đề hsg toán 9 toán học 9 lương hiền an thư viện giáo dục tỉnh quảng trị

Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròna. Chứng minh H là trung điểm của DK..[r]

UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I

Bài 1: (1.5 điểm) Thực tính:

√2x+2√x2−4

√x2−4+x+2 với x=2√6+3 Bài 2: (2.5 điểm)

Giải phương trình: a x2+5x −√x2+5x+4=−2

b √x2−3x+2+√x+3=√x −2+√x2+2x −3 Bài 3: (2.0 điểm)

a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = ln có nghiệm

hữu tỉ với số n nguyên

b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2009x + =

x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2010x + =

Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)

Bài 4: ( 3.0 điểm)

Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I trung điểm DE Đường thẳng qua D vng góc với BO cắt BC H cắt BE K

a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C thuộc đường tròn b Chứng minh  ICB =  IDK

c Chứng minh H trung điểm DK Bài 5: ( 1.0 điểm)

UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II

Bài 1: (2.0 điểm)

a) Chứng minh bất đẳng thức:

1

a b a b Với a b; số dương. b) Cho x y; hai số dương x y1.Tìm giá trị nhỏ

P=

2 xy ; 2

2

M

xy x y

 

 . Bài 2: (2.0 điểm)

Giải hệ phương trình: { x2+y2=11

x+xy+y=3+4√2

Bài 3: (2.0 điểm)

Hình chữ nhật ABCD có M, N trung điểm cạnh AB, CD Trên tia đối tia CB lấy điểm P DB cắt PN Q cắt MN O Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM H

a Chứng minh HM = HN

b Chứng minh MN phân giác góc QMP Bài 4: (3.0 điểm)

Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB EF dây cung di động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF EF = R AF cắt BE H AE cắt BF C CH cắt AB I

a Tính góc CIF

b Chứng minh AE.AC + BF BC không đổi EF di động nửa đường trịn

c Tìm vị trí EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích Bài 5: (1.0 điểm)

UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010

Mơn: Tốn HƯỚNG DẪN CHẤM - VỊNG I Bài 1: (1.5 điểm)

Thực tính: √2x+2√x2−4

√x2−4

+x+2 với x=2√6+3

√x+2+√x −2¿2 ¿

¿

√¿

¿√x+2+x −2+2√(x+2)(x −2)

√(x+2)(x −2)+x+2 =¿

0,75

Thay x=2√6+3 vào được:

√3+√2¿2 ¿ ¿

√¿

√2√6+2+3= ¿

0,75 Bài 2: (2.5 điểm)

Giải phương trình: a x2+5x −√x2+5x+4=−2

x2+5x+4−√x2+5x+4=2

Đặt y=√x2+5x+4 (y  0) được: y2 - y - = 0,50 Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = 0,25

Với y = giải √x2+5x+4=2 x1 = 0; x2 = -5 0,25

Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,25 Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x Lúc cần đặt điều kiện bình phương

hai vế

b √x2−3x+2+√x+3=√x −2+√x2+2x −3

√(x −1)(x −2)+√x+3=√x −2+√(x −1)(x+3) 0,25

√x −1(√x −2−√x+3)−√x −2+√x+3=0

(√x −2−√x+3)(√x −1−1)=0 0,50

√x −2−√x+3=0 vô nghiệm; √x −1−1=0 x = 0,25 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,25 Bài 3: (2.0 điểm)

a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = ln có nghiệm hữu tỉ

với số n nguyên

n =-1: Phương trình có nghiệm Với n  -1  n+10 ’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1)

’ nên phương trình ln có nghiệm 0,25 ’ phương, hệ số số nguyên nên nghiệm phương trình

số hữu tỉ 0,25

b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2009x + =

x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2010x + =

Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)

Giải:

Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm

Có: x1x2 = x3x4 = x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 0,25

Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1;x3x4 =

(x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4)

= (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 )

= x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42

= x32 - x22 - x12 + x42

= (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2

= (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2

0,50

Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 0,25

Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)]

Bài 4: ( 3.0 điểm)

OB  BA; OC  CA ( AB, AC tiếp tuyến) OI  IA (I trung điểm dây DE)

 B, O, I, C thuộc đường trịn đường kính AO

0,75 ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường trịn đường kính AO) (1)

DK // AB (Cùng vng góc với BO)

 IDK = IAB (2)

Từ (1) (2) được:  ICB =  IDK

1.0  ICB =  IDK hay  ICH =  IDH  Tứ giác DCIH nội tiếp

HID =  HCD

 HCD =  BED (Cùng chắn cung DB (O))

1,25 O

A

B

C I

D E

K H

HID =  BED  IH // EB

 IH đường trung bình DEK  H trung điểm DK

(Mỗi bước cho 0,25 điểm) Bài 5: ( 1.0 điểm)

Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia hết cho 60 với số tự nhiên n.

- A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1)

chia hết A(n) chia hết cho với n 0,25 - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia hết cho theo phecma nên

A(n) chia hết cho với n 0,25

- Nếu n chẵn  n2 chia hết cho  A(n) chia hết cho Nếu n lẻ  (n-1) (n+1) tích hai số chẵn nên chia hết cho  A(n) chia hết cho với n

0,25 - Ba số 3,4,5 đôi nguyên tố nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay

A(n) chia hết cho 60 0,25

UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010

Môn: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II

Bài 1: (2.0 điểm)

a Chứng minh bất đẳng thức:

1

a b a b Với a b; số dương. b Cho x y; hai số dương x y 1.Tìm giá trị nhỏ

P=

2 xy ; 2

2

M

xy x y

 

 .

1 a b a b ⇔

a+b ab ≥

4

a+b⇔(a+b)

2≥4 ab⇔

(a − b)2≥0 0,50

P= xy=

x+y xy ≥

4 2(x+y)=

4

2 1=2 0,50

P đạt giá trị nhỏ tại: x = y = 12 0,25 hoặc: x+y¿

2⇔xy≤1 4⇔

1 xy ≥4⇔

1 xy≥2 xy≤ x2

+y2⇔4 xy≤¿ 2

2

M

xy x y

 

 =

x+y¿2 ¿ ¿

4 xy+

3

x2+y2≥ xy+

4

x2+2 xy+y2= xy+

4

¿

0,50 - 2 xy1 đạt GTNN x = y = 12

- 2 xy3 +

x2+y2 đạt GTNN x = y =

2 Nên M đạt GTNN x = y =

2

0,25

Bài 2: (2.0 điểm)

Giải hệ phương trình: { x2+y2=11

x+xy+y=3+4√2

- Đặt S = x + y; P = xy được: { S2−2P=11

S+P=3+4√2 0,25

- Giải phương trình S1=3+√2 ; S2=−5−√2 0,25

- S1=3+√2 P1=3√2 ; S2=−5−√2 P2=8+5√2 0,25

- Với S1=3+√2 ; P1=3√2 có x, y hai nghiệm phương trình:

X2−(3+√2)X+3√2=0 0,25

- Giải phương trình X1=3; X2=√2 0,25

- Với S2=−5−√2 P2=8+5√2 có x, y hai nghiệm phương

trình:

X2

+(5+√2)X+8+5√2=0 Phương trình vơ nghiệm

0,25 - Hệ có hai nghiệm: {yx=3

=√2 ; {

x=√2

y=3 0,25

Bài 3: (2.0 điểm)

-Chứng tỏ MBND hình bình hành  O trung điểm MN

- OH // AB  OH  MN

- HMN cân H (Trung tuyến vừa đường cao)  HM = HN

0,75

- OH // BM được: HQHM=OQ OB - ON // BP được: OQOB=NQ

NP  HQHM=NQ

NP  NH//PM  HNM =  NMP

  HMN =  NMP  MN phân giác góc QMP

1,25

Mỗi bước cho 0,25 điểm Bài 5: (1.0 điểm)

Tìm ba số ngun tố mà tích chúng năm lần tổng chúng Giải:

Gọi a,b,c ba số ngun tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số nguyên

tố abc chia hết có số 0,25 Giả sử a = 5bc = 5(5+b+c)  bc = 5+b+c

 bc -b - c + =  (b-1)(c-1) = 0,50 b,c số ngun dương có vai trị nên ta có hệ:

{b −1=1

c −1=6⇔{

b=2

c=7 {

b −1=2

c −1=3⇔{

b=3

c=4 Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm 2, 5,

0,25

A B

C D

P M

N

Q O

Bài 4: (3.0 điểm)

- BE, AF hai đường cao ABC  CI đường cao thứ ba hay CIAB - Tứ giác IHFB nội tiếp HIF = HBF hay CIF = EBF

- EOF nên EOF = 600

-  EF = 600CIF = EBF = 300

1,0 - Chứng minh ACI đồng dạng với ABE

- được: ACAB=AI

AE ⇒AC AE=AB AI

- Tương tự BCI đồng dạng với BAE được: BCBA=BI

BF⇒BC BF=BA BI - Cộng được: AE.AC + BF BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB2 =

const

1.0

- Chứng minh ABC đồng dạng với FEC - SFEC

SABC

=(EF AB)

2

=( R 2R)

2

=1

4 ⇒SABFE= SABC

- Để SABFE lớn  SABC lớn  CI lớn C chạy cung

chứa góc 600 vẽ AB nên CI lớn I  O  CAB cân  EF //

AB

- Lúc SABC=2 R.R√3 =R

2.

√3⇒SABFE=3R 2.

√3

1,0

(Mỗi bước cho 0,25 điểm)

A B

E

F C