Tuyển chọn các bài toán hình học giải bằng máy tính Casio

Phm Thanh Duy Trng THCS T An Khng Nam m Di C Mau CC BI TON HèNH HC Một số kiến thức về toán học cần nắm 1. Tam giác vuông: * Hệ thức lợng trong tam giác vuông. b 2 = ab ; c 2 = ac h 2 = b.c ; ha = bc 2 2 2 1 1 1 h b c = + ; Diện tích: S = 1 1 2 2 bc ah= * Với góc nhọn thì: a, 1<Sin + Cos 2 ; Đẳng thức xảy ra khi = 45 0 b, Cos 1 1 2 2 =+ tan S dng cỏc t s lng giỏc: sin cos cot, cos sin ,cos, huyen doi ==== gtg huyen ke Sin 2. Tam giác th ờng : Các ký hiệu: h a : Đờng cao kẻ từ A, l a : Đờng phân giác kẻ từ A, m a : Đờng trung tuyến kẻ từ A. BC = a; AB = c; AC = b R: Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác. r: Bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác. Chu vi: 2p = a + b + c => ; ; 2 2 2 b c a c a b a b c p a p b p c + + + = = = Định lý về hàm số cosin: a 2 = b 2 + c 2 2bc.cosA; b 2 = c 2 + a 2 2ca.cosB; c 2 = a 2 + b 2 2ab.cosC + =+= + =+= + =+= ab cba CCabbac ac bca BBaccab bc acb AAbccba 2 coscos2* 2 coscos2* 2 coscos2* 222 1222 222 1222 222 1222 1 c b h a b / c / H A B C c b lA hA mA A B C D H M Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau α α α ααα ααα αα ααα αα αα 2 3 22 22 22 1 2 2* sin4sin33sin* cossin22sin* sin211cos2 2coscossin* 1cot.* 1cos* tg tg tg gtg Sin − = −= = −=−= =− = =+ §Þnh lý vỊ hµm sè sin: 2 sin sin sin a b c R A B C = = = §Þnh lý vỊ hµm sè tang: 2 2 2 ; ; 2 2 2 A B B C C A tg tg tg a b b c c a A B B C C A a b b c c a tg tg tg + + + + + + = = = − − − − − − ; ; 2 2 2 A r B r C r tg tg tg p a p b p c = = = − − − §Þnh lý vỊ hµm sè costang: ; ; 2 2 2 A p a B p b C p c cotg cotg cotg r r r − − − = = = a = h A (cotgB + cotgC); b = h B (cotgC + cotgA); c = h C (cotgA + cotgB); 3. Các bán kính đường tròn: a) Ngoại tiếp: C c B b A a S abc R sin2sin2sin24 ==== b) Nội tiếp: ( ) ( ) ( ) 222 C tgcp B tgbp A tgap p S r −=−=−== 4. Diện tích tam giác: ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) R abc S rcprbpraprpS cpbpappS A CBa S CabBacAbcS chbhahS cba cba 4 * .* * sin.2 sin.sin. * sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 * 2 1 2 1 2 1 * 2 = −=−=−== −−−= = === === ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ HƯ thøc tÝnh c¸c c¹nh:AB 2 + AC 2 = 2AM 2 + 2 2 BC h A = 2 ( )( )( )p p a p b p c a − − − ; 2 ; với Hơrông) (Đlý 2 cba p ++ = Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau 5. Đường cao: c S h b S h a S h cba ∆∆∆ === 2 ; 2 ; 2 6. Đoạn phân giác trong tam giác: ( ) ( ) ( ) cppab baba C ab l bppca acac B ca l appbc cbcb A bc l a b a − + = + = − + = + = − + = + = 2 2 cos2 * 2 2 cos2 * 2 2 cos2 * 7. Trung tuyến: 222 222 222 22 2 1 * 22 2 1 * 22 2 1 * cbam bacm acbm c b a −+= −+= −+= Tam giác đều: Diện tích, chiều cao: S= 2 3 ; 4 3 2 a h a a = Định lý Ceva: AM, BN, CP đồng quy 1 −= PB PA NA NC NC MB Định lý Mencleit: M, N, P thẳng hàng 1 = PB PA NA NC NC MB C. HỆ THỨC LƯNG TRONG TỨ GIÁC LỒI ABCD: ( )( )( )( ) ( )( )( ) S bcadcdabbdac R dcba p DB abcddpcpbpapS 4 * 2 * 2 cos.* 2 +++ = +++ = + −−−−−= ∧∧ ο * Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O) có công thức: ( )( )( )( ) dpcpbpapS ABCD −−−−= * Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn ( I) có công 3 A B C M N P N A B C M P ; với AB =a; BC =b; CD= c; DA= d A B d b c D a C I O α Phm Thanh Duy Trng THCS T An Khng Nam m Di C Mau thửực: ( ) ( ) ( ) 1 (1) 2 ABCD S a b c d r a c r b d r= + + + = + = + T (1) suy ra cụng thc tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip : 0 ABCD ABCD s s r a c b d = = + + ( khi: a+c = b+d ) 2. Đa giác, hình tròn: * Một số công thức: 1) Đa giác đều n cạnh, độ dài cạnh là a: + Góc ở tâm: 2 n = (rad), hoặc: 360 o a n = (độ) + Góc ở đỉnh: à 2 A n n = (rad), hoặc à 2 A .180 n n = (độ) + Diện tích: cot 4 2 na S g = 2) Hình tròn và các phần hình tròn: + Hình tròn bán kính R: - Chu vi: C = 2R - Diện tích: S = R 2 + Hình vành khăn: - Diện tích: S = (R 2 - r 2 ) = (2r + d)d + Hình quạt: - Độ dài cung: l = R ; (: rad) - Diện tích: 2 1 2 S R = (: rad) 2 360 R a = (a: độ) Din tớch hỡnh qut: 0 2 360 R S = Din tớch, th tớch: - Hỡnh chúp: BhV 3 1 = - Hỡnh nún: RlShRV xq == ; 3 1 2 - Hỡnh chúp ct: hBBBBV )''( 3 1 ++= 4 a A O . O R . O R r d . O R Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau - Hình nón cụt: lRRShRRRRV xq )'(;)''( 3 1 22 +Π=++Π= - Hình lăng trụ: V=Bh; S xq =Chu vi thiết diện phẳng x l - Hình cầu: 23 4; 3 4 RSRV xq Π=Π= - Hình trụ: RhShRV xq Π=Π= 2; 2 - Hình chỏm cầu: RhS h RhV Π=−Π= 2); 3 ( 2 - Hình quạt cầu: hRV 2 3 2 Π= Bµi 1:Cho tam gi¸c ABC; 0 ˆ 120B = ; AB = 6(cm); BC = 12(cm); ph©n gi¸c trong cđa gãc B c¾t AC t¹i D. TÝnh diƯn tÝch ABD. Gi¶i: Ta cã: KỴ AK//BC c¾t BD t¹i K. Khi ®ã: 6 1 12 2 DK AD AB DB DC BC = = = = XÐt ∆ ABK c©n t¹i A, ∠ ABK = 60 0 nªn ∆ ABK ®Ịu. Suy ra KB = 6(cm), ®ång thêi 1 2 DK DB = => BD = 4(cm). KỴ ®êng cao AH cđa ∆ AHK ta cã: AH = 6sin60 0 = 6. 3 2 = 3 3 (cm). Khi ®ã: S ABD = 1 2 .BD.AH = 1 2 .4. 3 3 = 6 3 (cm 2 ). VËy S ABD = 6 3 (cm 2 ) Bµi 3: Cho ∆ ABC, cã AM lµ ®êng trung tun vµ AB = 9cm; AC = 15cm; AM = 6cm H·y tÝnh diƯn tÝch ∆ ABC. Gi¶i: Ta kỴ: CK//AB c¾t AM t¹i K, Ta cã ∆ ABM : ∆ CKM => 9 6 6 2 9 3 AB AM MK CK MK CK MK CK = ⇒ = ⇒ = = => CK = 9; MK = 6 => ∆ ABM = ∆ KCM(g.cg) => AK = 12cm Ta thÊy trong tam gi¸c AKC cã: AC 2 = AK 2 + KC 2 => 15 2 = 12 2 + 9 2 Suy ra: ∆ AKC vu«ng t¹i K; do vËy S ABC = S AMC + S KMC = S AKC = 1 2 AK.KC = 1 2 .12.9 = 54(cm 2 ). vËy S ABC = 54(cm 2 ) Bµi 5.Cho tam giác ABC AB=9; AC=11;BC=12 a)Tính đường cao AH và diện tích tam giác ABC b)Tính CBA ˆ ; ˆ ; ˆ (đến độ ,phút ,giây) 5 6 12 60 0 60 0 60 0 D B A C K H 9 15 6 M A B C K Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau 11 9 12-X X H C A GIẢI :a. Đặt HC=x ⇒ HB=12-x ∆AHB vuông ta có h 2 =9 2 –(12-x) 2 (1) ∆ AHC vuông ta có h 2 =11 2 –x 2 (2) ⇒ 9 2 –(12-x) 2 =11 2 –x 2 ⇒ 24x=184 ⇒ x=7,666666667 Thế vào ( 1) ⇒ h= 2 2 )666666667,7( 11 − =7,888106377 b. Sin B = 845386089.0 9 888106377,7 === AB h AB AH Nhấn SHIFT SIN -1 0,8453860089 Kết quả: B=58 0 Sin C = 717100579.0 11 888106377,7 === AC h AC AH Nhấn SHIFT SIN -1 0,8453860089 = Kết quả: C ˆ =44 0 0 78) ˆ ˆ (180 ˆ =+−= CBA Bài 6:Cho tam giác ABC có A ˆ =65 0 ;AB=10;AC=12 a)Tính độ dài 3 đươmg cao AH;BK;CL. b)Tính diện tích tam giác ABH L K H C A Xét ALC∆ vuông Ta có SinA= 87569344,1012.65. ===⇒ SinACSinACL AC CL * AKB∆ vuông Ta có : SinA= 06307787,965.10. ===⇒ SinABSinABK AB BK *xét ALC∆ vuông 2222 )34487569,10(12 −=−= LCACAL =5,07141915 92858085,407141915,510 =−=−=⇒ ALABBL Xét CLB∆ vuông Ta có : BC= 22 CLBL + = 9403356,11)92858085,4()875693440,10( 22 =+ Theo công thức tính diện tích tam giác S= 108364961,9 9403356,11 87569344,10.10. . 2 1 . 2 1 ===⇒= BC CLAB AHABCLBCAH *Xét AHB∆ vuông tại H ta có:HB= 127673405,4)108364961,9(10 2222 =−=− AHAB 6 = Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau =⇒ AHB S 79817791,18 2 127673405,4.108364961,9 . 2 1 ==HBAH Bài 1.Cho ABC∆ có µ 120 , 6,25 , 12,5 . O B AB cm BC cm= = = Đường phân giác của góc B cắt Ac tai D. a) Tính độ dài của đoạn thẳng BD. b) Tính tỉ số diện tích của các tam giác ABD và ABC. c) Tính diện tích tam giác ABD. Giải: Qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt tia đối của tia BC tải B’ , nối BB’. · · · ' 60 ' 180 120 O O O B AB ABD B BA = = = − 'B BA ⇒ ∆ đều. ' ' 6,25AB BB AB⇒ = = = Vì AB’ // BD nên ' ' BD BC AB CB = . ' . ' 4,16666667 ' ' BC AB BC AB BD CB BB BC ⇒ = = = + b)Ta có: ABD ABS S AD S AC ∆ ∆ = và ' 1 ' 3 AD BB AC B C = = c) · · 1 1 2 . sin .sin . 11,2763725 2 2 3 ABD S AB BD ABD AB ABD AB ∆ = = ; Bài 2. Cho ABC ∆ vuông tại A. Biết BC = 8,916 cm và AD là phân giác trong của góc A. Biết BD = 3,178 cm. Tính AB, AC. Giải: Ta có:DC = BC – BD = 8,916 – 3,178 2 2 2 BC AB AC= + Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB BD AB BD AB BD AC DC AC DC AC AB DC BD = ⇒ = ⇒ = + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . BD AC AB BD BC AB DC BD DC BD + ⇒ = = + + 4,319832473cm; 7,799622004AC cm= Ví dụ 2: Cho ∆ ABC vuông ở A biết BC = 8,961 và AD là phân giác trong của A . Biết BD = 3,178. Tính AB, AC. Giải 7 B’ B C A D Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau Bài 1. Cho ABC∆ có các cạnh AB = 21 cm ; AC = 28 cm a) Chứng minh rằng ABC∆ vuông. Tính diện tích ABC∆ . b) Tính các góc B và C c) Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính BD, DC. Giải: a) S ABC∆ = 294 cm b) µ µ 4 sin 53 7'48'' 5 O AC B B BC = = ⇒ ; µ µ µ 90 36 52'12'' O O C B C= − ⇒ ; c) 21 3 3 3 28 4 3 4 7 15 20 BD AB DB DB DC AC DB DC DC DB cm DC cm = = = ⇒ = ⇒ = + + ⇒ = = Bài 2. Cho ABC ∆ vuông tại A. với AB = 4,6892 cm; BC = 5,8516 cm. Tính góc B, đường cao AH và phân giác CI. Giải: Tính µ µ 36 44'25,64" O AB B B BC = ⇒ = Tính AH. ( ) sin sin 36 44'25,64" 4,6892 2,80503779 O AH B AH cm BH = ⇒ = × ≈ Tính CI. Góc 90 36 44'25,64" 2 o o C − = Bài 3. Cho ABC∆ vuông tại B. Với AB = 15 AC = 26. Kẻ phân giác trong CI ( ) CI AB∈ . Tính IA. Giải: Ta có : 2 2 26 15BC = − B D C Ta có : AB 2 + AC 2 = BC 2 (Pitago) Với BC = 8,916 ; BD = 3,178 thay vào trên được KQ: AB = 4,3198 AC = 7,7996 B 8 C A Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau IA IB IA CA CA AB IB AB = ⇒ = 2 2 . 26 26 15 13,46721403 15 26 IA CA IA IB IA AB CA IB CA AB IA AB CA ⇒ = = + + − ⇒ = = + + ; Bµi 7. Cho tam giác ABC có BC = 11,34; AC = 24,05; AB = 15,17 và phân giác AD. Tính độ dài BD và DC. Tia phân giác góc B cất AD tại I. Tính tỉ số AI DI Sử dụng tính chất đường phân giác trong. a) . 4,386226425 . 6,593773585 AC AB BD AC AB BC AC DC AB AC = ≈ + = ≈ + b) 3,458553792 IA AB AC ID BC + = ≈ VD1: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác CDE theo tỷ số đồng dạng k=1,3. Tính diện tích tam giác CDE biết diện tích tam giác ABC là 112 cm 2 ? Giải: Ta có 2 ABC CDE S k S = thay số vào ta được 2 112 1,3 CDE S = → S CDE = 66,2722 cm 2 Bµi 9:Cho ∆ vuong ABC (A=1v) có AB=14,568 cm và AC=13,245 cm. Kẻ AH vuông góc với BC. 1)Tính BC; AH; HC. 2)Kẻ phân giác BN của góc B. Tính NB. Bài 11 . Cho tam giác ABC cân tại A có ∠ A=36 0 . Tính giá trị của tỉ số AB BC (chính xác đến 0,0001). 9 B A I -Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính câu 1. -Theo t/c đường phân giác có: từ đây tính NA; sử dụng Pitago trong tam giác ABN tínhBN. A N B H C Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau Vẽ tia phân giác trong BD. Ta có ∠ B 1 = 2 72 0 =36 0 = ∠ A, ∠ D= ∠ A+ ∠ B 1 =72 0 = ∠ Cnên tam giác ABD cân tại D, tam giác CBD cân tại B suy ra DA = DB = BC. Theo tính chất của đường phân giác: DA DC AC AB BC AB BC = = + ⇒ .AB BC DC AB BC = + mặt khác DC = AC – AD = AB – BC = AB – BC (AB = BC ; AD = BD = BC) Nên .AB BC DC AB BC AB BC = − = + ⇔ AB.BC = AB 2 – BC 2 (*) Đặt x = AB BC > 0 từ (*) ta có x 2 – x – 1 = 0.Tìm được x = 1 5 2 − và x = 1 5 2 + Do x > 0 nên lấy x = 1 5 2 + Viết quy trình ấn phím tính được x ≈ 1,6180 Bài 12: Một tam giác vuông cân có cạnh a=12,122008 cm. Được quay đỉnh góc vuông một góc bằng 30 0 . Gọi diện tích phần chung của hai tam giác đó là S. a, Lập công thức tính S. b, Tính S ( Với 4 chữ số thập phân ). a, Lập được công thức tính diện tích chung ( ) 2 2 3S a= − . HD: B B 1 H E G D A F C C 1 Kẻ ,EH AB AG BC⊥ ⊥ , Đặt EH=x suy ra AH=a-x=x 3 ( ) ( ) 2 2 2 3 2 ; 2 2 2 3 1 2 2 . 2 3 AED a a x EG BG BE a x S S AG EG a − ⇒ = = − = − = + ⇒ = = = − b, S ≈ 39,3733 ( ) 2 cm 10 D C B A 1 2 1 [...]... 01P =4 Tính diện tích hình thang cân ABCD Bài 14:Trong 1 hình thang cân có 2 đường tròn tiếp xúc ngoài nhau,mỗi đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh bên và tiếp xúc với 1 đáy của hình thang Biết bán kính của các đường tròn đó bằng 2cm và 8cm Tính diện tích hình thang Bài 15: Một hình thang cân nội tiếp đường tròn tâm O, cạnh bên được nhìn từ O dưới góc 120° Tính diện tích hình thang biết đường cao bằng 12cm... Tìm cơng thức tính độ dài đáy lớn 2 )Tính độ dài đáy lớn với số liệu cho ở trên Câu 11: Cho hình thang cân có hai đường chéo vng góc với nhau Hai đáy có độ dài là15.34cmvà24.35cm a)Tìnhđộdàihaicạnhbêncủahìnhthang b)Tínhchuvivàdiệntíchhìnhthang Bài 12: Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD =10cm , đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính diện tích hình thang Bài 13:Cho hình thang cân... a) Tính diện tích hình thang ABCD b) Tính tỷ số giữa diện tích tam giác ADC và diện tích tam giác ABC Bài 6 Cho hình thang vng ABCD và cho biết AB = 6,25cm, BC = 12,50cm Đường phân giác của góc B cắt AC tại D 1) Tính độ dài đoạn thẳng BD 2) Tính tỷ số diện tích của các tam giác ABD và ABC 3) Tính SABD Bài 7: Hình thanh vuông ABCD (góc A =góc D =90°) ngoại tiếp đường tròn tâm O Tính diện tích hình. .. Cho hình thang có đáy lớn Gọi là trung điểm của Biết Tính các góc của hình thang Bài 26.Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Trên cạnh AD ta lấy điểm M, trên cạnh BC ta lấy điểm N sao cho AM = AD, BN = BC Biết AB = CD Tính Bài 27: Hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O, đáy nhỏ AB=2cm , E là tiếp điểm của đường tròn (0), trên cạnh BC biết BE =1cm , EC= 4cm Tính diện tích hình thang ABCD Bài 28 :Tính. ..    S ≈ 0,53259 H×nh thang Bài 1: Viết cơng thức tính S hình thang biết độ dài 2 đường chéo là m và n , đoạn thẳng d nối trung điểm 2 cạnh đáy Áp dụng với m= 302,1930; n= 503,2005; d=304,1975 Tính S hình thang Bài 2 Cho hình thang ABCD vng tại A và B, Góc D là 1350; AD = AB = 4,221cm Tính chu vi của hình thang ABCD( chính xác đến chữ số thập phân thứ 3) Bài 3: Cho hình thang vng ABCD biết AB = a... Bài 3: Cho hình thang vng ABCD biết AB = a = 2,25cm; góc ABD = 500, diện tích hình thang là 9,92cm2 .Tính độ dài AD, DC, BC và số đo các góc ABC, BCD Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD và cho biết AB=12,35 cm, BC=10,55 cm, góc ADC=570 a) Tính chu vi và diện tích hình thang ABCD b )Tính các góc còn lại của tam giác ADC Bài 5: Cho hình thang ABCD vng tại B và C có AB . (để máy tính bằng rad) Diện tích hình quạt IKN: S 2 = · π −     −  ÷       = 2 1 2 4 4 sin 5 . 2 2 IN sdOIN Viết quy trình ấn phím và tính được S 2 ≈ 17,7144(cm 2 ) (để máy tính bằng. AD=198,2001cm. a) Tính AH và AK b) Tính tỉ số diện tích ABCD S của hình bình hành ABCD và diện tích HAK S ∆ của tam giác HAK. c) Tính diện tích phần còn lại S của hình bình hành khi khoét đi tam giác. Giải a). tích hình gạch chéo MNPQ bằng diện tích hình vuông ABCD trừ 4 lần diện tích của một phần tư hình trong bán kính a/2. ( ) 2 2 2 4 1 4. . 4 4 4 MNPQ a a S a −∏ ∏ = − = =6,14cm 2 Bài 21:Hình