[r]
(1)PHÂN PH I XÁC SU TỐ Ấ
Mục tiêu
Sau khi nghiên c u ch đ , h c viên có kh năng:ứ ủ ề ọ ả
Phân bi t đệ ược 3 phân ph i xác su t ph bi n: phân ph i nh th c, phân ph i Poissonố ấ ổ ế ố ị ứ ố và phân ph i bình thố ường
Tính xác su t c a phân ph i nh th c và phân ph i poisson khi đấ ủ ố ị ứ ố ược cung c p cácấ tham số
Xác đ nh đị ược phân ph i xác su t c a phân ph i chu n m t giá tr b t kì, đố ấ ủ ố ẩ ộ ị ấ ược phép s d ng b ng s c a phân ph i chu n.ử ụ ả ố ủ ố ẩ
Tính t l c a dân s có m t đ c tr ng nh t đ nh v m t đ i lỉ ệ ủ ố ộ ặ ấ ị ề ộ ượng có phân ph i bìnhố thường khi được cung c p các tham s và b ng s c a phân ph i chu n.ấ ố ả ố ủ ố ẩ
1 Phân phối xác suất
Nh đã trình bày,n u chúng ta ch quan tâm đ n giá tr đ i lư ế ỉ ế ị ượng được xác đ nh b iị k t c c c a phép th ,chúng ta mô t bi n c là bi n s ng u nhiên. Thí d n u chúngế ụ ủ ả ế ố ế ố ẫ ụ ế ta tung 3 đ ng ti n mà ch quan tâm đ n s đ ng tiên ra m t ng a thì chúng ta t o raồ ề ỉ ế ố ặ bi n s ng u nhiên X là s đ ng ti n ng a. Khi đó chúng ta có th kí hi u (X=1) đế ố ẫ ố ề ể ệ ể ch bi n c g m các k t cu c có s đ ng ti n ng a là 1 (g m 3 bi n c S p S p ỉ ế ố ế ộ ố ề ế ố ấ ấ Ng a; S p Ng a S p; Ng a S p S p). Xác su t c a bi n c này đử ấ ấ ấ ấ ấ ủ ế ố ược được g iọ là phân ph i xác su t c a X. Áp d ng vào thí d trên chúng ta có phân ph i xác su tố ấ ủ ụ ụ ố ấ c a X nh sau:ủ
xi S bi n c thu nố ế ố ậ
l iợ f(xi)=P(X=xi) F(xi)=P(X ≤ x)
0 1/8 1/8
1 3/8 4/8
2 3/8 7/8
3 1/8
Ð nh nghĩa: Phân ph i xác su t c a bi n s r i r c là m t b ng mô t nh ng giá trị ố ấ ủ ế ố ộ ả ả ữ ị c a bi n s r i r c cùng v i xác su t và xác su t tích lu tủ ế ố ấ ấ ỹ ương ng c a nó. ứ ủ
Xác su t c a các bi n s ng u nhiên X đấ ủ ế ố ẫ ược g i là hàm kh i (mass function) c a X ọ ố ủ kí hi u là f(x). Xác su t tích lu c a bi n s ng u nhiên X đệ ấ ỹ ủ ế ố ẫ ược g i là hàm phân ph iọ ố (distribution function) c a X và đủ ược kí hi u là F(x)ệ
Hai đ c tính c b n c a phân ph i xác su t c a bi n s r i r c:ặ ả ủ ố ấ ủ ế ố (1) 0 ≤ P(X=x) ≤ 1
(2) Σ P(X=x) = 1
(2)2 Phân phối nhị thức
Bài toán: Gi s chúng ta th c hi n n phép th đ ng nh t và đ c l p v i nhau, m iả ự ệ ấ ộ ậ ỗ phép th có 2 k t cu c là thành cơng hay th t b i v i xác su t thành công trong m iử ế ộ ấ ấ ỗ l n th là p. Hãy tính xác su t có x l n thành cơng.ầ ấ ầ
Khi th c hi n n l n th chúng ta s có 2ự ệ ầ ẽ n k t c c. Trong đó s k t c c có x l n thànhế ụ ố ế ụ ầ
cơng là = px(1p)nx và s k t c c có x l n thành cơng là ố ế ụ ầ nCr
Vì v y, xác su t có x l n thành cơng sau n l n th làậ ấ ầ ầ
) (
) ( )
( x n x
x
n C p p
x X P
Do xác su t này ph thu c vào x nên nó là hàm s c a x và đấ ụ ộ ố ủ ược g i là hàm kh i xácọ ố su t nh th c (binomial probability mass function) ấ ị ứ
) (
) ( )
( )
( x n x
x
n C p p
x X P x f
Thí d : gi s trong m t dân s nh t đ nh, t l sinh con trai là 52%. N u chúng ta xemụ ả ộ ố ấ ị ỉ ệ ế xét k t qu c a 5 l n sinh. Đ tính xác su t trong 5 l n sinh này có đúng 3 l n sinh làế ả ủ ầ ể ấ ầ ầ con trai có th l p lu n nh sau:ể ậ ậ
Ð trong 5 l n sinh có 3 l n sinh con trai, có ể ầ ầ 5C3 = 5!/[3!x2!] = 10 cách khác nhau (đó
là TGTTG, TTTGG, TGGTT, TTGTG, TTGGT, TGTGT, GTTTG, GGTTT, GTGTT, GTTGT). Xác su t x y ra c a m t cách nh v y = 0,52ấ ả ủ ộ ậ 3(10,52)2= 0,2304 x 0,1406 =
0,032. Nh v y xác su t trong 5 l n sinh có 3 l n sinh là con trai là 10 x 0,032 = 0,32.ư ậ ấ ầ ầ Chúng ta cũng có th xem 5 l n sinh là th nghi m nh th c g m 5 l n th đ ng nh tể ầ ệ ị ứ ầ ấ và m i l n th có hai k t cu c (sinh con trai và sinh con gái ) và xác su t sinh con traiỗ ầ ế ộ ấ là 0,52 không thay đ i trong các l n th Áp d ng hàm m t đ xác su t nh th c taổ ầ ụ ậ ộ ấ ị ứ
32 , 48
, 52 , )
3 ( )
( (5 3)
3 C
X P f
Thí d : Cho r ng 10% thanh niên trong dân s là hút thu c lá. Đ tính xác su t cóụ ằ ố ố ể ấ đúng 2 thanh niên hút thu c lá trong nhóm 10 thanh niên chúng ta có th s d ng hàmố ể ụ m t đ xác su t nh th c v i n = 10, x = 2, and p = 0,1. Trong trậ ộ ấ ị ứ ường h p này xác su tợ ấ là 0,1937
Thí d : Gi s có 30% tr dụ ả ẻ ưới 5 tu i b suy dinh du ng. Trong m t m u 10 tr dổ ị ỡ ộ ẫ ẻ ưới 5, tính xác su t có đúng 4 b suy dinh dấ ị ưỡng
3 Phân phối Poisson
Bài toán: Gi s trong m t đ n v th i gian trung bình có ả ộ ị λ l n xu t hi n k t c c quanầ ấ ệ ế ụ tâm. Hãy tính xác su t trong ấ m t đ n v th i gian ộ ơ ị ờ có x l n xu t hi n k t c c này.ầ ấ ệ ế ụ
(3)! ! ! ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x e N N x N N N x x N N N p p C x X P x f x N x x x x N x x N x x N ! ) ( x e x X f x
đ n m v ng các phép bi n đ i đ i s k trên c n nh l i đ nh nghĩa c a s e (c sể ắ ữ ế ổ ố ể ầ ị ủ ố ố c a logarithm Neper)ủ
U
U U
e lim 1
=2,7183
Bài tốn: Gi s trong m t đ n v th i gian trung bình có ả ộ ị λ l n xu t hi n k t c c quanầ ấ ệ ế ụ tâm. Hãy tính xác su t trong ấ t đ n v th i gian ơ ị ờ có x l n xu t hi n k t c c này.ầ ấ ệ ế ụ
Gi đ nh m t đ n v th i gian đả ị ộ ị ược chia thành N phân t th i gian v i N là m t s vôử ộ ố cùng l n. Nh v y trong t đ n v th i gian có Nt phân t th i gian. Xác su t x y ra k tớ ậ ị ấ ả ế c c quan tâm trong m t phân t th i gian là ụ ộ λ/N. Khi đó bài tốn có th để ược phát bi u dể ướ ại d ng: Th c hi n th nghi m nh th c v i Nt l n th đ ng nh t và xác su tự ệ ệ ị ứ ầ ấ ấ x y k t cu c quan tâm trong m i l n th là ả ế ộ ỗ ầ λ/N. Áp d ng công th c hàm m t đ xácụ ứ ậ ộ su t nh th c ta đấ ị ứ ược
! ) ( ! ! ! ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x e t N x t N N x t N N N x x Nt Nt Nt p p C x X P x f t x Nt x x Nt x x x x x Nt x x Nt x x Nt
M t cách t ng qt, phân ph i Poisson độ ổ ố ược dùng làm mơ hình cho s l n xu t hi nố ầ ấ ệ các bi n s thu n l i trong m t kho ng th i gian (t đ n v th i gian) khi đã bi t ế ố ậ ợ ộ ả ị ế λ, trung bình s l n xu t hi n bi n c trong m t đ n v th i gian. Hàm kh i xác su tố ầ ấ ệ ế ố ộ ị ố ấ Poisson được trình bày cơng th c sauứ
! ) ( ) ( x e t x X f t x
v i ớ λ là tham s c a phân ph i và là s l n xu t hi n trung bình c a bi n c trong m tố ủ ố ố ầ ấ ệ ủ ế ố ộ kho ng th i gian nh t đ nh (hay trong m t không gian nh t đ nh) và e=2,7183.ả ấ ị ộ ấ ị
Thí d : Gi s s l n nh p vi n trong ngày c p c u m t b nh vi n có phân ph iụ ả ố ầ ậ ệ ấ ứ ộ ệ ệ ố Poisson v i s l n nh p vi n trung bình là 3 l n/ngày.ớ ố ầ ậ ệ ầ
Tính xác su tấ
(4)T su tỉ ấ
S l n xu t hi n trung bình c a bi n c trong m t đ n v th i gian, ố ầ ấ ệ ủ ế ố ộ ị λ, còn được g iọ là t su t (rate) hay m t đ m c m i (incidence rate). Khác v i xác su t, ỉ ấ ậ ộ ắ ớ ấ λ là đ i lạ ượng có đ n v Qua hàm kh i c a phân ph i Poisson có th nh n xét n u trung bình s l nơ ị ố ủ ố ể ậ ế ố ầ xu t hi n c a bi n c trong m t đ n v th i gian là ấ ệ ủ ế ố ộ ị λ thì trung bình s l n xu t hi nố ầ ấ ệ c a t đ n v th i gian là ủ ị λt
4 Phân phối xác suất biến liên tục
Gi s ta mu n tìm phân ph i xác su t c a bi n liên t c (thí d nh tr ng lả ố ố ấ ủ ế ụ ụ ọ ượng c aủ tr s sinh), ta có th phân lo i tr ng lẻ ể ọ ượng s sinh thành nhi u nhóm nh (thí d nhơ ề ỏ ụ ư t 2,0kg đ n < 2,1 kg, t 2,1kg đ n < 2,2 kg, v.v). Khi đó bi n liên t c s tr thànhừ ế ế ế ụ ẽ bi n s r i r c và ta có th dùng phế ố ể ương pháp phân ph i xác su t c a bi n r i r c choố ấ ủ ế lo i bi n s này.ạ ế ố
N u chúng ta l i chia thành nh ng nhóm nh h n, phân ph i s tinh vi h n và:ế ữ ỏ ố ẽ
Ða giác t n su t s tr thành đầ ấ ẽ ường cong tr n và đơ ược g i là hàm m t đ (densityọ ậ ộ function) c a phân ph i v i kí hi u là f(x)ủ ố ệ
Ph n di n tích dầ ệ ướ ười đ ng cong, được bao quanh b i tr c x và hai đở ụ ường th ngẳ vng góc đi qua a và b s là P (a < X ≤ b).ẽ
Ph n di n tích dầ ệ ướ ười đ ng cong n m bên trái c a đằ ủ ường th ng vng góc đi quaẳ x là xác su t bi n s ng u nhiên nh h n hay b ng x, kí hi u là P(Xấ ế ố ẫ ỏ ằ ệ ≤x) hay F(x) được g i hàm phân ph i (distribution function) c a bi n ng u nhiên Xọ ố ủ ế ẫ
5 Phân phối bình thường
Phân ph i bình thố ường là phân ph i xác su t liên t c ph bi n nh t. Hình 2 là đ thố ấ ụ ổ ế ấ ị c a phân ph i xác su t bình thủ ố ấ ường v i trung bình là 0 và đ l ch chu n là 1.ớ ộ ệ ẩ
Hình 1. Phân ph i xác su t bình thố ấ ường
Phân ph i bình thố ường là phân ph i có hàm m t đ :ố ậ ộ
f x( ) e (x ) /
2
(5)V i ớ µ là trung bình c a phân ph i v i ủ ố σ σ2 là phương sai là đ l ch chu n vàộ ệ ẩ
phương sai c a phân ph i. Đ th hi n bi n s X có phân ph i bình thủ ố ể ể ệ ế ố ố ường v i trungớ bình là µ và phương sai σ2 cịn có th s d ng kí hi uể ụ ệ
X ∼ N(µ,σ2)
Phân ph i bình thố ường có 4 đ c tính quan tr ng sau:ặ ọ
M t đ cao nh t t p trung quanh giá tr ậ ộ ấ ậ ịµ, càng xa giá tr ịµ hàm m t đ càng gi mậ ộ ả Hàm m t đ ti n t i zero các giá tr cách xa ậ ộ ế ị µ
Hàm m t đ đ i x ng qua đậ ộ ố ứ ường th ng đ ng đi qua ẳ ứ µ
Ngồi ra t hàm m t đ c a phân ph i bình thừ ậ ộ ủ ố ường người ta ch ng minh đứ ược n uế bi n s có phân ph i bình thế ố ố ường v i trung bình là ớ µ và đ l ch chu n ộ ệ ẩ σ, xác su t giáấ tr bi n s n m t trung bình – 1,96 đ l ch chu n đ n trung bình + 1,96 đ l chị ế ố ằ ộ ệ ẩ ế ộ ệ chu n là 95%.ẩ
X~N(µ,σ2) => P(µ 1,96σ <X < µ + 1,96σ) = 0,95
Hay nói khác đi, ch có 5% giá tr c a bi n s X n m ngồi kho ng ỉ ị ủ ế ố ằ ả µ ± 1,96σ
Phân ph i bình thố ường chu n hay cịn g i là phân ph i chu n là phân ph i bình thẩ ọ ố ẩ ố ường có trung bình là zero và đ l ch chu n =1.ộ ệ ẩ
2 /
2
2 )
(z e z
f
L u ý: trong phân ph i chu n, tr c x đư ố ẩ ụ ược g i là tr c z. Phân ph i bình thọ ụ ố ường có thể bi n thành phân ph i chu n n u ta t o bi n ng u nhiêu m i z = (xế ố ẩ ế ế ẫ µ)/σ
Thí d : Cho m t phân ph i bình thụ ộ ố ường, tính P(Z ≤ 2,71)
Thí d : Cho m t phân ph i chu n, tìm di n tích n m dụ ộ ố ẩ ệ ằ ướ ười đ ng cong, trên tr c Z,ụ n m gi a z=1 và z=2.ằ ữ
Thí d : tính xác su t Z đụ ấ ược ch n b t kì trong dân s có phân ph i bình thọ ấ ố ố ường có giá tr t 2,55 đ n +2,55.ị ế
6 Ứng dụng phân phối bình thường
(6)Hình Phân ph i c a ph n trăm so v i tr ng lố ủ ầ ớ ọ ượng chu n c a 1750 tr em h c sinh nhà trẩ ủ ẻ ọ ẻ
Hoa Hướng Dương 15, Q11, Thành ph H Chí Minh (trung bình=92, đ l ch chu n =10)ố ồ ộ ệ ẩ a. Ướ ược l ng t l dân s có m t thu c tính nh t đ nhỉ ệ ố ộ ộ ấ ị
Thí d :Thụ ương s thơng minh trong m t dân s có trung bình =100 và đ l ch chu nố ộ ố ộ ệ ẩ 15. Ch n ng u nhiên m t ngọ ẫ ộ ười trong dân s này, tính xác su t ngố ấ ười này có thương s thơng minh nh h n 120.ố ỏ
P(IQ<120) = P(Z<(120100)/15) = P(Z<1,33) =0,9082
Thí d : Gi s tr ng lụ ả ọ ượng c a đàn ơng thành ph H chí Minh có phân ph i chu nủ ố ố ẩ và có trung bình là 56 kg và đ l ch chu n 10 kg. Tính xác su t m t ngộ ệ ẩ ấ ộ ười đàn ơng được ch n ng u nhiên có tr ng lọ ẫ ọ ượng gi a 40 kg và 68 kg.ở ữ
P(40 < TL < 68) = P(1,6 < Z < 1,2) = P(Z< 1,2) – P(Z <1,6)
Áp d ng quy t c: mu n tìm P(Z <z) v i z âm, ta tính P c a tr tuy t đ i c a Z r i l y 1ụ ắ ố ủ ị ệ ố ủ ấ tr cho s đóừ ố
P(Z <z)=1 P (Z <|z|) ta có P(Z< 1,6) = 1 P(Z<|1,6|) Ta được:
P(40 < TL < 68) = P(1,6 < Z < 1,2) = P(Z< 1,2) – P(Z <1,6) = 0,8849 – (1 – 0,9452) = 0,8301
Thí d : Trong thành ph H chí minh có c th y 1.000.000 đàn ơng trên 20 tu i. Ch pụ ố ả ẩ ổ ấ nh n gi đ nh thí d trên, hãy ậ ả ị ụ ước tính thành ph H Chí Minh có bao ngở ố ười có tr ng lọ ượng l n h n 80 kg.ớ
(7)b. Ch n đốn cho cá nhânẩ
Thí d : Theo t ch c y t th gi i, đ a tr 32 tháng bình thụ ổ ứ ế ế ứ ẻ ường có tr ng lọ ượng trung bình là 14 kg v i đ l ch chu n là 1,5 kg. M t đ a tr 32 tháng n ng 13 kg có ph i làớ ộ ệ ẩ ộ ứ ẻ ặ ả b t bình thấ ường v dinh dề ưỡng hay khơng?
Ð tr l i câu h i này chúng ta ph i xét hi n tể ả ỏ ả ệ ượng đ a tr 32 tháng n ng 13 kg cóứ ẻ ặ ph bi n hay khơng.ổ ế
P(TL <13) = P(Z < 0,66) = 1 – P(Z>0,66) = 1 – 0,7454 = 0,2546
Vì có đ n 25,46% tr 32 tháng có tr ng lế ẻ ọ ượng 13 kg hay nh h n nên cân n ng nàyẹ ặ không ph i là b t thả ấ ường
Ð a tr 32 tháng n ng 9 kg có ph i là b t thứ ẻ ặ ả ấ ường v dinh dề ưỡng hay không?
Tương t nh câu h i trự ỏ ước đó, chúng ta ph i xét hi n tả ệ ượng đ a tr 32 tháng n ng 9ứ ẻ ặ kg có ph bi n hay khơng.ổ ế
P(TL <9) = P(Z < 2,66) = 1 – P(Z>2,66) = 1 – 0,9961 = 0,0039
Nghĩa là trong 1000 tr ch có kho ng 4 tr có tr ng lẻ ỉ ả ẻ ọ ượng 9 kg hay nh h n. Vì v yẹ ậ đ a tr này đứ ẻ ược xem là suy dinh dưỡng
Người ta quy ước n u xác su t x y ra m t tr s nào đó hay c c đoan h n tr s đóế ấ ả ộ ị ố ự ị ố nh h n 5% thì tr s đó là b t thỏ ị ố ấ ường. Áp d ng tính ch t th t c a phân ph i bìnhụ ấ ứ ủ ố thường, đi u này có th phát bi u là n u giá tr nào n m ngoài kho ng ề ể ể ế ị ằ ả µ ± 1,96σ là giá tr b t thị ấ ường và giá tr n m trong kho ng ị ằ ả µ ± 1,96σ là giá tr bình thị ường. Phát bi u theo cách khác n u kho ng cách gi a m t tr s đ n giá tr trung bình l n h nể ế ả ữ ộ ị ố ế ị 1,96 l n đ l ch chu n (tầ ộ ệ ẩ ương ng v i |Z|>1,96) thì giá tr đó là b t bình thứ ị ấ ường. Và giá tr tị ương ng v i |Z|<1,96 là giá tr bình thứ ị ường
Thí d : n u đụ ế ường huy t có phân ph i bình thế ố ường v i trung bình là 100 mg% và đớ ộ l ch chu n là 10 mg%. H i kho ng giá tr bình thệ ẩ ỏ ả ị ường c a đủ ường huy t là bao nhiêu?ế Kho ng giá tr bình thả ị ường c a đủ ường huy t tế ương ng v i 1,96 < Z < 1,96 hay ứ 100 1,96 × 10 < đường huy t < 100 + 1,96 ế × 10 hay t 80120 mg%ừ
Bài tập
Bài t p phân ph i nh th cậ ố ị ứ
1. Gi s b nh nhân b viêm màng não có t l t vong là 10%. Trong khoa lây c aả ệ ị ỉ ệ ủ b nh vi n, hi n có 10 b nh nhân b viêm màng não. Tính xác su t:ệ ệ ệ ệ ị ấ
a. Khơng có ai s ng sótố
b. Có ít nh t hai ngấ ườ ịi b ch tế c. Có đúng 3 ngườ ịi b ch tế Bài gi i:ả
Có th xem di n ti n c a m t b nh nhân viêm màng não là m t phép th Nhể ễ ế ủ ộ ệ ộ ư v y quan sát 10 phép th đ ng nh t và đ c l p v i nhau, m i phép th có 2 k tậ ấ ộ ậ ỗ ế cu c là thành công hay th t b i v i xác su t thành công trong m i l n th làộ ấ ấ ỗ ầ 0,9. G i X là s l n thành cơng ta có ọ ố ầ
) (
) ( )
( )
( x n x
x
n C p p