Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròna. Chứng minh H là trung điểm của DK..[r]
(1)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm) Thực tính:
√2x+2√x2−4
√x2−4+x+2 với x=2√6+3 Bài 2: (2.5 điểm)
Giải phương trình: a x2+5x −√x2+5x+4=−2
b √x2−3x+2+√x+3=√x −2+√x2+2x −3 Bài 3: (2.0 điểm)
a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = ln có nghiệm
hữu tỉ với số n nguyên
b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2009x + =
x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2010x + =
Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
Bài 4: ( 3.0 điểm)
Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I trung điểm DE Đường thẳng qua D vng góc với BO cắt BC H cắt BE K
a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C thuộc đường tròn b Chứng minh ICB = IDK
c Chứng minh H trung điểm DK Bài 5: ( 1.0 điểm)
(2)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II
Bài 1: (2.0 điểm)
a) Chứng minh bất đẳng thức:
1
a b a b Với a b; số dương. b) Cho x y; hai số dương x y1.Tìm giá trị nhỏ
P=
2 xy ; 2
2
M
xy x y
. Bài 2: (2.0 điểm)
Giải hệ phương trình: { x2+y2=11
x+xy+y=3+4√2
Bài 3: (2.0 điểm)
Hình chữ nhật ABCD có M, N trung điểm cạnh AB, CD Trên tia đối tia CB lấy điểm P DB cắt PN Q cắt MN O Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM H
a Chứng minh HM = HN
b Chứng minh MN phân giác góc QMP Bài 4: (3.0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB EF dây cung di động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF EF = R AF cắt BE H AE cắt BF C CH cắt AB I
a Tính góc CIF
b Chứng minh AE.AC + BF BC không đổi EF di động nửa đường trịn
c Tìm vị trí EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích Bài 5: (1.0 điểm)
(3)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
Mơn: Tốn HƯỚNG DẪN CHẤM - VỊNG I Bài 1: (1.5 điểm)
Thực tính: √2x+2√x2−4
√x2−4
+x+2 với x=2√6+3
√x+2+√x −2¿2 ¿
¿
√¿
¿√x+2+x −2+2√(x+2)(x −2)
√(x+2)(x −2)+x+2 =¿
0,75
Thay x=2√6+3 vào được:
√3+√2¿2 ¿ ¿
√¿
√2√6+2+3= ¿
0,75 Bài 2: (2.5 điểm)
Giải phương trình: a x2+5x −√x2+5x+4=−2
x2+5x+4−√x2+5x+4=2
Đặt y=√x2+5x+4 (y 0) được: y2 - y - = 0,50 Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = 0,25
Với y = giải √x2+5x+4=2 x1 = 0; x2 = -5 0,25
Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,25 Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x Lúc cần đặt điều kiện bình phương
hai vế
b √x2−3x+2+√x+3=√x −2+√x2+2x −3
√(x −1)(x −2)+√x+3=√x −2+√(x −1)(x+3) 0,25
√x −1(√x −2−√x+3)−√x −2+√x+3=0
(√x −2−√x+3)(√x −1−1)=0 0,50
√x −2−√x+3=0 vô nghiệm; √x −1−1=0 x = 0,25 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,25 Bài 3: (2.0 điểm)
a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = ln có nghiệm hữu tỉ
với số n nguyên
n =-1: Phương trình có nghiệm Với n -1 n+10 ’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1)
(4)’ nên phương trình ln có nghiệm 0,25 ’ phương, hệ số số nguyên nên nghiệm phương trình
số hữu tỉ 0,25
b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2009x + =
x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2010x + =
Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
Giải:
Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm
Có: x1x2 = x3x4 = x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 0,25
Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1;x3x4 =
(x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4)
= (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 )
= x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42
= x32 - x22 - x12 + x42
= (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2
= (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2
0,50
Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 0,25
Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)]
Bài 4: ( 3.0 điểm)
OB BA; OC CA ( AB, AC tiếp tuyến) OI IA (I trung điểm dây DE)
B, O, I, C thuộc đường trịn đường kính AO
0,75 ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường trịn đường kính AO) (1)
DK // AB (Cùng vng góc với BO)
IDK = IAB (2)
Từ (1) (2) được: ICB = IDK
1.0 ICB = IDK hay ICH = IDH Tứ giác DCIH nội tiếp
HID = HCD
HCD = BED (Cùng chắn cung DB (O))
1,25 O
A
B
C I
D E
K H
(5)HID = BED IH // EB
IH đường trung bình DEK H trung điểm DK
(Mỗi bước cho 0,25 điểm) Bài 5: ( 1.0 điểm)
Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia hết cho 60 với số tự nhiên n.
- A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1)
chia hết A(n) chia hết cho với n 0,25 - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia hết cho theo phecma nên
A(n) chia hết cho với n 0,25
- Nếu n chẵn n2 chia hết cho A(n) chia hết cho Nếu n lẻ (n-1) (n+1) tích hai số chẵn nên chia hết cho A(n) chia hết cho với n
0,25 - Ba số 3,4,5 đôi nguyên tố nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay
A(n) chia hết cho 60 0,25
(6)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II
Bài 1: (2.0 điểm)
a Chứng minh bất đẳng thức:
1
a b a b Với a b; số dương. b Cho x y; hai số dương x y 1.Tìm giá trị nhỏ
P=
2 xy ; 2
2
M
xy x y
.
1 a b a b ⇔
a+b ab ≥
4
a+b⇔(a+b)
2≥4 ab⇔
(a − b)2≥0 0,50
P= xy=
x+y xy ≥
4 2(x+y)=
4
2 1=2 0,50
P đạt giá trị nhỏ tại: x = y = 12 0,25 hoặc: x+y¿
2⇔xy≤1 4⇔
1 xy ≥4⇔
1 xy≥2 xy≤ x2
+y2⇔4 xy≤¿ 2
2
M
xy x y
=
x+y¿2 ¿ ¿
4 xy+
3
x2+y2≥ xy+
4
x2+2 xy+y2= xy+
4
¿
0,50 - 2 xy1 đạt GTNN x = y = 12
- 2 xy3 +
x2+y2 đạt GTNN x = y =
2 Nên M đạt GTNN x = y =
2
0,25
Bài 2: (2.0 điểm)
Giải hệ phương trình: { x2+y2=11
x+xy+y=3+4√2
- Đặt S = x + y; P = xy được: { S2−2P=11
S+P=3+4√2 0,25
(7)- Giải phương trình S1=3+√2 ; S2=−5−√2 0,25
- S1=3+√2 P1=3√2 ; S2=−5−√2 P2=8+5√2 0,25
- Với S1=3+√2 ; P1=3√2 có x, y hai nghiệm phương trình:
X2−(3+√2)X+3√2=0 0,25
- Giải phương trình X1=3; X2=√2 0,25
- Với S2=−5−√2 P2=8+5√2 có x, y hai nghiệm phương
trình:
X2
+(5+√2)X+8+5√2=0 Phương trình vơ nghiệm
0,25 - Hệ có hai nghiệm: {yx=3
=√2 ; {
x=√2
y=3 0,25
Bài 3: (2.0 điểm)
-Chứng tỏ MBND hình bình hành O trung điểm MN
- OH // AB OH MN
- HMN cân H (Trung tuyến vừa đường cao) HM = HN
0,75
- OH // BM được: HQHM=OQ OB - ON // BP được: OQOB=NQ
NP HQHM=NQ
NP NH//PM HNM = NMP
HMN = NMP MN phân giác góc QMP
1,25
Mỗi bước cho 0,25 điểm Bài 5: (1.0 điểm)
Tìm ba số ngun tố mà tích chúng năm lần tổng chúng Giải:
Gọi a,b,c ba số ngun tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số nguyên
tố abc chia hết có số 0,25 Giả sử a = 5bc = 5(5+b+c) bc = 5+b+c
bc -b - c + = (b-1)(c-1) = 0,50 b,c số ngun dương có vai trị nên ta có hệ:
{b −1=1
c −1=6⇔{
b=2
c=7 {
b −1=2
c −1=3⇔{
b=3
c=4 Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm 2, 5,
0,25
A B
C D
P M
N
Q O
(8)Bài 4: (3.0 điểm)
- BE, AF hai đường cao ABC CI đường cao thứ ba hay CIAB - Tứ giác IHFB nội tiếp HIF = HBF hay CIF = EBF
- EOF nên EOF = 600
- EF = 600CIF = EBF = 300
1,0 - Chứng minh ACI đồng dạng với ABE
- được: ACAB=AI
AE ⇒AC AE=AB AI
- Tương tự BCI đồng dạng với BAE được: BCBA=BI
BF⇒BC BF=BA BI - Cộng được: AE.AC + BF BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB2 =
const
1.0
- Chứng minh ABC đồng dạng với FEC - SFEC
SABC
=(EF AB)
2
=( R 2R)
2
=1
4 ⇒SABFE= SABC
- Để SABFE lớn SABC lớn CI lớn C chạy cung
chứa góc 600 vẽ AB nên CI lớn I O CAB cân EF //
AB
- Lúc SABC=2 R.R√3 =R
2.
√3⇒SABFE=3R 2.
√3
1,0
(Mỗi bước cho 0,25 điểm)
A B
E
F C