Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi q.. Tổng n số hạng đầu củ[r]
(1)CHƯƠNG III DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I Phương pháp chứng minh qui nạp
Để chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p ≥ phương pháp qui nạp, ta tiến hành theo bước
Bước Kiểm tra mệnh đề với n = p
Bước Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ p (gọi giả thiết qui nạp), chứng minh với n = k +
II Dãy số
Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N* gọi dãy số vơ hạn Trong u1 số hạng đầu un số hạng tổng quát
III Cách cho dãy số
1 Dãy số cho công thức số hạng tổng quát
2 Dãy số cho phương pháp mô tả: mô tả cách xác định số hạng liên tiếp dãy số Dãy số cho phương pháp truy hồi
a Cho số hạng đầu hay vài số hạng đầu
b Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng vài số hạng đứng trước
IV Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn Dãy số tăng dãy số giảm
Dãy số (un) gọi dãy số tăng un+1 > un với số nguyên dương n
Dãy số (un) gọi dãy số giảm un+1 < un với số nguyên dương n
Dãy số (un) với un = 2n dãy số tăng
un+1 – un = 2(n + 1) – 2n = > nên un+1 > un
2 Dãy số bị chặn
Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho: un ≤ M, với số nguyên
dương n Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số m cho: m ≤ un, với số
nguyên dương n
Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn
V Cấp số cộng
1 Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ 2, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng
Công thức truy hồi: un+1 = un + d với số nguyên dương n
Nếu d = cấp số cộng dãy số không đổi
2 Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng qt un
được xác định công thức: un = u1 + (n – 1)d với n ≥
3 Tính chất số hạng cấp số cộng uk–m + uk+m = 2uk (với k > m ≥ 1)
4 Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: Sn = u1 + u2 + u3 + … + un =
1 n
n(u u ) n[2u (n 1) d]
2
VI Cấp số nhân
1 Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạn thứ 2, số hạn tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân
Nếu (un) cấp số nhân với công bội q, ta có un+1 = unq, với số nguyên dương n
2 Số hạng tổng quát: un = u1qn–1 với n ≥
3 Tính chất số hạng cấp số nhân: (uk)² = uk–m.uk+m (k > m ≥ 1)
(2)Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ Sn = u1 + u2 + + un =
n
u (1 q ) q