Bài tập tổng hợp về hàm số lớp 12 CB

[r]

Bài tập khảo sát hàm số

và dạng tốn có liên quan đến hàm số Bài 1.Từ đồ thị hàm số y= f(x)= x

2 − x+2

x −1 suy đồ thị hàm số y= g(x)=

x2−|x|+2 |x|−1 HD: -Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y= f(x)

-Chứng minh hàm số y= g(x) hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy -Vẽ đồ thị hàm số y=g(x) nh sau:

+ víi x th× g(x) = f(x)

+ với x<0 ta lấy đối xứng qua trục 0y Bài 2. Từ đồ thị hàm số y=f(x)= x

2

+3x+3

x+2 suy đồ thị hàm số y=g(x)= |

x2+3x+3 x+2 | HD: -Vẽ đồ thị hàm số y=f(x)

-Ta cã: g(x)=

( ) ( )

( )

( ) ( )

f x f x f x

f x f x

 



 



( Khi f(x) ứng với phần nằm trục hoành, f(x) ứng với phần nằm bên dới trơc hoµnh)

Bài 3. Từ đồ thị hàm số y=f(x)= x

+2x+3

x+2 suy đồ thị hàm số y=g(x)=

x2+2x+3 |x+2| HD: Ta cã g(x)=

¿ f(x)khix>−2 − f(x)khix<−2

¿{ ¿ Bµi

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y= 2x

−4x −3 2(x −1)

2 Tìm m để phơng trình 2x2-4x-3+2m |x −1| =0 có hai nghiệm phân biệt. HD : - Biến đổi phơng trình dạng 2x

2

−4x −3 2|x −1| =m -Vẽ đồ thị hàm số y= 2x

2−4x −3

2|x −1| từ đồ thị hàm số y=

2x2−4x −3 2(x −1) - Số nghiệm phơng trình số giao điểm đồ thị hàm số y= 2x

2−4x −3

2|x 1| đ-ờng thẳng y=m

Bài 5 Cho hµm sè y = - x3 +3x (1)

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàn số (1)

2 Viết phơng trình tiếp tuyến (1) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = - 9x ĐS: y = -9x 16

Bµi 6 Cho hµm sè y= x

+mx

1− x (1) (m lµ tham sè)

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=0

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiêủ Với giá trị m khoảng hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 10

HD: - Tính y’ suy điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu

- Dùng ĐL Viet tìm quan hệ toạ độ điểm cực trị cho khoảng cách hai điểm cực trị chúng 10 T ú suy m

Bài 7. (ĐH-CĐ khối A năm 2004) Cho hàm số y= x

+3x −3

2(x −1) (1) Kh¶o sát hàm số (1)

2 Tỡm m ng thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1 HD: - Lập phơng trình hồnh độ giao điểm : − x

2

+3x −3 2(x −1) =m - Tìm điều kiện m để có hai hồnh độ giao im

1 Khảo sát biến thiên hàm số y=x+1+

x 1 (C)

2 Tìm điểm thuộc đồ thị (C) có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến tạo với hai đờng tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ

HD: - Đặt toạ độ điểm thuộc (C) M(a; a

a−1 ) với a>1 Lập phơng trình tiếp tuyến M - Xác định toạ độ giao điểm tiếp tuyến với đờng tiệm cận

- Tính chu vi tam giác , từ suy giá trị a để chu vi tam giác nhỏ Bài 9. Cho hàm số y=mx3-3mx2+(2m+1)x+3-m

1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m=4

2 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu Chứng minh đờng thẳng nối cực đại cực tiểu qua điểm cố định

HD: - Tính y’, từ suy điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu -Toạ độ cực trị thoả mãn hệ:

¿

y=mx3−3 mx2+(2m+1)+3− m y '=0

¿{ ¿

Từ hệ ta phân tích y theo y’ suy phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực trị

-Tìm điểm cố định mà đờng thẳng qua

Bài 10. Tìm m để đờng thẳng y=mx-1 (d) cắt đồ thị y= x

x 1

x+1 (C) hai điểm phân biƯt thc cïng mét nh¸nh cđa (C)

HD: - Lập phơng trình hồnh độ giao điểm

- Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn -1.(hàm số có tiệm cận đứng x=-1 nên nhánh đồ thị có x>-1, nhánh có x<-1)

Bµi 11 Cho hµm sè y= x

+x −1 x −1 (C)

1 Chứng minh tiếp tuyến đờng cong (C) điểm M cắt hai đờng tiệm cận đờng cong hai điểm A B M trung điểm đoạn thẳng AB

2 Gọi I tâm đối xứng đờng cong (C) Chứng minh tam giác IAB có diện tích khơng đổi điểm M di động đờng cong (C) Có nhận xét tích IA.IB ?

3 Tìm đờng cong (C) cặp điểm đối xứng với qua đờng thẳng y= x-1 HD:- Do M thuộc (C) nên có toạ độ dạng M(a; a+2+

a−1 ) Lập phơng trình tiếp tuyến tiếp điểm M, xác định toạ độ giao điểm với tiệm cận Từ kiểm tra điều kiện M trung điểm AB

-TÝnh diƯn tÝch cđa tam giác từ công thức S=

2 Tõ c«ng thøc S=

2 absinC suy tÝch IA.IB

- Gọi cặp điểm đối xứng M1 M2Khi phơng trình đờng thẳng qua M1M2 có dạng y= -x +m Lập phơng trình hồnh độ giao điểm Sử dụng ĐL Viet tìm toạ độ trung điểm hai giao điểm.Thay toạ độ trung điểm vào đờng thẳng y = x-1 tìm m Thử lại kết với m tìm đợc

Bài 12. Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = 3

2

x x m

x

  

1 Chứng minh có điểm I cố định tâm đối xứng đồ thị (Cm) với m Tìm giá trị m cho đồ thị (Cm) tiếp xúc với đờng thẳng y = m

HD:1 - Xác định đờng tiệm cận

- Tìm giao điểm hai đờng tiệm cận - Lập hệ phơng trình hồnh độ tiếp điểm

- Tìm điều kiện m để hệ phơng trình hồnh độ tiếp điểm có nghiệm ĐS: I(2; 1)

m =

Bµi 13. Cho hµm sè y = 4x3 - mx2 - 3x

1 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m = b) Phơng trình

3 2

4 x  x  1 x

cã bao nhiªu nghiƯm

HD: 1.b) - Số nghiệm phơng trình số giao điểm đồ thị hàm số y =

4 x  3x

đồ thị hàm số y = x2

- Đồ thị hàm số y =

4 x  x

suy từ đồ thị (C)

- Đồ thị

2

2

0

1 y

y x

x y

 

   

 

 nửa đờng tròn đơn vị ĐS: 1b)

y = -2x3 -

3 2x

Bài 14. Cho hàm số y = x3 - 3kx2 + (k - 1) x + (Ck) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số k =

2 BiƯn ln theo tham sè m sè nghiƯm cđa phơng trình : x2 - 2x - =

m x HD: Khi k = vẽ đồ thị (C1) : y = x3 - 3x2 + 2

- Phơng trình x2 - 2x - =

m x

- Số nghiệm phơng trình số giao điểm đồ thị hàm số

y =f(x) =

3 2

3

3

( 2)

x x m khi x

x x m x

    



    

 đờng thẳng y = m

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) từ đồ thị (C1) Bài 15. Cho hàm số y =

2

(2 1)

1

m x x

x

  



1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =

2 Tìm m để đờng thẳng y = x cắt đồ thị hàm số A, B cho AB = HD: - Lập phơng trình hồnh độ giao điểm

- Tìm điều kiện để có hai giao điểm

- Xác dịnh toạ độ hai giao điểm A, B (Sử dụng ĐL Viet) - Từ AB = suy m

ĐS: m =

Bài 16. (ĐH- CĐ Khối A- 2008) Cho hàm số y =

2 (3 2) 2

3

mx m x

x m

  

 (1) , m lµ tham sè Khảo sát vẽ dồ thị hàm số (1) m =

2 Tìm m để góc hai đờng tiệm cận hàm số (1) 450. HD: - Biến đổi hàm số y = mx - 2+

6

3 m

x m

 

- Tìm điều kiện để hàm số có hai đờng tiệm cận - Tìm giới hạn suy tiệm cận

- Dùng cơng thức tính cosin góc hai đờng tiệm cận suy m ĐS: m = 1

Bài 17. (ĐH-CĐ Khối B-2003) Cho hàm số y = x3 -3x2 +m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm đối xứng với qua gốc toạ độ

HD: - Hàm số (1) có hai điểm đối xứng qua gốc toạ độ tồn x0 0 cho y(-x0) = -y(x0)

Bµi 18. Cho hµm sè y =

2

1 x x



 (1)

1 Khảo sát biến thiên vàvẽ đồ thị (C) hàm số (1)

2 Gọi I giao điểm haiđờng tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đờng thẳng IM

HD: - Tìm toạ độ I

- Đặt toạ độ M( x0; y0) suy hệ số góc tiếp tuyến M k = y'(x0) - Tìm hệ số góc đờng thẳng IM k' =

0

0

I I

y y

x x

  - Từ điều kiện k k' = - suy toạ độ M

ĐS: M( 0; 1), M(2; 3) Bài 19

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 1

x x



2 BiÖn luËn theo m sè nghiệm phơng trình 1

x x

 =

2 1

m m

 §S: * 0<m ≠1 hc -1 ≠ m< : Pt cã nghiÖm

* m = : Pt v« nghiƯm

* m = 1: Pt cã mét nghiƯm± Bµi 20. Cho hµm sè y =

2 3

1 x

x

  (C)

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

2 Tìm tất điểm thuộc đồ thị có toạ độ số nguyên ĐS: (0; 3) (-2; -7),(1; 2), ( -3;- 6), (3; 3), (- 5; -7)

Bµi 21. Cho hµm sè y =

2 ( 2)

1

x m x m

x

  

 (1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m \= -1

2 Tìm m để đờnh thẳng (d): y = -x - cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm đối xứng qua đờng thẳng :y = x

HD: - Lập pt hoành độ giao điểm (d) (1)