Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Trờng THPT Đa Phúc Đề học kỳ - Môn Toán - Lớp 12
(Thời gian làm 90 phút) Câu 1: (3 điểm)
Cho hµm sè y=x3+(k −1)x2−(k+2)x −1 (1)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) k = 2) Chứng minh hàm số (1) ln có cực đại, cực tiểu
3) Víi k = 1, viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C) biÕt tiÕp tun song song với đ-ờng thẳng y = -3x + 2010
Câu 2: (1 điểm)
Tìm GTLN, GTNN hàm số y=f(x)=x2ln(12x) đoạn [-2; 0]
Câu 3: (2 điểm)
Giải phơng trình sau:
132+x+32 x=30
x −1¿8=log2(4x)
2¿1
2log√2(x+3)+
1 4log4¿
Câu 4: (1 điểm)
Chứng minh rằng: 2sinx
+2tanx2x+1 với 0 x2
Câu 5: (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC tam giác vuông B; AB = BC = a Cạnh bên SA⊥(ABC) , SA=a√3 Từ A, kẻ AH⊥SB , AK⊥SC
1) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp S.ABC theo a
2) TÝnh tØ sè thĨ tÝch cđa hai khèi chãp S.AHK vµ S.ABC
3) Chứng minh điểm: A, B, C, H, K nằm mặt cầu Tìm tâm bán kính mặt cầu
(2)-o
-3
Đáp án thang điểm đề thi học k I
Môn toán (Lớp 12) Câu 1: (3 ®iÓm)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số với k = k = hàm số y = x3 - 3x - 1
(0,25) * TX§: R * Sù biÕn thiªn: + ChiỊu biÕn thiªn:
y’ = 3x2 - = 3(x2 - 1) y’ = x =
Hàm đồng biến (-; -1) v (1;
+); hàm nghịch biến (-1; 1) + Cực trị: xCĐ= -1; yCĐ= y(-1) =
xCT = 1; yCT = y(1) = -3 + Giíi h¹n: lim
x →+∞(x
3−3x −1 )= lim
x →+∞[x
(1−
x2−
x3)]=+∞ lim
x →− ∞(x
3−3x −1
)= lim x →− ∞[x
3 (1−
x2−
1
x3)]=− ∞
(0,25) + Bảng biến thiên:
(0,25) *Đồ thị:
+ Tâm đối xứng đồ thị I(0; -1) + Đồ thị qua A(2; 1); B(-2; -3) 2) Đạo hàm: y’ = 3x2 +2(k-1)x - (k+2)
Hàm số có CĐ, CT y = có nghiƯm ph©n biƯt
k −1¿2+3(k+2)=k2+k+7>0,∀k
Δ'=¿
Vậy với k, hàm có CĐ, CT
3) Tiếp tuyến (C) song song với đờng thẳng y = -3x + 2010
⇒y '(x0)=3x02−3=−3 (x0 hoành độ tiếp điểm)
x0 = y0 = -1 tiếp điểm (0; -1)
phơng trình tiếp tuyến (C) song song với đờng thẳng y = -3x + 2010 y = -3.(x - 0) - y = -3x -
Câu 2: (1 điểm)
.TXĐ: 12x>0x<1
2
(0,25)
(0,25)
(0,25 )
(0,5)
(0,25) (0,25)
(0,5)
x - -1 +
y’ + - +
x - -1 +
y’ + - +
(3).Đạo hàm: f '(x)=2x+
1−2x ;
f '(x)=0⇔−2x
+x+1
1−2x =0⇔ x=1>1
2
¿
x=−1
2(tm)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
.Ta cã: f(−2)=4−ln 5;f(0)=0; f(−1
2)= 4−ln
VËy: Min f(x) = 0; Max f(x) = - ln5
[-2; 0] [-2; 0]
Câu 3: (2 điểm)
Giải phơng trình 1) 32+x
+32 x=309 3x+9 3 x=30
Đặt t = 3x, t > XÐt pt:
9t+9
t=30⇔3t
2
−10t+3=0⇔
t=0>0(tm) ¿
t=1
3>0(tm)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
t=3 :3x=3⇔x=1
t=1
3:3
x
=3−1⇔x=−1
KL: TËp nghiÖm S = {-1; 1} 2)
x −1¿8=log2(4x)
1
2log√2(x+3)+
1 4log4¿
(1)
§K:
¿
x+3>0
x −1≠0 x>0
⇔
¿x>0
x ≠1
¿{ { ¿
(1)⇔log2(x+3)+log2∨x −1∨¿log2(4x) (x+3).∨x −1∨¿=log2(4x)
⇔log2¿
⇔(x+3).∨x −1∨¿(4x)
-2
2
(0,5)
(0,5)
(0,5)
(0,25)
(0,25)
(4)A B C H K S ⇔
¿(x+3).(x −1)=4x
x>1 ¿ ¿ ¿
(x+3).(1− x)=4x ¿
0<x<1 ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿
x>1 ¿
x=3 ¿
x=−1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(0,25) KL: TËp nghiÖm S={+3;√12−3}
Câu 4: (1 điểm)
BĐT Côsi: 2sinx
+2tanx≥2.√2sinx 2tanx=2 sinx+tanx
2 +1
CÇn chøng minh: 2sinx+2tanx+1≥2x+1,∀x∈
¿ ThËt vËy: XÐt hµm y = sinx + tanx - 2x trªn ¿
Cã y '=cosx+
cos2x −2≥cos
2
x+
cos2x −2≥0,∀x∈¿
Hàm y = sinx + tanx - 2x đồng biến ¿ , y(0) =
⇒sinx+tanx
2 +1≥ x+1,∀x∈¿ (v× y(x)≥ y(0),∀x∈¿ )
⇔2 sinx+tanx
2 +1≥2x+1
VËy 2sinx
+2tanx2 sinx+tanx
2 +12x+1
,x
Đẳng thức xảy x = Câu 5: (3 điểm)
1) SA⊥(ABC)⇒VS ABC=1
3SA dt(ABC), ΔABC vu«ng
c©n
VS ABC=1
3.a√3 2.a
2 =√3
6 a
3
2) VS AHK
VS.ABC
=SA SA SH SB SK SC = SH SB SK SC
ΔSAB cã
AH⊥SB⇒SH SB=SA2⇔SH
SB=
SA2 SB2 =
3a2 4a2=
3
(5)ΔSAC cã AK⊥SC⇒SK SC=SA2⇔SK
SC=
SA2
SC2 = 3a2
5a2=
(SC2 = SA2 + AC2 = 3a2 + 2a2 = 5a2)
⇒VS AHK
VS ABC =3
4 5=
9 20
3)
SA⊥(ABC)
BC⊂(ABC) }
SA⊥BC
AB⊥BC
BC⊥(SAB)
AH⊂(SAB)
AH⊥BC
AH⊥SB
AH⊥(SBC)
HC⊂(SBC)
⇒}⇒}⇒}⇒}⇒AH⊥HC
VËy: A^H C=AB C^ =AK C^ =900 ®iĨm A, H, K, C, B nằm mặt cầu
ng kính AC Vậy tâm mặt cầu trung điểm I AC, bán kính mặt cầu
r=a√2
2
(0,25) (0,25) (0,5)