phương pháp proper generalized decomposition cho bài toán phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KIỀU QUỐC ANH PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALLZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHÍ TUYẾN S K C 0 9 NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S KC 0 9 Tp Hồ Chí Minh, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KIỀU QUỐC ANH PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALLZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHÍ TUYẾN NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 Hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC HUYNH Tp Hồ Chí Minh, 2013 LÝ LỊCH KHOA HỌC I LÝ LỊCH SƠ LƢỢC Họ tên: Kiều Quốc Anh Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 17/5/1987 Nơi sinh: Đồng Nai Quê quán: Thanh Hóa Dân tộc: Kinh Địa liên lạc: 73/4B-Lê Văn Việt – Phường Hiệp Phú – Quận – TPHCM Điện thoại: 0987 560 360 Email: kieuquocanh175@gmail.com II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO Đại học Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 9/2005 đến 02/2010 Nơi học: trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TPHCM – TPHCM Ngành học: Thiết kế máy Tên đồ án tốt nghiệp: Thiết kế khuôn mặt nạ xe máy Kawasaki ProEngineer mô thiết kế Moldflow Người hướng dẫn: Th.S Trần Chí Thiên III QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC Thời gian Nơi công tác Công việc đảm nhiệm 5/201001/2011 Cty TNHH TM-DV Nhật Long Kỹ Sư dự án 02/20116/2011 Cty TNHH Hồng Thuyên Trưởng phận hỗ trợ kỹ thuật 6/2011 Trường ĐH SPKT TPHCM i Học viên cao học LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 201… (Ký tên ghi rõ họ tên) ii CẢM TẠ Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Xây Dựng Cơ Học Ứng Dụng khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy TS Phan Đức Huynh, dù bận rộn với công việc giảng dạy thầy dành thời gian quan tâm, hướng dẫn, bảo tận tình cho suốt trình thực luận văn Tôi chân thành cám ơn anh Lê Quốc Cƣờng nhiệt tình giúp đỡ suốt trình nghiên cứu iii ABSTRACT In numerical approximate method, for highly exact requirement the ones often mesh space and time very smooth, which common discrete methods spend a lot of time for solving that model This studying presents a discretization technique, the Proper Generalized Decomposition (PGD), and use its ability to solve the non-linear problem such as heat tranfer and fluid flow Applying PGD to solve Poisson equation of the two-dimensional incompressible fluid and comparing to the Successive over-relaxation (SOR), the result show that PGD is faster than SOR about 200 times with the element number is about 10000 TÓM TẮT Trong phương pháp xấp xỉ số, việc rời rạc mô hình phương pháp rời rạc thông thường đòi hỏi độ xác cao không gian thời gian nhiều chi phí tính toán Trong nghiên cứu này, trình bày kỹ thuật rời rạc gọi phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), khả sử dụng để giải toán phi tuyến toán truyền nhiệt, toán dòng chảy Ứng dụng phương pháp PGD để giải phương trình Poisson dòng chảy không nén chiều so sánh với phương pháp Successive Over-Relaxation (SOR), kết cho thấy giải phương pháp PGD nhanh phương pháp SOR khoảng 200 lần với số phần tử khoảng 10000 iv MỤC LỤC TRANG Trang tựa Quyết định giao đề tài i Lý lịch cá nhân ii Lời cam đoan iii Cảm tạ iv Tóm tắt v Mục lục vi Danh sách hình viii Chƣơng TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan chung lĩnh vực nghiên cứu 1.2 Các nghiên cứu nước công bố 1.3 Nội dung nghiên cứu 1.4 Nhiệm vụ luận văn Chƣơng PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 2.1 Giới thiệu phương pháp Proper Generalized Decomposition 2.2 Cơ sở lý thuyết phương pháp Proper Generalized Decomposition Chƣơng ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHI TUYẾN 14 3.1 Bài toán 1D 14 3.1.1 Bài toán dòng chảy ổn định theo chiều ống 14 3.1.2 Bài toán truyền nhiệt 1D 19 3.2 Bài toán truyền nhiệt miền hình chữ nhật 2D-Phương trình Poisson 25 3.2.1 Mô hình toán 25 3.2.2 Giải phương pháp PGD 26 3.2.3 Giải phương pháp giải tích 29 3.2.4 Kết - nhận xét 30 v 3.3 Bài toán dòng lưu chất hai chiều (2D) 31 3.3.1 Các phương trình mô tả dòng lưu chất 2D 31 3.3.1.1 Phương trình động lượng Navier-Stokes 31 3.3.1.2 Phương trình liên tục (Continuity equation) 32 3.3.1.3 Điều kiện ràng buộc toán 2D 32 3.3.2 Rời rạc phương trình Navier-Stokes 34 3.3.3 Giá trị biên cho phương trình rời rạc 41 3.3.3.1 Điều kiện không trượt (No-slip condition) 41 3.3.3.2 Điều kiện trượt tự (Free-slip condition) 42 3.3.3.3 Điều kiện dòng chảy (Outflow condition) 43 3.3.3.4 Điều kiện dòng chảy vào (Inflow condition) 43 3.3.3.5 Điều kiện biên tuần hoàn (Periodic boundary condition) 43 3.3.4 Rời rạc đạo hàm theo thời gian 44 3.3.5 Thuật toán cho việc giải toán dòng lưu chất 2D 44 3.4 Bài toán tính vận tốc dòng lưu chất miền tự 51 3.4.1 Mô tả toán 51 3.4.2 Dữ liệu toán 51 3.4.3 Phân tích toán 52 3.4.4 Tiến hành tính toán 53 3.4.5 Kết 53 3.4.6 Nhận xét 57 3.5 Bài toán tính vận tốc dòng lưu chất miền có vật cản 58 3.5.1 Mô hình toán 58 3.5.2 Dữ liệu toán 58 3.5.3 Điều kiện biên 58 3.5.4 Kết 59 Chƣơng PHÁT TRIỂN GIẢI THUẬT PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN CHIỀU (2D) 62 4.1 Bài toán dòng chảy lưu chất 2D 62 vi 4.2 Phương trình truyền nhiệt 2D 71 Chƣơng KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 78 5.1 Kết luận 78 5.2 Hướng phát triển 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 PHỤ LỤC 81 vii DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 3.1 Mô hình toán 14 Hình 3.2 Lực tác động lên bề mặt vi phân khối lượng 15 Hình 3.3 Kết mô tả vận tốc chảy ống phương pháp PGD 19 Hình 3.4 Nhiệt độ toàn miền phương pháp giải tích, PGD sai phân 23 Hình 3.5 Kết giải theo giải tích PGD với ô lưới miền tính toán lớn 24 Hình 3.6 Kết giải theo FDM với ô lưới lớn 24 Hình 3.7 Mô hình toán truyền nhiệt miền hình chữ nhật 2D 25 Hình 3.8 Nhiệt truyền miền hình chữ nhật (Giải tích PGD) 30 Hình 3.9 So sánh độ xác phương pháp PGD giải tích 31 Hình 3.10 Thành phần vận tốc pháp tiếp tuyến so với biên 32 Hình 3.11 Miền dòng chảy miền biên dòng chảy 33 Hình 3.12 Số lưới khảng cách lưới miền dòng chảy 35 Hình 3.13 Các loại sai phân hữu hạn 35 Hình 3.14 Rời rạc sử dụng thuật toán Donor-cell 36 Hình 3.15 Lưới so le 37 Hình 3.16 Giá trị cho trình rời rạc theo u phương trình động lượng 39 Hình 3.17 Giá trị biên không trượt theo giá trị hai bên biên 42 Hình 3.18 Giá trị biên trượt tự theo giá trị hai bên biên 42 Hình 3.19 Mô hình toán dòng lưu chất miền tự 51 Hình 3.20 Đường dòng miền lưu chất thời điểm t=1 SOR 53 Hình 3.21 Trường áp suất miền lưu chất t=1 SOR 54 Hình 3.22 Đường dòng miền lưu chất thời điểm t=1 PGD 54 Hình 3.23 Trường áp suất miền lưu chất thời điểm t=1 PGD 55 Hình 3.24 Trường áp suất thời điểm t=3.039s PGD 56 viii Hình 3.25 Trường áp suất thời điểm t=3.039s SOR 56 Hình 3.26 Thời gian tính toán cho giải thuật với tf=0.2 Matlab 57 Hình 3.27 Mô hình toán miền có vật cản 58 Hình 3.28 Streamline thời điểm t=5 PGD 59 Hình 3.29 Contour Áp suất thời điểm t=5 PGD 60 Hình 3.30 Streamline thời điểm t=5 SOR 60 Hình 3.31 Contour Áp suất thời điểm t=5 SOR 61 ix Chƣơng TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan chung lĩnh vực nghiên cứu Trước phát triển vượt bậc máy tính điện tử ngành tin học, việc ứng dụng phương pháp số hỗ trợ máy tính để giải toán học trở nên phổ biến cần thiết tính tính toán vượt trội máy tính Vì phương pháp tính số phát triển mạnh mẽ trở thành công cụ hữu hiệu thiếu giải toán khoa học – kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp biên nhúng, …) Việc áp dụng phương pháp số cho phù hợp với toán cần giải quan trọng Vì ảnh hưởng tới thời gian hoàn thành toán chi phí tính toán Mỗi phương pháp số khác có ưu nhược điểm khác tùy toán mà ta chọn phương pháp thích hợp yêu cầu phải thỏa mãn tiêu chuẩn sau: kết xác cao, ổn định phương pháp thời gian tính toán phải nhanh Trong lĩnh vực thiết kế khoa học, đôi lúc ta gặp phải số mô hình định nghĩa không gian đa chiều (có liên quan đến học lượng tử mô tả tính chất vật liệu theo thuyết động học) điều làm cho vấn đề chiều thứ nguyên trở nên phức tạp áp dụng kỹ thuật chia lưới rời rạc thông thường Ngay mô hình tạm thời định nghĩa không gian ba chiều phải tốn nhiều thời gian với bước thời gian nhỏ Hơn mô hình theo tiêu chuẩn trở thành đa chiều thông số thay đổi Vì việc phát triển phương pháp nhằm giải toán cách nhanh chóng cần thiết Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) kỹ thuật rời rạc hóa toán mạnh mẽ thường sử dụng cho phương trình phi tuyến phức tạp lưu chất, tính toán cho vật liệu không đồng Ta biết toán đa chiều có độ phức tạp tỷ lệ thuận tuyến tính với số chiều không gian, nghĩa toán xét nhiều chiều không gian phức tạp Thông thường để có kết có độ xác cao ta phải tăng độ mịn phương pháp chia lưới rời rạc Tuy nhiên sử dụng phương pháp PGD ta tách riêng biến toán giải độc lập nhờ tăng tốc độ tính toán mà giữ nguyên độ mịn lưới, hay nói cách khác phương pháp PGD có tảng dựa sở lý thuyết phương pháp tách biến Phương pháp tách biến hiểu sau: N u ( x1 xD )   Fi ( x1 )   Fi D ( xD ) (1.1) i 1 Hệ tọa độ 𝑥𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝐷) chiều định nghĩa không gian toán Các tọa độ 𝑥𝑖 biểu diễn cho biến thời gian toán Kỹ thuật tách biến ứng dụng rộng rãi vài thập kỷ gần lĩnh vực hóa học lượng tử Phương pháp PGD gần giới thiệu Giáo sư F.Chinesta cộng ứng dụng để giải cho dòng lưu chất, truyền nhiệt vật liệu đồng nhất, composite… mà phương trình vi phân đặc trưng mô tả cho toán thường có dạng phi tuyến Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp PGD để ứng dụng cho toán phi tuyến, tính toán lập trình hỗ trợ phần mềm Matlab 1.2 Các nghiên cứu nƣớc công bố Phương pháp chưa thấy công bố rộng rãi Việt Nam, sau tác giả xin trình bày số công trình nghiên cứu công bố nước ngoài: [1] Francisco Chinesta, Amine Ammar, Elías Cueto, Recent Advances and New Challenges in the Use of the Proper Generalized Decomposition for Solving Multidimensional Models, 12/2009 Nội dung báo: báo trình bày phương pháp PGD để ứng dụng cho việc giải mô hình có chiều không gian lớn Các mô hình đa chiều rời rạc hóa không gian thời gian, hệ tọa độ tương đương Sau sử dụng phương pháp PGD để giải mô hình [2] A.Dumon, C.Allery, A.Ammar, Proper General Decomposition (PGD) for the resolution of Navier-Stokes equations, 11/2010 Trong báo này, phương pháp PGD sử dụng để giải vấn đề lưu chất Trong phần thứ nhất, công thức Stokes công thức Burgers giải Sau đó, công thức Navier-Stokes giải hệ số Reynolds khác nhau( Re=100, 1000 10000) Cuối cùng, phương pháp PGD so sánh với kỹ thuật giải khác thời gian tính độ xác tính toán [3] F Chinesta, A Ammar, A Leygue, R Keunings, An overview of the proper generalized decomposition with applications in computational rheology, 1/2011 Bài báo trình bày tảng ứng dụng phương pháp PGD-một kỹ thuật rời rạc hóa mô hình mạnh mẽ dùng để tính toán theo lý thuyết có nghĩa làm phong phú liên tục khoảng hở miền ẩn số Sự tính toán phức tạp phương pháp PGD tỷ lệ tuyến tính với kích thước không gian định nghĩa mô hình, đánh dấu tương phản với tỷ lệ hàm mũ phương pháp chia lưới Trong báo giới thiệu cách sử dụng PGD cho trường hợp liên quan đến lý thuyết tính toán: (i) Giải trực tiếp công thức Fokker-Planck cho dòng chảy phức tạp hệ không gian chiều lớn; (ii) phát triển thuật toán không gia tăng hiệu suất cho vấn đề điện áp; (iii) cách giải toán chiều định nghĩa mặt phẳng suy biến miền hình dạng vỏ sò có trình gia công polyme composite; (iv) giải mô hình tham số đa chiều nhận cách giới thiệu nguồn khác vấn đề khác hệ tọa độ thêm vào 1.3 Nội dung nghiên cứu Trong nghiên cứu này, tác giả tập trung vào ứng dụng phương pháp PGD cho toán phi tuyến toán dòng chảy 1D, truyền nhiệt 1D, dòng chảy 2D truyền nhiệt 2D Từ đó, so sánh phương pháp PGD với phương pháp tính toán khác thời gian tính toán độ xác tính toán 1.4 Nhiệm vụ luận văn Các nội dung nghiên cứu luận văn Vận dụng phương pháp PGD để tính toán mô toán phi tuyến Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán lập trình So sánh độ xác thời gian tính toán phương pháp PGD với phương pháp tính toán khác Chƣơng II PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 2.1 Giới thiệu phƣơng pháp Proper Generalized Decomposition Như trình bày Chương phương pháp PGD có tảng dựa sở lý thuyết phương pháp tách biến Từ góc nhìn lịch sử, phương pháp tách biến sử dụng thông dụng Ta tìm thấy sách nói phương trình vi phân riêng phần, phân tích kỹ thuật tách biến để tìm đáp án sau vài thao tác có dạng phương trình (1.1) Một kỹ thuật tách biến khác biết đến rộng rãi Proper Orthogonal Decomposition (POD) hay ta gọi phương pháp tách biến sở trực giao Giới thiệu phương pháp tách biến sở trực giao: Giả sử 𝑢(𝑥, 𝑡) hàm thỏa mãn yêu cầu toán với 𝑥 ∈ Ω ⊂ 𝑅𝐷 (𝑑 = 1,2,3) 𝑡 ∈ 𝐼 ⊂ 𝑅+ nút lưới 𝑥𝑖 ta có biến thời gian tương ứng 𝑡𝑝 = 𝑝 ×△ 𝑡 𝑣ớ𝑖 𝑖 ∈ [1, … , 𝑁𝑛 ] 𝑝 ∈ [1, … , 𝑃] Ta viết 𝑢𝑖𝑃 ≡ 𝑢(𝑥𝑖 , 𝑡𝑝 ) lập ma trận Q sau:  u11   u2 Q   u N   n u12 u22  u N2 n  u1P   u2P       u NP    n Phương pháp đòi hỏi công việc tìm trị riêng vecto riêng 𝜆, 𝜙1 , 𝑖 = 1, … , 𝑁𝑛 cho toán 𝑄𝑄𝑇 𝜙 = 𝜆𝜙 Trong trình tính toán giá trị trị riêng giảm nhanh dẫn đến hướng phát triển toán xấp xỉ thông qua vecto riêng Cho 𝑅(𝑅 ≪ 𝑁𝑛 ) số vecto riêng dùng ta viết sau: R R i 1 i 1 u  x, t    i  x  Ti (t )   X i  x  Ti (t ) (2.1) Việc giải phương trình (2.1) ta tìm nghiệm xấp xỉ toán Cơ sở lý thuyết áp dụng để giải toán tương tự, chẳng hạn mô hình bao gồm thay đổi điều kiện biên hay thay đổi thông số mô hình… Bên cạnh đó, khả khác tính toán sở rút gọn từ việc giải trình chuyển tiếp khoảng thời gian ngắn sau giải phần lại cách sử dụng sở rút gọn Do đó, hai hướng đem lại thách thức lỗi trình mô phỏng, tính toán rời rạc 2.2 Cơ sở lý thuyết phƣơng pháp Proper Generalized Decomposition Xét tượng đối lưu khuếch tán mô tả phương trình vi phân riêng phần sau: u  u  vu  f ( x, t ) t (2.2) Thuộc miền xác định D: D   x  [0.tmax ] Với điều kiện đầu điều kiện biên sau:  u ( x,0)  u x  x   u ( x, t )  u g ( x, t )   (0, Tmax ) Với (2.3)  v( x)   hệ số khuếch tán v trường vận tốc v    ,  , v u ( x )  cho trước không đổi phương trình (2.2) Miền tính toán: x  Rd , d  1,Tmax  Mục tiêu phương pháp tính N cặp số ( X i ,Ti )i 1 N thành ( X i )i 1 N (Ti )i1 N định nghĩa miền khép kín  kết ẩn số u toán viết dạng tách rời sau: N u ( x, t )  Ti (t ) X i ( x) (2.4) i 1 Ta xét phương trình (2.4), giả sử hệ nghiệm ( X i , Ti )i 1 N với 0[...]... sánh phương pháp PGD với các phương pháp tính toán khác về thời gian tính toán và độ chính xác tính toán 1.4 Nhiệm vụ của luận văn Các nội dung nghiên cứu chính trong luận văn Vận dụng phương pháp PGD để tính toán mô phỏng các bài toán phi tuyến 3 Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán và lập trình So sánh độ chính xác và thời gian tính toán của phương pháp PGD với các phương pháp tính toán. .. cách nhanh chóng hơn là rất cần thiết Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) là một kỹ thuật rời rạc hóa bài toán mạnh mẽ thường được sử dụng cho các phương trình phi tuyến phức tạp trong lưu chất, tính toán cho vật liệu không đồng nhất Ta đã biết các bài toán đa 1 chiều có độ phức tạp tỷ lệ thuận tuyến tính với số chiều của không gian, nghĩa là bài toán xét trên nhiều chiều không gian càng... áp dụng phương pháp số nào cho phù hợp với bài toán cần giải cũng hết sức quan trọng Vì nó ảnh hưởng tới thời gian hoàn thành bài toán cũng như chi phí tính toán Mỗi phương pháp số khác nhau có những ưu nhược điểm khác nhau và tùy mỗi bài toán mà ta chọn phương pháp thích hợp nhất trên yêu cầu phải thỏa mãn các tiêu chuẩn sau: kết quả chính xác cao, sự ổn định của phương pháp và thời gian tính toán phải... trong vật liệu đồng nhất, composite… mà các phương trình vi phân đặc trưng mô tả cho bài toán thường có dạng phi tuyến Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp PGD để ứng dụng cho các bài toán phi tuyến, tính toán lập trình dưới sự hỗ trợ của phần mềm Matlab 1.2 Các nghiên cứu trong và ngoài nƣớc đã công bố Phương pháp này chưa thấy công bố rộng rãi ở Việt Nam, sau đây tác giả xin trình bày một... dụng các phương pháp số dưới sự hỗ trợ của máy tính để giải quyết các bài toán cơ học trở nên phổ biến và cần thiết bởi những tính năng tính toán vượt trội của máy tính Vì vậy các phương pháp tính số đã và đang phát triển mạnh mẽ và trở thành một công cụ hữu hiệu không thể thiếu khi giải quyết các bài toán khoa học – kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp biên... pháp tính toán khác 4 Chƣơng II PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 2.1 Giới thiệu phƣơng pháp Proper Generalized Decomposition Như đã trình bày ở Chương 1 thì phương pháp PGD có nền tảng dựa trên cơ sở lý thuyết của phương pháp tách biến Từ góc nhìn lịch sử, phương pháp tách biến được sử dụng khá thông dụng Ta có thể tìm thấy ở bất kỳ cuốn sách nào nói về phương trình vi phân riêng phần, phân... quả có độ chính xác cao ta phải tăng độ mịn của phương pháp chia lưới rời rạc Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp PGD ta có thể tách riêng các biến của bài toán và giải quyết độc lập nhờ đó có thể tăng tốc độ tính toán mà vẫn giữ nguyên độ mịn của lưới, hay nói cách khác phương pháp PGD có nền tảng dựa trên cơ sở lý thuyết của phương pháp tách biến Phương pháp tách biến có thể hiểu như sau: N u ( x1 xD... giải bài toán 3 chiều định nghĩa trong mặt phẳng suy biến hoặc miền hình dạng vỏ sò có trong quá trình gia công polyme hoặc composite; (iv) sự giải mô hình tham số đa chiều nhận được bằng cách giới thiệu các nguồn khác nhau của các vấn đề khác nhau trong hệ tọa độ thêm vào 1.3 Nội dung nghiên cứu Trong nghiên cứu này, tác giả tập trung vào ứng dụng phương pháp PGD cho các bài toán phi tuyến như bài toán. .. the Proper Generalized Decomposition for Solving Multidimensional Models, 12/2009 Nội dung của bài báo: bài báo trình bày phương pháp PGD để ứng dụng cho việc giải các mô hình có các chiều không gian lớn Các mô hình đa chiều này được rời rạc hóa về không gian và thời gian, trong một hệ tọa độ tương đương Sau đó sử dụng phương pháp PGD để giải quyết các mô hình này 2 [2] A.Dumon, C.Allery, A.Ammar, Proper. .. tính toán [3] F Chinesta, A Ammar, A Leygue, R Keunings, An overview of the proper generalized decomposition with applications in computational rheology, 1/2011 Bài báo trình bày nền tảng và ứng dụng của phương pháp PGD-một kỹ thuật rời rạc hóa mô hình mạnh mẽ dùng để tính toán theo lý thuyết có nghĩa là sự làm phong phú liên tục các khoảng hở của các miền ẩn số Sự tính toán phức tạp của phương pháp