Phương pháp Proper Generalized Decomposition cho bài toán tấm mỏng chịu uốn

Phương pháp PGD được áp dụng để đưa phương trình vi phân đạo hàm riêng của bài toán tấm mỏng chịu uốn trong không gian hai chiều thành chuỗi các phương trình vi phân trong không gian m[r]

PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN TẤM MỎNG CHỊU UỐN

Lê Quốc Cường(1)

, Nguyễn Bá Duy(2)

(1)

Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM; (2) Trường Đại học Thủ Dầu Một

Ngày nhận 29/12/2016; Chấp nhận đăng 29/01/2017; Email: lecuong2109@gmail.com

Tóm tắt

Trong báo này, chúng tơi trình bày phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) để giải tốn mỏng chịu uốn khơng gian hai chiều Phương pháp PGD áp dụng để đưa toán hai chiều thành chuỗi toán chiều Sau đó, bài tốn chiều giải phương pháp sai phân hữu hạn Kết mơ số áp dụng cho tốn mỏng chịu uốn với điều kiện biên khác Các kết tính tốn so sánh với lời giải giải tích

Từ khóa: giảm bậc mơ hình, Proper Generalized Decomposition, mỏng chịu uốn Abstract

PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION METHOD FOR THE THIN PLATE BENDING PROBLEM

In this paper, we present Proper Generalized Decomposition (PGD) method to solve the problem of thin plate bending in two-dimensional space PGD method is applied to transform the two-dimensional problem into a series of dimensional problems Then, each one-dimensional problem is solved by the finite difference method Numerical simulation results are applied to thin plate bending problem with different boundary conditions The calculation results are compared with analytical solutions

1 Giới thiệu

Nhiều mơ hình tốn thường gặp khoa học kỹ thuật thường định nghĩa không gian đa chiều, điều làm cho vấn đề chiều thứ nguyên trở nên phức tạp áp dụng kỹ thuật chia lưới rời rạc thông thường Hơn mơ hình theo tiêu chuẩn trở thành đa chiều thơng số thay đổi Vì việc phát triển phương pháp nhằm giải tốn cách nhanh chóng cần thiết

Phương pháp PGD lần giới thiệu giáo sư Chinesta cộng [1] Sự đời phương pháp PGD góp phần hỗ trợ giải tốn có số chiều khơng gian lớn cách hiệu với thời gian xử lý nhanh độ xác cao Phương pháp PGD ngày mở rộng ứng dụng để giải toán đa chiều lĩnh vực lưu chất [2], truyền nhiệt [3], vật liệu composite [4]

Giả sử trường u phụ thuộc N biến số x x1, 2, ,xN, giá trị u viết dạng tách biến sau:

1 2

1

( , , , ) ( ) ( ) ( ) Q

N i i i N

i

u x x x F x F x F x



 (1)

trong xi i1 2, , ,N biến số không gian, thời gian hay tham số mà toán

cần khảo sát

Bài tốn phân tích mỏng chịu uốn thực thành công với nhiều phương pháp số khác (phần tử hữu hạn, sai phân hữu hạn, phương pháp phổ, …) Trong báo này, phương pháp PGD đề xuất để giải toán mỏng chịu uốn Phương pháp PGD áp dụng để đưa phương trình vi phân đạo hàm riêng tốn mỏng chịu uốn khơng gian hai chiều thành chuỗi phương trình vi phân khơng gian chiều Sau đó, phương pháp sai phân hữu hạn dựa sơ đồ sai phân trung tâm bậc hai áp dụng để giải phương trình chiều

Bài báo tổ chức sau, phần trình bày phương trình vi phân chủ đạo tốn mỏng chịu uốn Phần trình bày phương pháp PGD cho phương trình biharmonic khơng gian hai chiều Sau cùng, kết mô trình bày phần

2 Phương trình vi phân chủ đạo cho toán mỏng chịu uốn

Phương trình vi phân chủ đạo tốn mỏng chịu uốn khơng gian hai chiều có dạng phương trình biharmonic [7] sau

4 4

4 2

w w w

2 p

x x y y D

    

    , (2) wđộ võng tấm, p lực tác dụng lên bề mặt

và

 

3

12

Eh D





 độ cứng chịu uốn Trong đó, Elà mơ đun đàn hồi, hlà chiều dày

và  hệ số poisson

3 Phương pháp PGD cho phương trình biharmonic

Xét phương trình biharmonic khơng gian hai chiều sau

 

4 4

4 2 ,

u u u

f x y

x x y y

    

    miền    x y (3)

Mục tiêu áp dụng phương pháp PGD để tìm nghiệm xấp xỉ phương trình (3) Giả sử nghiệm xấp xỉ phương trình viết dạng tách biến sau

     

1

,

N

i i

i

u x y X x Y y



  (4)

Giả sử lời giải bước lặp thứ n biết, cần tìm lời giải bước lặp thứ n1

         

1

1

,

n n

i i

i

u  x y X x Y y R x S y



    (5) đây: R x  Xn1 x S y Yn1 y

Phương trình (3) đưa dạng yếu sau

4 4

4 2

* x y

u u u

u f dxdy

x x y y

 

   

     

   

 

 , (6)

với * * *

Thay (5) (7) vào phương trình (6), ta

   

 

4 2

4 2

4 * * * * * *

x y x y

i

d R d R d S d S

R S R S S R dxdy R S R S fdxdy

dx dx dy dy

d X

R S R S

dx                                  2 2 * * x y x y n i i n i i i Y dxdy

d X d Y

R S R S dxdy

dx dy                            

 

4 * * x y n i i i d Y

R S R S X dxdy

dy                  (8)

Để giải phương trình (8) tìm R x  S y , sử dụng giải thuật lặp cố định luân phiên gồm bước sau:

Bước 1:Tìm hàm R x 

Giả sử S y  biết, S* 0, thay vào phương trình (8) ta

4 2

4 2

4 * * *

x y x y

n i

i i

d R d R d S d S

R S S R dxdy R S fdxdy

dx dx dy dy

d X

R S Y dx

dx                                  2 2 * x y x y n i i i dy d X d Y

R S dxdy

dx dy                   4 * x y n i i i d Y

R S X dxdy

dy                (9)

Vì tất hàm phụ thuộc y phương trình (9) biết, thực tích phân chiều y

  2 4 2 4 y y y y y y y y y y y i y i i i y i i y

a S dy d S

b S dy

dy d S

c S dy

dy f x S fdy a S Y dy

d Y

b S dy

dy d Y

c S dy

Khi phương trình (9) trở thành

 

4

4

1 2 * * * *

x x x

x

n

i i

y y y y y

i n i i y i d X

d R d R

R a b c R dx R f x dx R a dx

dx dx dx

d X

R b dx

dx                           * x n i y i i

R c X dx

 

  

(11)

Phương trình (11) dạng yếu chiều định nghĩa x Ngoài đưa dạng mạnh sau

 

4

4

1 1

2

n n n

i i i i i

y y y y y y y i

i i i

d X d X

d R d R

a b c R f x a b c X

dx dx  dx  dx 

       (12)

Bước 2: Tìm hàm S y 

Với R x  vừa tính bước trên, R* 0, tiến hành tương tự bước tìm hàm

 

R x , ta phương trình dạng mạnh hàm S y  sau

 

4

4

1 2 * * * *

y y y

y

n

i i

x x x x x

i n i i x i d Y

d S d S

S a b c S dy S f y dy S a dy

dy dy dy

d Y

S b dy

dY                           * y n i x i i

S c Y dy

     (13)   2 4 2 4 x x x x x x x x x x x i x i i i x i i x

a R dx

d R

b R dx

dx d R

c R dx

dx

f y R fdx

a R X dx

d X

b R dx

dX d X

c R dx

Phương trình (13) đưa dạng mạnh sau

 

4

4

1 1

2

n n n

i i i i i

x x x x x x x i

i i i

d Y d Y

d S d S

a b c S f y a b c Y

dy dy  dy  dy 

       (15)

Các bước giải phương trình (12) phương trình (15) để tìm R x và S y  lặp kết hội tụ Nếu kí hiệu  q  

R x R q1  x hàm R x  tính bước lặp bước lặp trước, tương tự với  q  

S y S q1  y , tiêu chuẩn dừng chọn sau

 q    q    q    q  

RS

e R x S y R  x S  y  (16) RS số chọn đủ bé để đảm bảo độ xác

Sau bước lặp tìm R x  S y  hội tụ, xác định

   

1

n

X  x R x Yn1 y S y  Quá trình tìm cặp hàm Xi   x Y y, i  phải

tiếp tục đạt hội tụ tồn cục tốn bước lặp thứ N, nghiệm

xấp xỉ tốn tính sau

     

1

,

N

i i

i

u x y X x Y y



  (17) Điều kiện dừng tồn cục tốn tính sau

 22

es

, u

r E

f x y 

  (18)

ở u số chọn đủ nhỏ reslà hàm thặng dư toán

 

4 4

4 2

res u u u f x y,

x x y y

  

   

    (19)

Chúng ta thấy phương trình Biharmonic hai chiều ban đầu định nghĩa

x y

    chuyển đổi thành toán chiều x y với phương

pháp PGD

Sơ đồ sai phân trung tâm bậc hai sử dụng để giải phương trình vi phân chiều có dạng phương trình (12) (15) để tìm R x  S y  tương ứng Sơ đồ sai phân bậc hai cho đạo hàm bậc hai bậc hàm f x  tính sau:

         

2

2

2

2

f x f x h f x f x h

O h

x h

    

 

 (20)

             

4

2

4

2

f x f x h f x h f x f x h f x h

O h

x h

        

 

 (21)

ở h kích thước bước lưới

4 Kết mơ số Bài tốn 1:

 ,  q sin   sin

f x y x y

D  

 (22)

Trong trường hợp với điều kiện biên gối tựa đơn bốn cạnh sau

2

w w 0,

x



 

 x0 x1 (23),

2

w

w 0,

y



 

 y0 y1 (24)

khi lời giải xác tốn wex 4 sin   sin

act

q

x y

D  



 (25)

Phương pháp PGD áp dụng cho tốn với thơng số mơ sau:

p  , E1092000 MPa, h0.01,  0 3. Miền tính tốn rời rạc với lưới 100 cho chiều trục x y Hình trình bày lời giải PGD cho độ võng mỏng với điều kiện biên gối tựa đơn bốn cạnh Sai số lời giải PGD lời giải xác trình bày hình

Hình 1 Lời giải toán phương

pháp PGD cho mỏng với điều kiện biên gối tựa đơn bốn cạnh lưới 100 100

Hình 2 Sai số wexactw lời giải giải

tích lời giải PGD lưới 100 100

Bài toán 2:

Trong trường hợp bị ngàm bốn cạnh, ta có điều kiện biên tương ứng sau w

w 0,

x



 

 x0 x1, (26)

w w 0,

y



 

 y0 y1 (27)

Các thông số mô cho tương tự trường hợp toán 1, vế phải phương trình vi phân chủ đạo cho sau:

    

   

   

2

2

2 2 2

2 4 2 2

56400 10 15

18800 20 15 20 15

56400 10 15

, q

f x y a ax x b y y

D q

x a ax x y b by y

D q

a x x b by y D

   

    

   

(28)

  2 2

4

ex

w act q2350x x a y y b D

   (29)

Hình trình bày lời giải PGD cho độ võng với điều kiện biên ngàm chặt bốn cạnh Sai số lời giải PGD lời giải xác trình bày hình

Hình 3 Lời giải tốn phương

pháp PGD cho mỏng với điều kiện biên ngàm bốn cạnh

Hình 4 Sai số wexactw lời giải giải

tích lời giải PGD lưới 100 100

5 Kết luận

Trong báo này, sử dụng phương pháp PGD để phân tích tốn mỏng chịu uốn với điều kiện biên khác Các kết mô cho thấy đồng thuận tốt phương pháp đề xuất với lời giải xác toán Với việc đưa toán đa chiều toán chiều, phương pháp PGD giúp làm giảm chi phí tính tốn tiết kiệm nhớ máy tính

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] F Chinesta, A Ammar, E Cueto (2010), Proper generalized decomposition of multiscale models, Int J Numer Methods Eng, 83(8–9), pp 1114–1132

[2] A Dumon, C Allery, A Ammar (2011), Proper general decomposition (PGD) for the resolution of Navier–Stokes equations, Journal of Computational Physics, 230, pp 1387–1407 [3] E Prulière, F Chinesta, A Ammar, A Leygue, A Poitou (2013), On the solution of the heat

equation in very thin tapes, International Journal of Thermal Sciences, 65, pp 148–157

[4] P Vidal, L Gallimard, O Polit (2012), Composite beam finite element based on the Proper Generalized Decomposition, Computers and Structures, 102–103, pp 76–86

[5] A.J Chorin (1968), Numerical solution of the Navier-Stokes equations, Math Comput, 22, pp 745–762

[6] U Ghia, K Ghia, C Shin (1982), High-re solutions for incompressible flow using the Navier– Stokes equations and a multigrid method, Journal of Computational Physics,48, pp 387–411 [7] S P Timoshenko, S Woinowsky_Krieger (1970), Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill,