Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến

v MỤC LỤC TRANG   i  ii  iii  iv  v  vi Danh sách các hình viii Chng 1. TỔNG QUAN 1  1 1.2  2  3  3 Chng 2. PHNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 5  5 háp Proper Generalized Decomposition 6 Chng 3. NG DỤNG PHNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHI TUYẾN 14 3.1 Bài toán 1D 14  14  19 - 25 3.2.1 Mô hình bài toán 25  26  29 -  30 vi  31 3.3. 31 -Stokes 31  32  32 -Stokes 34  41 -slip condition) 41 -slip condition) 42  43  43 3.3 43  44  44  51  51  51 3.4.3 Phân tích bài toán 52  53  53  57  58 3.5.1 Mô hình bài toán 58  58  58 3.5.4  59 Chng 4. PHÁT TRIỂN GII THUẬT PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN 2 CHIỀU (2D) 62  62 vii  71 Chng 5. KẾT LUẬN VÀ HỚNG PHÁT TRIỂN 78  78  79 TÀI LIỆU THAM KHO 80 PHỤ LỤC 81 viii DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 3.1 Mô hình bài toán 14 Hình 3.2  15 Hình 3.3  19 Hình 3.4   23 Hình 3.5   24 Hình 3.6  24 Hình 3.7  25 Hình 3.8  30 Hình 3.9  31 Hình 3.10  32 Hình 3.11  33 Hình 3.12  35 Hình 3.13  35 Hình 3.14 -cell 36 Hình 3.15  37 Hình 3.16  39 Hình 3.17  42 Hình 3.18  42 Hình 3.19  51 Hình 3.20   53 Hình 3.21   54 Hình 3.22   54 Hình 3.23  55 Hình 3.24  56 ix Hình 3.25  56 Hình 3.26  Matlab 57 Hình 3.27  58 Hình 3.28  59 Hình 3.29  60 Hình 3.30  60 Hình 3.31  61 1 Chng 1 TỔNG QUAN 1.1 Tng quan chung v lĩnh vực nghiên cu c s phát trit bc cn t c, vic ng d i s h tr c gii quy hc tr nên ph bin và cn thit bi nht tri ca máy tính. Vì v  trin mnh m và tr thành mt công c hu hiu không th thiu khi gii quyt các bài toán khoa hc  k thuu h pháp phn t hu h  Vic áp d nào cho phù hp vi bài toán cn git sc quan trng. Vì nó ng ti th toán. M khác nhau có nhnm khác nhau và tùy mi bài toán mà ta chp nht trên yêu cu phi tha mãn các tiêu chun sau: kt qu chính xác cao, s nh ci gian tính toán phi nhanh. c thit k và khoa h lúc ta gp phi mt s nh ng t hoc s mô t tính cht vt liu theo thuyng h chiu th nguyên tr nên cc k phc tp khi áp dng k thui ri rng. Ngay c i vi mô hình tm thi tn rt nhiu thi gian vc thi gian rt nha các mô hình theo tiêu chun có th tr u khi các thông s i. Vì vy vic phát trin mt i nhm gii quyt bài toán mt cn thit. Proper Generalized Decomposition (PGD) là mt k thut ri rc hóa bài toán mnh m c s dn phc tp t, tính toán cho vt ling nh 2 chi phc tp t l thun tuyn tính vi s chiu c toán xét trên nhiu chiu không gian càng phc t c kt qu  chính xác cao ta ph mn ci ri rc. Tuy nhiên khi s d tách riêng các bin ca bài toán và gii quyc lp nh   tính toán mà vn gi  mn ci, hay n tng d lý thuyt cn có th hi 1 11 1 ( ) ( ) ( ) N D D i i D i u x x F x F x      (1.1) H t   ( = 1,  , ) là các chi Các t   này có th biu din cho mt bin tha bài toán. K thut tách bin này không phi là mc ng dng rng rãi trong vài thp k g c hóa hng t. c gii thiu bi ng s ng d  gi    t, truyn nhit trong vt li ng nht,  ng có dng phi tuyn. Trong nghiên cu này, tác gi s d ng dng cho các bài toán phi tuyn, tính toán li s h tr ca phn mm Matlab 1.2 Các nghiên cu trong vƠ ngoƠi nc đƣ công bố y công b rng rãi  Vit Nam,  xin trình bày mt s công trình nghiên c  c ngoài: [1]. Francisco Chinesta, Amine Ammar, Elías Cueto, Recent Advances and New Challenges in the Use of the Proper Generalized Decomposition for Solving Multidimensional Models, 12/2009 Ni dung c ng dng cho vic gii các mô hình có các chiu không gian lnc ri rc hóa v không gian và thi gian, trong mt h t  d gii quyt các mô hình này. 3 [2]. A.Dumon, C.Allery, A.Ammar, Proper General Decomposition (PGD) for the resolution of Navier-Stokes equations, 11/2010 c s d gii các v c cht. Trong phn th nht, công thc Stokes và công thc Burgers s c gii quy   c Navier-Stokes s c gii  các h s Reynolds khác nhau( Re=100, 1000 và 10000). Cu c so sánh vi các k thut gii khác v thi gian  chính xác tính toán. [3]. F. Chinesta, A. Ammar, A. Leygue, R. Keunings, An overview of the proper generalized decomposition with applications in computational rheology, 1/2011 Bài báo trình bày nn tng và ng dng c-mt k thut ri rc hóa mô hình mnh m  tính toán theo lý thuy làm phong phú liên tc các khong h ca các min n s. S tính toán phc tp c pháp PGD t l tuyn tính vc c n vi t l  n. Trong bài báo gii thiu cách s d    ng h   n lý thuyt tính toán: (i) Gii trc tip công thc Fokker-Planck cho dòng chy phc tp trong h không gian chiu ln; (ii) s phát trin thuu sut cho v n áp; (iii) cách gii bài toán 3 chit phng suy bin hoc min hình dng v sò có trong quá trình gia công polyme hoc composite; (iv) s gii mô hình tham s u nhc bng cách gii thiu các ngun khác nhau ca các v khác nhau trong h t thêm vào. 1.3 Ni dung nghiên cu Trong nghiên cu này, tác gi tp trung vào ng d bài toán phi tuyy 1D, truyn nhit 1D, dòng chy 2D và truyn nhit 2D. T  khác v th chính xác tính toán. 1.4 Nhim v ca lun văn Các ni dung nghiên cu chính trong lu Vn d tính toán mô phng các bài toán phi tuyn. 4 S dng ngôn ng l tính toán và lp trình  chính xác và thi gian tính toán ci  pháp tính toán khác 5 Chng II PHNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 2.1 Gii thiu phng pháp Proper Generalized Decomposition  n tng d lý thuyt cn. T góc nhìn lch sc s dng khá thông dng. Ta có th tìm thy  bt k cun sách nào nói v  trình vi phân riêng phn, phân tích v k thut tách bi t vài thao tác có dt k thut tách bic bin khá rProper Orthogonal Decomposition (POD) hay ta có th g trc giao. Giới thiệu phương pháp tách biến trên cơ sở trực giao: Gi s (, ) là hàm tha mãn yêu cu bài toán vi       ( = 1,2,3) và      + ti mi   ta có bin thng   =  ×     [1,  ,   ] và   [1,  , ]. Ta vit     (  ,   ) và lp mt ma tr 12 1 1 1 12 2 2 2 12 n n n P P P N N N u u u u u u Q u u u                     i công vic tìm tr riêng và các vecto riêng  ,  1  ,  = 1,  ,   cho bài toán      = . Trong quá trình tính toán giá tr các tr riêng s gim rt nhanh dng phát trin ca bài toán có th xp x thông qua các vecto riêng. Cho (    ) là s c dùng và ta có th vi [...]... ( ) Khi đó ta cũng tìm hàm R, S , W tương tự như đã trình bày ở trên 13 (2.27) Ch NG DỤNG PH ng III NG PHÁP PGD CHO CÁC BÀI TOÁN PHI TUYẾN 3.1 Bài toán 1D 3.1.1 Bài toán dòng ch y n định theo m t chi u trong ống 3.1.1.1 Mô t bài toán Đối tượng c a bài toán là dòng chảy Poiseuille phẳng Mô hình bài toán là kênh được giới hạn bởi hai tấm phẳng dài vô hạn, cố định, cách nhau một khoảng là H vị trí y0trong... tính toán lớn hơn  Phương pháp sai phân: bài toán không hội tụ do bước lưới vượt giới hạn cho phép Hình 3.6 Kết quả giải theo FDM với ô lưới lớn 24 Với kết quả tính toán c a ví dụ đối với bài toán 1D đơn giản đã cho thấy khả năng tính toán vượt trội so với những phương pháp trước đây về mặt thời gian với cùng một m c sai số hoặc độ chính xác cao hơn với cùng một miền lưới giống nhau Sử dụng phương pháp. .. BƠi toán dòng l u chất hai chi u (2D) phần này, tác giả sẽ trình bày triển khai phương pháp Proper Generalized Decomosition (PGD) để tính toán một cách cục bộ bài toán 2 chiều, nhằm so sánh các phương pháp tính toán đã thành công trước kia với ưu điểm cải thiện thời gian giải các bài toán c a phương pháp PGD 3.3.1 Các phương trình mô tả dòng lưu chất 2D 3.3.1.1 Ph ng trình đ ng l ng Navier-Stokes (Navier-Stokes... 2 phương pháp, ta thấy độ chính xác c a phương pháp PGD gần bằng với lời giải chính xác Nh n xét: Độ chính xác c a phương pháp PGD là tương đương với lời giải chính xác, nhưng thời gian tính toán c a phương pháp PGD vượt trội hơn so với thời gian giải lời giải chính xác  Thời gian tính c a lời giải chính xác: t=45 giây  Thời gian tính c a phương pháp PGD: t=0,707253 giây, với 6 bước lặp 3.3 BƠi toán. .. [0ầ0,5] cho thấy sự phù hợp c a phương pháp PGD với giải tích và phương pháp số là sai phân hữu hạn  1   0.5  Với lưới được chia: với độ lớn mỗi ô lưới là: hx  ht        20   500   Phương pháp sai phân:  Phương pháp PGD: e = 5.3 e – 4 e=2e-3 23 1  2  Chia với lưới lớn hơn: với độ lớn mỗi ô lưới là: hx  ht        10   100   Phương pháp PGD: cho sai số e = 0.003725 Hình... tính toán trên miền lưới với bước lưới bất kì, điều này thật sự khả dụng đối với một số bài toán đơn giản không đòi hỏi m c độ chính xác cao Tiết kiệm rất nhiều thời gian cho việc xác định bước lưới phù hợp ng trình Poisson 3.2 Bài toán truy n nhi t trên mi n hình ch nh t 2D-Ph 3.2.1 Mô hình bài toán Nhiệt truyền trong thanh thẳng chiều dài L, tiết diện mặt cắt ngang hình chữ nhật ng dụng phương pháp. .. mặt cắt hình chữ nhật có kích thước (a,b) Phương trình vi phân (3.32) được viết lại như sau: 25  2u  2u   Q ( x, y ) x 2 y 2 (3.33) Điều kiện ràng buộc c a bài toán: u ( x  0, y )  u ( x, y  0)  u ( x, y  b)  u ( x  a, y )  0 3.2.2 Gi i bài toán bằng ph ng pháp PGD Nghiệm c a phương trình vi phân (3.33) là u(x,y), tính xấp xỉ nghiệm theo phương pháp tách biến ta được: n un1  i X i... (3.43) để tìm S(y) 8 Tính giá các tham số a, b, c, d, f trong phương trình (3.48) 9 Giải phương trình (3.48) để tìm hệ số  10 Cập nhật kết quả: un 1   X nYn  R.S 11 n=n+1 12 Xét điều kiện dừng: Rn Sn  Rn1.Sn1  tol _ RS (tol_RS:sai số mong muốn) 13 Quay lại bước 4 3.2.3 Gi i bài toán bằng ph ng pháp gi i tích Công th c giải tích cho bài toán nhiệt như sau: Đặt: 29   x  y  cos   2n  1... v được u ( x )  cho trước và không đổi trong phương trình (2.2) Miền tính toán: x  Rd , d  1,Tmax  0 Mục tiêu c a phương pháp là tính được N cặp số ( X i ,Ti )i 1 N thành ( X i )i 1 N và (Ti )i1 N được định nghĩa trong miền khép kín  và kết quả n số u c a bài toán này có thể được viết dưới dạng tách rời như sau: 6 N u ( x, t )  Ti (t ) X i ( x) (2.4) i 1 Ta xét phương trình (2.4),... dùng phương pháp giải tích ta tìm được hệ số  i Gi i thu t: 1 Chọn giá trị u0 ( x, y )  X 0 ( x)Y0 ( y ) làm giá trị khởi động cho chương trình 2 Cho n=1  2 S  2Yn 3 Giả sử S ( y )  Yn ( y ) ,  2 và giá trị  =1 y 2 y 4 Tính giá trị các tham số  ,  trong phương trình (3.40) 5 Giải phương trình vi phân (3.40) để tìm R(x) 6 Tính giá trị các tham số  ,  trong phương trình (3.43) 7 Giải phương . NG DỤNG PHNG PHÁP PGD CHO CÁC BÀI TOÁN PHI TUYẾN 3.1 Bài toán 1D 3.1.1 Bài toán dòng chy n định theo mt chiu trong ống 3.1.1.1 Mô t bài toán ng ca bài toán là dòng chy. Proper Generalized Decomposition 6 Chng 3. NG DỤNG PHNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHI TUYẾN 14 3.1 Bài toán 1D 14 . ,   cho bài toán      = . Trong quá trình tính toán giá tr các tr riêng s gim rt nhanh dng phát trin ca bài toán có th xp x thông qua các vecto riêng. Cho (