Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê

Biến ngẫu nhiên liên tục... Luật phân phối xác suất[r]

Tóm tắt cơng thức Xác Suất - Thống Kê I Phần Xác Suất

1 Xác suất cổ điển

 Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

 A1, A2,…, An xung khắc đôiP(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)  Ta có

o A, B xung khắcP(A+B)=P(A)+P(B)

o A, B, C xung khắc đôiP(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

o P A( ) 1 P A( )

 Công thức xác suất có điều kiện: ( / ) ( ) ( )

P AB P A B

P B

 , ( / ) ( )

( )

P AB P B A

P A



 Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)

 A1, A2,…, An độc lập với nhauP(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An)  Ta có

o A, B độc lậpP(AB)=P(A).P(B)

o A, B, C độc lập với nhauP(A.B.C)=P(A).P(B).P(C)

 Công thức Bernoulli: B k n p( ; ; )C p qnk k n k , với p=P(A): xác suất để biến cố A xảy phép thử q=1-p

 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes

o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An gọi phép phân hoạch 

1

; , 1,

i j

n

A A i j i j n

A A A

      

 

     



o Công thức xác suất đầy đủ:

1 2

1

( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

n

i i n n

i

P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A



    

oCông thức Bayes:

( ) ( / ) ( / )

( )

i i

i

P A P B A

P A B

P B



với P B( )P A P B A( 1) ( / 1)P A( 2) ( /P B A2)  P A( n) ( /P B An) Biến ngẫu nhiên

a Biến ngẫu nhiên rời rạc  Luật phân phối xác suất

với pi P X( xi),i1, n

Ta có:

1

1

n i i

p







f(

{a f(X) b}=

i

i a x b

P p

 

  

 Hàm phân phối xác suất

( ) ( )

i

X i

x x

F x P X x p



  

 Mode

0

ModXx  p max{p ii: 1, }n

 Median

0,5

( ) 0,

MedX

( ) 0,5 0,

i e

i e

i x x e

e

e i

x x

p

P X x

x

P X x p





 

 

 

  

  

 



 

 Kỳ vọng

1 2

1

( )

n

i i n n

i

EX x p x p x p x p



    

1 2

1

( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

n

i i n n

i

E  X  x p  x p  x p  x p



    

 Phương sai

2

( ) ( )

VarX E X  EX

với 2 12 1 22 2

1

( ) ( )

n

i i n n

i

E X x p x p x p x p



    

b Biến ngẫu nhiên liên tục

 f(x) hàm mật độ xác suất X ( ) 



  f x dx ,

{a X b} ( )

b

a

P    f x dx

 Hàm phân phối xác suất

( ) ( ) ( )

x X

F x P X x f t dt



   

 Mode

0

ModX x  Hàm mật độ xác suất f(x) X đạt cực đại x0  Median

1

( ) ( )

2

e

x

e X e

MedX x F x f x dx



     

 Kỳ vọng

EX x f x dx ( ) 



 

( ( )) ( ) ( )

E  X  x f x dx



 Phương sai

2

( ) ( )

VarX E X  EX với EX2 x f x dx2 ( ) 



 

c Tính chất

-E C( )C Var C, ( )0, C số -E kX( )kEX Var kX, ( )k VarX2

-E aX( bY)aEX bEY

- Nếu X, Y độc lập E XY( )EX EY Var aX , ( bY)a VarX2 b VarY2

-( )X  VarX : Độ lệch chuẩn X, có thứ nguyên với X EX Luật phân phối xác suất

a Phân phối Chuẩn (X ~N( ; 2))

 X( ) , EX=ModX=MedX=, VarX 2

 Hàm mđxs

2

( )

2

1 ( , , )

2

x

f x e

 

 

 

 

 Với    0, 1:

2

2 ( )

2 x

f x e





 (Hàm Gauss)

 P(aXb) (b ) (a )

  với

2

2

0 ( )

2 t x

x e dt





  (Hàm Laplace)

 Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất phân phối chuẩn chuẩn tắc

Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES

Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Tính

2

2

0 ( )

2 t x

x e dt



  

2

2 ( )

2



  

t x

F x e dt

Shift x ) =

Shift x ) =

Shift x ) =

Shift x ) =

Thoát khỏi gói Thống kê Mode Mode

Lưu ý: F x( )0,5 ( )x

b Phân phối Poisson (X ~P( ))

 X( ) , EXVarX .ModX=k-1k

 (X=k)=e ,

k

c Phân phối Nhị thức (X ~B n p( ; ))

 X( ) {0 n}, EX=np, VarX=npq, ModX=k(n1)p 1 k (n1)p

 P(X=k)=C kn p qk n k , q    p k n k, 

 Nếu (n30; 0,1  p0,9;np5,nq5) X ~B n p( ; )N( ; 2) với

,

n p npq

   

 P(X=k) f(k ), 0 kn k, 

  

 P(aX<b) (b ) (a )

 

 Nếu (n30,  p np5) X ~B n p( ; )P( ) với  np

 (X=k) e ,

! k

P k

k

 

    Nếu (n30, p 0,9,nq5)

(X=k) e ,

( )!

n k

P k

n k

  

  

  với  nq d Phân phối Siêu bội (X ~H N N( ; A; ))n

 X( ) {max{0;n(NNA)} min{n;N }}A  EX=np, VarX=npq

1

N n N

  với

A

N p

N

 , q=1-p

 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

2

A A

N n N n

ModX k k

N N

     

    

 

 (X=k)= A A , ( )

k n k N N N

n N

C C

P k X

C

 

  

 Nếu N 20

n  thìX ~H N N( ; A; )n B n p( ; ) với

A

N p

N



(X=k) C kn k n k, ( ),

X

Y 



 

Sơ đồ tóm tắt dạng phân phối xác suất thông dụng:

n30, np<5 p0,1

=np N>20n

p=NA

N , q=1-p

n30, np5, nq5

0,1<p<0,9

1

( ) (k )

P X k f 

 



 

( ) (b ) (a )

P a X b    

 

 

   

với  np,  npq

Siêu bội: X~H(N;NA;n)

( ) A A

k n k

N N N

n N

C C P X k

C

 

 

Poisson: X~P( )

( )

!

k

P X k e

k



 

  Nhị thức: X~B(n;p)

( ) k k n k n

P X k C p q 

Chuẩn: X~N( ; 2)

2

( )

1

( ; ; )

2

x

f x e

   

 

  

Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1)

2

2

1

( )

2

y

f y e

a Hệ số tương quan mẫu: 1

2 2

1 1

( ) ( )

n n n

i i i i

i i i

n n n n

i i i i

i i i i

n x y x y

r

n x x n y y

  

   

 

 

  

   

Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: yx  ABx với

1 1

2

1

( )

n n n

i i i i

i i i

n n

i i

i i

n x y x y

B

n x x

  

 

 



  

 

1

n n

i i

i i

y B x A

n

 

 

 

b Trong trường hợp sử dụng bảng tần số:

Ta tính theo cơng thức thu gọn sau:

Hệ số tương quan mẫu: 1

2 2

1 1

( ) ( )

k k k

i i i i i i i

i i i

k k k k

i i i i i i i i

i i i i

n n x y n x n y r

n n x n x n n y n y

  

   

 

 

  

   

Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: yx  ABx với

1 1

2

1

( )

k k k

i i i i i i i

i i i

k k

i i i i

i i

n n x y n x n y B

n n x n x

  

 

 



  

 

1

k k

i i i i

i i

n y B n x A

n

 

 

 

i

x x1 x2 … xk

i

y y1 y2 … yk

i

c Sử dụng máy tính bỏ túi để tính hệ số tương quan mẫu phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:

Tác vụ Dịng CASIO MS Dòng CASIO ES

Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  Khởi động gói Hồi quy

tuyến tính

Mode…(tìm)…REG Lin

Mode…(tìm)…STAT A+BX

Nhập số liệu

1

x , y1 Shift , n1 M+

 k

x , yk Shift , nk M+

i

n  cần nhấn

i

x , yi M+

X Y FREQ

1

x =

 k

x =

1

y =

 k

y =

1

n =

 k

n =

Xóa hình hiển thị AC AC

Xác định:

 Hệ số tương quan mẫu (r)

 Hệ số hằng: A  Hệ số ẩn (x): B

Shift  = Shift  = Shift  =

Shift = Shift = Shift =

Thốt khỏi gói Hồi quy Mode Mode

Lưu ý: Máy ES kích hoạt chế độ nhập tần số phần Lý thuyết mẫu khơng cần kích hoạt