ CD ⊥AC Giả sửC(a;b) M trung điểm BC⇒B(6−a;−2−b)

Ta có CD ⊥AC⇒−CF−→⊥−−→CD

⇒(4−a) (1−a) + (3−b) (−2−b) = 0⇔a2−5a+b2−b−2 = 0 (1) E thuộc đường cao hạ từ B ⇒ BE⊥AC⇒−BE−→⊥−CF−→

⇒(1−a) (7−a) + (1−b) (3−b) = 0⇔a2−8a+b2−4b+ 10 = (2)

Từ(1) và(2)⇒ 



a= 5;b=−1 a= 4;b=−2

⇒C(5;−1)⇒B(1;−1)

Phương trình đường thẳng AB qua B vng góc với BD ⇒AB: 3x−y−4 = Phương trình đường thẳng AC qua C F ⇒AC :x+y−4 =

(39)

Đề 47 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có đỉnh A(−4; 5) phương trình đường chéo là(d) : 7x−y+ = Viết phương trình cách cạnh hình vuông ABCD

Ta có A khơng nằm trên(d)⇒(d) phương trình đường chéo BD

Phương trình đường chéo AC qua A vng góc với(d)⇒AC :x+ 7y−31 = Tâm I hình vng giao điểm AC BD ⇒I

−1

2;

I trung điểm AC⇒C(3; 4)

Ta có AC =5√2⇒ hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâm I bán kínhR=

√

2

⇒(C) :

x+

2

+

y−9

2

= 25 B D giao điểm của(d) và(C)⇒ B D có tọa độ(−1; 1) ; (0; 8) Đến toán đơn giản dành cho bạn đọc

Đề 48: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi M trung điểm cạnh CD Điểm G

2;10

là trọng tâm tam giác BCM Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết phương trình đường thẳng AM : x−1 =

Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD M trung điểm CD ⇒ AD = CM = DM = BC

(40)

Phương trình CG qua G song song với AM⇒CG:x−2 =

Gọi H trung điểm BM Ta có độ dài đoạn MH khoảng cách AM CG⇒ MH =

⇒ BM = ⇒BC=CM =√2⇒CN =

√

2

2 ⇒M N =

r

5

2 ⇒M G=

3M N = 2√5 3√2

Lấy điểmM(1;m)∈AM ⇒M G2 = (1−2)2+

m−10

3

2

= 10 ⇒



 

m= m= 11

3

Vớim= 3⇒M(1; 3) Phương trình MH qua M vng góc với AM⇒M H :x= 3⇒H(2; 3) H trung điểm MB ⇒B(3; 3)

Lấy điểmC(2;c)∈CGta có HG= 3CG⇒

−−→

HG=

−−→

HC⇒C(2; 4) M trung điểm CD ⇒D(0; 2)

Phương trình AD qua điểm D vng góc với CD⇒AD:x+y−2 = A giao điểm AM AD ⇒A(1; 1)

Vớim= 11

3 xét tương tự Bài toán giải xong

Đề 49 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có A(1; 2), điểm C nằm đường thẳng (d) : 2x−y−5 = AB = 2AD Gọi M điểm nằm cạnh CD cho DM = 2CM Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết phương trình cạnh BM : 5x+y−19 =

Đặt AD = BC = x⇒ CD = AB = 2x ⇒CM = 3CD=

2x

3 ⇒BM =

√

13x

⇒cosM BC\ = BC BM =

3

√

13 ⇒sinM BC\ =

√

13 ⇒cosABM\ =

√

(41)

Góc AB BM gócABM\ Gọi−→n = (a;b) vtpt đường thẳng AB

⇒cosABM\ = √ |5a+b|

a2+b2.√26 =

√

13 ⇒17a

2+ 10ab−7b2 = 0⇒



 

a=−b a=

17b

Vớia=−b⇒ −→n = (1;−1) Phương trình đường thẳng AB qua A có vtpt −→n ⇒AB:x−y+ = B giao điểm AB BM⇒B(3; 4)

Phương trình đường thẳng BC qua B vng góc với AB⇒BC :x+y−7 = C giao điểm BC và(d)⇒C(4; 3)

Phương trình đường thẳng AD qua A vng góc với AB⇒AD:x+y−3 = Phương trình đường thẳng CD qua C vng góc với BC ⇒CD:x−y−1 = D giao điểm AD CD⇒D(2; 1)

Trường hợp cịn lại làm tương tự Bài tốn giải xong

Đề 50 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ tử đỉnh A đường thẳng BC có phương trình là(d1) : 3x+ 5y−8 = 0; (d2) :x−y−4 = Đường thẳng qua A vng góc với BC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D(4;−2) Viết phương trình cạnh AB AC biết hồnh độ điểm B lớn

Trung điểm M BC giao điểm (d1)và (d2)⇒M

7 2;−

1

Phương trình đường thẳng AD qua D vng góc với BC ⇒AD:x+y−2 = A giao điểm AD AM ⇒A(1; 1) Giả sử N trung điểm AD ⇒N

5 2;−

1

(42)

Phương trình trung trực AD qua N vng góc với AD ⇒(d3) :x−y−3 = Phương trình trung trực BC qua M vng góc với BC ⇒(d4) :x+y−3 =

Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC⇒I giao điểm của(d3)và(d4)⇒I(3; 0)⇒IA=√5 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính R=√5

⇒(C) : (x−3)2+y2=

Tọa độ B C giao điểm của(C)và (d2)⇒ B, C có tọa độ(5; 1) ; (2;−2) Hoành độ B lớn ⇒B(5; 1) ;C(2;−2)

(43)

Đề 51 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có tâm I(3; 3) AC = 2BD Điểm M

2;4

thuộc đường thẳng AB, điểm N

3;13

thuộc đường thẳng CD Viết phương trình đường chéo BD biết điểm B có hồnh độ nhỏ

Gọi P điểm đối xứng với N qua I⇒P

3;5

và P thuộc đường thẳng AB Phương trình đường thẳng AB qua M P ⇒AB:x−3y+ =

Ta có AC = 2BD⇒ AI = 2BI Tam giác ABI vuông I⇒AB=BI√5 vàcosABI[ = IB AB =

1 √ Gọi−→n = (a;b)là vtcp đường thẳng BD Ta có −−→M P = (3; 1)là vtcp đường thẳng AB ⇒ Góc AB BD gócABI[ hay cosABI[ = cos

−→

n ,−−→M P

⇒ √ |3a+b| 10.√a2+b2 =

1 √

5 ⇒7a

2+ 6ab−b2 = 0⇒

  

a=−b a= b

7

Vớia=−b chọn−→n = (1;−1) Phương trình BD qua I có vtcp−→n ⇒BD:x+y−6 = B giao điểm AB BD ⇒B(4; 2)

Vớia= b chọn

−

→n = (1; 7) Phương trình BD qua I có vtcp −→n ⇒BD: 7x−y−18 = 0

B giao điểm AB BD ⇒B

14 ;

8

(44)

Đề 52 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, biết tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H(2; 2), I(1; 2) trung điểm M

5 2;

5

của cạnh BC Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết xB > xC ( vớixB, xC hoành độ điểm B C)

Gọi G trọng tâm tam giác ABC⇒ ba điểm G, H, I thẳng hàng 2HI = 3HG Phương trình đường thẳng HI :y= 2.G∈HI ⇒G(g; 2)và 2−→HI = 3−−→HG⇒G

4 3;

Phương trình đường thẳng AG qua G M⇒AG: 3x−7y+ 10 = G trọng tâm ⇒AG= 2GM điểmA∈AG⇒A(−1; 1)

Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (C) : (x−1)2+ (y−2)2= Phương trình đường thẳng BC qua M vng góc với IM ⇒BC: 3x+y−10 = Tọa độ B C giao điểm củaBC và(C)⇒B(3; 1), C(2; 4)

Đề 53 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có C(−1;−1), phương trình cạnh AB x+ 2y−5 = AB = √5 Trọng tâm G tam giác ABC thuộc đường thẳng (d) :x+y−2 = Xác định tọa độ đỉnh lại tam giác ABC

Lời giải tham khảo : ( tương đối dễ )

GọiA(5−2a;a)∈AB vàB(5−2b;b)∈AB

⇒AB2 = (a−b)2= 5⇔a−b=±1 (1) Tọa độ trọng tâm G tam giác làG

10−2a−2b−1

3 ;

a+b−1

∈(d) ⇒a+b= (2)

(45)

Đề 54 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có tâm I, điểm K(0; 2) thuộc đoạn IA M N trung điểm cạnh AB CD nằm đường thẳng (d) :x−1 = Q giao điểm KM với BC Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết điểm H(4; 8)thuộc đường thẳng NQ

Gọi−→n = (a;b)là vecto pháp tuyến đường thẳng AC Ta có \AIM = 45o

⇒cos\AIM = √ a a2+b2 =

1 √

2 ⇔

 

a=b a=−b

X Vớia=b⇒ −→n = (1; 1)phương trình AC qua K có vtpt −→n ⇒AC :x+y−2 = 0⇒I(1; 1) Lấy điểmA(a; 2−a)∈AC phương trình AB qua A vng góc với (d) :x−1 = ⇒AB:y+a−2 = M giao điểm AB MN⇒M(1; 2−a)⇒B(2−a; 2−a) I giao điểm AC MN⇒I(1; 1) I trung điểm MN⇒N(1;a)

Phương trình đường thẳng BC qua B song song với MN⇒BC :x= 2−a Phương trình đường thẳng KM qua M K⇒KM :ax+y−2 =

Q giao điểm KM BC⇒Q 2−a;a2−2a+ Điểm H thuộc đường thẳng QN⇒−−→N H =α−−→N Q⇒

a−1 =

a−8

a2−3a+ 2 ⇔a

2= 1⇔a=±1

– Vớia= 1⇒A(1; 1) loại trùng với điểm I

– Vớia=−1⇒A(−1; 3)⇒B(3; 3)⇒C(3;−1), D(−1;−1) X Vớia=−b xét tương tự

Đề 55 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD ĐiểmM(1; 2) trung điểm cạnh AB, điểm N nằm cạnh AC cho AN = 3NC Tìm tọa độ đỉnh hình vng biết phương trình đường thẳng DN x+y−1 = 0và hoành độ điểm A lớn

(46)

Gọia >0là độ dài cạnh hình vng ABCD ⇒AM = a

2;CN = AC

4 = a√2

4 Tam giác AMD vuông A⇒DM2 =a2+ a

2

4 = 5a2

4

Tam giác AMN cóM N2 =AN2+AM2−2AM.AN.cosM AN\ = 5a2 Tam giác CDN cóDN2 =CD2+CN2−2.DN.CN.cosN CD\ = 5a

2

8 ⇒ tam giác DMN cóDM2 =M N2+DN2 ⇒ tam giác DMN vng N

Phương trình đường thẳng MN qua M vng góc với DN⇒M N :x−y+ = N giao điểm MN DN ⇒N(0; 1)⇒M N2= = 5a

2

8 ⇒a= √

5 ⇒DM = ĐiểmD∈DN ⇒D(d; 1−d)⇒DM2 = (d−1)2+ (d+ 1)2= 4⇔d=±1

X Vớid= 1⇒D(1; 0) Gọi điểmA(a;b) Ta cóAD=a= √4

5 ⇒(a−1)

2+b2 = 16

5 (1)

AM = a =

2 √

5 ⇒(a−1)

2+ (b−2)2 =

5 (2)

Từ(1) và(2)⇒

  

a= a= ⇒A 5;

( hoành độ điểm A lớn 1)

M trung điểm AB⇒B

5; 12

Phương trình đường thẳng AC qua A N ⇒AC:x−3y+ =

Phương trình đường thẳng CD qua D vng góc với AD ⇒CD:x+ 2y−1 = C giao điểm CD AC⇒C

−3 5;

X Vớid=−1 xét tương tự ( trường hợp loại )

Đề 56 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABCD hình thang vng A D có BC = 2AB = 2AD Trung điểm BC điểm M(1; 0), đường thẳng AD có phương trình x−√3y+ = Tìm tọa độ đỉnh A biết DC > AB

(47)

GọiAB=AD=x⇒BC = 2x Gọi H hình chiếu B lên CD⇒AB=BH=x Tam giác BCH vuông H⇒CE =x√3 MN đường trung bình hình thang ABCD

⇒2M N =AB+CD=x+x+x√3 = 4⇒x= 2−√3 A thuộc đường tròn tâm N bán kính R= 2−√3

⇒(C) :x2+ y−√32

= 2−√32

A giao điểm AD và(C) Bài toán giải xong

Đề 57 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích 96 Gọi M(2; 0)là trung điểm AB, phân giác góc A có phương trình(d) :x−y−10 = Đường thẳng AB tạo với đường thẳng (d) gócα thỏa mãn cosα =

5 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC

Giả sử−→n = (a;b)là vecto pháp tuyến đường thẳng AB

⇒cosα= √ |a−b| 2.√a2+b2 =

3 ⇔7a

2−10ab+ 7b2= 0⇔

  

a= 7b a= b

7

X Vớia= 7b⇒ −→n = (7; 1)phương trình AB qua M có vtpt −→n ⇒AB : 7x+y−14 =

A giao điểm AB và(d)⇒A(3; 7) M trung điểm AB ⇒B(1; 7)

(48)

Phương trình đường thẳng AC qua A N ⇒AC:x+ 7y+ 46 = AB= 10√2;d(B, AC) = √96

50 Diện tích tam giác ABC S=

2.AC.d(B, AC) = 96⇒AC = 10 √

2⇒C(17;−9) X Vớia= b

Đề 58: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Biết phương trình cạnh BC (d) :x−3y+ 13 = 0, điểmM(−1;−1)thuộc cạnh AB nằm đoạn AB, điểmN(3; 2) thuộc đường thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

Gọi−→n = (a;b)là vecto pháp tuyến đường thẳng AB Tam giác ABC vuông cân A

⇒cos\ABC = √ |a−3b| 10.√a2+b2 =

1 √

2 ⇔4a

2+ 6ab−4b2 = 0⇔

  

a=−2b a= b

2

X Vớia=−2b⇒ −→n = (2;−1) Phương trình đường thẳng AB : 2x−y+ =

B giao điểm AB BC⇒B(2; 5)

Đường thẳng AC qua N vng góc với AB⇒AC :x+ 2y−7 = 0⇒A(1; 3) Ta cóxM < xA< xB ⇒M nằm ngồi A B ⇒ thỏa mãn

C giao điểm BC AC⇒C(−1; 4) X Vớib= 2axét tương tự ( trường hợp loại ) Bài toán giải xong

Đề 59 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có điểmM(−3; 0)là trung điểm cạnh AB, điểmH(0;−1)là hình chiếu vng góc B lên AD điểmG

4 3;

là trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm B D hình bình hành

GọiI(a;b)là tâm hình bình hành, ta có−CG−→= 2GI−→⇒C(4−2a; 9−2b)

I trung điểm AC⇒A(4a−4; 4b−9) M trung điểm AB⇒B(−4a−2; 9−4b) I trung điểm BD ⇒D(6a+ 2; 6b−9)

(49)

H hình chiếu B lên AD nên ta có −−→

AD//−−→HA⇔ 4a−4 2b =

4b−8

2a+ ⇔a= 2b−3 (1) −−→

AD.−−→BH = 0⇔(2a+ 6) (4a+ 2) + 2b(4b−10) = (2) Từ(1) và(2)⇒I(−3; 0)hoặcI

0;3

Đến toán qua đơn giản

Đề 60 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD với điểm A(−3; 6) Biết tam giác ABC có AB.AC = 60√2 nội tiếp đường trịn có tâm I(1; 3), bán kính R = Hình chiếu điểm A xuống cạnh BC thuộc đường thẳng (d) : x+ 2y−3 = Hãy tìm tọa độ đỉnh B, C, D biết hồnh độ hình chiếu A bé hồnh độ điểm B bé hoành độ điểm C

Ta có diện tích tam giác ABCS = AB.AC.BC 4R =

√

2.BC =

2AH.BC ⇒AH = √

2

Lấy điểmH(3−2h;h)∈(d)⇒(6−2h)2+ (h−6)2= 72⇒

  

h= h= 36

5

(50)

Phương trình đường thẳng BC qua H vng góc với AH⇒BC :x−y−3 = Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC(C) : (x−1)2+ (y−3)2= 25 Tọa độ B C giao điểm BC (C)⇒B(1;−2), C(6; 3)

Gọi K tâm hình bình hành ABCD⇒I

3 2;

9

K trung điểm BD⇒D(2; 11) Bài toán giải xong

Đề 61 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ba góc nhọn Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết chân ba đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tương ứng M(−1;−2) ;N(2; 2) ;P(−1; 2)

Dễ dàng chứng minh kết sau : Cho tam giác ABC có ba gọc nhọn Trực tâm tam giác ABC trùng với tâm đường trịn nội tiếp tam giác có ba đỉnh chân ba đường cao tam giác ABC

Áp dụng vào tốn ta có H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP Phương trình đường thẳng MN qua M N⇒M N : 4x−3y−2 = Phương trình đường thẳng MP qua M P⇒M P :x+ = Phương trình đường thẳng NP qua N P ⇒N P :y−2 = Gọi tọa độ điểm H(a;b) ta có d(H, M N) =d(H, N P) =d(H, M P) ⇔ |a+ 1|

1 =

|b−2|

1 =

|4a−3b−2|

5 ⇒H(0; 1) Đến toán đơn giản

Đề 62 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cóH(1; 1)là chân đường cao hạ từ đỉnh A, điểm M(0; 3) trung điểm cạnh BC Biết rằngBAH\ =HAM\ =M AC Xác\ định tọa độ đỉnh tam giác ABC

Tam giác BAH có AH đường cao phân giác⇒tam giác BAH cân A⇒H trung điểm BM ⇒B(2;−1) M trung điểm BC⇒C(−2; 7)

(51)

Tam giác CAH có AM phân giác góc A ⇒ M H M C =

AH AC =

1

2 ⇔AC= 2AH ⇒(a+ 2)2+ (2a−8)2 = (a−1)2+ (2a−2)2 ⇔a= ⇒A

Đề 63: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A ĐiểmK

6 5;−

3

là chân đường cao hạ từ B Gọi M, N trung điểm BC AB Điểm E(−3; 0) điểm đối xứng với M qua N Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm M thuộc đường thẳng (d) : 4x+y−2 =

Tam giác ABK vuông K có N trung điểm AB⇒ NK = NA = NB

Tứ giác EAMB hình bình hành ( hai đường chéo cắt trung điểm đường ) mà AM⊥BM⇒ EAMB hình chữ nhật ⇒NE = NK

Xét tam giác EKM có N trung điểm EM NK = NE = NM ⇒tam giác EKM vuông K Đường thẳng KM qua K vng góc với EK ⇒KM : 7x−y−9 =

(52)

B giao điểm (C1) và(C2)⇒B(0;−3) M trung điểm BC⇒C(2;−1) N trung điểm AB ⇒A(−2; 1)

Đề 64 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB Điểm N(4; 2) thuộc đoạn CD thỏa mãn DN = 2CN Gọi M điểm BC cho BC = 4BM Xác định tọa độ điểm A biết phương trình đường thẳng AM : x+ 2y−18 =

Đặt AB = x⇒ AD = 2x BC = 4BM⇒BM = x

2, CM = 3x

2 , DN = 2x

3 , CN = x Tam giác ABM vuông B ⇒AM = x

√ Tam giác MCN vuông C⇒M N = x

√ 85 Tam giác ADN vuông D ⇒AN = x

√ 40

Áp dụng định lý Cosin vào tam giác AMN có cosM AN\ = AN

2+AM2−M N2

2.AM.AN =

1 √ Gọi−→n = (a;b)là vtpt đường thẳng AN, ta có vtpt đường thẳng AM −→n1 = (1; 2)

⇒cosM AN\ = √|a+ 2b| 5.√a2+b2 =

1 √

2 ⇒

  

a= 3b a=−b

3 X Vớia= 3b⇒AN : 3x+y−14 = 0⇒A(2; 8)

X Vớia=−b

3 ⇒AN :x−3y+ = 0⇒A(10; 4) Bài toán giải xong

(53)

Gọi G trung điểm DH Tam giác DHC có MG đường trung bình ⇒MG // CD CD = 2MG ⇒ AGMB hình bình hành⇒ AG // BM

Xét tam giác ADM có DH đường cao MG ⊥AD⇒ G trực tâm ⇒ AG⊥DM ⇒ DM ⊥BM Phương trình DM qua M vng góc với BM⇒DM : 3x+ 2y−19 = D giao điểm AD DM⇒D(3; 5)

Phương trình đường thẳng AB qua B vng góc với AD ⇒AB:x+y−12 = A giao điểm AB AD⇒A(5; 7)

Đến toán đơn giản

Đề 66 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) : (x+ 1)2+ (y−2)2 = 25, phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A có phương trình (d) :x−y+ = Hình chiếu vng góc đỉnh A lên cạnh đường thẳng BC nằm trục tung Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh A có hồnh độ dương

Đường trịn(C) có tâm I(−1; 2)và bán kính R =

A giao điểm của(C) trung tuyến xuất phát từ A⇒A(3; 5) ( A có hồnh độ dương )

(54)

⇒−IM−→= (m+ 1;m) ;−−→AH = (3; 5−h) ;−−→HM =m;m−h+ Ta có−IM //−→ −−→AH⇒ m+

3 = m

5−h (1)

−−→

IM⊥−−→HM ⇒m(m+ 1) +m(m−h+ 2) = (2)

Từ(1) và(2)⇒

  

m=−2 m=

2

X Vớim=−2⇒h=−1⇒(−2; 0) ;H(0;−1)

Phương trình đường thẳng BC qua M H⇒BC :x+ 2y+ = B C giao điểm BC (C)⇒B C

X Vớim=

Đề 67 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(−1;−2), B(−3; 2) đường thẳng (d) :x+ 2y−3 = 0, đường tròn (C) :x2+y2+ 6x+ 2y−40 = Viết phương trình đường trịn (T) có tâm nằm đường thẳng(d)và cắt (C) hai điểmC, D cho tứ giác ABCD hình bình hành

Đường trịn(C) có tâm I(−3;−1) Gọi H tâm đường tròn (T) Đường tròn(T) cắt(C) CD⇒ IH ⊥CD hay IH ⊥AB ( ABCD hình bình hành )

Phương trình đường thẳng IH qua H vng góc với AB ⇒IH:x−2y+ = H giao điểm IH và(d)⇒H(1; 1) IH cắt CD trung điểm N CD GọiG(a;b) tâm hình bình hành ĐiểmM(−2; 0) trung điểm AB ABCD hình bình hành nên G trung điểm MN ⇒N(2a+ 2; 2b) ĐiểmN ∈IH ⇒2a+ 2−4b+ = 0⇔2a−4b=−3 (1)

G tâm hình bình hành ⇒G trung điểm AC⇒C(2a+ 1; 2b+ 2) C∈(C)⇒(2a+ 5)2+ (2b+ 3)2 = 50 (2)

Từ(1) và(2)⇒G( ) Bài toán giải xong

(55)

Gọi−→n = (a;b)là vecto pháp tuyến đường thẳng AB

Phương trình đường thẳng AB qua A có vtpt−→n ⇒AB:ax+by−a−7b=

Phương trình đường thẳng AD qua A vng góc với AB⇒AD:bx−ay−b+ 7a= ABCD hình vng ⇒d(M, AD) =d(N, AB)

⇔ √|6b+ 2a| a2+b2 =

|3a−6b| √

a2+b2 ⇔

 

a= a= 12b

X Vớia= 0⇒ −→n = (0; 1)⇒AB:y−7 =

Phương trình AD :x−1 = Phương trình BC qua M song song với AD⇒BC :y= Phương trình đường thẳng CD qua N song song với AB⇒CD :x=

⇒B(7; 7) ;C(7; 1) ;D(1; 1) X Vớia= 12bxét tương tự

Đề 69: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12 ĐiểmI

9 2;

3

là tâm hình chữ nhật, điểmM(3; 0)là trung điểm cạnh AD Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhậtABCD

Phương trình đường thẳng ADđi qua M vng góc với IM ⇒AD:x+y−3 = GọiN trung điểm AB Ta cóIM = √3

(56)

⇒N thuộc đường trịn tâm I bán kính làIN =√2⇒(C) :

x−9

2

+

y−

2

= Phương trình đường thẳng IN qua I vng góc với IM ⇒IN :x+y−6 =

N giao điểm (C) IN⇒N

2; , N 11 ;

X VớiN

2;

phương trình đường thẳng AB quaN vng góc vớiIN ⇒AB:x−y−1 = A giao điểm AD AB⇒A(2; 1), N trung điểm AB⇒B(5; 4)

I trung điểm AC⇒C(7; 2), I trung điểm BD ⇒D(4;−1) X VớiN

11 ;

xét tương tự Bài toán giải xong

Đề 70 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A (d) : 3x−y + = 0, trực tâm H(−2;−1), M

1 2;

là trung điểm AB, BC =√10 Xác định tọa độ đỉnh tam giác giác ABC biết hoành độ điểmB bé hoành độ điểm C

Gọi N trung điểm AC ⇒M N = 2BC=

√ 10

Phương trình đường thẳng MN qua M vng góc với(d)⇒M N :x+ 3y−25 = Gọi P giao điểm MN và(d)⇒P

−1 4; 17

ĐiểmN ∈M N ⇒N

25

2 −3n;n

⇒M N2 = (12−3n)2+ (4−n)2 = 10

⇔

  

n= n= ⇒     N −1;9 N 2;7

Nhận điểmN

−1;9

(57)

ĐiểmA∈(d)⇒A(a; 3a+ 5) M trung điểm AB ⇒B(1−a; 3−3a) H trực tâm tam giác ABC ⇒BH ⊥AN⇒−−→BH.−−→AN =

Bài toán đến đơn giản

Đề 71: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 30 hai điểmM(1; 4), N(−4;−1)lần lượt nằm hai đường thẳng AB AD Phương trình đường chéo AC là7x+ 4y−13 = Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết hai điểm A D có hồnh độ âm

Do điểmA∈AC ⇒A(4a−1; 5−7a) Có AM⊥AN⇒−−→AM −−→AN =

⇒(4a−2) (4a+ 3) + (1−7a) (6−7a) = 0⇔65a2−45a= 0⇔

  

a= a=

13

⇒A(−1; 5)

Phương trình đường thẳng AB qua A M ⇒AB:x+ 2y−9 = Phương trình đường thẳng AD qua A N⇒AD: 2x−y+ = ĐiểmD∈AD⇒D(d; 2d+ 7) vàB ∈AB⇒B(9−2b;b)

Gọi I tâm hình chữ nhật⇒I

d+ 9−2b

2 ;

2d+ +b

∈AC⇒3d−2b+ 13 = (1) AD=√5.|d+ 1|và AB=√5.|b−5| Diên tích hình chữ nhật ABCD

S =AB.AD= 5.|d+ 1|.|b−5|= 30 (2)

Từ(1) và(2)⇒d=−3;b= 2( điểm D có hồnh độ âm ) ⇒D(−5;−3) ;B(5; 2) Tọa độ tâm I

0;−1

⇒C(1;−6) Bài toán giải xong

Đề 72 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích 1, điểm B(1;−2)và phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh A (d) :x−y+ = Xác định tọa độ đỉnh lại tam giác ABC biết điểm C thuộc đường thẳng (d1) : 2x+y−1 =

Phương trình đường thẳng BC qua B vng góc với (d)⇒BC:x+y+ = C giao điểm BC và(d1)⇒C(2;−3)⇒BC =

√

(58)

Diện tích tam giác ABC S=

2AH.BC = 1⇒AH= √

2 ĐiểmA∈(d)⇒A(a;a+ 3)

⇒AH2 = (a+ 2)2+ (a+ 2)2 = 2⇒a=−3;a=−1⇒A Bài toán giải xong

Đề 73 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm M(3; 0) trung điểm cạnh AD, đỉnh B nằm đường thẳng (d) :x−y−1 = đường chéo AC có phương trìnhx−5y+ = Biết điểm A có tung độ bé hớn Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD

ĐiểmA∈AC⇒A(5a−3;a) M trung điểm AD⇒D(9−5a;−a) ĐiểmB ∈(d)⇒B(b;b−1) Gọi I tâm hình chữ nhật

⇒I

9−5a+b

2 ;

−a+b−1

∈AC ⇒9−5a+b+ 5a−5b+ + = 0⇔b= 5⇒B(5; 4)

Có AB ⊥AM ⇒−AB.−→−−→AM = 0⇒(5a−6) (5a−8) +a(a−4) = 0⇔26a2−74a+ 48 = 0⇔

  

a= a= 24

13 X Vớia= 1⇒A(2; 1)⇒D(4;−1) ;I

9 2;

3

⇒C(7; 2)

X Vớia= 24 13 ⇒ Bài toán giải xong

Đề 74 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có M trung điểm cạnhBC, phương trình đường thẳng DM :x−y−2 = Đỉnh C(3;−3)và đỉnh A thuộc đường thẳng (d) : 3x+y−2 = Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình vuông

Đặt AB=a Xét∆DCM vng C ta có DM2=CM2+CD2 = 5a

2

4 ⇒DM = a√5

2 ⇒cosCM D\ = √ Gọi−→n = (a;b)là vecto pháp tuyến đường thẳng BC, ta có

cosCM D\ = √ |a−b| 2.√a2+b2 =

1 √

5 ⇔3a

2−10ab+ 3b2 = 0⇔

 

(59)

X Vớia= 3b⇒ −→n = (3; 1)⇒CB : 3x+y−6 =

Phương trình đường thẳng CD qua C vng góc với BC⇒CD:x−3y−12 = 0⇒D(−3;−5) Phương trình đường thẳng AD qua D song song với BC⇒ AD: 3x+y+ 14 = có AD // (d) ⇒loại

X Vớib= 3a⇒ −→n = (1; 3)⇒BC :x+ 3y+ =

Phương trình đường thẳng CD qua C vng góc với BC ⇒CD: 3x−y−12 = 0⇒D(5; 3) Phương trình đường thẳng AD qua A song song với BC ⇒AD:x+ 3y−14 = 0⇒A(−1; 5) Phương trình đường thẳng AB qua A song song với CD⇒AB: 3x−y+ = 0⇒B(−3;−1) Bài toán giải xong

Đề 75 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có phương trình đường

chéo AC : x−y+ = 0, điểm G(1; 4) trọng tâm tam giác ABC Điểm E(0;−3) thuộc đường cao kẻ từ Dcủa tam giácACD Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành cho biết diện tích tứ giác AGCB bằng16 điểmA có hồnh độ dương

Lời giải tham khảo

Ta cód(G, AC) =√2,Glà trọng tâm tam giác ABC ⇒d(B, AC) = 3d(G, AC) = 3√2 ABCD hình bình hành⇒d(B, AC) =d(D, AC) = 3√2

Phương trình đường cao DE tam giác ACD qua E vng góc với AC⇒DE:x+y+ =

ĐiểmD∈DE ⇒D(d;−d−3)⇒d(D, AC) = |2d√+ 4| =

√

2⇔ |d+ 2|= 3⇔

 

d= d= • Vớid= 1⇒D(1;−4) Gọi I tâm hình bình hành⇒I(α;α+ 1)

G trọng tâm tam giác ABC⇒−→DI = 3−IG→⇒I(1; 2) I trung điểm BD ⇒B(1; 8)

Mặt khác SABC=

3

2SAGCB= 24⇒SABC =

2.AC.d(B, AC) = 24⇒AC = √

(60)

ĐiểmA∈AC⇒A(a;a+ 1)⇒IA2 = (a−1)2+ (a−1)2 = 32⇔

 

a= a=−3

⇒A(5; 6)

I trung điểm AC⇒C(−3;−2) • Vớid= xét tương tự

Đề 76 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD Điểm M(1; 2) trung

điểm cạnh AB, điểm N nằm cạnh AC cho AN = 3NC Tìm tọa độ đỉnh hình vng biết phương trình đường thẳng DN x+y−1 = 0và hoành độ điểm A lớn

Gọia >0là độ dài cạnh hình vng ABCD ⇒AM = a

2;CN = AC

4 = a√2

4 Tam giác AMD vuông A⇒DM2 =a2+ a

2

4 = 5a2

4

Tam giác AMN cóM N2 =AN2+AM2−2AM.AN.cosM AN\ = 5a

8 Tam giác CDN cóDN2 =CD2+CN2−2.DN.CN.cosN CD\ = 5a

2

8 ⇒ tam giác DMN cóDM2 =M N2+DN2 ⇒ tam giác DMN vng N

Phương trình đường thẳng MN qua M vng góc với DN⇒M N :x−y+ = N giao điểm MN DN ⇒N(0; 1)⇒M N2= = 5a

2

8 ⇒a= √

5 ⇒DM = ĐiểmD∈DN ⇒D(d; 1−d)⇒DM2 = (d−1)2+ (d+ 1)2= 4⇔d=±1

• Vớid= 1⇒D(1; 0) Gọi điểmA(a;b) Ta cóAD=a= √4

5 ⇒(a−1)

2+b2 = 16

5 (1)

AM = a =

2 √

5 ⇒(a−1)

2+ (b−2)2 =

(61)

Từ(1) và(2)⇒

  

a= a=

⇒A

9 5;

8

( hoành độ điểm A lớn 1)

M trung điểm AB⇒B

1 5;

12

Phương trình đường thẳng AC qua A N ⇒AC:x−3y+ =

Phương trình đường thẳng CD qua D vng góc với AD ⇒CD:x+ 2y−1 = C giao điểm CD AC⇒C

−3 5;

4

• Vớid=−1 xét tương tự ( trường hợp loại ) Bài toán giải xong

Đề 77 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

(C) : x2+y2 = 25, điểm K(2; 1) thuộc đường thẳng AC Hai đường cao BM CN Xác định tọa độ đỉnh tam giácABC biết phương trình đường thẳngM N : 4x−3y+ 10 = 0và điểm A có hồnh độ âm

Đường trịn (C) tâm O(0; 0) bán kính R = Tứ giác BN M C nội tiếp ⇒ \ACB=M N A\ ( bù với góc M N B\ )

Gọixy tiếp tuyến với đường tròn (C) tạiA, ta cóACB\=xAB[ ( chắn cung AB )

Do xAB[ =M N A\ hai góc vị trí so le ⇒xy // M N ⇒OA ⊥MN

(62)

C giao điểm (C) vàAC ⇒C(5; 0) M giao điểm AC M N ⇒M(−1; 2)

Phương trình đường thẳng BM quaM vng góc vớiAC ⇒BM : 3x−y+ = B giao điểm của(C)và BM ⇒B(−3;−4)hoặc B(0; 5)

Đề 78 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đỉnhA(−3; 1)và

điểm C nằm đường thẳng (d) : x−2y−5 = Gọi E giao điểm thứ hai đường trịn tâm B bán kính BD với đường thẳng CD Hình chiếu vng góc D xuống đường thẳng BE điểmN(6;−2) Xác định tọa độ đỉnh B, C, D hình chữ nhật

Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD Tam giácDN B vng N có I trung điểm BD⇒ ID= IN =IB

Xét tam giácAN C có I trung điểm AC IA=IN =IC ⇒∆AN C vng N hay NC ⊥AN Phương trình đường thẳng NC qua N vng góc với AN⇒N C: 3x−y−20 =

C giao điểm NC (d)⇒C(7; 1), I trung điểm AC⇒I(2; 2) Dễ dàng chứng minh được∆N IC = ∆DIC ⇒AC trung trực DN Phương trình đường thẳng AC : y - =

Phương trình đường thẳng DN qua N vng góc với AC ⇒DN :x−6 = G giao điểm DN AC ⇒G(6; 1), G trung điểm DN⇒D(6; 4) I trung điểm BD ⇒B(−2; 0)

(63)

Đề 79 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có tam giácABD vng cân nội tiếp đường trịn (C) : (x−2)2+ (y−1)2 = Biết hình chiếu vng góc B D xuống đường chéo AC làH

22 ;

14

và K

13 ;

11

Xác định tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biếtB, D có tung độ dương vàAD= 3√2

Đầu tiên ta cần xác định tam giácABD vng đâu

• Nếu vng A suy ABCD hình vng ⇒ vơ lý • Nếu vng B ta có AD= 2R= 66= 3√2⇒ vơ lý Do tam giác ABD vuông cân D

Gọi I giao điểm hai đường chéo hình bình hành, I trung điểm HK⇒I

7 2;

5

Phương trình đường thẳng AC qua H K⇒AC :x−3y+ = A giao điểm của(C) AC⇒A(−1; 1)

(C) có tâm E(2; 1), E trung điểm AB⇒B(5; 1) Từ dễ dàng suy tọa độ điểm C D

Đề 80 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có hai điểm E F

lần lượt nằm hai cạnh AB AD choBE = 2AE, F A= 3F D, biết điểm F(2; 1) Đường thẳng CE có phương trìnhx−3y−9 = Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết tam giác CEF vng F đỉnh C có hoành độ dương

Đặt cạnh AB= 3a=CD, AD=BC= 4a⇒EB = 2a, EA=a, AF = 3b, DF =b Tam giác∆AEF vuông tạiA⇒EF2 =a2+ 9b2

Tam giác∆BCE vuông tạiB ⇒CE2 = 4a2+ 16b2 Tam giác∆DCF vuông tạiD⇒CF2 = 9a2+b2

Tam giác∆CEF vuông tạiF ⇒4a2+ 16b2 = 10a2+ 10b2 ⇔a=b ⇒EF2=CF2 = 10a2 ⇒∆CEF vuông cân tạiF ⇒\F CE= 45o

Giả sử−→n = (a;b)là vecto pháp tuyến đường thẳng CF, vtpt CE là−n→1 = (1;−3)

⇒ √ |a−3b| 10.√a2+b2 =

1 √

2 ⇔2a

2+ 3ab−2b2 = 0⇔

  

a=−2b a= b

(64)

• Vớib= 2a⇒ −→n = (1; 2), phương trình đường thẳngCF :x+ 2y−4 = C giao điểm CF CE ⇒C(6;−1)( thỏa mãn C có hồnh độ dương ) Phương trình đường thẳng EF qua F vng góc với CF⇒EF : 2x−y−3 = E giao điểm CE EF⇒E(0;−3)

D giao điểm đường tròn tâm C bán kính CD = 3a = 3√2 đường trịn tâm F bán kính F D=b=√2D(3; 2)

Đến tốn đơn giản • Vớia=−2b xét tương tự

Đề 81 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A, phương trình cạnh

BC (d) : 2x−y+ = ĐiểmI trung điểm cạnh BC, điểm E(4; 1) nằm cạnh AB Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC 90

Tam giácABC cân A⇒AI vừa đường cao vừa đường phân giác gócA Phương trình đường phân giác AI quaA vng góc với BC ⇒AI :x+ 2y+ = QuaE kẻ đường thẳng vng góc với AI cắtAI AC F M

Phương trình đường thẳng EM quaE vng góc vớiAI ⇒EM : 2x−y−7 =

Tọa độ điểmF giao điểm EM vàAI ⇒F(2;−3).F trung điểm củaEM ⇒M(0; 7) Lấy điểmB(b; 2b+ 3)∈BC ⇒C(−4−b; 5−2b)

Tam giácABC cân A⇒ABC\=\ACBhay (BE, BC) = (M C, BC) −−→

BE = (b−4; 2b−2),−−→M C = (4 +b; 2b−2),−BC−→= (1; 2)

⇒ √|b−4 + 2b−4| 5.√5b2−16b+ 20 =

|5b| √

5.√5b2+ 20 ⇔

 

(65)

• Vớib= 1⇒B(1; 5)⇒C(−5;−7)⇒BC = 6√5 S=

2.AI.BC= 90⇒AI = √

5 Lấy điểmA(−2a−4;a)∈AI

⇒AI2= (2a+ 2)2+ (a+ 1)2 = 90⇔

 

a= a=−7

⇒

 

A(−14; 5) A(10;−7) • Vớib= xét tương tự

Đề 82: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B phân giác kẻ từ C có phương trình là(d1) : 3x−4y+ 27 = 0; (d2) : 4x+ 5y−3 = 0; (d3) :x+ 2y−5 = Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta cóAH⊥BC ⇒BC có vtcp −→u4 = (3;−4)

Gọi−→u5 = (a;b)là vtcp đường thẳng AC Ta có CD phân giác góc C ⇒cos (−→u3,−→u4) = cos (u3,→− −→u5) −→u3= (2;−1)

⇒ √|2a−b| 5.√a2+b2 =

10 √

5.√25 ⇔

  

b= b=−4

3a Vớib=−4

3a⇒chọn − →

u5 = (3;−4)loại trùng với−→u4 Vớib= 0⇒ −→u5 = (1; 0)

ĐiểmA∈(d1)⇒A(−1 + 4a; + 3a) vàC∈(d3)⇒C(5−2c;c)⇒−→AC = (6−2c−4a;c−3a−6) Ta có−→u5 và−→AC phương⇒c−3a−6 = (1)

M trung điểm AC⇒M

4a+ 4−2c

2 ;

3a+c+

Trung điểm M thuộc(d2)

⇒4.4a+ 4−2c +

3a+c+

(66)

Từ(1) và(2)⇒a= 1;c= 3⇒A(−5; 3) ;C(−1; 3)

Phương trình đường thẳng BC qua C vng góc với AH⇒BC : 4x+ 3y−5 = B giao điểm BM BC⇒B(2;−1)

Bài toán cở : Biết tọa độ đỉnh tam giác tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Tâm I

−3;−13

vàR= √

65

Đề 83: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cóM(−1;−1), N(0; 2)lần lượt trung điểm AB AC ĐiểmD(1; 0) chân đường phân giác góc A Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC

Phương trình đường thẳng BC qua D song song với MN⇒BC : 3x−y−3 = ĐiểmB ∈BC⇒B(b; 3b−3)

M trung điểm AB ⇒A(−2−b; 1−3b), N trung điểm AC⇒C(2 +b; + 3b) Ta cóDB2 = (1−b)2+ (3−3b)2 = 10 (b−1)2

DC2 = (b+ 1)2+ (3 + 3b)2 = 10 (b+ 1)2

AB2= (b+ 1)2+ (3b−2)2 = 20 2b2−2b+ AC2 = (b+ 2)2+ (3b+ 1)2 = 20 2b2+ 2b+ AD phân giác góc \BAC⇒ DB

AB = DC AC ⇒

DB2 AB2 =

DC2 AC2 (b−1)2

2b2−2b+ 1 =

(b+ 1)2 b2+ 2b+ 1 ⇔

(b−1)2 b2+ (b−1)2 =

(b+ 1)2

b2+ (b+ 1)2 ⇔b

2(b−1)2 =b2(b+ 1)2 ⇔b= 0

Vớib= 0⇒A(−2; 1), B(0;−3), C(2; 3) Bài toán giải xong

Đề 84: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH, thỏa mãn BC = 3BH Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABH có phương trình (C) :x2+y2−4x−2y= 0, phương trình đường thẳng AC x−y+ = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm A có tung độ dương

A có tung độ dương A giao điểm của(C)và AC ⇒A(1; 3) hoặcA(0; 2)

(67)

⇒B(3;−1)

ĐiểmC ∈AC ⇒C(c;c−2) Ta cóBC= 3BH ⇒H

c+ ;

c

H∈(C)⇒

c+ −2

2

+c 3−1

2

= 5⇒c= ⇒C • VớiA(0; 2) xét tương tự

Đề 85: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCDcó điểm A(−2; 3) Điểm M(4;−1) nằm cạnh BC, đường thẳng AM cắt đường thẳng DC điểm N(7;−3) Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình vng ABCD

Ta cóM N =√13, AN = 3√13 Tam giác NAD tam giác NMC đồng dạng ⇒ M N

AN = M C

AD =

3 ⇒AD= 3M C ⇒BC = 3M C, BM = 2M C Tam giác ABM vng B có BM2+AB2 =AM2 ⇔BM2+9

4BM

2 = 52⇒BM = 4⇒AB= 6

AB= 6⇒B ∈(C1) : (x+ 2)2+ (y−3)2 = 36 BM = 4⇒B ∈(C2) : (x−4)2+ (y+ 1)2= 14 B giao điểm (C1) và(C2)⇒B(4; 3) hoặcB

4 13;−

35 13

• VớiB(4; 3)⇒ phương trình đường thẳng BM qua B M BM :x−4 = Có BM = 2MC⇒C(4;−3)

(68)

• VớiB

4 13;−

35 13

xét tương tự

Đề 86 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) :x2+y2−4x−2y= đường phần giác góc\BAC có phương trình làx−y= Biết diện tích tam giác ABC ba lần diện tích tam giác IBC với I tâm đường trịn(T) điểm A có tung độ dương Viết phương trình đường thẳng BC

A giao điểm phân giác x−y= đường tròn (T)⇒A(3; 3) ( A có tung độ dương ) Giao điểm thứ hai phân giácx−y = 0với (T) làO(0; 0)là điểm cung BC ⇒ IO⊥BC I tâm đường tròn (T)⇒I(2; 1) Phương trình đường thẳng BC vng góc với ID

⇒ BC có dạng (d) : 2x+y+α=

Ta có diện tích tam giác ABC ba lần diện tích tam giác IBC ⇒d(A,(d)) = 3d(I,(d))

⇒ |9 +√α| =

3|5 +α| √

5 ⇔

 

α=−3 α=−6

⇒

 

(d) : 2x+y−3 = (d) : 2x+y−6 =

Đề 87 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD với điểmN(1; 2) trung điểm BC Đường thẳng (d) : 5x−y+ = 0là đường trung tuyến xuất phát từ A tam giác ADN Tìm tọa độA, B, C, D hình vng

Đặt cạnh hình vng AB= 2a⇒BN =CN =a

Tam giác ABN vuông B⇒AN2 =AB2+BN2 = 5a2⇒AN =a√5⇒DN =a√5 tam giác ADN có AM đường trung tuyến ⇒AM2= AN

2+AD2

2 −

DN2 =

13a2 tam giác AMN cócosM AN\ = AN

2+AM2−M N2

2.AN.AM =

7 √

(69)

Gọi−→n = (a;b)là vecto pháp tuyến đường thẳng AN

⇒cosM AN\ = √ |5a−b| 26.√a2+b2 =

7 √

65 ⇔27a

2−50ab−93b2 = 0⇔

  

a= 3b a=−31

27b • Vớia= 3bchọn −→n = (3; 1)⇒AN : 3x+y−5 =

A giao điểm AN AM⇒A

2;

Đến toán đơn giản

Đề 88: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho tam giác ABC vuông cân A có I trung điểm cạnh BC Gọi M trung điểm IB N điểm nằm đoạn thẳng IC choN C = 2N I Biết rằngM

11 ;−4

, phương trình đường thẳng AN :x−y−2 = 0và điểm A có hồnh độ âm Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

Tam giác ABC vuông cân A⇒IA=IB=IC =d ⇒IM = IB

2 = d 2, IN =

IC =

d

Tam giác AIM vuông I ⇒AM2 =AI2+IM2 = 5d

4 Tam giác AIN vuông I ⇒AN2 =AI2+IN2 = 10d

9 M N =IM +IN = 5d

6 Xét tam giác AMN có cosM AN\ = AM

2+AN2−M N2

2AM.AN =

√ 2 ĐiểmA(a;a−2)∈AN ta cócosM AN\ =

a−11

2 +a+

√ s

a−11

2

+ (a−2)2 =

√

2 ⇔a=−2⇒A(−2;−4)

Ta cóAM = 15

2 ⇒d= √

5⇒AN = 5√2, M N = √

5

2 Điểm N ∈AN ⇒N(n;n−2)⇒N(3; 1) Đến tốn đơn giản

Đề 89 ( THTT lần - 2015) : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường trịn (T) :x2+y2 = 2x Tam giác ABC vng A có AC tiếp tuyến đường trịn(T)trong A tiếp điểm, chân đường cao kẻ từ A điểm H(2; 0) Xác định tọa độ đỉnh B tam giác biết diện tích tam giác ABC S= √2

(70)

Đường trịn(T) có tâm I(1; 0) bán kính R =

Ta có AC tiếp tuyến đường tròn(T)⇒ đường thẳng AB qua điểm I, mặt khácH ∈(T) ⇒IA=IH tam giác ABH vuông H⇒(T)chính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABH hay AB đường kínhAB=

Diện tích tam giác ABC S=

2AB.AC =

2.2.AC= √

3 ⇒AC = √ Tam giác ABC vuông A⇒BC2 =AB2+AC2 ⇒BC= √4

3 lại có S=

2AH.BC =

4 √

3.AH = √

3 ⇒AH =

Tam giác ABH vuông H ⇒BH2 =AB2−AH2= 3⇒BH =√3

⇒ B thuộc đường tròn tâm H bán kínhBH =√3⇒(H) : (x−2)2+y2 = B giao điểm (T) và(H)⇒B

2; √

3

!

( B có tung độ dương )

Đề 90 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy cho hình vng ABCD Trên tia đối tia DA lấy điểm P cho \ABP = 60o Gọi K, M(1; 2), N(1; 1) theo thứ tự trung điểm BP, CP KD Xác định tọa độ đỉnh D hình vng ABCD

Tam giác CPB có MK đường trung bình ⇒MK // BC M K= 2BC Gọi Q trung điểm AD⇒DQ=

(71)

Tam giác ABP vuông A có K trung điểm cạnh huyền BP ⇒AK = KB = KP = \

ABP = 60o⇒ tam giác ABK đều⇒ AB = 2⇒DQ= 1, N trung điểm MQ⇒Q(1; 0)

Tam giác AKD cân A có gócKAD\ = 30o⇒DK2 =AK2+AD2−2.AD.AK.cosKAD\ = 8−√3

⇒KD=p8−√3⇒N D= 2KD=

p

8−√3 CóN D =

p

2−√3

2 ⇒ D thuộc đường tròn tâm N bán kính ND(N) : (x−1)

2+ (y−1)2 = 8−

√ QD = ⇒D thuộc đường trịn tâm Q bán kính QD(Q) : (x−1)2+y2=

D giao điểm (N) và(Q)

Đề 91: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng2√2 GọiM(0; 1), N trung điểm BC CD Đường thẳng AN có phương trình 2√2x+y−4 = Tìm tọa độ điểm A

Đặt cạnh hình chữ nhậtAB =CD= 2a, AD=BC= 2b⇒BM =CM =b, CN =DN =b theo hình vẽ ta cóS1=

1

2.2a.b=ab, S2 =

2ab, S3=

22b.a=ab, SABCD= 4ab= √

2⇒ab= √1

2 (1) ⇒S4 =SABCD−S1−S2−S3 = 4ab−ab−ab−

ab =

3ab =

3 2√2 d(M, AN) = 1,S4 =

1

2.AN.d(M, AN) =

2.AN =

(72)

Tam giác ADN vuông D ⇒AN2 =a2+ 4b2 =

2 (2)

từ (1)và (2)⇒a= √1

2, b= 1⇒AB= √

2, AD= ⇒AM =√3, M N =

r

3 xét tam giác AMN có cosM AN\ = AM

2+AN2−M N2

2.AM.AN =

√ √

3

Đến toán đơn giản ( viết phương trình đường thẳng AM qua điểm M tạo với AN góc cho trước )

Đề 92 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho cho hình bình hành ABCD, trực tâm tam giácBCDlàH(4; 0), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD làI

2;3

, điểm B thuộc đường thẳng 3x−4y= BC qua M(5; 0) Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD, biết điểm B có hồnh độ dương

Gọi K trung điểm AB, I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ⇒ IK⊥AB H trực tâm tam giác BCD ⇒ BH⊥CD hay BH⊥AB tam giác ABH vng B Xét∆ABH có IK // BH K trung điểm AB nên IK qua trung điểm AH

Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABD từ đó⇒ HA đường kính đường trịn ngoại tiếp∆ABD I trung điểm AH⇒A(0; 3)

Đề 93 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có \BAC = 135o, trực tâm H(−1; 1), trung điểm cạnhBC làM

11 ;

13

Tìm tọa độ đỉnh tam giácABC, biết phương trình đường caoBH làx−3y+ =

(73)

ĐiểmB∈BH ⇒B(3b−4;b), M trung điểm BC⇒C(15−3b; 13−b)⇒−−→CH = (16−3b; 12−b) Ta có AB⊥ CH⇒−−→CH vecto pháp tuyến đường thẳng AB

ta có \BAC = 135o⇒ABH\ = 45o

⇒cosABH\ = √ |16−3b−3 (12−b)| 10

q

(16−3b)2+ (12−b)2 = √1

2 ⇔b

2−12b+ 32 = 0⇔

 

b= b= • Vớib= 8⇒B(4; 8)⇒C(3; 9)

Phương trình AH qua H vng góc với BC⇒AH :x−y+ = Phương trình AC qua C vng góc với BH⇒AC : 3x+y−18 = A giao điểm AH AC ⇒A(4; 6)

• Vớib= xét tương tự

Đề 94 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn I(2; 1), bán kính bằng5 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết tam giác ABC có trực tâm H(−1;−1),sin\BAC =

5 điểm A có hồnh độ âm

Ta có diện tích ∆ABC làS = AB.AC.BC

4R =

1

2AB.AC.sin\BAC ⇒BC =

Gọi M trung điểm BC dễ tính IM = 3, gọi G trọng tâm tam giác ABC có AH

IM = HG

GO = 2⇒AH =

(74)

Đề 95: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy cho tam giácABC có trung điểm cạnh BC điểm M(3;−1) , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B qua điểm E(−1;−3) đường thẳng chứa cạnh AC qua điểm F(1; 3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm đối xứng đỉnh Aqua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC điểmD(4;−2)

Gọi H trực tâm tam giác ABC dễ dàng chứng minh BHCD hình bình hành ⇒ M trung điểm HD⇒H(2; 0)

Phương trình đường BH qua E H ⇒BH:x−y−2 =

Phương trình đường thẳng AC qua điểm F vng góc với BH⇒AC :x+y−4 = Phương trình đường thẳng CD qua D vng góc với AC ⇒CD:x−y−6 = C giao điểm AC CD⇒C(5;−1), M trung điểm BC⇒B(1;−1) Phương trình đường cao AH qua H vng góc với BC⇒AH :x−2 = A giao điểm AH AC ⇒A(2; 2)

Đề 96 ( k2pi - Lần - 2015): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxycho tam giácABC vuông B có BC = 2AB, điểm M(2;−2)là trung điểm AC Gọi N điểm BC choBN =

4BC ĐiểmH

4 5;

8

là giao điểm củaAN vàBM Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biếtN thuộc đường thẳng (d) :x+ 2y−6 =

Tam giácABC vuông tạiB có M trung điểm AC⇒M A=M B =M C ⇒\BCA=CBM\

Tam giácABC vuông tạiB ⇒tanBCA\= BA BC =

(75)

Tam giácABN vuông tạiB ⇒tanBAN\= BN AB =

BC 4AB =

1 đóBCA\=BAN\ ⇒CBM\ =BAN\, cóBN A\+BAN\ = 90o ⇒CBM\ +BN A\ = 90o ⇒∆BN H vuông H ⇒ BM⊥AN

Phương trình đường thẳng NH qua H vng góc với MH⇒N H :x−3y+ = N giao điểm NH (d)⇒N(2; 2)

Tam giác BAH vng H có tanBAH\ =

2 ⇒AH= 2BH tam giác BNH vng H có tanCBM\ =

2 ⇒BH = 2N H⇒AH = 4HN điểmA∈N H ⇒A(3a−4;a) đồng thờiAH = 4HN ⇒−−→AH = 4−−→HN ⇒A(−4; 0) M trung điểm AC⇒C(8;−4)

Phương trình đường thẳng BC qua C N⇒BC :x+y−4 =

Phương trình đường thẳng BM qua H M ⇒BM : 3x+y−4 = 0⇒B(0; 4)

Đề 97 ( boxmath - Lần - 2015) : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vng A D có CD = 2AB = 2AD Điểm E(3; 4) nằm cạnh AB, đường thẳng (d) qua E vng góc với DE cắt đường thẳng BC điểm F(6; 3) Xác định tọa độ đỉnh D hình thang ABCD biết đỉnh D có tung độ nhỏ

Kẻ BH vng góc với CD, tứ giác ABHD cóBAD=\ ADH\=BHD=90\

⇒ABHD hình chữ nhật⇒HD=AD⇒HD =

2 CD = HC

Hình chữ nhật ABHD cóAB=AD⇒ABHD hình vng⇒HB =HD=HC Tam giác BHC vng cân H⇒HBC\ = 45o

Mà ABHD hình vng ⇒DBH\ = 45o ⇒DBC\ =DBH\ +HBC\ = 90o

(76)

Tam giác DBF vng B có BM trung tuyến ứng với cạnh huyền⇒BM =M F = 2DF ⇒EM =BM ⇒, tam giác EMB cân M ⇒M EB\ =EBM\

Tam giác ABD vuông cân A⇒ABD\= 45o ⇒\ABC = 90o+ 45o= 135o

Tam giác BMF cân M⇒M F B\ =M BF\

Ta cóM EB\ +M F B\ =M BE\ +M BF\ =\ABC = 135o

Tứ giác MEBF có \ABC+M EB\ +M F B\ = 1350+ 135o= 270o ⇒EM F\ = 360o−270o = 90o ⇒ EM vng góc với DF

Tam giác EDF có EM vừa trung tuyến vừa phân giác⇒ tam giác EDF cân E⇒ED=EF Đến đơn giản

Đề 98 ( boxmath) : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(0; 6), B(−2; 0), C(5; 0) M N P Q hình vng nội tiếp tam giác ABC cho M, N thuộc cạnh BC,P thuộc cạnh AC ,Q thuộc cạnhAB Tìm tọa độ điểmM, N, P, Q

Lời giải tham khảo : ta có AB: 3x−y+ = 0, BC :y = 0, AC : 6x+ 5y−30 = M, N thuộc cạnh BC ⇒M(m; 0), N(n; 0)

M N P Q hình vng MQ⊥BC ⇒Q(m; 3m+ 6)( Q∈AB) NP⊥BC ⇒N

n; 5−6 5n

MNPQ hình vng ⇒MN // PQ ⇒3m−6 = 5−6

5n⇔15m+ 6n=−5 (1) đồng thời MN = MQ ⇒3m−6 =|m−n| (2)

từ (1)và (2)⇒ MNPQ

Đề 99 ( boxmath) : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có điểm B thuộc đường thẳng (d) : 5x+ 3y−10 = Gọi M điểm đối xứng với D qua C, H K(1; 1) hình chiếu D, C lên AM Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết phương trình đường thẳng qua H tâm I hình vng (d1) : 3x+y+ =

Tam giác MDH vuông H có CK // DH⇒ K trung điểm MH hai tam giác ADM DHM đồng dạng⇒ AD

DM = DH M H =

1

(77)

do đó∆BAH = ∆BCK ⇒BH=BK ABH\ =KBC\ ⇒ABH\+HBC\ =KBC\ +HBC\ = 90o ⇒ BH⊥BK hay tam giác BHK vuông cân B ⇒BHK\ = 45o

ta có ∆DHI =∆KHI⇒\KHI =DHI[ = 45o⇒BHI[ =BHK\ +\KHI = 90o ⇒ BH⊥HI hay BK // HI ( vng góc với BH )

Phương trình đường thẳng BK qua K song song với HI⇒BK : 3x+y−4 = 0⇒B

1 2;

5

Phương trình BH qua B vng góc với HI⇒BH :x−3y+ = 0⇒H(−1; 2) K trung điểm MH ⇒M(3; 0)

Phương trình BI qua điểm B vng góc với BM ⇒BI :x−y+ = 0⇒I

−3 4;

5

I trung điểm BD ⇒D(−2; 0) C trung điểm DM ⇒C

1 2;

⇒A

−2;5

Đề 100 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tọa độ điểm B(2; 0), đường thẳng qua đỉnh B vuông góc với đường chéo AC có phương trình (d) : 7x−y−14 = 0, đường thẳng qua đỉnh A trung điểm BC có phương trình là(d1) :x+2y−7 = Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết đỉnh A có hồnh độ âm

ĐiểmA∈(d1)⇒A(7−2a;a), gọi F trung điểm BC⇒F ∈(d1)⇒F(7−2b;b) ta có BF ⊥AB⇒−AB−→ ⊥BF−−→⇒(5−2a) (5−2b) +ab= (1)

F trung điểm BC ⇒C(12−4b; 2b), ta có AC⊥(d) ⇒(5 + 2a−4b) + (2b−a) = (2)

từ (1)và (2)⇒

    

a= b=

⇒

    

A(−1; 4) F

4;3

(78)

Gọi I tâm hình chữ nhật⇒I

5 2;

7

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	1,32 MB