Tuyển tập các bài toán Hình học ôn thi vào chuyên Toán

Chứng minh rằng khi D di động thì đường tròn đường kính P Q luôn đi qua một điểm cố định.. Bài 1.35.[r]

Phần hai Tuyển tập toán

I Đề bài

1 Các tốn ơn tập tuyển sinh lớp 10

Bài 1.1 Tam giác ABC vng A có BC = 2AB Lấy D, E nằm AC, AB cho \

ABD =

3ABC[ ACE[ =

3ACB.[ F giao điểm BD, CE H, K điểm đối xứng

F quaAC, BC

(a) Chứng minhH, D, K thẳng hàng (b) Chứng minh tam giác DEF cân

Bài 1.2.Đường tròn(O)nội tiếp tam giácABC(AB > AC)tiếp xúc vớiAB, AC tạiP, Q Gọi R, S trung điểm BC, AC Giao điểm P Q, RS làK Chứng minh B, O, K thẳng hàng

Bài 1.3 Cho tam giác ABC nhọn nhận H làm trực tâm Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức :

HA+HB+HC <

3(AB+BC+CA)

Bài 1.4 Gọi AB dây cung cố định cùa đường tròn (O) P điểm di động dây cung AB không trùng với hai đầu mút Vẽ đường tròn (C) qua A, P tiếp xúc với (O) đường tròn (D) qua B, P tiếp xúc với (O) LấyN giao điểm thứ

(C),(D)

(a) Chứng minh rằng4AN B v4CP D Từ N di động đường (b) Chứng minh rằngN P qua điểm cố định

Bài 1.5 Cho tam giác ABC có BAC[ = 120◦ đường phân giác AA0, BB0, CC0 Tính \

B0A0C0.

Bài 1.6 Cho hình vngABCD có hai đường chéo cắt tạiE Một đường thẳng qua A cắt cạnhBC ởM cắt đường thẳng CD ởN GọiK giao điểm củaEM BN Chứng minh CK ⊥BN

Bài 1.7.Cho 4ABC cóBAC[ = 90◦ (AB < AC) Đường trịn(O;r)đường kínhAB đường trịn (P;R) đường kính AC cắt Dvà A

(a) GọiM điểm cung nhỏ DC, AM cắt (O) N, cắt BC E Chứng minh 4ABE cân điểm O, N, P thẳng hàng

(b) Dựng đường kính N Qcủa (O) Chứng minh Q, D, M thẳng hàng (c) GọiK trung điểm M N Chứng minh P K ⊥OK

Bài 1.8 Tam giác ABC nhọn có đường cao AA1, BB1, CC1 cắt trực tâm H Gọi

4A1B1C1 =4HaHbHc

Bài 1.9 Cho dây cung AB cố định (O) AOB[ = 120◦ M điểm di động cung lớnAB, đường tròn nội tiếp tam giácM AB tiếp xúc với M A, M B E, F Chứng minh EF tiếp xúc với đường tròn cố định

Bài 1.10 Cho đường tròn(O) đường thẳng d nằm ngồi đường trịn Gọi S hình chiếu vng góc O lên d Vẽ cát tuyến SAB, SEF AF, BE cắt d C, D Chứng minh S trung điểm củaCD

Bài 1.11 Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH đường phân giác BE tam giác ABC (H ∈ BC, E ∈ AC) Đường thẳng qua A vng góc với BE cắt BC, BE tạiM, N

(a) Chứng minh tứ giác AN HB nội tiếp đường tròn Gọi đường tròn (O) (b) Đường thẳng CN cắt (O)tại T (T =6 N) Chứng minh : CH ·BC =CN ·CT

(c) GọiI giao điểm ON vàAH Chứng minh :

4HI2 =

AB2 +

AC2

Bài 1.12 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O;R) có đường cao AD Gọi E hình chiếu củaB trênAO, K trung điểm BC,I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giácABDE Chứng minh rằngIK đường trung trực DE

Bài 1.13.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H

(a) Kẻ đường kínhAA0 của(O),I trung điểm củaBC Chứng minh ba điểmH, I, A0 thẳng hàng

(b) GọiG trọng tâm tam giácABC Chứng minh SAHG= 2SAOG

Bài 1.14.ChoM điểm nằm bên hình bình hànhABCD Khi đó, chứng minh bất đẳng thức

M A·M C+M B·M D 6AC·BC

Bài 1.15.Cho đường trịn(O;R), đường kínhBC.Alà điểm di động nửa đường tròn(A6=

B, C) Trên nửa đường trịn lấyI điểm cung BC DựngAH ⊥BC tạiH Gọi

(O1;R1); (O2;R2); (O3;R3) đường tròn nội tiếp tam giácABH, ACH, ABC

(a) Chứng minhAI ⊥O1O2

(b) HO1 cắt AB E, HO2 cắt AC F Chứng minh 4O1O2Hv4ABC

(c) Tìm vị trí điểmA để R1+R2+R3 lớn

Bài 1.16 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C điểm nửa đường tròn (C 6=A, B) Dựng CH ⊥AB H E, F hình chiếu H CA, CB

(c) Tìm vị trí điểmC để chu vi diện tích tam giác ABC lớn

(d) Chứng minh khiC di động, tâmI đường tròn nội tiếp4OCH di chuyển đường cố định

Bài 1.17.Cho hình vng ABCDcố định, cạnha.E điểm di chuyển cạnhCD Đường thẳng AE BC cắt F Đường thẳng vng góc vớiAE A cắt đường thẳng CD K

(a) Chứng minhAF(CK−CF) =BD·F K

(b) Chứng minh trung điểm I KF di động đường thẳng cố định E di động CD

(c) Chỉ vị trí củaE để độ dài EK ngắn

Bài 1.18.Cho tam giácABCđều GọiDlà điểm di động cạnhBC Gọi(I1;R1); (I2;R2); (I3;R3)

lần lượt đường tròn nội tiếp tam giácABD, ACD, ABC và(I3;R)là đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC Tia AD cắt (I3;R)tại E

(a) Chứng minh ED =

1

EB +

1

EC (b) Tìm vị trí E để

ED +

1

EB +

1

EC nhỏ Chứng minh SABEC lớn (c) Tìm vị trí điểmD để R1+R2 lớn

Bài 1.19 Cho (O;R) điểm M nằm đường tròn Từ M dựng hai tiếp tuyến M A, M B (O;R) GọiE trung điểm củaBM;H giao điểm củaOM với AB Đoạn thẳng AE cắt (O;R) C

(a) Chứng minh tứ giác HCEB nội tiếp (b) Chứng minh4EM C v4EAM

(c) M C cắt (O) D TínhDB theo R biết OM = 3R

(d) OB cắt (O) T cắt AD S M T giao SA N Chứng minh N trung điểm AS

Bài 1.20 Cho hình vng ABCD cạnh a E điểm di động cạnh AD (E 6= A) Tia phân giác EBA,[ \EBC cắt DA, DC M, N

(a) Chứng minhBE ⊥M N

Bài 1.21 Cho 4ABC Một đường tròn (O) qua A B cắt AC BC D E M giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC DEC Chứng minh

\

OM C = 90◦

Bài 1.22.Cho hình thoiABCD cóABC[ = 60◦ Một đường thẳng qua Dkhơng cắt hình thoi cắt đường thẳng AB, BC E, F Gọi M giao điểm AF CE Chứng minh rằngAD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giácM DF

Bài 1.23 Cho đường tròn(O)và dâyAD GọiI điểm đối xứng vớiAqua D Kẻ tiếp tuyến IB với đường tròn (O) Tiếp tuyến với đường tròn (O) A cắt IB K Gọi C giao điểm thứ hai KD với đường tròn (O) Chứng minh BC song song với AI

Bài 1.24.Cho4ABC nội tiếp đường tròn tâmO ngoại tiếp đường tròn tâmI AI, BI, CI cắt (O) tạiD, E, F DE cắt CF M,DF cắt BE N

(a) Chứng minh rằngM N kBC

(b) Gọi Q tâm đường tròn ngoại tiếp 4DM N, P giao điểm AD EF Chứng minh điểm M, N, P, Q nằm đường tròn

Bài 1.25 Cho 4ABC cố định,M điểm di động cạnh BC Dựng đường kính BE đường trịn ngoại tiếp 4ABM đường kính CF đường trịn ngoại tiếp 4ACM Gọi N trung điểm EF Chứng minh M di động BC N di động đường thẳng cố định

Bài 1.26 Cho tam giác ABC cóBAC[ = 135◦, AB =a, AC =b Điểm M nằm cạnh BC cho BAM\ = 45◦ Tính độ dài AM theo a, b

Bài 1.27 Cho hình vng ABCD, lấy điểm M nằm hình vng cho M AB\ =

\

M BA= 15◦ Hỏi tam giácM CD tam giác gì? Tại sao?

Bài 1.28 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) cho tia BA tia CD cắt I, tia DA CB cắt K (I, K nằm (O)) Phân giác góc BIC[ cắt AD, BC tạiQ, N Phân giác góc AKB\ cắt AB, AC tạiM, P

(a) Chứng minh tứ giác M N P Q hình thoi (b) Chứng minhIK2 =ID·IC+KB·KC.

(b) GọiF trung điểm AB, J hình chiếu F OB, L trung điểm F J Chứng minhAJ ⊥OL

Bài 1.29 Cho tứ giácABCD nội tiếp(O)có hai đường chéoAC, BDcắt tạiM Đường vng góc với OM M cắt AB, BC, CD, DA M1, M2, M3, M4 Chứng minh

M1M4 =M2M3

Bài 1.30 Cho tứ giác lồi ABCD với E, F trung điểm củaBD AC Chứng minh AB2+CD2+BC2+DA2 = 4EF2+AC2+BD2

(a) Chứng minh khiA di động, phân giác BAC[ qua điểm cố định I

(b) GọiE, F hình chiếu I đường thẳngAB, AC Chứng minhBE =

CF

(c) Chứng minh khiA di động EF ln qua điểm cố định (d) Tìm vị trí diểmA để SAEIF lớn Tính giá trị lớn theo R

Bài 1.32 Cho (O;R) điểm A cố định với OA > R Dựng cát tuyến AM N (O) không qua tâm (AM < AN) Chứng minh

(a) Đường trịn ngoại tiếp4OM N ln qua điểm cố địnhH (H không trùng O) cát tuyến di động

(b) Tiếp tuyến tạiM N (O) cắt tạiT Chứng minh T di động đường thẳng cố định cát tuyến AM N di động

Bài 1.33 Cho 4ABC có BAC[ = 60◦, AC = b, AB = c(b > c) Đường kính EF đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với BC M I J chân đường vng góc hạ từE xuống AB;AC; H K chân đường vng góc hạ từ F xuống AB;AC

(a) Chứng minhIJ ⊥HK

(b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giácABC theo b c (c) Tính AH+AK theo b c

Bài 1.34 Cho tam giácABC Một điểm Ddi động cạnhBC GọiP, Qtương ứng tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, ACD Chứng minh D di động đường trịn đường kính P Q qua điểm cố định

Bài 1.35 Cho tam giác ABC có phân giác AD trung tuyến AM Đường tròn ngoại tiếp tam giácADM cắtAB E vàAC F GọiLlà trung điểm EF Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng M L vàAD

Bài 1.36 Cho BC dây cung (O;R) Đặt BC =aR ĐiểmA cung BC lớn, kẻ đường kính CI, BK Đặt S = AB+AC

AI+AK Chứng minh S =

2 +√4−a2

a Từ tìm giá trị nhỏ S

Bài 1.37.Cho tam giácABC nội tiếp(O, R)cóBAC[ >90◦ Các đường trịn (A;R1),(B;R2), (C;R3) đơi tiếp xúc với

Chứng minh

SABC =

BC·R21+AC·R22+AB·R23+ 2R1·R2·R3 4R

Bài 1.38.Cho hình thoiABCD có cạnh Trên cạnhBC lấy M,CD lấy N cho chu vi 4CM N 2N AM\ =DAB Tính góc hình thoi.\

(a) Chứng minh cố định hai điểmA, B choC thay đổi đường thẳng N Qln qua điểm cố định

(b) GọiI trung điểm AB Chứng minh 4IOO0

là tam giác vng cân

Bài 1.40 Cho hai đường trịn (O;R) (O0;R0) biết OO0 =d > R+R0 Một tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp xúc với (O) E tiếp xúc với (O0) F Đường thẳng OO0 cắt (O)tại A, B cắt (O0)tại C, D (B, C nằm A, D).AE cắt CF M, BE cắt DF N Gọi giao điểm M N với AD I Tính độ dài OI

Bài 1.41.Cho tam giácABCcó diện tíchS0 Trên cạnhBC, CA, AB lấy điểmM, N, P

sao cho M B M C =k1,

N C N A =k2,

P A

P B =k3 (k1, k2, k3 <1)

III Lời giải chi tiết

1 Các toán ôn tập tuyển sinh lớp 10

Bài 1.1 Tam giác ABC vng A có BC = 2AB Lấy D, E nằm AC, AB cho \

ABD =

3ABC[ ACE[ =

3ACB[.F giao điểm BD, CE H, K điểm đối xứng

F quaAC, BC

(a) Chứng minhH, D, K thẳng hàng (b) Chứng minh tam giác DEF cân Lời giải

I

H

K V

T F

A C

B

D E

(a) Gọi T =F H ∩AC, V =F K∩BC Từ giải thiết suy tam giác ABC nửa tam giác nên việc tính góc tầm thường Ta có, F HD\ =HF D\ =\ABD= 20◦

Mặc khác, F HK\ =F T V[ (do T V kHK) =ACE[ (do CT F V nội tiếp) = 20◦ =F HD\ Suy H, F, K thẳng hàng

(b) HK cắt BC I Ta tính góc : [

DF I = 180◦−DIF[ −IDF[ = 180◦−20◦−40◦ = 120◦

\

BEC = 90◦+ 10◦ = 100◦ BIF[ = 800 nên BEF I nội tiếp.

Suy

  

[

EF I = 180◦−ABC[ = 120◦ =DF I[ [

F IE = 20◦ =DIF[

Do đó, 4DF I =4EF I ⇒F D =F E Do đó, tam giác DEF cân F r

Bài 1.2 Đường tròn(O) nội tiếp tam giác ABC(AB > AC) tiếp xúc với AB, AC P, Q Gọi R, S trung điểm BC, AC Giao điểm P Q, RS K Chứng minh B, O, K thẳng hàng

K

R

S Q P

O A

B C

Trước tiên, ta chứng minh RB = RK Gọi a = BC, b = CA, c = AB, ý SK =SQdo tam giác SQK có góc đáy Khi :

RK =RS−SK

= c

2 −SQ=

c

2−(CS−CQ) = c

2 −

1 2b−

a+b−c

2

= c −

1 2b+

a+b−c

2 =

2a=BR

Vì vậy, tam giác BRK cân R, suy RBK\ =RKB\ =KBA\ (RK kAB)

Do đóK thuộc đường phân giác góc ABC[ hay B, O, K thẳng hàng r

Bài 1.3 Cho tam giác ABC nhọn nhận H làm trực tâm Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức :

HA+HB+HC <

3(AB+BC+CA)

Lời giải

L

I

Y E K

F

H A

Qua H vẽ đường thẳng song song với BC, CA, AB cắt cạnh tam giác ABC E, K, Y, I, F, L cho F K kAC, IE k AB, LY kBC E, K ∈BC;I, Y ∈ AC;F, L∈ AB Khi đó, hiển nhiên đường thẳng LY, F K, IE vng góc vớiHA, HB, HC

Tam giác AHL vuông H nên HA < AL Tương tự, ta có HC < CE Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta thu :

HB < HL+LB =LB+BE

Dấu đẳng thức HLBE hình bình hành Từ đó, ta thu : HA+HB+HC < AL+LB+BE +EC =AB+BC

Xây dựng hai bất đẳng thức tương tự cộng theo vế, ta có điều cần chứng minh r

Bài 1.4 Gọi AB dây cung cố định cùa đường tròn(O) P điểm di động dây cung AB không trùng với hai đầu mút Vẽ đường tròn (C) qua A, P tiếp xúc với (O) đường tròn (D)đi qua B, P tiếp xúc với(O) Lấy N giao điểm thứ

(C),(D)

(a) Chứng minh rằng4AN B v4CP D Từ N di động đường (b) Chứng minh rằngN P qua điểm cố định

Lời giải

K

N D

C

O

A P B

(a) Nhận xét

    

\ P AN =

2P CN\ =P CD\

\ P BN =

2P DN\ =\P DC

Từ suy 4AN B v4CP D

Do \AN B = \CP D Mặc khác, OCP D hình bình hành nên CP D\ = AOB[ = α nên \

AN B =α không đổi

(b) Gọi K giao điểm tiếp tuyến A, B (O) Khi K thuộc trục đẳng phương (C),(D) nên N P qua K cố định Ta chứng minh kết để phù hợp với kiến thức lớp sau :

Gọi P1 giao điểm củaKN với (C) P2 giao điểm KN với (D) Khi :

KP1·KN =KA2 =KB2 =KP2 ·KN

Từ suy P1 ≡P2 ≡P r

Bài 1.5 Cho tam giác ABC có BAC[ = 120◦ đường phân giác AA0, BB0, CC0 Tính \

B0A0C0.

Lời giải

B'

A' C'

A

B

C

Gọi Ax tia đối tia AB Khi đó, CAx[ = 60◦ nên AC phân giác đỉnhA tam giác AA0B Mặc khác, BB0 phân giác tam giác nênB0 tâm bàng tiếp góc B tam giác AA0B

Suy A0B0 phân giácAA\0C.

Chứng minh tương tự, ta cóA0C0 phân giácAA0B Vì B\0A0C0 = 90◦.

r

Bài 1.6 Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng qua A cắt cạnh BC M cắt đường thẳngCD N Gọi K giao điểm EM BN Chứng minh CK ⊥BN

Lời giải

S K N E

D C

A B

Bỏ qua trường hợp đơn giảnEM kCD Kéo dàiEM cắtCD S Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACN với cát tuyến (EM S)và tam giác BCN với cát tuyến (M KS) :

M A M N ·

SN SC ·

EC EA =

M C M B ·

KB KN ·

SN SC = Từ suy :

M A M N =

M C M B ·

KB KN

Áp dụng định lý Thales, ta thấy : M A M N =

M B M C =

AB CN =

BC CN

Do đó,

BC2 N C2 =

KB KN

Gọi K0 cân đường cao kẻ từC tam giác BCN ta có kết quen thuộc : BC2

N C2 =

K0B K0N

K K0 chia đoạn BN theo tỷ số nên trùng

Điều chứng tỏ CK ⊥BN r

Bài 1.7 Cho 4ABC có BAC[ = 90◦ (AB < AC) Đường trịn (O;r) đường kính AB đường trịn (P;R)đường kính AC cắt D A

(a) GọiM điểm cung nhỏDC, AM cắt (O)tạiN, cắt BC E Chứng minh 4ABE cân điểm O, N, P thẳng hàng

(b) Dựng đường kính N Qcủa (O) Chứng minh Q, D, M thẳng hàng (c) GọiK trung điểm M N Chứng minh P K⊥OK

K

Q E

N

M

D

O P

A B

C

(a) Với ý AB tiếp tuyến A (P), ta có [

BAE =\BAD+\DEA=\ACD+CAE[

=BEA[

Suy tam giác ABE cân tạiB

Do đóN vừa chân đường cao vừa trung điểm AE Từ suy P, N, O thẳng hàng

(b) Từ giả thiết suy N DQ\ = 90◦

Mặt khác :

\

DN M +DM N\ =\DBA+\DCA= 90◦

Suy M DN\ = 90◦ Vì Q, D, M thẳng hàng

(c) Ta có K trung điểm M N nên KN = KD Lại có ON =OD nên KO đường trung trực N D hay KOkM D Do

\

OKA =DM A\ =\DCA=OP A[

Vì tứ giác OKP A nội tiếp Suy OKP\ = 90◦ hay OK⊥P K r Bài 1.8 Tam giác ABC nhọn có đường cao AA1, BB1, CC1 cắt trực tâmH Gọi

Ha, Hb, Hc trực tâm tam giác AB1C1, BC1A1, CA1B1, chứng minh

Hc Hb

Ha

C1

A1

B1

H A

B C

Trước hết xin phát biểu không chứng minh bổ đề quen thuộc : Với tam giác XY Z có trực tâm Q QX =Y ZcotX

Áp dụng bổ đề trên, suy :

B1Ha =AC1·cotAB\1C1 =AC1·cotABC[

(do AB\1C1 =ABC,[ B1C1BC nội tiếp)

A1Hb =BC1·BA\1C1 =BC1·cotBAC[

(do BA\1C1 =BAC,[ ACA1C1 nội tiếp)

Mà AC1 BC1

= AC1

CC1

· CC1 BC1

= cotBAC[ cotABC[

nên B1Ha = A1Hb Hơn nữa, B1Ha k A1Hb (cùng vng góc với AB) Suy A1B1HaHb hình bình hành

Từ có HaHb =A1B1 Làm tương tự với hai cạnh cịn lại, ta có hai tam giác HaHbHc A1B1C1 theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh r

Bài 1.9 Cho dây cung AB cố định (O) AOB[ = 120◦ M điểm di động cung lớn AB, đường tròn nội tiếp tam giác M AB tiếp xúc với M A, M B E, F Chứng minh EF tiếp xúc với đường tròn cố định

Lời giải

K T

H

F E

N

A B

Gọi N trung điểm BC H, K, T hình chiếu A, B, N lên EF Theo định lý đường trung bình hình thang :

N T = AH+BK

Từ giả thuyết đề suy AM B\ = 60◦ nên tam giác M EF Từ ta có AF H, BF K nửa tam giác Do đó, AH =

2AE, BK =

2BF Suy ra,

N T = AE+BF

Nhưng rõ ràng AE+BF =AB nên N T = AB

4 không đổi N T ⊥EF

Vậy EF tiếp xúc với đường tròn

N; AB

cố định r

Bài 1.10 Cho đường tròn(O)và đường thẳng dnằm ngồi đường trịn Gọi S hình chiếu vng góc O lên d Vẽ cát tuyếnSAB, SEF AF, BE cắt d C, D Chứng minh S trung điểm củaCD

Lời giải

d H

K

C D

E A O

S

B F

Từ O hạ đường vng góc xuống AF, BE với H, K chân đường vng góc Khi đó, H, K trung điểmAF, BE Vì hai tam giácSAF, SEB đồng dạng SH, SK trung tuyến tam giác nên 4SAH v4SEK

Suy SHA[ =\SKE

MàOHSC, OKSD nội tiếp nênSHA[ =SOC,[ SKE\=SOD Do đó,[ SOC[ =SOD Tam giác[ COD cóOS vừa đường cao vừa phân giác nên cân tạiO Vì thế, OS trung

Bài 1.11 Cho tam giácABC vuông A Kẻ đường cao AH đường phân giác BE tam giác ABC (H ∈ BC, E ∈ AC) Đường thẳng quaA vng góc với BE cắt BC, BE M, N

(a) Chứng minh tứ giác AN HB nội tiếp đường tròn Gọi đường trịn (O) (b) Đường thẳng CN cắt (O)tại T (T =6 N) Chứng minh : CH ·BC =CN·CT

(c) GọiI giao điểm ON AH Chứng minh :

4HI2 =

AB2 +

AC2

Lời giải

I T

O

M N

H

E

B

A

C

(a) Ta có \AN B =\AHB = 90◦ nên tứ giác AN HB nội tiếp đường tròn

O;AB

(b) CH ·BC =CN ·CT =PM/(O)

(c) Xét tam giác ABM có BN vừa đường cao, vừa đường phân giác Do tam giác ABM cân B Suy N trung điểm AM

Lại có AB đường kính (O) nên O trung điểm AB Vì I trung điểm AH hay AH = 2HI Từ ta có

1 4HI2 =

1

AH2

Vậy ta cần chứng minh

1

AH2 =

AB2 +

AC2

Mà đẳng thức hiển nhiên theo hệ thức lượng tam giác vng ABC Ta có điều

cần chứng minh r

Bài 1.12 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O;R) có đường cao AD Gọi E hình chiếu củaB trênAO, K trung điểm củaBC,I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giácABDE Chứng minh IK đường trung trực DE

I

K E

M D

O

C B

A

Tứ giác BDEAnội tiếp đường trịn đường kính AB nên tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác trung điểmAB

Ta có I K trung điểm AB, AC nên OI ⊥ AB OK ⊥BC Suy ngũ giác BIOEK nội tiếp đường tròn đường kính OB

Vì mà EIK[ =EBK\ =EBD\=

2EID[ hay IK phân giác DIE.[

Lại có ID=IE nên tam giác IDE cân I Do IK trung trực DE r Bài 1.13 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H

(a) Kẻ đường kínhAA0 của(O),I trung điểm củaBC Chứng minh ba điểmH, I, A0 thẳng hàng

(b) GọiG trọng tâm tam giác ABC Chứng minh SAHG= 2SAOG Lời giải

D F

E G

I

A' K

H

O

C B

A

đồng thời trung điểm A0H VậyH, I, A0 thẳng hàng

(b) Ta có H, G, O thẳng hàng HG= 2GO (đường thẳng Euler tam giác ABC) nên

SAHG= 2SAGO r

Bài 1.14 Cho M điểm nằm bên hình bình hành ABCD Khi đó, chứng minh bất đẳng thức

M A·M C+M B·M D 6AC·BC Lời giải

T

C

A B

D

M

Dựng hình bình hànhABM T Khi M T song song AB, suy raM T song song với CD nên M CDT hình bình hành

Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giácAM DT :

M T ·AD6M A·DT +M D·AT

Chỉ cần thayM T =AB, AD =BC, DT =M C, AT =M D, ta có điều cần chứng minh.r

Bài 1.15 Cho đường trịn(O;R), đường kính BC A điểm di động nửa đường tròn

(A 6= B, C) Trên nửa đường tròn lấy I điểm cung BC Dựng AH ⊥ BC H Gọi (O1;R1); (O2;R2); (O3;R3) đường tròn nội tiếp tam giác

ABH, ACH, ABC

(a) Chứng minhAI ⊥O1O2

(b) HO1 cắt AB E, HO2 cắt AC F Chứng minh 4O1O2H v4ABC

(c) Tìm vị trí điểmA để R1+R2+R3 lớn

S

P F

E

O2 O1

O3

H

I O

B C

A

(a) Gọi S, P giao điểm O1O3 với AO2 O2O3 với AO2

Ta có B, O1, O3 thẳng hàng nên ABS[ +BAS[ =BAH\+ 2ABS[ = 90◦ Suy O1S ⊥AO2

Tương tự, ta có O2P ⊥AO1

Do đóO3 trực tâm tam giác AO1O2 hay AI ⊥O1O2

(b) Ta có 4BO1H v4AO2H nên

O1H

O2H

= BH

AH = AB AC Suy 4O1HO2 v4BAC

(c) Theo kết quen thuộc ta có :

          

R3 =

AB+AC−BC

2

R2 =

AH+CH −AC

2

R1 =

AH+BH −AB

2

Vì R1+R2+R3 =AH 6R

Do đóR1+R2+R3 lớn ⇔A điểm cung BC r

Bài 1.16 Cho nửa đường tròn tâmO đường kínhAB= 2R C điểm nửa đường tròn (C 6=A, B) Dựng CH ⊥AB H E, F hình chiếu H CA, CB

(a) Chứng minhEF song song với tiếp tuyến C (O) (b) Chứng minh tứ giác ABF E nội tiếp

(c) Tìm vị trí điểmC để chu vi diện tích tam giác ABC lớn

(d) Chứng minh khiC di động, tâmI đường tròn nội tiếp4OCH di chuyển đường cố định

x

C' I

F E

H O B

A

C

(a) Gọi tiếp tuyến (O) C Cx Ta có xCA[ =CBA[ = 90◦−HCB\ =CHF\

Mặt khác tứ giác CEHF hình chữ nhật nên ta có CHF\ =CEF[ ⇒xCA[ =CEF[ Suy CxkEF

(b) Theo chứng minh câu (a) ta có CEF[ =CBA[ nên tứ giácAEF B nội tiếp (c) Ta có (CA+CB)2 62(CA2+CB2) = 2AB2 = 8R2 Suy raCA+CB 62√2R.

Vì

CA+CB+AB6

2√2 +

R Lại có

SABC =

2CA·CB

8(CA+CB)

6

8 ·8R

=R2 Trong hai trường hợp, dấu “=” xảy ra⇔C điểm cung AB

Vậy C nằm cung AB chu vi diện tích tam giác ABC lớn (d) Khơng tính tổng quát, giả sử CA6CB

Ta chứng minh AIO[ = 135◦

Thật Kẻ đường kính CC0 (O) Ta có ACH\ = C\0CB nên CI đồng thời phân giác

[ ACB

Suy ACI[ =IHO[ = 45◦ nên tứ giác AHIC nội tiếp Vì

[

AIO=AIH[ +HIO[

=ACH\+ 90◦+HCI[

= 90◦+ACI[ = 135◦

Do I ln nằm cung chứa góc 135◦ dựng đoạn OA thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa C

Tương tự với CA > CB ta có I ln thuộc cung chứa góc 135◦ dựng đoạn OB nằm nửa mặt phẳng bờ AB chứa C

đoạn OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ AB chứaC (trừ hai điểm A B) r

Chú ý Câu (c) tốn có cách giải khác áp dụng cho trường hợp tam giác ABC không vuông :

Bài 1.tốn Cho đường trịn(O;R)có dây BC cố định, tìm giá trị lớn AB+AC với A điểm di động cung BC (O)

Lời giải

Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AC =AM Suy 4AM C cân tạiA Do AM C\ =ACM\ = BAC[

2 nên M di chuyển cung chứa góc

[ BAC

2 dựng AB

nằm nửa mặt phẳng bờ BC với A

Suy AB+AC lớn ⇔AM lớn ⇔BC⊥CM Khi A điểm cungBC (O)

Bài 1.17 Cho hình vng ABCD cố định, cạnh a E điểm di chuyển cạnh CD Đường thẳng AE BC cắt F Đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K

(a) Chứng minhAF(CK−CF) =BD·F K

(b) Chứng minh trung điểm I KF di động đường thẳng cố định E di động trênCD

(c) Chỉ vị trí củaE để độ dài EK ngắn Lời giải

T H

I K

F

A B

D E C

(a) Ta có

\

KAD= 90◦−\DAF = 90◦−AF B[ =F AB[ Suy 4ABF =4ADK Do AK =AF hay 4F AK vng cân A Trên tia CD lấy điểm T cho AT =AC 4AT K =4ACF

Vì

AF(CK−CF) =AF ·CT

= √1

2KF ·

√

2AC

=BD·KF

(b) Tam giácAKF vng cân A có I trung điểm KF nên AI⊥KF Suy tứ giác ADIK nội tiếp Do IAD[ =IKD,[ AID[ =AKD.\

Vì IAD[ +AID[ =\AKF = 45◦ =\ADB nên I nằm đường thẳng BD (c) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có

DE·EK =AE2 ⇒EK = AE

DE AC2

CD =

2a2

a = 2a

Dấu “=” xảy E trùng với C r

Bài 1.18 Cho tam giác ABC Gọi D điểm di động cạnh BC Gọi (I1;R1); (I2;R2); (I3;R3) đường tròn nội tiếp tam giác

ABD, ACD, ABC (I3;R) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tia AD cắt (I3;R)

tại E

(a) Chứng minh ED =

1

EB +

1

EC (b) Tìm vị trí E để

ED +

1

EB +

1

EC nhỏ Chứng minh SABEC lớn (c) Tìm vị trí điểmD để R1+R2 lớn

Lời giải

F M

E K H

I2 I1

I3 A

B D C

(a) Ta chứng minh EA=EB+EC

ra4BCF =4ACE

Vì mà EA=F B =EB +EF =EB+EC Từ kết ta suy

EB +

1

EC =

EA EB ·EC Ta cần chứng minh

ED =

EA

EB.EC hay ED·EA = EB ·EC, điều 4EDC v 4EBA

(b) Từ chứng minh câu(a) ta có

1 EB + EC + ED = 2EA EB·AC > 8EA

(EB+EC)2 =

EA >

R

Dấu “=” xảy ⇔EB =EC hay E điểm cung nhỏ BC

Khi E trung điểm cung nhỏ BC (ABC) khoảng cách E BC lớn nhất, hay tam giác BEC có diện tích lớn Khi diện tích tứ giác ABEC đạt giá trị lớn (c) Gọi độ dài cạnh tam giác ABC làa

Kẻ I1H, I2K vng góc với BC (H, K ∈BC), gọi M trung điểm BC

Ta có

HK =DH+DK = AD+BD−AB

2 +

AD+CD−AC

2 = 2AD−a

2

Theo định lí Thales R1 R3 = BH BM = 2BH a R2 R3 = CK CM = 2CK a

Từ ta có đẳng thức sau

R1+R2

R3

= 2(a−HK)

a =

3a−2AD a R1+R2 =

(3a−2AD)R3

a

Từ đẳng thức cuối suy R1+R2 lớn AD bé Điều xảy

Bài 1.19 Cho (O;R) điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M dựng hai tiếp tuyến M A, M B (O;R) Gọi E trung điểm BM; H giao điểm OM với AB Đoạn thẳng AE cắt (O;R) C

(a) Chứng minh tứ giác HCEB nội tiếp (b) Chứng minh4EM C v4EAM

(c) M C cắt (O)tại D TínhDB theo R biết OM = 3R

(d) OB cắt (O) T cắt AD S M T giao SA N Chứng minh N trung điểm AS

Lời giải

I

N S T

D

C E

H

B A

O

M

(a) Ta có EH kAM nên \HEA=EAM\ =CBA Suy tứ giác[ HCEB nội tiếp (b) Ta có

EM2 =EB2 =EC·EA Suy

EM EC =

EA EM

Mặt khác, hai tam giác EM C EAM có góc E chung Suy ra4EM C v4EAM (c) Từ câu(b), ta có

\

ADM =M AC\ =EM D\ Do đóAD kM B Suy OB⊥AD hay BA=BD

Ta có OB2 =OH ·OM, suy ra

OH = OB

OM = R2 3R =

R

3

Do

BD =AB = 2HB = 2√OB2−OH2 =

r

R2− R

9 =

4√2R

(d) Gọi I giao điểm BM với AT

Ta có 4BAI vng A mà AM =M B Suy M trung điểm IB Mà M B k AD, suy

SN M B =

T N T M =

AN M I

Vì AN =N S r

Bài 1.20 Cho hình vng ABCD cạnh a E điểm di động cạnh AD (E 6=A) Tia phân giác EBA,[ \EBC cắt DA, DC M, N

(a) Chứng minhBE ⊥M N

(b) Tìm vị trí điểmE để SDM N lớn Lời giải

I

N M

A B

D C

E

(a) Gọi I điểm đối xứng vớiA qua BM Khi I ∈BE BI =a

Tương tự, gọi I0 điểm đối xứng vớiC quaBN I0 ∈BE BI0 =a Suy I ≡I0 Vì mà I ≡I0 \BIM =BIN[ = 90◦ Do I ∈M N M N vng góc với BE I (b) Từ câu(a), ta suy raAM +CN =M N Từ suy

2√DM ·DN 6DM +DN

= 2a−(AM +CN) = 2a−M N

= 2a−√DM2+DN2

62a−√2DM ·DN Do

2p2SDM N 62a−

p

4SDM N Vì

SDM N 6

a

3 + 2√2

2

Vậy diện tích tam giác DM N có giá trị lớn

a

3 + 2√2

2

khi E ≡D r

Bài 1.21 Cho 4ABC Một đường tròn (O) qua A B cắt AC BC D E M giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC DEC Chứng minh OM C\ = 90◦

Lời giải (i) Cách

Q L

P K

I M

E D

O

B C

A

Gọi I, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE ABC

Kẻ đường kính CP (I) cắt AB L Suy raP M ⊥CM (1) Ta có

[

ACL+CAB[ =DEP\+\DEC = 90◦

Do đóCL⊥AB hay P C kOK

Ta cóOI ⊥DE (tính chất đường nối tâm đường tròn cắt nhau) vàCK ⊥DE (kẻ đường kính CQcủa (K), chứng minh tương tự CL⊥AB)

Suy raCIOK hình bình hành MàI trung điểmCP nên P IKO hình bình hành Do đóP O kIK

y x

F K I

M

E D

C

B O

A

Gọi I, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE, ABC Dựng tiếp tuyến Cx, Cy đường tròn (ABC) và(CDE)

Ta có :

[

xCA=CBA[ =\CDE Suy CxkDE Do DE⊥CK hay CK kOI

Tương tự, ta có CI kOK nên CIOK hình bình hành

Gọi F trung điểm OC F trung điểm IK Mà IK đường trung trực CM nên F M =F C = OC

2

Suy tam giác COM vuông tạiM r

Bài 1.22 Cho hình thoi ABCD có ABC[ = 60◦ Một đường thẳng qua D không cắt hình thoi cắt đường thẳng AB, BC E, F Gọi M giao điểm AF CE Chứng minh AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác M DF

Lời giải

M

E

D B

A

C

Từ giả thiết ta cóAC =AD=CD Hai tam giácF CD DAE đồng dạng, suy CF

AD = CD AE Do

CF ·AE =AD·CD =AC2 Tương đương với

AC CF =

AE AC Lại có ACF[ =EAC, suy ra[ 4ACF v4EAC Từ ta có ACM\ =CF M\

Vì 4ACM v4AF C Suy

AD2 =AC2 =AM ·AF

Vậy AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DM F r Bài 1.23 Cho đường tròn (O) dây AD Gọi I điểm đối xứng với A qua D Kẻ tiếp tuyếnIB với đường tròn(O) Tiếp tuyến với đường tròn (O)tạiA cắtIB ởK Gọi C giao điểm thứ hai KD với đường tròn (O) Chứng minh BC song song với AI

Lời giải

C

K

B

I A

D

Ta thấy ADBC tứ giác điều hịa

Từ đó, theo bổ đề quen thuộc, ta có AD·BC =AC·BD Lại có AD=DI, suy

DB DI =

CB CA Chú ý BDI[ =BCA, ta suy ra[ 4BDI v4BCA

Bài 1.24 Cho4ABC nội tiếp đường tròn tâmOvà ngoại tiếp đường tròn tâmI.AI, BI, CI cắt (O) tạiD, E, F DE cắt CF M, DF cắt BE N

(a) Chứng minh rằngM N kBC

(b) Gọi Q tâm đường tròn ngoại tiếp 4DM N, P giao điểm AD EF Chứng minh điểm M, N, P, Q nằm đường tròn

Lời giải

P

Q N

M F

E

D I

O A

B C

(a) Ta có

\

N IM +N DM\ = 90◦+ BAC[

2 +ACI[+ABI[ = 90◦+ BAC[ +ABC[ +ACB[

2 = 180

◦

Suy tứ giác IN DM nội tiếp Do

\

IN M =IDM\=ABE[ =\CBE Vì M N kBC

(b) Tương tự câu (a), ta có P N kAB, P M kAC Suy raN P M\ =BAC.[ Lại có

\

N QM = 2N DM\ =ABC[ +ACB[ Do

\

N P M +N QM\ =BAC[ +ABC[ +ACB[ = 180◦

Vậy tứ giác M P N Q nội tiếp r

Lời giải

H N

F

E A

B M C

Giả sử AB < AC, gọi H trung điểm BC, M nằm H C Ta có AEB[ =AM B\ =AF C[ BAE[ =CAF[ nên suy

\

AM E =ABE[ =AM F\ Do đóM, E, F thẳng hàng Từ ta có

[

ABC =AEF ,[ ACB[ =AF E[

Suy 4ABC v 4AEF Mà H, N trung điểm BC, EF nên 4AHC v 4AN F Do

\

HAN =HAC\+\CAN +N AF\

=CAF[ = 90◦

Vậy N nằm đường thẳng qua A vng góc với AH r Bài 1.26 Cho tam giác ABC có BAC[ = 135◦, AB = a, AC = b Điểm M nằm cạnh BC cho BAM\ = 45◦ Tính độ dài AM theo a, b

Lời giải

LấyN BC cho BAM\ = 90◦ Áp dụng công thức độ dài đường phân giác, ta có AN =

√

2·AM ·b

AM +b , AM = √

2·AN ·a AN +a Suy

AN ·AM +b·AN =√2·AM ·b, AM ·AN +a·AM =√2·AN ·a Trừ theo vế hai đẳng thức trên, ta có

b·AN −a·AM =√2 (b·AM −a·AN)

Tương đương với

AN = AM a+b

√

2

Do

b√2

AM +b =

a+b√2

a√2 +b Vậy

AM = ab

a+b√2

r

Bài 1.27 Cho hình vng ABCD, lấy điểm M nằm hình vng cho M AB\ =

\

M BA= 15◦ Hỏi tam giácM CD tam giác gì? Tại sao? Lời giải

E

M

C D

A B

Dựng tam giác AM E (E nằm tam giác ADM) Suy ra\DAE =M AB\ = 15◦ Do đó4DEA =4AM B Vì \DEA=AM B\ = 150◦ Suy

\

DEM = 360◦−\DEA−AEM\ = 150◦

Từ suy 4DEM =4DEA hay DM =DA=DC Tương tự ta có CM =CD

Vậy 4ABC tam giác r

Bài 1.28 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) cho tia BA tia CD cắt I, tia DA CB cắt ởK (I, K nằm ngồi(O)) Phân giác gócBIC[ cắt AD, BC Q, N Phân giác góc AKB\ cắt AB, AC M, P

(a) Chứng minh tứ giác M N P Q hình thoi (b) Chứng minhIK2 =ID·IC+KB·KC.

(b) GọiF trung điểm AB, J hình chiếu F OB, Llà trung điểm F J Chứng minhAJ ⊥OL

E

S R H

L J F

P M

N

Q K

I

O A

D

B

C

(a) Gọi H giao điểm KP IN Ta có

[

IKH +KIH[ =AKI[ +AIK[ +1

2DKC\+ 2BIC[ = 180◦−\BAD+

2DKC\+ 2BIC[

Lại có

\

DKC =BAD\−ABK\=\BAD−\ADC [

BIC =BAD\−ADI[ =\BAD−ABC[ Suy

[

IKH +KIH[ = 180◦ −1

2(\ADC+ABC[) = 90 ◦

Do đóKHI[ = 90◦

Vì tam giác M IP QKN cân có đường cao đồng thời đường phân giác Suy tứ giácM N P Q có hai đường chéo vng góc với trung điểmH đường chéo nên tứ giác M N P Q hình thoi

(b) Gọi E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giácABK với IK Bằng số biến đổi góc đơn giản, ta suy tứ giác IEAD nội tiếp Suy

ID·IC =IA·IB =IE ·IK KB·KC =KA·KD =KE ·IK Cộng theo vế hai đẳng thức trên, ta có

(c) Gọi R giao điểm AJ OL Kẻ AS ⊥BO(S ∈BO) J trung điểm BS Ta có tứ giác AF SO nội tiếp nên BAS[ =F OJ[ Do 4F J Ov4BSA

Suy BAJ[ =F OL[ hay tứ giác AF RO nội tiếp

Vì ARO[ =AF O[ = 90◦ r

Bài 1.29 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có hai đường chéo AC, BD cắt M Đường vng góc với OM M cắt AB, BC, CD, DA M1, M2, M3, M4 Chứng

minh M1M4 =M2M3

Lời giải

K H

M3

M1 M2

M4

M

O

C D

A

B

Khơng tính tổng qt, giả sử điểm có vị trí tương đối hình vẽ Các trường hợp khác chứng minh hoàn toàn tương tự

Kẻ OH OK vuông góc vớiAD, BC

Tứ giácOM HM4 nội tiếp nên M\4OM =AHM\ Tương tự, ta có M\2OM =M\2KM

Mặt khác 4AM Dv4BM C nên 4AHM v4BKM Suy AHM\ =M\2KM hay M\4OM =M\2OM

Vì 4M2OM4 cân O Do M trung điểm M2M4

Chứng minh tương tự, ta suy M trung điểm M1M3

Từ suy điều cần chứng minh r

Nhận xét Bài toán hệ trực tiếp định lí bướm Định lí bướm tổng quát phát biểu sau :

Tứ giácABCD nội tiếp đường tròn(O).P giao điểm củaAC BD Một đường thẳng qua P cắt (O)tại E, F; cắtAB, CD theo thứ tự tạiG, H; cắtBC, ADtheo thứ tự tạiI, J Khi :

1

P E −

1

P F =

1

P G−

1

P H =

1

P I −

1

P J

Lời giải

E

F A

D C

B

Áp dụng cơng thức đường trung tuyến, ta có :

4EF2 = 2AE2+ 2CE2−AC2

=AB2+AD2− BD

2

2 +BC

2+CD2 −BD2

2 −AC

2

=AB2+AD2+BC2+CD2−BD2−AC2

Từ suy

4EF2+BD2+AC2 =AB2 +AD2 +BC2+CD2

Ta có đẳng thức cần chứng minh r

Bài 1.31 Trên (O;R) lấy hai điểm B, C cố định cho BC = √3R A điểm cung lớn BC (A6=B;C)

(a) Chứng minh khiA di động, phân giác BAC[ qua điểm cố địnhI

(b) Gọi E, F hình chiếu I đường thẳng AB, AC Chứng minh BE =CF

M F E

I B

O

C A

(a) Phân giác BAC[ qua điểm I điểm cungBC nhỏ cố định (b) Vì I trung điểm cung nhỏ BC nên IB=IC

Lại có IEB[ =IF C[ = 90◦ IBE[ =ICF[ nên 4EIB=4F IC Suy BE =CF

(c)Gọi M trung điểmBC IM⊥BC Suy E, F, M thẳng hàng (đường thẳng Simson) nên EF qua M cố định

(d) Từ 4EIB=4F IC, ta suy

SAEIF =SABIC =SABC+SBIC

Vì I cố định nên SAEIF lớn SABC lớn Điều xảy A trung điểm cung lớn BC (O)

Khi

SAEIF =

4

3SABC = 3·

BC2√3

=

3·

R√32·√3 =R2√3

Vậy diện tích tứ giác AEIF lớn R2√3khiA là trung điểm cung lớnBC của (O).r

Bài 1.32 Cho(O;R) điểmA cố định vớiOA > R Dựng cát tuyếnAM N (O)không qua tâm (AM < AN) Chứng minh

(a) Đường tròn ngoại tiếp 4OM N qua điểm cố định H (H không trùng O) cát tuyến di động

(b) Tiếp tuyến M vàN (O)cắt T Chứng minh T di động đường thẳng cố định cát tuyến AM N di động

H T

M

A O

N

(a) Gọi H giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác OM N với AO;AB tiếp tuyến (O)đi qua A (B tiếp điểm)

Khi ta cóAH ·AO =AB2 =AM ·AN =AO2−R2 không đổi.

Mà AO A cố định nênH cố định Vậy (OM N)luôn qua H cố định

(b)Dễ thấyOT đường kính đường tròn ngoại tiếp ngũ giác OHM T N nênOHT\= 90◦, tức T động đường thẳng vng góc với OA H đường cố định r Bài 1.33 Cho 4ABC có BAC[ = 60◦, AC =b, AB=c(b > c) Đường kính EF đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với BC M I vàJ chân đường vng góc hạ từ E xuống AB;AC; H K chân đường vuông góc hạ từ F xuống AB;AC

(a) Chứng minhIJ ⊥HK

(b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giácABC theo b c (c) Tính AH+AK theo b c

Lời giải

I

J

K

H

M F

E

O

B C

(a) Ta thấy HK qua M (đường thẳng Simson) Gọi L giao điểm AE IJ, ta có

[

IAE =ECB\=\EBC =J AE[ Do đó4AIE =4AJ E Suy AE⊥IJ

Mặt khác, ta có

[

EAC =EF C[ =AKH\ Suy AE kHK Vì IJ⊥HK

(b) Do BAC[ = 60◦ nên BC2 =b2+c2−bc.

Mặt khác, ta có BC =R√3 Từ suy R =

r

b2+c2−bc

(c) Ta có 4BHF =4CKF, suy BH =CK Do

AH+AK =b+BH+c−CK =b+c

Vậy ta có đẳng thức cần chứng minh r

Bài 1.34 Cho tam giác ABC Một điểm D di động cạnh BC Gọi P, Q tương ứng tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, ACD Chứng minh D di động đường trịn đường kính P Qluôn qua điểm cố định

Lời giải

E V

U

Q P

A

B D C

Ta có bổ đề sau (phần chứng minh xin dành cho bạn đọc) :

Bổ đề : Hai đường trịn (O1) (O2) khơng cắt nhau, hai tiếp tuyến chung d1, d2 cắt

một tiếp tuyến chung ngoàidtạiA vàB.GọiC, D tiếp điểm dtrên(O1)và(O2)

thì AC =BD

Kẻ tiếp tuyến chung (P) (Q) khác AD cắt BC E Gọi U, V tiếp điểm

(P)và (Q) với BC Áp dụng bổ đề ta có :

BE =BU +U E =BU +DV Lại có BU = BD+BA−AC

2 DV =

DA+DC−AC

2

Suy BE = BC+BA−AC

2 hay E ≡F

Từ bổ đề ta cóEV =U D, F V =U D F U =DV Ta có 4P DU v4DQV, suy

DU ·DV =P U·QV Tương đương với

F U ·F V =P U ·QV

Vì vậy4P U F v4F V Q Từ suy P F Q[ = 90◦ Mà \P DQ= 90◦ nên F thuộc đường tròn

ngoại tiếp tam giác P DQ r

Bài 1.35 Cho tam giác ABC có phân giác AD trung tuyến AM Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB E AC F Gọi L trung điểm EF Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng M L AD

Lời giải

L' M'

F'

C' L

F E

M D

A

B C

Xét trường hợp tam giác ABC cân A đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM trở thành đường tròn đường kính AM tiếp xúc với BC M

Suy hai đường thẳng M Lvà AD trùng Xét trường hợp tam giác ABC không cân tạiA

Gọi giao điểm đường thẳng M L với AB, AC P, Q Ta có

BE BM =

BD BA =

CD CA =

CF CM Suy

Gọi C0, F0 điểm đối xứng với B, E quaAD;M0, L0 trung điểm BC0, EF0

Dễ thấy M0, L0 nằm AD CC0 =F F0 Mặt khác,M M0 LL0 đường trung bình tam giác BCC0 EF F0 nên ta có M M0 LL0 song song với AC có độ dài Suy raM M0L0L hình bình hành

Do đóM LkM0L0 hay M LkAD

Tóm lại tam giác ABC cân A M L trùng với AD, cịn tam giác ABC khơng

cân A M L song song vớiAD r

Bài 1.36 Cho BC dây cung (O;R) Đặt BC = aR Điểm A cung BC lớn, kẻ đường kínhCI, BK ĐặtS = AB+AC

AI+AK Chứng minh S =

2 +√4−a2

a Từ tìm giá trị nhỏ S

Lời giải

K I

O

B C

A

Từ giả thiết ta suy BCKI hình chữ nhật Suy IK =BC =aRvà BI =CK =R√4−a2

Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác AIBK ta có

AI ·BK +BI·AK =IK·AB Tương đương với

AI·2R+AK·R√4−a2 =AB·aR

Suy

2AI+AK·√4−a2 =AB·a

Tương tự, ta có

2AK +AI ·√4−a2 =AC·a

Do

AB+AC AI+AK =

2 +√4−a2

a Vì a62 nên S = +

√

4−a2

Vậy S đạt giá trị nhỏ BC đường kính đường tròn(O) r

Bài 1.37 Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R) có BAC[ > 90◦ Các đường trịn (A;R1),

(B;R2), (C;R3) đơi tiếp xúc ngồi với

Chứng minh

SABC =

BC·R21+AC·R22+AB·R23+ 2R1·R2·R3 4R

Lời giải

Đặt BC =a, CA=b, AB =c, p= a+b+c

2

Dễ thấy R1 =p−a, R2 =p−b, R3 =p−c

Ta cần chứng minh

a(p−a)2+b(p−b)2+c(p−c)2+ 2(p−a)(p−b)(p−c) =abc Đặt E(a, b, c) =a(p−a)2+b(p−b)2+c(p−c)2+ 2(p−a)(p−b)(p−c).

Ta có

E(0, b, c) = b

c−b

2

2

+c

b−c

2

2

+ 2· b+c

2 ·

c−b

2 ·

b−c

2 =

b−c

2 b+c−2·

b+c

2

=

Tương tự, ta có E(0, b, c) = E(a,0, c) =E(a, b,0) = Suy E =kabc, k số thực

Cho a=b=c, ta thấy k=

Vì E(a, b, c) = abc r

Bài 1.38 Cho hình thoi ABCD có cạnh là1 Trên cạnh BC lấy M,CD lấy N cho chu vi 4CM N bằng2 2N AM\ =DAB Tính góc hình thoi.\

Lời giải

N

M C

D B

Dựng phía nửa mặt phẳng bờAD không chứaC tam giácADG cho4ADG=4ABM Suy \ADG=ABM\ BM =DG

Vì M C +N C +M N = nên

M N = 2−N C −M C

=DN +M B

=DN +DG

Mặt khác, 2M AN\ =\DAB nên 4AGN =4AM N

Do đóM N =N G hay N G=N D+DG Suy raN, D, G thẳng hàng

Vì ABCD hình thoi tổng hai góc đối diện 180◦ nên ABCD hình vng r Bài 1.39 Về phía ngồi tam giác ABC dựng hình vng BCM N, ACP Qcó tâm O O0

(a) Chứng minh cố định hai điểm A, B cho C thay đổi đường thẳng N Q qua điểm cố định

(b) GọiI trung điểm AB Chứng minh 4IOO0 là tam giác vuông cân.

Lời giải

F L

I

O

O'

N M

Q

P C

A B

(a) Gọi Llà trung điểm N Q, ta chứng minhL điểm cố định Thật

Ta có O0L=CO =OB, OL=CO0 =O0A \

Suy 4LO0A=4BOL Do đó LA=LB và \O0LA=LBO Vì mà[

[

ALB = 360◦−O\0LA−OLB[ −OLO\0 = 360◦−LBO[ −OLB[ −OCO\0

= 360◦−180◦+90◦−COL[−OCO\0 = 90◦

Từ suy 4AIB vuông cân L

Mặt khác, dễ thấy L C thuộc nửa mặt phẳng bờAB Suy raL cố định (b)Ta có 4P CB =4ACM Suy P B =AM tứ giác AF CP nội tiếp với F giao điểm AM P B

Do đóP F A[ =P CA[ = 90◦ Vì AM ⊥BP

Lại có P B = 2O0I, P B k O0I AM = 2OI.AM k OI Suy OI O0I vng góc

Vậy 4OIO0 vuông cân tại I. r

Bài 1.40 Cho hai đường trịn(O;R) (O0;R0) ngồi biết OO0 =d > R+R0 Một tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp xúc với (O) E tiếp xúc với (O0) F Đường thẳng OO0 cắt (O) A, B cắt (O0) C, D (B, C nằm A, D) AE cắt CF M, BE cắt DF N Gọi giao điểm M N với AD làI Tính độ dài OI

Lời giải

I N

M

F E

D

A O B C O'

Từ giả thiết ta cóBC =d−R−R0 Do

IB+IC =d−R−R0 (1) Ta thấy tứ giác EM F N hình chữ nhật, :

[

Suy tứ giác M IF D nội tiếp Do M ID\=M F D\ = 90◦ hay M N ⊥AD Vì 4BIN v4CIM

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có : IB2

IC2 =

BN2

CM2 =

IB·DB IC·AC Suy

IB IC =

BD AC =

d−R+R0

d+R−R0 (2)

Từ (1) (2) suy IB= (d−R)

2−R02

2d ⇒OI =OB+BI =

d2+R2 −R02

2d

Vậy OI = d

2+R2−R02

2d r

Bài 1.41 Cho tam giác ABC có diện tích S0 Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm

M, N, P cho M B M C =k1,

N C N A =k2,

P A

P B =k3 (k1, k2, k3 <1) Hãy tính diện tích tam giác tạo đoạn thẳng AM, BN, CP Lời giải F E I A B C N M P

Gọi EIF tam giác tạo 3đoạn thẳng AM, BN, CP Ta có : SBCN

S0

= CN

CA = k2

k2 +

và SBCF SBCN

= BF

BN Suy

SBCF =S0·

BF BN ·

k2

k2+

(1) Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABN cát tuyến P CF, ta có

F B F N ·

CN CA ·

P A P B = Suy

BF F N =

1 +k2

Tương đương với

BF BN =

1 +k2 +k2+k2k3

(2) Từ (1) (2), ta suy

SBF C =

k2 +k2+k2k3

·S0

Chứng minh tương tự : SACI =

k3 +k3+k1k3

·S0, SAEB =

k1 +k1+k1k2

·S0

Từ ta có diện tích tam giác tạo đoạn thẳng AM, BN, CP : S=S0

1−

k1 +k1+k1k2

+ k2

1 +k2+k2k3

+ k3

1 +k3+k1k3

=S0·

(k1k2k3−1)2

(k1k2+k1+ 1)(k2k3+k2+ 1)(k3k1+k3+ 1)