Đang tải... (xem toàn văn)
Tổ Toán LỦ ậ Khoa C B n Tháng 12 năm 2013.. Bổătúcăv ăgi iătíchătổăh p[r]
(1)1 ttt
YăBANăNHỂNăDỂNăT NHăQU NGăNGẩI
TR NGăĐ IăH CăPH MăVĔNăĐ NG
TR NăĐ CăTH NH BÀIăGI NG
XÁCăSU TăTH NGăKểăA
(2)2
YăBANăNHỂNăDỂNăT NHăQU NGăNGẩI
TR NGăĐ IăH CăPH MăVĔNăĐ NG
TR NăĐ CăTH NH
BÀIăGI NG
XÁCăSU TăTH NGăKểăA
(3)3
L IăNịIăĐ U
LỦ thuy t xác su t th ng kê lƠ m t b ph n c a toán h c, nghiên c u t ng ng u nhiên vƠ ng d ng chúng vƠo th c t Ta có th hi u t ng ng u nhiên lƠ t ng khơng th nói tr c x y hay khơng x y th c m t l n quan sát Tuy nhiên, n u ti n hƠnh quan sát nhi u l n m t t ng ng u nhiên phép thử nh nhau, ta có th rút đ c nh ng k t lu n khoa h c v t ng nƠy
LỦ thuy t xác su t lƠ c s đ nghiên c u Th ng kê môn h c nghiên c u ph ng pháp thu th p thông tin ch n m u, xử lỦ thông tin, nhằm rút k t lu n ho c quy t đ nh c n thi t NgƠy nay, v i s h tr tích c c c a công nghệ truy n thông m i, lỦ thuy t xác su t th ng kê ngƠy cƠng đ c ng d ng r ng rƣi vƠ hiệu qu m i lĩnh v c khoa h c t nhiên vƠ xƣ h i Chính v y lỦ thuy t xác su t th ng kê đ c gi ng d y cho h u h t nhóm ngƠnh cao đẳng vƠ đ i h c
Có nhi u sách giáo khoa vƠ tƠi liệu chuyên kh o vi t v lỦ thuy t xác su t th ng kê Tuy nhiên, v i ph ng th c đƠo t o theo tín ch có nh ng đ c thù riêng, đòi h i sinh viên ph i t h c nhi u h n, v y c n ph i có tƠi liệu h ng d n h c t p c a mơn h c thích h p cho ph ng th c đƠo t o nƠy T p tƠi liệu “Bài gi ngxác su t th ng kê A” đ c biên so n nhằm m c đích
BƠi gi ngnƠy đ c biên so n cho hệ cao đẳng ngƠnh s ph m Toán theo đ c ng chi ti t h c ph nqui đ nh c a tr ng đ i h c Ph m Văn Đ ng N i dung c a bƠi gi ngbám sát giáo trình c a d án đƠo t o giáo viên trung h c c s theo kinh nghiệm gi ng d y nhi u năm c a b n thơn Vì v y, bƠi gi ng nƠy có th dùng lƠm tƠi liệu h c t p, tƠi liệu tham kh o cho sinh viên c a ngành cao đẳng s ph m, cao đẳng kh i kinh t , kỹ thu t ngành c a b c đ i h c
BƠi gi ng g m ch ng t ng ng v i tín ch (45ti ttín ch):
Ch ngă1.Bi n c vƠ xác su t
Ch ngă2.Bi n ng u nhiên vƠ hƠm phơn ph i
Ch ngă3 Các đ c tr ng c a bi n ng u nhiên
Ch ngă4 Lu t s l n vƠ đ nh lỦ gi i h n trung tâm
(4)4
Ch ngă6. c l ng tham s
Ch ngă7.ăKi m đ nh gi thi t
Ch ngă8 H i quy vƠ t ng quan
BƠi gi ng đ c trình bƠy theo cách phù h p đ i v i ng i t h c, đ c biệt ph c v đắc l ccho công tác đƠo t o theo h c ch tín ch Tr c nghiên c u n i dung chi ti t, sinh viên nên xem ph n gi i thiệu c a m i ch ng đ th y đ c m c đích Ủ nghĩa, yêu c u c a ch ng Trong m i ch ng, m i n i dung, sinh viên có th t đ c vƠ hi u đ c c n k thông qua cách diễn đ t ch d n rõ rƠng Đ c biệt sinh viênnên Ủ đ n nh n xét, bình lu n đ hi u sơu h n ho c m r ng tổng quát h n k t qu vƠ h ng ng d ng vƠo th c t H u h t bƠi toán đ c xơyd ng theo l c đ : đ t bƠi toán, ch ng minh s t n t i l i gi i lỦ thuy t vƠ cu i nêuthu t toán gi i quy t bƠi toán nƠy Các ví d lƠ đ minh ho tr c ti p khái niệm, đ nh lỦ ho c thu t tốn, v y s giúp sinh viên dễ dƠng h n ti p thu bƠi h c.Có kho ng từ 10 đ n 20 bƠi t p cho m i ch ng Hệ th ng bƠi t pnƠy bao trùm toƠn b n i dung vừa đ c h c, có nh ng bƠi t p ch v n d ngtr c ti p ki n th c vừa đ c h cnh ng có nh ng bƠi t pđịi h i sinh viên ph i v n d ng m t cách tổng h p vƠ sáng t o ki n th c đ gi i quy t Vì v y, qua việc gi i bƠi t p nƠy giúp sinh viên nắm h n lỦ thuy t vƠ ki m tra đ c m c đ ti p thu lỦ thuy t c a Cu i m i ch ng đ u có ph n h ng d n t h c
M c dù đƣ r t c gắng, song th i gian b h n hẹp v i yêu c u c p bách c akhoa vƠ tr ng, v y thi u sót cịn t n t i bƠi gi ng u khó tránh kh i Chúng r t mong đ c s đóng góp Ủ ki n c a b n bè đ ng nghiệp, sinh viên đ ti p t c hoƠn ch nh bƠi gi ngt t h n(M i đóng góp Ủ ki n xin g i v đ a ch mail: tdthinh@pdu.edu.vn, r t c m kích vƠ bi t n)
(5)5
Ch ngă1.
BI NăC ăVÀăXÁCăSU T
A.ăN IăDUNGăBÀIăGI NG
Các t ng t nhiên hay xƣ h i x y m t cách ng u nhiên (không bi t tr c k t qu ) ho c t t đ nh (bi t tr c k t qu s x y ra) Chẳng h n ta bi t chắn m t v t đ c th từ cao chắn s r i xu ng đ t Đó lƠ nh ng t ng diễn có tính quy lu t, t t đ nh Trái l i tung đ ng xu ta không bi t m t s p hay m t ngửa s xu t Ta khơng th bi t có cu c g i đ n tổng đƠi, có khách hƠng đ n m ph c v kho ng th i gian nƠo Ta không th xác đ nh tr c ch s ch ng khốn th tr ng ch ng khốnĐó lƠ nh ng t ng ng u nhiên Tuy nhiên, n u ti n hƠnh quan sát nhi u l n m t t ng ng u nhiên nh ng hoƠn c nh nh nhau, nhi u tr ng h p ta có th rút nh ng k t lu n có tính quy lu t v nh ng t ng nƠy LỦ thuy t xác su t nghiên c u qui lu t c a t ng ng u nhiên Việc nắm bắt quy lu t nƠy s cho phép d báo t ng ng u nhiên s x y nh th nƠo Chính v y ph ng pháp c a lỦ thuy t xác su t đ c ng d ng r ng rƣi việc gi i quy t bƠi toán thu c nhi u lĩnh v c khác c a khoa h c t nhiên, kỹ thu t vƠ kinh t - xƣ h i
Ch ng nƠy ôn l i lỦ thuy t t p h p, gi i tích tổ h p vƠ trình bƠy m t cách có hệ th ng khái niệm vƠ k t qu v lỦ thuy t xác su t:
- Ọn vƠ hệ th ng ki n th c v lỦ thuy t t p h p vƠ gi i tích tổ h p - Các khái niệm phép thử, bi n c
- Quan hệ gi a bi n c
- Các đ nh nghĩa v xác su t: đ nh nghĩa xác su t theo cổ n, theo th ng kê, theo hình h c vƠ theo hệ tiên đ
- Các tính ch t c a xác su t: cơng th c tổng (c ng) xác su t, xác su t c a bi n c đ il p
- Xác su t có u kiện, cơng th c nhơn, công th c xác su t đ y đ vƠ công th c Bayes
(6)6
Khi nắm v ng ki n th c v đ i s t p h p nh h p, giao t p h p, t p con, ph n bù c a m t t p sinh viên s dễ dàng việc ti p thu, bi u diễn ho c mô t cácbi n c Đ tính xác su t bi n c theo ph ng pháp cổ n đòi h i ph i tính s tr ng h p thu n l i đ i v i bi n c vƠ s tr ng h p có th Vì v y sinh viên c n nắm v ng ph ng pháp đ m - gi i tích tổ h p Tuy nhiên đ thu n l i cho ng i h c s nhắc l i k t qu m c 1.1
M t nh ng khó khăn c a bƠi toán xác su t lƠ xác đ nh đ c bi n c vƠ sử d ng cơng th c thích h p Bằng cách tham kh o ví d vƠ gi i nhi u bƠi t p s rèn luyện t t kỹ nƠy
1.1 Bổătúcăv ăgi iătíchătổăh p
1.1.1 T păh p
1.1.1.1 T p h p vƠ ph n tử c a t p h p
a) T p h p con: A B ( x A x B) b) T p h p nhau: A = B A B B A c) T p r ng lƠ t p h p không ch a ph n tử nƠo KỦ hiệu: ϕ
d) Không gian: T p l n nh t c đ nh mƠ m i t p h p đ c xét đ u ch a KỦ hiệu: U
e) Cách mô t m t t p h p: liệt kê, d u hiệuđ c tr ng
f) T p h p h u h n vƠ t p h p vô h n (vô h n đ m đ c vƠ không đ m đ c) 1.1.1.2 Các phép toán t p h p
a) H p: H p c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p, kí hiệu A B, cho: x x A, B x A
x B
b) Giao: Giao c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p , kí hiệu A B, cho: x x, A B x A
x B
c) Hiệu: Hiệu c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p , kí hiệu A\ B, cho: x x, A B\ x A
x B
(7)7
d) Hiệu đ i x ng: A B (A B\ )(B A\ )
1.1.1.3 Các tính ch t c a phép toán t p h p
a) Lu t luỹ đẳng: A A A ; A AA
b) Lu t k t h p: ( ) ( ) ;
( ) ( )
A B C A B C
A B C A B C
c) Lu t giao hoán: AB B A ; AB BA d) Lu t phơn ph i: ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( )
A B C A B A C A B C A B A C
e) Lu t đ ng nh t: AA ; A ; AUU ; AUA
f) Lu t ph đ nh c a ph đ nh (lu t đ i h p): A A
g) Lu t thƠnh ph n: AAU ; AA ; U ; U h) Lu t Demorgan: AB A B ; AB A B
1.1.1.4 Tích Đ (Descartes)
( , ) / ,
A B a b aA bB
+ Hai ph n tử nhau: ( a, b ) = ( c, d ) a = c b = d + Qui c: AA
1.1.1.5 Đ m ph n tử c a t p h p h u h n (B n s c a t p h p h u h n) a) B n s c a t p h p h u h n A lƠ s ph n tử c a t p h p A, kí hiệu lƠ n(A) b) Gi sử A vƠ B lƠ hai t p h p h u h n.Khi đó:
A B h u h n vƠ n(A B ) = n(A) + n(B) - n( A B )
N u A B = ϕ : n(A B ) = n(A) + n(B)
N( A \ B ) = n( A ) - n( A B )
Đ c biệt: N u A B n(A \ B) = n(A) - n(B)
Gi sử U lƠ không gian vƠ AU lƠ t p h p h u h n thì: n(A ) = n(U) - n(A)
n(A B) = n(A) + n(B) ậ 2n(A B)
AB lƠ t p h p h u h n vƠ n(AB) = n(A) n(B) c) Gi sử A1, A2, A3, ầ , Am lƠ nh ng t p h p h u h n Khi đó:
n(A1 A2 A3 ầ Am ) = n( A1) n(A2) n(A3) ầ n(Am)
(8)8 a) Luỹ thừa t p h p:
T p h p t t c t p c a t p S đ c g i lƠ luỹ thừa t p h p c a S vƠ kí hiệu ρ(S) S ph n tử c a ρ( (S) n(ρ(S)) = 2n(S) V i n(S) lƠ s ph n tử c a S b) Phơn ho ch c a t p h p:
Cho S lƠ t p khác r ng Ta nói phơn ho ch c a t p h p S lƠ t p h p t p h p A1,A2,A3,ầ,An ầ khác t p h p r ng cho:
1) M i a S, ta suy a AinƠo đó, i = 1,2,3,ầ,n,ầ
2)
i j
i j
A A
; i ,j = 1, 2, , n,ầ c) Đ i s (� - đ i s )
Gi sử lƠ t p khác r ng Kí hiệu A lƠ t p t p c a đ c g i
đ i s (� - đ i s ) t p c a n u tho mƣn u kiện sau: 1) A
2) N u A A A = \ A A
3) N u A1,A2,A3,ầ,An A A1 A2 A3 ầ An A
( N u A1,A2,A3,ầ,An , A
1
i i
A A )
1.1.2 Gi iătíchătổăh p
1.1.2.1 Tổ h p
a) G i m t tổ h p ch p k c a n ph n tử đƣ cho lƠ m t t p h p g m k ph n tử c a t p h p g m n ph n tử đƣ cho (0 k n) S tổ h p ch p k khác c a n ph n tử đ c kí hiệu lƠ k
n
C (ho c nCk) tính theo cơng th c:
!
!( )!
k n
n
k n k
C
b) Từ m t t p h p g m n ph n tử l y ng u nhiên lúc k ph n tử cho hai cách l y đ c g i lƠ khác n u gi a chúng có nh t m t ph n tử khác S cách l y nh v y lƠ s tổ h p ch p k khác c a n ph n tử đƣ cho
c) Ví d
(9)9
2) Cho m t đa giác l i có 20 đ nh H i đa giác có đ ng chéo? Gi i:
1) M i cách ch n(khơng có th t )5 h c sinh m t l p h c lƠ m t tổ h p ch p c a 25 ph n tử (h c sinh) nên s cách ch n h c sinh l p s tổ h p ch p c a 25 ph n tử:
53130 21 22 23 24 25 ! 20 ! ! 25
C525
2) N u ta n i đ nh b t kỳ c a đa giác ta s đ c m t c nh ho c m t đ ng chéo, nên m i c nh ho c m i đ ng chéo đ c xem lƠ m t tổ h p ch p c a 20 ph n tử (đ nh) Do tổng s c nh vƠ s đ ng chéo c a đa giác l i có 20 đ nh lƠ tổ h p ch p c a 20: 190
1 19 20 ! 18 ! ! 20
c220
Suy s đ ng chéo c a đa giác 190 ậ 20 = 170 d) Tính ch t c a tổ h p
1) CknCnnk 2) CnkCnk1Ckn11; n1 3) ; n k
n
C
Ckn kn11 1.1.2.2 Ch nh h p không l p
a) M t ch nh h p không l p ch p k (0 k n) c a n ph n tử đƣ cho lƠ m t t p h p có th t g m k ph n tử n ph n tử Hai ch nh h p không l p ch p k c a n ph n tử đƣ cho đ c g i lƠ khác n u có nh t m t ph n tử khác ho c có th t khác S ch nh h p không l p ch p k khác c a n ph n tử đƣ cho đ c kí hiệu Ak
n (ho c A(n,k);nAk) vƠ tính theo công th c:
) k n ) ( n (
n
k)! -(n n!
Akn + Chú ý: Ta có Aknk!Ckn
(10)10
c) Từ m t t p h p g m n ph n tử l y ng u nhiên l n l t ph n tử m t không hoƠn l i k l n S cách l y nh v y lƠ s ch nh h p không l p ch p k khác c a n ph n tử
d) Ví d
1) Cho năm ch s 1, 2, 3, 4, H i có s g m ch s khác l y từ ch s trên?
2) Có s t nhiêncó ch s khác nhau? Gi i:
1) S s khác g m ch s l y từ năm ch s 1, 2, 3, 4, s ch nh h p không l p ch p c a ph n tử(ch s ): 20
)! (
!
A35
2) M t s có ch s khác (k c s có ch s đ ng tr c) đ c xem lƠ ch nh h p không l p ch p c a 10 ph n tử (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do s s có ch s khác (k c s có ch s đ ng tr c) lƠ:
720 10 )! 10 (
! 10
A103
M t khác ta có m i s có ch s khác mƠ ch s 0đ ng tr c lƠ m t ch nh h p không l p ch p c a ph n tử (9 ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do s s có ch s khác mƠ ch s đ ng tr c lƠ: 72
)! (
!
A92
V y s s t nhiên có ch s khác lƠ: 720 ậ 72 = 648 1.1.2.3 Ch nh h p l p
a) Ta g i ch nhh p l p ch p k ( k n ) c a n ph n tử đƣ cho lƠ m t t p h p có th t g m k ph n tử l y từ n ph n tử đƣ cho, mƠ ph n tử c a t p có th có m t nhi u nh t lƠ k l n Kí hiệu s ch nh h p l p ch p k khác c a n ph n tử đƣ cho Pk
n (ho c P(n,k)ho c nPkvƠ đ c tính theo cơng th c: P n k k
n
(11)11 c) Ví d
1) Cho năm ch s 1, 2, 3, 4, Có s có ch s l y từ ch s trên? 2) Có s t nhiêncó ch s ?
3) M t đoƠn tƠu có toa (m i toa cịn 12 ch ) H i có cách phân ng u nhiên 12 hƠnh khách lên toa tƠu?
Gi i:
1) S s g m ch s l y từ năm ch s 1, 2, 3, 4, s ch nh h p l p ch p c a ph n tử (ch s ): P3553 125
2) M t s có ch s (k c s có ch s đ ng tr c) đ c xem lƠ ch nh h pl p ch p c a 10 ph n tử (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do s s có ch s khác (k c s có ch s đ ng tr c) lƠ: P103 1031000
M t khác ta có m i s có ch s mƠ ch s đ ng tr c lƠ m t ch nh h p không l p ch p c a 10 ph n tử (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do s s có ch s mƠ ch s đ ng tr c lƠ: P102 103100
V y s s t nhiên có ch s là: 1000 ậ 100 = 900
3) Vì m i hƠnh khách có th phơn ng u nhiênm t toa I, II, III Nghĩa lƠ m i hành khách có cách ch n, đo s cách phơn ng u nhiên 12 hƠnh khách lên toa tƠu bƠng s ch nh h p l p 12 c a ph n tử (toa tƠu): P123 312
1.1.2.4 Hoán v
a) Gi sử ta có n ph n tử m i cách x p c a n ph n tử theo m t th t nƠo lƠ m t hoán v c a n ph n tử S hoán v khác c a n ph n tử n!
b) Gi sử ta có n ph n tử đ c x p n v trí Ta đổi ch ph n tử cho S cách đổi ch c a n ph n tử cho đ c g i lƠ s hoán v c a n ph n tử đ c kí hiệu PnvƠ đ c tính theo cơng th c: Pn = n! = n( n ậ1 ) ầ 2.1
c) Ta có n ph n tử vƠ n v trí, x p n ph n tử vƠo n v trí đƣ cho cho m i ch ch có m t ph n tử S cách x p nƠybằng s hoán v khác c a n ph n tử d) Ví d
(12)12
2) Có cách x p 10 h c sinh đ ng thƠnh m t hƠng ngang? Gi i:
1) M i s g m ch s khác lƠ m t hoán v c a ph n tử (5 ch s 1, 2, 3,4 ,5) Do s s g m ch s khác l y từ ch s là: P5 = 5! = 120
2) M i cách x p 10 h c sinh đ ng thƠnh m t hƠng ngang lƠ m t hoán v c a 10 ph n tử (h c sinh) Do s cách x p 10 h c sinh đ ng thƠnh m t hƠng ngang: P10 = 10! = 3.628.800
1.1.2.5 Lu t tích
a) Lu t tích (nhân): N u s việc A đ c phơn tích thƠnh m s việc liên ti p khác vƠ s việc Ai có ki cách th c (i =1,2ầm) Khi s cách th c s
việc A lƠ k1.k2 km
b) Ví d : M t h p ch a 15 bi đ , 10 bi trắng vƠ bi xanh.L y ng u nhiên bi, h i có cách l y đ c bi đ , bi trắng, bi xanh
Gi i:
S cách l y đ c bi đ lƠ C152 105 S cách l y đ c bi trắng lƠ C310120
S cách l y đ c bi xanh lƠ C72 21
S cách l y đ c bi đ , bi trắng vƠ bi xanh tuơn theo lu t tích lƠ C152 C103 C72105.120.21 264600
1.1.2.6 Nh th c Newton n n k k
k k n
n a b
) b a
( C
N u a = b =
n
0 k
k n
n C
2 ; N u a + b = n an kbk
k k n
C
1.2 Phépăthửăng uănhiên,ăbi năc ăng uănhiên,ăcácăphépătoánăv ăbi năc
1.2.1 Đặtăv năđ ă
Trong nhi u tr ng h p việc l p l p l i m t thí nghiệm v i nh ng u kiện bên ngoƠi gi ng hệt nh ng không d n t i m t k t qu
(13)13
Việc nghiên c u hệ th ng nh ng t ng ng u nhiên đ từ rút đ c quy lu t ng u nhiên lƠ đ i t ng c a môn xác su t th ng kê toán h c Lý thuy t xác su t vƠ th ng kê toán thu c vƠo lỦ thuy t tốn h c đ i Có nhi u
ng d ng nhi u ngƠnh khoa h c 1.2.2 Phépăthửăng uănhiên
1.2.2.1 M t s ví d
a) Gieo m t l n đ ng ti n đ c xem nh ti n hƠnh m t phép thử “gieo đ ng ti n” K t qu c a phép thử nƠy lƠ “xu t m t s p” ho c “xu t m t ngửa” Hai kh có th nƠy đ c g i lƠ hai bi n c s c p
b) Gieo m t l n xúc xắc đ c xem nh ti n hƠnh m t phép thử “gieo xúc xắc” K t qu c a phép thử lƠ “xu t m t i ch m m t c a xúc xắc”
6 ,
i Đó lƠ bi n c s c p ng v i phép thử đƣ cho, “Xu t m t có s ch m ch n” lƠ m t bi nc , nh ng không ph i lƠ bi n c s c p c a phép thử c) M t h c sinh lƠm m t bƠi ki m tra đ c xem nh ti n hƠnh m t phép thử K t qu c a phép thử lƠ “đ t” ho c “khơng đ t” Đó lƠ hai bi n c s c p
d) Ta quan sát nhiệt ngoƠi tr i Đó lƠ m t phép thử v i k t qu “ nhiệt đ ngoƠi tr i lƠ to C” lƠ m t bi n c s c p
Nh v y: th c m t phép thử nghĩa lƠ lƠm m t thí nghiệm, th c m t quan sát, th c m t công việc, m t hƠnh đ ng nƠo
1.2.2.2 Phép thử ng u nhiên
Phép thử ng u nhiên lƠ phép thử mƠ k t qu c a ta khơng th đốn đ nh
đ c tr c Kí hiệu phép thử ng u nhiên G
+ Các k t qu có th x y c a phép thử G g i lƠ bi n c (s kiện)
+ Các bi n c khơng th phơn tích đ c n a g i lƠ bi n c s c p vƠ kí hiệu i
1.2.2.3 Khơng gian bi n c s c p (không gian m u)
T p h p t t c bi n c s c p c a phép thử G đ c g i không gian bi nc s c p vƠ kí hiệu , ta có: = {i/ i = 1, 2, }
Bi n c lƠ m t t p c a không gian bi n c s c p
(14)14
Bi n c khơng th có lƠ bi n c không x y phép thử đ c th c vƠ kí hiệuϕ
1.2.3 Bi năc ăng uănhiên
Bi n c ng u nhiên lƠ bi n c mƠ có th x y ho c không x y phép thử đ c th c hiện, kí hiệu bi n c ng u nhiên ch in hoa A, B, C, v m t lỦ thuy t t p h p A lƠ m t t p h p c a không gian bi n c s c p
1.2.4 Quanăh ăgi aăcácăbi năc
1.2.4.1 Bi n c A đ c g i lƠ kéo theo bi n c B, kí hiệu A B n u vƠ ch n u A x y thìsuy B x y
1.2.4.2 Bi n c A vƠ bi n c B đ c g i lƠ (t ng đ ng v i nhau), kỦ hiệu A = B vƠ ch bi n c A kéo theo bi n c B vƠ ng c l i
(A = B ⇔ A B B A) 1.2.5 Cácăphépătoánătrênăbi năc
1.2.5.1 Cho hai bi n c A vƠ B, ta có phép tốn:
a) Phép c ng: Tổng c a hai bi n c A vƠ B, kí hiệu lƠ A B, lƠ bi n c ch x y n u nh t m t hai bi n c A, B x y
b) Phép nhân: Tích c a hai bi n c A vƠ B, kí hiệu lƠ A B (ho c A.B), lƠ bi n c ch x y n u hai bi n c A vƠ B đ ng th i x y
c) Phép trừ: Hiệu c a bi n c A trừ bi n c B, kí hiệu A\ B, lƠ bi n c ch x y n u bi n c A x y vƠ bi n c B không x y
d) Bi n c xung khắc: Hai bi n c A vƠ B đ c g i lƠ xung khắcn u A B = ϕ e) Bi n c đ i l p: G i A \ A lƠ bi n c đ i l p c a bi n c A
(A đ i l p v i A ⇔ A A = ϕ A ∪ A = Ω) 1.2.5.2 L u ý
+ Hai bi n c đ i l p xung khắc, nh ng u ng c l i khơng
+ Nh ng tính ch t c a phép tốn c ng, nhơn, hiệu c a bi n c gi ng nh phép toán h p, giao, hiệu c a t p h p vƠ có th m r ng cho n bi n c 1.2.5.3 Ví d
(15)15
mƠu đ , B lƠ bi n c l y đ c bƠi mang s nh h n 4, bi n c AB bi n c l y đ c bƠi mƠu đ mang s nh h n
b) Ch n ng u nhiên viên bi m t h p có viên bi xanh, viên bi đ G i AX lƠ bi n c ch n đ c bi xanh, AĐ lƠ bi n c ch n đ c bi đ , AClƠ bi n c
ch n đ c bi mƠu, AKlƠ bi n c ch n đ c bi khác mƠu Khi bi n
c AX, AĐ, AKxung khắc đôi m t; AC = AX∪ AĐ; AC AKđ i l p v i
c) Gieo m t l n m t xúc xắc, g i BilƠ bi n c m t xúc xắc xu t i
ch m, bi n c B1và B2 xung khắc v i nhau, nh ng B1 không ph i lƠ bi n c
đ i l p c a B2 mà bi n c đ i l p c a B1 là:B1= {B2, B3, B4, B5, B6}
d) Ba x th bắn vƠo m t m c tiêu m t th i m G i AilƠ bi n c
x th i bắn trúng m c tiêu, A lƠ bi n c c x th đ u bắn trúng, B lƠ bi n c ch có x th bắn trúng, C lƠ bi n c có nh t x th bắn trúng, D lƠ bi n c khơng có x th nƠo bắn trúng Hƣy biễu diễn bi n c A, B, C, Dtheo bi n c Ai
Gi i:
Ta có: A = A1A2A3 ; BA1A2A3A1A2A3A1A2A3
C = A1∪A2 ∪A3 DA1A2A3
1.2.6 H ăđ yăđ ăcácăbi năc ă
1.2.6.1 Đ nh nghĩa
Dƣy n bi n c B1, B2, ầ,Bnl p thƠnh hệ đ y đ bi n c vƠ ch tho mƣn:
1) Các bi n c Bixung khắc đôi m t (
j i j
i B ; ,ij 1,2, ,n B
)
2) Khi phép thử th c có nh t m t Bix y (B1 B2 Bn = )
+ Nh n xét: Từ đ nh nghĩa ta có hai bi n c A vàA l p thƠnh m t hệ đ y đ 1.2.6.2 Ví d
a) Gieo m t đ ng ti n G i A vƠ A lƠ bi n c xu t m t s p vƠ m t ngửa Khi A vƠA l p thƠnh hệ đ y đ
b) Gieo m t l n m t xúc xắc đ i vƠ đ ng ch t
G i BilƠ bi n c m t xúc xắc xu t i ch m, i = 1, ầ, Khi B1,
(16)16
c) Gieo đ ng th i hai đ ng ti n đ i vƠ đ ng ch t Khi bi n c {SS, SN, NS, NN} l p thƠnh hệ đ y đ bi n c
Bơy gi ta có th xác hố khái niệm bi n c đ nh nghĩa theo tiên đ
1.2.7 Đ nhănghĩa
1) Cho t p ϕ, đ c g i lƠ không gian bi n c s c p Ph n tử đ c g i lƠ bi n c s c p
2) Cho - đ i s A t p c a Ph n tử AA đ c g i lƠ bi n c
ng u nhiên
1.3 Kháiăni măxácăsu tă
1.3.1 Đ nhănghĩaă(cổăđi n)
1.3.1.1 Đ nh nghĩa
N u bi n c A đ c phơn tích thƠnh tổng c a m bi n c hệ đ y đ g m n bi n c đ ng kh B1,B2, , Bnnghĩa lƠ:
1 m; 1, ,
i i i i m
A B B B B i i i i n t s m
n đ c g i lƠ xác su t c a bi n c A (kh năngx y bi n c A) kí hiệu: ( )P A m , m n
n
+ Tính đ ng kh c a n bi n c B1, B2, B3 , Bnđ c hi u lƠ kh x y
c a B1, B2, B3 , Bn lƠ nh Ví d “Gieo m t xúc xắc đ i vƠ đ ng
ch t”, bi n c B1, B2, B3 , B6lƠ đ ng kh
+ Từ đ nh nghĩa nƠy ta nh n th y s x y c a bi n c Bi1 Bi2ầBimd n
đ n s x y bi n c A Ta g i mlƠ s kh thu n l i cho A, n bi n c B1
, B2 , B3 , ,BnlƠ s kh có th Khi đó, ta có th vi t l i đ nh nghĩa nh sau:
P(A) = Số khả thuận lợi cho A
Số khả
1.3.1.2 Ví d
(17)17 Gi i:
S kh năngcó th lƠ 106 Có kh đ c gi i nh t 106 kh năng.
V yxác su t đ đ c gi i nh t lƠ
( ) 0,000001 10
P A T ng t : Xác su t đ đ c gi i nhì lƠ ( ) 36 0,000003
10
P B
Xác su t đ đ c gi i ba ( ) 106 0,00001 10
P C Xác su t đ đ c gi ikhuy n khích ( ) 206 0,00002
10
P D Xác su t đ đ c gi i ( ) 10 206 0,000034
10
P E b) Xét m t đ c tính c p gen gơy A vƠ a gơy Trong việc lai t o b mẹ m i
ng i cho m t gen N u c hai ng i đ u lƠ d h p tử, nghĩa lƠ c hai đ u lƠ h p tử Aa h p tử c a s lƠ m t lo i sau: AA, Aa, aA, aa Tìm xác su t đ có ki u gen: [ aa ]; [ Aa ]; [ AA ]
Gi i:
Xác su t đ có ki u gen [aa] là: P([ aa ]) =
Xác su t đ có ki u gen [Aa] lƠ: P([ Aa ]) =
2
Xác su t đ có ki u gen [AA] lƠ: P([ AA ]) =
c) M t lô s n ph m g m N s n ph m, có M s n ph m t t vƠ (NậM) s n ph m x u.L y ng u nhiên s s n ph m từ lơ hƠng Tìm xác su t đ s s n ph m l y có k s n ph m t t
Gi i:
S kh có th l y s s n ph m từ N s n ph m lƠ: k N
C
S kh ch n k s n ph m t t M s n ph m t t lƠ: k M
C
S kh l y s ậk s n ph m x u từ N ậM s n ph m x u lƠ: s k N M
C
S kh ch n s s n ph m có k s n ph m t t lƠ: k M
C Cs kN M
(18)18 ( )
k s k M N M
k N
C C P A
C
d) Gieo đ ng th i hai xúc xắc đ i vƠ đ ng ch t Tìm xác su t đ : 1) Tổng s ch m m t hai xúc xắc
2) Hiệu s ch m m t hai xúc xắc có giá tr tuyệt đ i 3) S ch m m t hai xúc xắc
4) S ch m m t xúc xắc th nh t vƠ s ch m m t xúc xắc th hai nằm kho ng [3;5]
Gi i:
S kh có th lƠ n = = 36
1) G i A lƠ bi n c tổng s ch m m t hai xúc xắc
S tr ng h p thu n l i cho bi n c A mA = 5; ((6,2); (2,6); (5,3); (3,5); (4,4))
V y P(A) =
36
2) G i B lƠ bi n c hiệu s ch m m t hai xúc xắc có giá tr tuyệt đ i Ta có P(B) =
36
3) G i C lƠ bi n c s ch m m t hai xúc xắc Ta có P(C) =
36
4) G i D lƠ bi n c s ch m m t xúc xắc th nh t vƠ s ch m m t xúc xắc th hai nằm kho ng [3;5]
Ta có P(D) =
36 12
e) L y ng u nhiên l n l t ch s từ t p g m ch s {0, 1, 2, 3, 4} x p thƠnh hàng ngang từ trái sang ph i Tìm xác su t đ nh n đ c m t s g m ch s (không k ch s đ ng đ u)
Gi i:
Ta có s tr ng h p có th có c a phép thử lƠ A35 54360
(19)19
(Chia s kiện A thƠnh hai s kiện liên ti p lƠ ch n ch s hƠng trămtrong ch s 1, 2, 3, ch n l n l t ch s l i cho ch s hƠng ch c vƠ hƠng đ n v )
Xác su t đ nh n đ c m t s g m ch s (không k ch s đ ng đ u):
, 60 48 A
A A ) A (
P 3
5
4
+ Nh n xét: Có th tìm s tr ng h p thu n l i cho A nh sau s g m 3ch s mƠ s đ ng đ u ch nh h p không l p ch p c a (4 ph n tử 1, 2, 3, 4) 12, s s g m ch s (không k ch s đ ng đ u) lƠ: 60 ậ 12 = 48 1.3.2 Đ nhănghĩaăxácăsu tătheoăt năsu t (th ngăkê)
1.3.2.1 Đ nh nghĩa
Ta l p l i n l n m t phép thử ng u nhiên, th y bi n c A xu t m l n tỷ s m
n g i lƠ t n su t c a bi n c A
+ Khi n thay đổi, t n su t m
n thay đổi nh ng ln dao đ ng quanh m t s c đ nh nƠo đó, n cƠng l n m
n cƠng g n s c đ nh + N u s phép thử n cƠng l n, t n su t m
n c a bi n c A cƠng ti n g n đ n m t s
c đ nh p ta nói bi n c A ổn đ nh ng u nhiên vƠ s p đ c g i lƠ xác su t c a bi n c A theo nghĩa th ng kê (t n su t)
1.3.2.2 Ví d
Các nhƠ tốn h c Pearson vƠ Buffon đƣ lƠm th c nghiệm gieo nhi u l n m t đ ng ti n đ i vƠ đ ng ch t.K t qu cho b ng 1.1
B ngă1.1
Ng i lƠm thí nghiệm S l n gieo S l n xu t m t ngửa T n su t
Buffon 4040 2048 0,508
Pearson ( L n ) 12000 6019 0,5016
(20)20
Nhìn vƠo k t qu thí nghiệm ta th y s l n gieo đ ng ti n cƠng l n t n su t m n cƠng g n
2 S
2 đ c g i lƠ xác su t c a bi n c “xu t m t ngửa” 1.3.3 Đ nhănghĩaăxácăsu tătheoăhìnhăh c
1.3.3.1 Đ nh nghĩa
Cho mi n đo đ c (trong m t phẳng, đ ng thẳng, không gian) vƠ mi n đo đ c S c a L y ng u nhiên m t m M c a Đ t A = {M / M S}
Xác su t đ m M r i vƠo mi n S (bi n c A) đ c xác đ nh:
ĐộĐộđođoS
) (A
P 1.3.3.2 L u ý: Mi n lƠ khơng gian bi n c s c p Khái niệm “đ đo” c a
ta hi u nh sau: n u lƠ đ ng cong hay đo n thẳng “đ đo” c a lƠ đ dƠi c a nó, n u lƠ hình phẳng (kh i) “đ đo” c a lƠ diện tích (th tích) c a 1.3.3.2 Ví d
a) Tìm xác su t đ m t m M r i vƠo hình trịn n i ti p hình vng có c nh m Gi i:
Xác su t ph i tìm lƠ
4
1 )
(A 22
P 2m Hình 1.1
b) Hai c u bé hẹn g p m t đ a m xác đ nh vƠo kho ng từ gi đ n gi Ng i đ n tr c s đ i ng i đ n sau 10 phút; sau n u khơng g p s Hãy tìm xác su t đ hai c u bé g p nhau.Bi t m i c u bé đ n chổ hẹn kho ng th i gian qui đ nh m t cách ng u nhiên vƠ không tuỳ thu c vƠo ng i đ n vƠo lúc
Gi i:
Kí hiệu x lƠ th i m mƠ c u bé th nh t đ n m hẹn, y lƠ th i m c u
bé th hai đ n m hẹn.Hai c u bé g p vƠ ch x y 10
Ta bi u diễn x, ynh to đ m m t phẳng to đ Descartes vuông