Bài giảng Xác suất thống kê A - ĐH Phạm Văn Đồng

Tổ Toán LỦ ậ Khoa C B n Tháng 12 năm 2013.. Bổătúcăv ăgi iătíchătổăh p[r]

1 ttt

YăBANăNHỂNăDỂNăT NHăQU NGăNGẩI

TR NGăĐ IăH CăPH MăVĔNăĐ NG

TR NăĐ CăTH NH BÀIăGI NG

XÁCăSU TăTH NGăKểăA

2

YăBANăNHỂNăDỂNăT NHăQU NGăNGẩI

TR NGăĐ IăH CăPH MăVĔNăĐ NG

TR NăĐ CăTH NH

BÀIăGI NG

XÁCăSU TăTH NGăKểăA

3

L IăNịIăĐ U

LỦ thuy t xác su t th ng kê lƠ m t b ph n c a toán h c, nghiên c u t ng ng u nhiên vƠ ng d ng chúng vƠo th c t Ta có th hi u t ng ng u nhiên lƠ t ng khơng th nói tr c x y hay khơng x y th c m t l n quan sát Tuy nhiên, n u ti n hƠnh quan sát nhi u l n m t t ng ng u nhiên phép thử nh nhau, ta có th rút đ c nh ng k t lu n khoa h c v t ng nƠy

LỦ thuy t xác su t lƠ c s đ nghiên c u Th ng kê môn h c nghiên c u ph ng pháp thu th p thông tin ch n m u, xử lỦ thông tin, nhằm rút k t lu n ho c quy t đ nh c n thi t NgƠy nay, v i s h tr tích c c c a công nghệ truy n thông m i, lỦ thuy t xác su t th ng kê ngƠy cƠng đ c ng d ng r ng rƣi vƠ hiệu qu m i lĩnh v c khoa h c t nhiên vƠ xƣ h i Chính v y lỦ thuy t xác su t th ng kê đ c gi ng d y cho h u h t nhóm ngƠnh cao đẳng vƠ đ i h c

Có nhi u sách giáo khoa vƠ tƠi liệu chuyên kh o vi t v lỦ thuy t xác su t th ng kê Tuy nhiên, v i ph ng th c đƠo t o theo tín ch có nh ng đ c thù riêng, đòi h i sinh viên ph i t h c nhi u h n, v y c n ph i có tƠi liệu h ng d n h c t p c a mơn h c thích h p cho ph ng th c đƠo t o nƠy T p tƠi liệu “Bài gi ngxác su t th ng kê A” đ c biên so n nhằm m c đích

BƠi gi ngnƠy đ c biên so n cho hệ cao đẳng ngƠnh s ph m Toán theo đ c ng chi ti t h c ph nqui đ nh c a tr ng đ i h c Ph m Văn Đ ng N i dung c a bƠi gi ngbám sát giáo trình c a d án đƠo t o giáo viên trung h c c s theo kinh nghiệm gi ng d y nhi u năm c a b n thơn Vì v y, bƠi gi ng nƠy có th dùng lƠm tƠi liệu h c t p, tƠi liệu tham kh o cho sinh viên c a ngành cao đẳng s ph m, cao đẳng kh i kinh t , kỹ thu t ngành c a b c đ i h c

BƠi gi ng g m ch ng t ng ng v i tín ch (45ti ttín ch):

Ch ngă1.Bi n c vƠ xác su t

Ch ngă2.Bi n ng u nhiên vƠ hƠm phơn ph i

Ch ngă3 Các đ c tr ng c a bi n ng u nhiên

Ch ngă4 Lu t s l n vƠ đ nh lỦ gi i h n trung tâm

4

Ch ngă6. c l ng tham s

Ch ngă7.ăKi m đ nh gi thi t

Ch ngă8 H i quy vƠ t ng quan

BƠi gi ng đ c trình bƠy theo cách phù h p đ i v i ng i t h c, đ c biệt ph c v đắc l ccho công tác đƠo t o theo h c ch tín ch Tr c nghiên c u n i dung chi ti t, sinh viên nên xem ph n gi i thiệu c a m i ch ng đ th y đ c m c đích Ủ nghĩa, yêu c u c a ch ng Trong m i ch ng, m i n i dung, sinh viên có th t đ c vƠ hi u đ c c n k thông qua cách diễn đ t ch d n rõ rƠng Đ c biệt sinh viênnên Ủ đ n nh n xét, bình lu n đ hi u sơu h n ho c m r ng tổng quát h n k t qu vƠ h ng ng d ng vƠo th c t H u h t bƠi toán đ c xơyd ng theo l c đ : đ t bƠi toán, ch ng minh s t n t i l i gi i lỦ thuy t vƠ cu i nêuthu t toán gi i quy t bƠi toán nƠy Các ví d lƠ đ minh ho tr c ti p khái niệm, đ nh lỦ ho c thu t tốn, v y s giúp sinh viên dễ dƠng h n ti p thu bƠi h c.Có kho ng từ 10 đ n 20 bƠi t p cho m i ch ng Hệ th ng bƠi t pnƠy bao trùm toƠn b n i dung vừa đ c h c, có nh ng bƠi t p ch v n d ngtr c ti p ki n th c vừa đ c h cnh ng có nh ng bƠi t pđịi h i sinh viên ph i v n d ng m t cách tổng h p vƠ sáng t o ki n th c đ gi i quy t Vì v y, qua việc gi i bƠi t p nƠy giúp sinh viên nắm h n lỦ thuy t vƠ ki m tra đ c m c đ ti p thu lỦ thuy t c a Cu i m i ch ng đ u có ph n h ng d n t h c

M c dù đƣ r t c gắng, song th i gian b h n hẹp v i yêu c u c p bách c akhoa vƠ tr ng, v y thi u sót cịn t n t i bƠi gi ng u khó tránh kh i Chúng r t mong đ c s đóng góp Ủ ki n c a b n bè đ ng nghiệp, sinh viên đ ti p t c hoƠn ch nh bƠi gi ngt t h n(M i đóng góp Ủ ki n xin g i v đ a ch mail: tdthinh@pdu.edu.vn, r t c m kích vƠ bi t n)

5

Ch ngă1.

BI NăC ăVÀăXÁCăSU T

A.ăN IăDUNGăBÀIăGI NG

Các t ng t nhiên hay xƣ h i x y m t cách ng u nhiên (không bi t tr c k t qu ) ho c t t đ nh (bi t tr c k t qu s x y ra) Chẳng h n ta bi t chắn m t v t đ c th từ cao chắn s r i xu ng đ t Đó lƠ nh ng t ng diễn có tính quy lu t, t t đ nh Trái l i tung đ ng xu ta không bi t m t s p hay m t ngửa s xu t Ta khơng th bi t có cu c g i đ n tổng đƠi, có khách hƠng đ n m ph c v kho ng th i gian nƠo Ta không th xác đ nh tr c ch s ch ng khốn th tr ng ch ng khốnĐó lƠ nh ng t ng ng u nhiên Tuy nhiên, n u ti n hƠnh quan sát nhi u l n m t t ng ng u nhiên nh ng hoƠn c nh nh nhau, nhi u tr ng h p ta có th rút nh ng k t lu n có tính quy lu t v nh ng t ng nƠy LỦ thuy t xác su t nghiên c u qui lu t c a t ng ng u nhiên Việc nắm bắt quy lu t nƠy s cho phép d báo t ng ng u nhiên s x y nh th nƠo Chính v y ph ng pháp c a lỦ thuy t xác su t đ c ng d ng r ng rƣi việc gi i quy t bƠi toán thu c nhi u lĩnh v c khác c a khoa h c t nhiên, kỹ thu t vƠ kinh t - xƣ h i

Ch ng nƠy ôn l i lỦ thuy t t p h p, gi i tích tổ h p vƠ trình bƠy m t cách có hệ th ng khái niệm vƠ k t qu v lỦ thuy t xác su t:

- Ọn vƠ hệ th ng ki n th c v lỦ thuy t t p h p vƠ gi i tích tổ h p - Các khái niệm phép thử, bi n c

- Quan hệ gi a bi n c

- Các đ nh nghĩa v xác su t: đ nh nghĩa xác su t theo cổ n, theo th ng kê, theo hình h c vƠ theo hệ tiên đ

- Các tính ch t c a xác su t: cơng th c tổng (c ng) xác su t, xác su t c a bi n c đ il p

- Xác su t có u kiện, cơng th c nhơn, công th c xác su t đ y đ vƠ công th c Bayes

6

Khi nắm v ng ki n th c v đ i s t p h p nh h p, giao t p h p, t p con, ph n bù c a m t t p  sinh viên s dễ dàng việc ti p thu, bi u diễn ho c mô t cácbi n c Đ tính xác su t bi n c theo ph ng pháp cổ n đòi h i ph i tính s tr ng h p thu n l i đ i v i bi n c vƠ s tr ng h p có th Vì v y sinh viên c n nắm v ng ph ng pháp đ m - gi i tích tổ h p Tuy nhiên đ thu n l i cho ng i h c s nhắc l i k t qu m c 1.1

M t nh ng khó khăn c a bƠi toán xác su t lƠ xác đ nh đ c bi n c vƠ sử d ng cơng th c thích h p Bằng cách tham kh o ví d vƠ gi i nhi u bƠi t p s rèn luyện t t kỹ nƠy

1.1 Bổătúcăv ăgi iătíchătổăh p

1.1.1 T păh p

1.1.1.1 T p h p vƠ ph n tử c a t p h p

a) T p h p con: A  B  (   x A x B) b) T p h p nhau: A = B  A  B B  A c) T p r ng lƠ t p h p không ch a ph n tử nƠo KỦ hiệu: ϕ

d) Không gian: T p l n nh t c đ nh mƠ m i t p h p đ c xét đ u ch a KỦ hiệu: U

e) Cách mô t m t t p h p: liệt kê, d u hiệuđ c tr ng

f) T p h p h u h n vƠ t p h p vô h n (vô h n đ m đ c vƠ không đ m đ c) 1.1.1.2 Các phép toán t p h p

a) H p: H p c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p, kí hiệu A  B, cho: x x A, B x A

x B

       



b) Giao: Giao c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p , kí hiệu A  B, cho: x x, A B x A

x B

       



c) Hiệu: Hiệu c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p , kí hiệu A\ B, cho: x x, A B\ x A

x B

      

7

d) Hiệu đ i x ng: A B (A B\ )(B A\ )

1.1.1.3 Các tính ch t c a phép toán t p h p

a) Lu t luỹ đẳng: A  A A ; A  AA

b) Lu t k t h p: ( ) ( ) ;

( ) ( )

A B C A B C

A B C A B C

    

    

c) Lu t giao hoán: AB  B A ; AB  BA d) Lu t phơn ph i: ( ) ( ) ( ) ;

( ) ( ) ( )

A B C A B A C A B C A B A C

           

e) Lu t đ ng nh t: AA ; A ; AUU ; AUA

f) Lu t ph đ nh c a ph đ nh (lu t đ i h p): A  A

g) Lu t thƠnh ph n: AAU ; AA ; U ; U h) Lu t Demorgan: AB  A  B ; AB  A  B

1.1.1.4 Tích Đ (Descartes)

 ( , ) / ,

A B a b aA bB

+ Hai ph n tử nhau: ( a, b ) = ( c, d )  a = c b = d + Qui c: AA

1.1.1.5 Đ m ph n tử c a t p h p h u h n (B n s c a t p h p h u h n) a) B n s c a t p h p h u h n A lƠ s ph n tử c a t p h p A, kí hiệu lƠ n(A) b) Gi sử A vƠ B lƠ hai t p h p h u h n.Khi đó:

 A  B h u h n vƠ n(A  B ) = n(A) + n(B) - n( A  B )

 N u A B = ϕ : n(A  B ) = n(A) + n(B)

 N( A \ B ) = n( A ) - n( A  B )

Đ c biệt: N u A B n(A \ B) = n(A) - n(B)

 Gi sử U lƠ không gian vƠ AU lƠ t p h p h u h n thì: n(A ) = n(U) - n(A)

 n(A  B) = n(A) + n(B) ậ 2n(A B)

 AB lƠ t p h p h u h n vƠ n(AB) = n(A) n(B) c) Gi sử A1, A2, A3, ầ , Am lƠ nh ng t p h p h u h n Khi đó:

n(A1  A2  A3  ầ  Am ) = n( A1)  n(A2)  n(A3)  ầ  n(Am)

8 a) Luỹ thừa t p h p:

T p h p t t c t p c a t p S đ c g i lƠ luỹ thừa t p h p c a S vƠ kí hiệu ρ(S) S ph n tử c a ρ( (S) n(ρ(S)) = 2n(S) V i n(S) lƠ s ph n tử c a S b) Phơn ho ch c a t p h p:

Cho S lƠ t p khác r ng Ta nói phơn ho ch c a t p h p S lƠ t p h p t p h p A1,A2,A3,ầ,An ầ khác t p h p r ng cho:

1) M i a  S, ta suy a  AinƠo đó, i = 1,2,3,ầ,n,ầ

2)

i j

i j

A A

  

; i ,j = 1, 2, , n,ầ c) Đ i s (� - đ i s )

Gi sử  lƠ t p khác r ng Kí hiệu A lƠ t p t p c a  đ c g i

đ i s (� - đ i s ) t p c a  n u tho mƣn u kiện sau: 1)   A

2) N u A  A A = \ A  A

3) N u A1,A2,A3,ầ,An  A A1 A2 A3 ầ An  A

( N u A1,A2,A3,ầ,An ,  A

1



 



i i

A A )

1.1.2 Gi iătíchătổăh p

1.1.2.1 Tổ h p

a) G i m t tổ h p ch p k c a n ph n tử đƣ cho lƠ m t t p h p g m k ph n tử c a t p h p g m n ph n tử đƣ cho (0 k  n) S tổ h p ch p k khác c a n ph n tử đ c kí hiệu lƠ k

n

C (ho c nCk) tính theo cơng th c:

!

!( )!

k n

n

k n k

C  

b) Từ m t t p h p g m n ph n tử l y ng u nhiên lúc k ph n tử cho hai cách l y đ c g i lƠ khác n u gi a chúng có nh t m t ph n tử khác S cách l y nh v y lƠ s tổ h p ch p k khác c a n ph n tử đƣ cho

c) Ví d

9

2) Cho m t đa giác l i có 20 đ nh H i đa giác có đ ng chéo? Gi i:

1) M i cách ch n(khơng có th t )5 h c sinh m t l p h c lƠ m t tổ h p ch p c a 25 ph n tử (h c sinh) nên s cách ch n h c sinh l p s tổ h p ch p c a 25 ph n tử:

53130 21 22 23 24 25 ! 20 ! ! 25

C525      

2) N u ta n i đ nh b t kỳ c a đa giác ta s đ c m t c nh ho c m t đ ng chéo, nên m i c nh ho c m i đ ng chéo đ c xem lƠ m t tổ h p ch p c a 20 ph n tử (đ nh) Do tổng s c nh vƠ s đ ng chéo c a đa giác l i có 20 đ nh lƠ tổ h p ch p c a 20: 190

1 19 20 ! 18 ! ! 20

c220   

Suy s đ ng chéo c a đa giác 190 ậ 20 = 170 d) Tính ch t c a tổ h p

1) CknCnnk 2) CnkCnk1Ckn11; n1 3) ; n k

n

C

Ckn kn11  1.1.2.2 Ch nh h p không l p

a) M t ch nh h p không l p ch p k (0 k  n) c a n ph n tử đƣ cho lƠ m t t p h p có th t g m k ph n tử n ph n tử Hai ch nh h p không l p ch p k c a n ph n tử đƣ cho đ c g i lƠ khác n u có nh t m t ph n tử khác ho c có th t khác S ch nh h p không l p ch p k khác c a n ph n tử đƣ cho đ c kí hiệu Ak

n (ho c A(n,k);nAk) vƠ tính theo công th c:

) k n ) ( n (

n   

  k)! -(n n!

Akn + Chú ý: Ta có Aknk!Ckn

10

c) Từ m t t p h p g m n ph n tử l y ng u nhiên l n l t ph n tử m t không hoƠn l i k l n S cách l y nh v y lƠ s ch nh h p không l p ch p k khác c a n ph n tử

d) Ví d

1) Cho năm ch s 1, 2, 3, 4, H i có s g m ch s khác l y từ ch s trên?

2) Có s t nhiêncó ch s khác nhau? Gi i:

1) S s khác g m ch s l y từ năm ch s 1, 2, 3, 4, s ch nh h p không l p ch p c a ph n tử(ch s ): 20

)! (

!

A35    

2) M t s có ch s khác (k c s có ch s đ ng tr c) đ c xem lƠ ch nh h p không l p ch p c a 10 ph n tử (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do s s có ch s khác (k c s có ch s đ ng tr c) lƠ:

720 10 )! 10 (

! 10

A103      

M t khác ta có m i s có ch s khác mƠ ch s 0đ ng tr c lƠ m t ch nh h p không l p ch p c a ph n tử (9 ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do s s có ch s khác mƠ ch s đ ng tr c lƠ: 72

)! (

!

A92    

V y s s t nhiên có ch s khác lƠ: 720 ậ 72 = 648 1.1.2.3 Ch nh h p l p

a) Ta g i ch nhh p l p ch p k (  k  n ) c a n ph n tử đƣ cho lƠ m t t p h p có th t g m k ph n tử l y từ n ph n tử đƣ cho, mƠ ph n tử c a t p có th có m t nhi u nh t lƠ k l n Kí hiệu s ch nh h p l p ch p k khác c a n ph n tử đƣ cho Pk

n (ho c P(n,k)ho c nPkvƠ đ c tính theo cơng th c: P n k k

n 

11 c) Ví d

1) Cho năm ch s 1, 2, 3, 4, Có s có ch s l y từ ch s trên? 2) Có s t nhiêncó ch s ?

3) M t đoƠn tƠu có toa (m i toa cịn 12 ch ) H i có cách phân ng u nhiên 12 hƠnh khách lên toa tƠu?

Gi i:

1) S s g m ch s l y từ năm ch s 1, 2, 3, 4, s ch nh h p l p ch p c a ph n tử (ch s ): P3553 125

2) M t s có ch s (k c s có ch s đ ng tr c) đ c xem lƠ ch nh h pl p ch p c a 10 ph n tử (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do s s có ch s khác (k c s có ch s đ ng tr c) lƠ: P103 1031000

M t khác ta có m i s có ch s mƠ ch s đ ng tr c lƠ m t ch nh h p không l p ch p c a 10 ph n tử (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do s s có ch s mƠ ch s đ ng tr c lƠ: P102 103100

V y s s t nhiên có ch s là: 1000 ậ 100 = 900

3) Vì m i hƠnh khách có th phơn ng u nhiênm t toa I, II, III Nghĩa lƠ m i hành khách có cách ch n, đo s cách phơn ng u nhiên 12 hƠnh khách lên toa tƠu bƠng s ch nh h p l p 12 c a ph n tử (toa tƠu): P123 312

1.1.2.4 Hoán v

a) Gi sử ta có n ph n tử m i cách x p c a n ph n tử theo m t th t nƠo lƠ m t hoán v c a n ph n tử S hoán v khác c a n ph n tử n!

b) Gi sử ta có n ph n tử đ c x p n v trí Ta đổi ch ph n tử cho S cách đổi ch c a n ph n tử cho đ c g i lƠ s hoán v c a n ph n tử đ c kí hiệu PnvƠ đ c tính theo cơng th c: Pn = n! = n( n ậ1 ) ầ 2.1

c) Ta có n ph n tử vƠ n v trí, x p n ph n tử vƠo n v trí đƣ cho cho m i ch ch có m t ph n tử S cách x p nƠybằng s hoán v khác c a n ph n tử d) Ví d

12

2) Có cách x p 10 h c sinh đ ng thƠnh m t hƠng ngang? Gi i:

1) M i s g m ch s khác lƠ m t hoán v c a ph n tử (5 ch s 1, 2, 3,4 ,5) Do s s g m ch s khác l y từ ch s là: P5 = 5! = 120

2) M i cách x p 10 h c sinh đ ng thƠnh m t hƠng ngang lƠ m t hoán v c a 10 ph n tử (h c sinh) Do s cách x p 10 h c sinh đ ng thƠnh m t hƠng ngang: P10 = 10! = 3.628.800

1.1.2.5 Lu t tích

a) Lu t tích (nhân): N u s việc A đ c phơn tích thƠnh m s việc liên ti p khác vƠ s việc Ai có ki cách th c (i =1,2ầm) Khi s cách th c s

việc A lƠ k1.k2 km

b) Ví d : M t h p ch a 15 bi đ , 10 bi trắng vƠ bi xanh.L y ng u nhiên bi, h i có cách l y đ c bi đ , bi trắng, bi xanh

Gi i:

S cách l y đ c bi đ lƠ C152 105 S cách l y đ c bi trắng lƠ C310120

S cách l y đ c bi xanh lƠ C72 21

S cách l y đ c bi đ , bi trắng vƠ bi xanh tuơn theo lu t tích lƠ C152 C103 C72105.120.21 264600

1.1.2.6 Nh th c Newton n n k k

k k n

n a b

) b a

( C 









N u a = b = 



 n

0 k

k n

n C

2 ; N u a + b = n an kbk

k k n

C  





1.2 Phépăthửăng uănhiên,ăbi năc ăng uănhiên,ăcácăphépătoánăv ăbi năc

1.2.1 Đặtăv năđ ă

Trong nhi u tr ng h p việc l p l p l i m t thí nghiệm v i nh ng u kiện bên ngoƠi gi ng hệt nh ng không d n t i m t k t qu

13

Việc nghiên c u hệ th ng nh ng t ng ng u nhiên đ từ rút đ c quy lu t ng u nhiên lƠ đ i t ng c a môn xác su t th ng kê toán h c Lý thuy t xác su t vƠ th ng kê toán thu c vƠo lỦ thuy t tốn h c đ i Có nhi u

ng d ng nhi u ngƠnh khoa h c 1.2.2 Phépăthửăng uănhiên

1.2.2.1 M t s ví d

a) Gieo m t l n đ ng ti n đ c xem nh ti n hƠnh m t phép thử “gieo đ ng ti n” K t qu c a phép thử nƠy lƠ “xu t m t s p” ho c “xu t m t ngửa” Hai kh có th nƠy đ c g i lƠ hai bi n c s c p

b) Gieo m t l n xúc xắc đ c xem nh ti n hƠnh m t phép thử “gieo xúc xắc” K t qu c a phép thử lƠ “xu t m t i ch m m t c a xúc xắc”

6 ,



i Đó lƠ bi n c s c p ng v i phép thử đƣ cho, “Xu t m t có s ch m ch n” lƠ m t bi nc , nh ng không ph i lƠ bi n c s c p c a phép thử c) M t h c sinh lƠm m t bƠi ki m tra đ c xem nh ti n hƠnh m t phép thử K t qu c a phép thử lƠ “đ t” ho c “khơng đ t” Đó lƠ hai bi n c s c p

d) Ta quan sát nhiệt ngoƠi tr i Đó lƠ m t phép thử v i k t qu “ nhiệt đ ngoƠi tr i lƠ to C” lƠ m t bi n c s c p

Nh v y: th c m t phép thử nghĩa lƠ lƠm m t thí nghiệm, th c m t quan sát, th c m t công việc, m t hƠnh đ ng nƠo

1.2.2.2 Phép thử ng u nhiên

Phép thử ng u nhiên lƠ phép thử mƠ k t qu c a ta khơng th đốn đ nh

đ c tr c Kí hiệu phép thử ng u nhiên G

+ Các k t qu có th x y c a phép thử G g i lƠ bi n c (s kiện)

+ Các bi n c khơng th phơn tích đ c n a g i lƠ bi n c s c p vƠ kí hiệu i

1.2.2.3 Khơng gian bi n c s c p (không gian m u)

T p h p t t c bi n c s c p c a phép thử G đ c g i không gian bi nc s c p vƠ kí hiệu , ta có: = {i/ i = 1, 2, }

 Bi n c lƠ m t t p c a không gian bi n c s c p

14

 Bi n c khơng th có lƠ bi n c không x y phép thử đ c th c vƠ kí hiệuϕ

1.2.3 Bi năc ăng uănhiên

Bi n c ng u nhiên lƠ bi n c mƠ có th x y ho c không x y phép thử đ c th c hiện, kí hiệu bi n c ng u nhiên ch in hoa A, B, C, v m t lỦ thuy t t p h p A lƠ m t t p h p c a không gian bi n c s c p 

1.2.4 Quanăh ăgi aăcácăbi năc

1.2.4.1 Bi n c A đ c g i lƠ kéo theo bi n c B, kí hiệu A  B n u vƠ ch n u A x y thìsuy B x y

1.2.4.2 Bi n c A vƠ bi n c B đ c g i lƠ (t ng đ ng v i nhau), kỦ hiệu A = B vƠ ch bi n c A kéo theo bi n c B vƠ ng c l i

(A = B ⇔ A B B  A) 1.2.5 Cácăphépătoánătrênăbi năc

1.2.5.1 Cho hai bi n c A vƠ B, ta có phép tốn:

a) Phép c ng: Tổng c a hai bi n c A vƠ B, kí hiệu lƠ A  B, lƠ bi n c ch x y n u nh t m t hai bi n c A, B x y

b) Phép nhân: Tích c a hai bi n c A vƠ B, kí hiệu lƠ A  B (ho c A.B), lƠ bi n c ch x y n u hai bi n c A vƠ B đ ng th i x y

c) Phép trừ: Hiệu c a bi n c A trừ bi n c B, kí hiệu A\ B, lƠ bi n c ch x y n u bi n c A x y vƠ bi n c B không x y

d) Bi n c xung khắc: Hai bi n c A vƠ B đ c g i lƠ xung khắcn u A  B = ϕ e) Bi n c đ i l p: G i A   \ A lƠ bi n c đ i l p c a bi n c A

(A đ i l p v i A ⇔ A  A = ϕ A ∪ A = Ω) 1.2.5.2 L u ý

+ Hai bi n c đ i l p xung khắc, nh ng u ng c l i khơng

+ Nh ng tính ch t c a phép tốn c ng, nhơn, hiệu c a bi n c gi ng nh phép toán h p, giao, hiệu c a t p h p vƠ có th m r ng cho n bi n c 1.2.5.3 Ví d

15

mƠu đ , B lƠ bi n c l y đ c bƠi mang s nh h n 4, bi n c AB bi n c l y đ c bƠi mƠu đ mang s nh h n

b) Ch n ng u nhiên viên bi m t h p có viên bi xanh, viên bi đ G i AX lƠ bi n c ch n đ c bi xanh, AĐ lƠ bi n c ch n đ c bi đ , AClƠ bi n c

ch n đ c bi mƠu, AKlƠ bi n c ch n đ c bi khác mƠu Khi bi n

c AX, AĐ, AKxung khắc đôi m t; AC = AX∪ AĐ; AC AKđ i l p v i

c) Gieo m t l n m t xúc xắc, g i BilƠ bi n c m t xúc xắc xu t i

ch m, bi n c B1và B2 xung khắc v i nhau, nh ng B1 không ph i lƠ bi n c

đ i l p c a B2 mà bi n c đ i l p c a B1 là:B1= {B2, B3, B4, B5, B6}

d) Ba x th bắn vƠo m t m c tiêu m t th i m G i AilƠ bi n c

x th i bắn trúng m c tiêu, A lƠ bi n c c x th đ u bắn trúng, B lƠ bi n c ch có x th bắn trúng, C lƠ bi n c có nh t x th bắn trúng, D lƠ bi n c khơng có x th nƠo bắn trúng Hƣy biễu diễn bi n c A, B, C, Dtheo bi n c Ai

Gi i:

Ta có: A = A1A2A3 ; BA1A2A3A1A2A3A1A2A3

C = A1∪A2 ∪A3 DA1A2A3

1.2.6 H ăđ yăđ ăcácăbi năc ă

1.2.6.1 Đ nh nghĩa

Dƣy n bi n c B1, B2, ầ,Bnl p thƠnh hệ đ y đ bi n c vƠ ch tho mƣn:

1) Các bi n c Bixung khắc đôi m t ( 

j i j

i B ; ,ij 1,2, ,n B

    )

2) Khi phép thử th c có nh t m t Bix y (B1  B2  Bn = )

+ Nh n xét: Từ đ nh nghĩa ta có hai bi n c A vàA l p thƠnh m t hệ đ y đ 1.2.6.2 Ví d

a) Gieo m t đ ng ti n G i A vƠ A lƠ bi n c xu t m t s p vƠ m t ngửa Khi A vƠA l p thƠnh hệ đ y đ

b) Gieo m t l n m t xúc xắc đ i vƠ đ ng ch t

G i BilƠ bi n c m t xúc xắc xu t i ch m, i = 1, ầ, Khi B1,

16

c) Gieo đ ng th i hai đ ng ti n đ i vƠ đ ng ch t Khi bi n c {SS, SN, NS, NN} l p thƠnh hệ đ y đ bi n c

Bơy gi ta có th xác hố khái niệm bi n c đ nh nghĩa theo tiên đ

1.2.7 Đ nhănghĩa

1) Cho t p  ϕ,  đ c g i lƠ không gian bi n c s c p Ph n tử  đ c g i lƠ bi n c s c p

2) Cho - đ i s A t p c a Ph n tử AA đ c g i lƠ bi n c

ng u nhiên

1.3 Kháiăni măxácăsu tă

1.3.1 Đ nhănghĩaă(cổăđi n)

1.3.1.1 Đ nh nghĩa

N u bi n c A đ c phơn tích thƠnh tổng c a m bi n c hệ đ y đ g m n bi n c đ ng kh B1,B2, , Bnnghĩa lƠ:

1 m; 1, ,

i i i i m

A B    B B B i i i i  n t s m

n đ c g i lƠ xác su t c a bi n c A (kh năngx y bi n c A) kí hiệu: ( )P A m , m n

n

  

+ Tính đ ng kh c a n bi n c B1, B2, B3 , Bnđ c hi u lƠ kh x y

c a B1, B2, B3 , Bn lƠ nh Ví d “Gieo m t xúc xắc đ i vƠ đ ng

ch t”, bi n c B1, B2, B3 , B6lƠ đ ng kh

+ Từ đ nh nghĩa nƠy ta nh n th y s x y c a bi n c Bi1 Bi2ầBimd n

đ n s x y bi n c A Ta g i mlƠ s kh thu n l i cho A, n bi n c B1

, B2 , B3 , ,BnlƠ s kh có th Khi đó, ta có th vi t l i đ nh nghĩa nh sau:

P(A) = Số khả thuận lợi cho A

Số khả

1.3.1.2 Ví d

17 Gi i:

S kh năngcó th lƠ 106 Có kh đ c gi i nh t 106 kh năng.

V yxác su t đ đ c gi i nh t lƠ

( ) 0,000001 10

P A   T ng t : Xác su t đ đ c gi i nhì lƠ ( ) 36 0,000003

10

P B  

Xác su t đ đ c gi i ba ( ) 106 0,00001 10

P C   Xác su t đ đ c gi ikhuy n khích ( ) 206 0,00002

10

P D   Xác su t đ đ c gi i ( ) 10 206 0,000034

10

P E      b) Xét m t đ c tính c p gen gơy A vƠ a gơy Trong việc lai t o b mẹ m i

ng i cho m t gen N u c hai ng i đ u lƠ d h p tử, nghĩa lƠ c hai đ u lƠ h p tử Aa h p tử c a s lƠ m t lo i sau: AA, Aa, aA, aa Tìm xác su t đ có ki u gen: [ aa ]; [ Aa ]; [ AA ]

Gi i:

Xác su t đ có ki u gen [aa] là: P([ aa ]) =

Xác su t đ có ki u gen [Aa] lƠ: P([ Aa ]) =

2

Xác su t đ có ki u gen [AA] lƠ: P([ AA ]) =

c) M t lô s n ph m g m N s n ph m, có M s n ph m t t vƠ (NậM) s n ph m x u.L y ng u nhiên s s n ph m từ lơ hƠng Tìm xác su t đ s s n ph m l y có k s n ph m t t

Gi i:

S kh có th l y s s n ph m từ N s n ph m lƠ: k N

C

S kh ch n k s n ph m t t M s n ph m t t lƠ: k M

C

S kh l y s ậk s n ph m x u từ N ậM s n ph m x u lƠ: s k N M

C 

S kh ch n s s n ph m có k s n ph m t t lƠ: k M

C  Cs kN M

 

18 ( )

k s k M N M

k N

C C P A

C

 





d) Gieo đ ng th i hai xúc xắc đ i vƠ đ ng ch t Tìm xác su t đ : 1) Tổng s ch m m t hai xúc xắc

2) Hiệu s ch m m t hai xúc xắc có giá tr tuyệt đ i 3) S ch m m t hai xúc xắc

4) S ch m m t xúc xắc th nh t vƠ s ch m m t xúc xắc th hai nằm kho ng [3;5]

Gi i:

S kh có th lƠ n =  = 36

1) G i A lƠ bi n c tổng s ch m m t hai xúc xắc

S tr ng h p thu n l i cho bi n c A mA = 5; ((6,2); (2,6); (5,3); (3,5); (4,4))

V y P(A) =

36

2) G i B lƠ bi n c hiệu s ch m m t hai xúc xắc có giá tr tuyệt đ i Ta có P(B) =

36 

3) G i C lƠ bi n c s ch m m t hai xúc xắc Ta có P(C) =

36 

4) G i D lƠ bi n c s ch m m t xúc xắc th nh t vƠ s ch m m t xúc xắc th hai nằm kho ng [3;5]

Ta có P(D) =

36 12

e) L y ng u nhiên l n l t ch s từ t p g m ch s {0, 1, 2, 3, 4} x p thƠnh hàng ngang từ trái sang ph i Tìm xác su t đ nh n đ c m t s g m ch s (không k ch s đ ng đ u)

Gi i:

Ta có s tr ng h p có th có c a phép thử lƠ A35 54360

19

(Chia s kiện A thƠnh hai s kiện liên ti p lƠ ch n ch s hƠng trămtrong ch s 1, 2, 3, ch n l n l t ch s l i cho ch s hƠng ch c vƠ hƠng đ n v )

Xác su t đ nh n đ c m t s g m ch s (không k ch s đ ng đ u):

, 60 48 A

A A ) A (

P 3

5

4   



+ Nh n xét: Có th tìm s tr ng h p thu n l i cho A nh sau s g m 3ch s mƠ s đ ng đ u ch nh h p không l p ch p c a (4 ph n tử 1, 2, 3, 4) 12, s s g m ch s (không k ch s đ ng đ u) lƠ: 60 ậ 12 = 48 1.3.2 Đ nhănghĩaăxácăsu tătheoăt năsu t (th ngăkê)

1.3.2.1 Đ nh nghĩa

Ta l p l i n l n m t phép thử ng u nhiên, th y bi n c A xu t m l n tỷ s m

n g i lƠ t n su t c a bi n c A

+ Khi n thay đổi, t n su t m

n thay đổi nh ng ln dao đ ng quanh m t s c đ nh nƠo đó, n cƠng l n m

n cƠng g n s c đ nh + N u s phép thử n cƠng l n, t n su t m

n c a bi n c A cƠng ti n g n đ n m t s

c đ nh p ta nói bi n c A ổn đ nh ng u nhiên vƠ s p đ c g i lƠ xác su t c a bi n c A theo nghĩa th ng kê (t n su t)

1.3.2.2 Ví d

Các nhƠ tốn h c Pearson vƠ Buffon đƣ lƠm th c nghiệm gieo nhi u l n m t đ ng ti n đ i vƠ đ ng ch t.K t qu cho b ng 1.1

B ngă1.1

Ng i lƠm thí nghiệm S l n gieo S l n xu t m t ngửa T n su t

Buffon 4040 2048 0,508

Pearson ( L n ) 12000 6019 0,5016

20

Nhìn vƠo k t qu thí nghiệm ta th y s l n gieo đ ng ti n cƠng l n t n su t m n cƠng g n

2 S

2 đ c g i lƠ xác su t c a bi n c “xu t m t ngửa” 1.3.3 Đ nhănghĩaăxácăsu tătheoăhìnhăh c

1.3.3.1 Đ nh nghĩa

Cho mi n đo đ c  (trong m t phẳng, đ ng thẳng, không gian) vƠ mi n đo đ c S c a  L y ng u nhiên m t m M c a  Đ t A = {M / M  S}

Xác su t đ m M r i vƠo mi n S (bi n c A) đ c xác đ nh:

  ĐộĐộđođoS

) (A

P 1.3.3.2 L u ý: Mi n lƠ khơng gian bi n c s c p Khái niệm “đ đo” c a

 ta hi u nh sau: n u lƠ đ ng cong hay đo n thẳng “đ đo” c a lƠ đ dƠi c a nó, n u lƠ hình phẳng (kh i) “đ đo” c a  lƠ diện tích (th tích) c a 1.3.3.2 Ví d

a) Tìm xác su t đ m t m M r i vƠo hình trịn n i ti p hình vng có c nh m Gi i:

Xác su t ph i tìm lƠ

4

1 )

(A   22  

P 2m Hình 1.1

b) Hai c u bé hẹn g p m t đ a m xác đ nh vƠo kho ng từ gi đ n gi Ng i đ n tr c s đ i ng i đ n sau 10 phút; sau n u khơng g p s Hãy tìm xác su t đ hai c u bé g p nhau.Bi t m i c u bé đ n chổ hẹn kho ng th i gian qui đ nh m t cách ng u nhiên vƠ không tuỳ thu c vƠo ng i đ n vƠo lúc

Gi i:

Kí hiệu x lƠ th i m mƠ c u bé th nh t đ n m hẹn, y lƠ th i m c u

bé th hai đ n m hẹn.Hai c u bé g p vƠ ch x  y 10

Ta bi u diễn x, ynh to đ m m t phẳng to đ Descartes vuông