[r]
(1)Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Trường THCS Nguyễn Tri Phương Mơn Tốn - Thời gian : 120 phút
Câu 1/ (1đ) Cho x =
33 9 125 3 9 125
27 27
Chứng minh x số nguyên
Câu 2/ (1,5đ) Cho x > , y > , t >
Chứng minh :
xy yt xt
NÕu x= y= t x.y.t =1
y t x .
Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c có nghiệm dương x = m Chứng minh đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) có nghiệm dương x = n thỏa mãn m +n2
Câu 4/(2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - = (m tham số)
Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn Xác định đường thẳng
Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) với R > r Lấy A E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , A di động , E cố định ( với A ≠ E) Qua E vẽ đường thẳng vng góc với AE cắt đường trịn (O; R) B C Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB
a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 khơng phụ thuộc vị trí điểm A
b/ (1,5đ) Chứng minh điểm A di động đường tròn (O; r) A≠ E thì đường thẳng CM ln qua điểm cố định ( gọi tên điểm cố định K )
c/ (1đ) Trên tia AK đặt điểm H cho AH =
(2)Đáp án biểu điểm chấm Toán 9
Câu Nội dung Điểm
Câu1 (1đ)
3
3
3 3
3
2
125 125
a vµ b =
27 27
5 Thì a b a.b =
3 x a b x a b 3ab(a b)
x = - 5x (x 1)(x x 6) Mµ x x 0(do ).Suy x 1.VËy x Z
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu 2 (1,5đ)
Từ đẳng thức với điều kiện đề cho suy :
1 1
x y z
y z x
(1) y z 1 x y
z y zy
1 z x
(1) y z
x z xz
x y
1
z x
y x xy
(2)
(2)
y z z x x y
x y y z z x
zyzxxy (3) Từ (3)
x y z Học sinh chứng minh đ ợc
xyz 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ Câu 3 (1,5đ)
Ta có : x = m nghiệm đa thức f(x)= ax2 + bx + c 2 2
Suy am bm c (1), mµ m > (gt)
b c 1
(1) a + a + b( ) c( ) = (2)
m m m m
1
Đẳng thức chứng tỏ x= nghiệm m
1
®a thøc g(x) = cx bx a VËy x= n = > (do m > ) (3) m
Ta cã
1
m+n = m + m (do )
m m
Hay m n
0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25
(3)(2đ) Nếu m =2 d(2) đường thẳng x = nên khoảng cách từ O đến d(2) (1)
Nếu m ≠1 m≠ d(m) cắt trục hồnh A
1 ;0 m
và cắt trục tung tại
B
1 ;
m Gọi OH khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có :
2
2 2
2
2
lín nhÊt
1 1
(m 1) (m 2)
OH OA OB
1 1
2m 6m m
OH 2
3 VËy OH OH OH m (2)
2
Từ (1) (2) < 2 suy khoảng cách lớn từ O đến d(m) là
Khi đường thẳng d có cơng thức là x - y- = 0
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 5
Câu a (1,5đ)
G K
D M A
C
B
O E
Gọi G trung điểm BC OGBC (đl) suy
GB = GC GE = GD (đl)
và OG đường trung bình ADE nên OG=
1
2AE hay AE = 2OG
Ta có EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG)2
Suy EB2+EC2= 2(BG2 +EG2)
Áp dụng định lý Pi ta go vào tam giác vuông OGE OGB ta có :
OG2+GE2= r2 và OG2+GB2= R2
Do EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG2+OG2)
= 2R2 +2r2 ( không đổi)
Trường hợp đặc biệt :
G D M
A
C B
O
E
G E DThì chứng minh đúng
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
(4)Câu b (1,5đ)
Câu c (1đ)
Hai tam giác ABC ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định ,
Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM ABC qua trọng
tâm ADE
Do H thuộc tia AK, mà K trọng tâm ADE AH
3
AK nên H trùng với G ( trung điểm chung hai đoạn thẳng DE BC )
Mà OGE vuông E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) )
Vậy A di động đường tròn (O; r) H di động đường trịn đường kính OE