phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phí tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KIỀU QUỐC ANH PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALLZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHÍ TUYẾN S K C 0 9 NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S KC 0 9 Tp Hồ Chí Minh, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KIỀU QUỐC ANH PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALLZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHÍ TUYẾN NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 Hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC HUYNH Tp Hồ Chí Minh, 2013 LÝ LỊCH KHOA HỌC I LÝ LỊCH SƠ LƢỢC Họ tên: Kiều Quốc Anh Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 17/5/1987 Nơi sinh: Đồng Nai Quê quán: Thanh Hóa Dân tộc: Kinh Địa liên lạc: 73/4B-Lê Văn Việt – Phường Hiệp Phú – Quận – TPHCM Điện thoại: 0987 560 360 Email: kieuquocanh175@gmail.com II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO Đại học Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 9/2005 đến 02/2010 Nơi học: trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TPHCM – TPHCM Ngành học: Thiết kế máy Tên đồ án tốt nghiệp: Thiết kế khuôn mặt nạ xe máy Kawasaki ProEngineer mô thiết kế Moldflow Người hướng dẫn: Th.S Trần Chí Thiên III QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC Thời gian Nơi công tác Công việc đảm nhiệm 5/201001/2011 Cty TNHH TM-DV Nhật Long Kỹ Sư dự án 02/20116/2011 Cty TNHH Hồng Thuyên Trưởng phận hỗ trợ kỹ thuật 6/2011 Trường ĐH SPKT TPHCM i Học viên cao học LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 201… (Ký tên ghi rõ họ tên) ii CẢM TẠ Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Xây Dựng Cơ Học Ứng Dụng khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy TS Phan Đức Huynh, dù bận rộn với công việc giảng dạy thầy dành thời gian quan tâm, hướng dẫn, bảo tận tình cho suốt trình thực luận văn Tôi chân thành cám ơn anh Lê Quốc Cƣờng nhiệt tình giúp đỡ suốt trình nghiên cứu iii ABSTRACT In numerical approximate method, for highly exact requirement the ones often mesh space and time very smooth, which common discrete methods spend a lot of time for solving that model This studying presents a discretization technique, the Proper Generalized Decomposition (PGD), and use its ability to solve the non-linear problem such as heat tranfer and fluid flow Applying PGD to solve Poisson equation of the two-dimensional incompressible fluid and comparing to the Successive over-relaxation (SOR), the result show that PGD is faster than SOR about 200 times with the element number is about 10000 TÓM TẮT Trong phương pháp xấp xỉ số, việc rời rạc mô hình phương pháp rời rạc thông thường đòi hỏi độ xác cao không gian thời gian nhiều chi phí tính toán Trong nghiên cứu này, trình bày kỹ thuật rời rạc gọi phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), khả sử dụng để giải toán phi tuyến toán truyền nhiệt, toán dòng chảy Ứng dụng phương pháp PGD để giải phương trình Poisson dòng chảy không nén chiều so sánh với phương pháp Successive Over-Relaxation (SOR), kết cho thấy giải phương pháp PGD nhanh phương pháp SOR khoảng 200 lần với số phần tử khoảng 10000 iv MỤC LỤC TRANG Trang tựa Quyết định giao đề tài i Lý lịch cá nhân ii Lời cam đoan iii Cảm tạ iv Tóm tắt v Mục lục vi Danh sách hình viii Chƣơng TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan chung lĩnh vực nghiên cứu 1.2 Các nghiên cứu nước công bố 1.3 Nội dung nghiên cứu 1.4 Nhiệm vụ luận văn Chƣơng PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 2.1 Giới thiệu phương pháp Proper Generalized Decomposition 2.2 Cơ sở lý thuyết phương pháp Proper Generalized Decomposition Chƣơng ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHI TUYẾN 14 3.1 Bài toán 1D 14 3.1.1 Bài toán dòng chảy ổn định theo chiều ống 14 3.1.2 Bài toán truyền nhiệt 1D 19 3.2 Bài toán truyền nhiệt miền hình chữ nhật 2D-Phương trình Poisson 25 3.2.1 Mô hình toán 25 3.2.2 Giải phương pháp PGD 26 3.2.3 Giải phương pháp giải tích 29 3.2.4 Kết - nhận xét 30 v 3.3 Bài toán dòng lưu chất hai chiều (2D) 31 3.3.1 Các phương trình mô tả dòng lưu chất 2D 31 3.3.1.1 Phương trình động lượng Navier-Stokes 31 3.3.1.2 Phương trình liên tục (Continuity equation) 32 3.3.1.3 Điều kiện ràng buộc toán 2D 32 3.3.2 Rời rạc phương trình Navier-Stokes 34 3.3.3 Giá trị biên cho phương trình rời rạc 41 3.3.3.1 Điều kiện không trượt (No-slip condition) 41 3.3.3.2 Điều kiện trượt tự (Free-slip condition) 42 3.3.3.3 Điều kiện dòng chảy (Outflow condition) 43 3.3.3.4 Điều kiện dòng chảy vào (Inflow condition) 43 3.3.3.5 Điều kiện biên tuần hoàn (Periodic boundary condition) 43 3.3.4 Rời rạc đạo hàm theo thời gian 44 3.3.5 Thuật toán cho việc giải toán dòng lưu chất 2D 44 3.4 Bài toán tính vận tốc dòng lưu chất miền tự 51 3.4.1 Mô tả toán 51 3.4.2 Dữ liệu toán 51 3.4.3 Phân tích toán 52 3.4.4 Tiến hành tính toán 53 3.4.5 Kết 53 3.4.6 Nhận xét 57 3.5 Bài toán tính vận tốc dòng lưu chất miền có vật cản 58 3.5.1 Mô hình toán 58 3.5.2 Dữ liệu toán 58 3.5.3 Điều kiện biên 58 3.5.4 Kết 59 Chƣơng PHÁT TRIỂN GIẢI THUẬT PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN CHIỀU (2D) 62 4.1 Bài toán dòng chảy lưu chất 2D 62 vi 4.2 Phương trình truyền nhiệt 2D 71 Chƣơng KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 78 5.1 Kết luận 78 5.2 Hướng phát triển 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 PHỤ LỤC 81 vii DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 3.1 Mô hình toán 14 Hình 3.2 Lực tác động lên bề mặt vi phân khối lượng 15 Hình 3.3 Kết mô tả vận tốc chảy ống phương pháp PGD 19 Hình 3.4 Nhiệt độ toàn miền phương pháp giải tích, PGD sai phân 23 Hình 3.5 Kết giải theo giải tích PGD với ô lưới miền tính toán lớn 24 Hình 3.6 Kết giải theo FDM với ô lưới lớn 24 Hình 3.7 Mô hình toán truyền nhiệt miền hình chữ nhật 2D 25 Hình 3.8 Nhiệt truyền miền hình chữ nhật (Giải tích PGD) 30 Hình 3.9 So sánh độ xác phương pháp PGD giải tích 31 Hình 3.10 Thành phần vận tốc pháp tiếp tuyến so với biên 32 Hình 3.11 Miền dòng chảy miền biên dòng chảy 33 Hình 3.12 Số lưới khảng cách lưới miền dòng chảy 35 Hình 3.13 Các loại sai phân hữu hạn 35 Hình 3.14 Rời rạc sử dụng thuật toán Donor-cell 36 Hình 3.15 Lưới so le 37 Hình 3.16 Giá trị cho trình rời rạc theo u phương trình động lượng 39 Hình 3.17 Giá trị biên không trượt theo giá trị hai bên biên 42 Hình 3.18 Giá trị biên trượt tự theo giá trị hai bên biên 42 Hình 3.19 Mô hình toán dòng lưu chất miền tự 51 Hình 3.20 Đường dòng miền lưu chất thời điểm t=1 SOR 53 Hình 3.21 Trường áp suất miền lưu chất t=1 SOR 54 Hình 3.22 Đường dòng miền lưu chất thời điểm t=1 PGD 54 Hình 3.23 Trường áp suất miền lưu chất thời điểm t=1 PGD 55 Hình 3.24 Trường áp suất thời điểm t=3.039s PGD 56 viii Một số nhận xét: Việc chọn giá trị khởi động chọn hàm (hoặc giá trị ô lưới), thêm nhiều vòng lặp để toán hội tụ Trong tính lặp, phải đảm bảo diều kiện ràng buộc toán trì (tức bước lặp cần xét lại điều kiện để điều chỉnh hàm R,S,Wcho phù hợp) Với kiểu toán 2D phức tạp trên, để giải phương trình vi phân tìm R, S, W đề xuất việc giải phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Vì phương pháp Phần tử hữu hạn với lời giải giả định cho trước dễ dàng việc tính phương trình vi phân nhiều bậc tự dạng couple 77 Chƣơng V KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 5.1 Kết luận Với đề tài “Phương pháp Proper Generalized Decomposition cho toán phi tuyến”, tác giả ứng dụng phương pháp PGD để giải toán phi tuyến mang lại kết khả quan độ xác thời gian tính toán so với phương pháp cũ (phương pháp SOR) trước đây, cụ thể sau:  Đối với toán thực tế dẫn nhiệt thanh, phẳng, toán dòng chảy qua kênh, hay ống thẳng mà thành phần nhiệt độ, vận tốc… thay đổi theo phương – đơn giản hoá thành toán chiều mà chương trước trình bày Cho thấy ưu điểm phương pháp PGD là: làm việc miền lưới vuông với độ lớn ô lưới tuỳ ý Chia lưới cho phù hợp với yêu cầu mặt xác mối quan tâm hàng đầu toán kỹ thuật, gây cản trở cho việc giải toán nhằm tìm đến hội tụ lời giải  phương pháp PGD cho phép giải toán với miền lưới không giới hạn (lưới chia thưa đối cới toán thực đơn giản, lưới mịn cho toán mà biên phức tạp hơn)  Bài toán hai chiều mô tả chương III ví dụ kiểm tra khả tính toán phương pháp PGD so với phương pháp cũ (cụ thể Successive over relaxation – SOR) cho thấy: Với phương pháp cũ(phương pháp SOR), số phương trình cần tính tỉ lệ với miền lưới theo: Nx1  Nx2   Nxn Trong đó: xi (i = 1…n) số biến lời giải Nxi số nghiệm cần tìm theo biến xi Với phương pháp PGD số phương trình cần tính là: 78 Nx1  Nx2   Nxn Từ cho thấy với miền tính toán chia lưới mịn, thời gian tính toán phương pháp PGD cải thiện đáng kể so với phương pháp cũ Cụ thể, chương với toán dòng chảy hai chiều đơn giản, Phương pháp PGD cho thời gian giải nhanh nhiều so với phương pháp SOR (hình 3.26)  phương pháp PGD có khả tính toán vượt trội mặt thời gian tính so với phương pháp cổ điển trước với độ xác tương đương, hay với nhận xét rằng: phương pháp Proper Generalized Decomposition có khả tăng tốc độ giải toán kỹ thuật, đặc biệt toán phi tuyến 5.2 Hƣớng phát triển đề tài Trên tảng kiến thức đạt đề tài, tác giả đề xuất số hướng phát triển tương lai sau:  Hoàn thiện giải thuật cho toán chiều, có thay đổi không gian thời gian mà tác giả trình bày chương IV  Áp dụng phương pháp PGD cho toán chiều, với ẩn số nhiều hơn, mô tả nhiều tính chất kỹ thuật  Kết hợp phương pháp PGD với số phương pháp khác để tăng tốc độ tính toán nữa, làm giảm độ phức tạp toán bước áp dụng điều kiện biên Có thể kết hợp phương pháp PGD với phương pháp biên nhúng IBM, kết hợp phương pháp PGD với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT TS.Nguyễn Hoài Sơn, Phương pháp tính, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh, 2004 TS Nguyễn Hoài Sơn, Trang Tấn Triển, “Matlab ứng dụng kỹ thuật”, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh, 2007 TIẾNG NƢỚC NGOÀI Francisco Chinesta, Amine Ammar, Elías Cueto, Recent Advances and New Challenges in the Use of the Proper Generalized Decomposition for Solving Multidimensional Models, 12/2009 A.Dumon, C.Allery, A.Ammar, Proper General Decomposition (PGD) for the resolution of Navier-Stokes equations, 11/2010 Ch Ghnations, F Masson, A.Huerta E.Cueto, F Chinesta, Proper Generalized Decomposition Based Dynamic Data-Driven Control of Thermal Processes, 10/2010 F Chinesta, A Ammar, A Leygue, R Keunings, An overview of the proper generalized decomposition with applications in computational rheology, 1/2011 A.Ammar, F.Chinesta, E.Cueto, M Doblare, Proper Generalized Decomposition of time-multiscale models, 9/2011 C Allery, S Guerin, A Hamdouni, A Sakout, Experimental and numerical pod study of the coanda effect used to reduce self- sustained tones, Mechanics Research Communications 31 (1) (2004) 105–120 A Rajabpour, F Kowsary, V.Esfahanian, Reduction of the computational time and noise filtration in the ihcp by using the proper orthogonal decomposition (pod) method,International Communications in Heat and Mass Transfer 35 (8) (2008) 1024–1031 80 PHỤ LỤC  PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG - PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION Phương trình vi phân đạo hàm riêng (partial differential equation – PDE) loại phương trình vi phân, ẩn số hàm số theo biến độc lập, đạo hàm riêng hàm số theo biến số hàm Các phương trình vi phân đạo hàm riêng thường sử dụng để mô tả hàm sóng, lan truyền âm thanh, nhiệt vật rắn, chất lỏng, không khí… mô tả dòng chảy, áp suất dòng lưu chất thường gặp nghiên cứu động lực học chất lưu Phương trình vi phân dạo hàm riêng có dạng:   u u  2u  2u F  x1 , x2 ,, xn , u , , , , , ,   x1 x2 x1x1 x1x2   (P1) Với: u  x1 , x2 , , xn  : ẩn số chưa biết x1 , x2 , , xn : biến số độc lập Nếu F hàm tuyến tính theo u đạo hàm phương trình vi phân đạo hàm riêng gọi tuyến tính Thường gặp phương trình truyền nhiệt, phương trình sóng, phương trình Laplace Ví dụ như:  2 u  x, t   k u  x, t   , với k tham số t x Nếu u hàm theo biến x đó, phương trình vi phân gọi phương trình vi phân thường (Ordinary differential equation – ODE) Các ký hiệu thường dùng PDE: 81 u x  2u   u  u xy     xy y  x  ux      u       u  x, y,   x y   2  2  u  u       u  x, y,   x y  Một số phương pháp tính toán cho PDE: Phương pháp tách biến (Separation of variables): Là phương pháp dùng để tách ẩn số phương trình vi phân đạo hàm riêng đa chiều, thành nhiều phương trình rời rạc với số chiều (chứa biến độc lập hơn) Ví dụ: Xét phương trình nhiệt chiều sau: u  2u k 0 t x (P2) Tách biến: u  x, t   X  x T t  (P3) Thay (P3) vào (P2), ta có: T '  t  X ''  x    kT  t  X  x  (P4) Giải phương trình ta được:  u  x, t    Dn sin n 1  n 2 kt  n x exp    L L2   Với Dn: hệ số xác định điều kiện toán Và vài phương pháp giải tích khác như: đổi biến, phương pháp dựa đặc trưng phương trình biểu diễn… Ngoài ra, có phương pháp số sử dụng để giải PDE như: Sai phân hữu hạn (Finite difference method – FDM), Phần tư hữu hạn (Finite element method – FEM), Thể tích hữu hạn (Finite volume method) 82  PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN – FINITE DIFFERENCE METHOD (FDM) Dựa phương pháp tính xấp xỉ đạo hàm, phương pháp sai phân (FDM) chia làm nhiều loại: sai phân lùi (Backward diffference), sai phân tiến (Forward difference), sai phân trung tâm (Central difference) Bằng cách rời rạc miền khảo sát, tiến hành tính nghiệm phương trình vi phân (Difference equation) điểm nút (grid point) lưới vuông (rectangular grid) Phương pháp Sai phân hữu hạn phương pháp số bản, thường sử dụng việc tính phương trình vi phân tuyến tính Cơ sở phƣơng pháp Sai phân: Sử dụng khai triển Chuỗi khai triển Taylor (Taylor’s series expansion): h2 xi 1  xi  hx   x  h2 xi 1  xi  hx   x  (P5) Hình P1 Rời rạc hàm f(x) theo sai phân hữu hạn Trong đó: x(t): hàm số theo biến t xi = x (t = ti) : giá trị rời rạc t = ti h = ti+1 – ti : bước chia lưới Xấp xỉ đạo hàm bậc (First derivative) Sai phân trung tâm: 83 xi  dx   xi 1  xi 1  dt t 2h (P6) i Xấp xỉ đạo hàm bậc (Second derivative) Sai phân trung tâm:  xi  d 2x   xi 1  xi  xi 1  dt t h (P7) i Sai phân trung tâm cho toán trị biên bậc tự do: Phương trình vi phân cho toán: mx  cx  kx  F t  (P8) Rời rạc theo biến t, phương trình (P7) trở thành:  x  2x  x   x  x  i i 1 m  i 1   c  i 1 i 1   kxi  Fi    2t   t     m   m x  2m  x    x  k  x        x  Fi   t 2 2t  i 1   i   t 2 2t  i 1  t         (P9) (P10) Từ (P10) ta lập hệ gồm (n – 1) phương trình với (n – 1) ẩn số (với n: số khoảng chia) Giá trị x1 xn+1 xác định điều kiên biên cho trước.Ta dễ dàng giải hệ phương trình (P10) để tìm giá trị xi (với i = 2,3,…,n) Sử dụng phƣơng pháp Sai phân để giải phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng Để dễ dàng phân tích, đề xuất việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng sau: u  2u k 0 t x (P11) Sử dụng rời rạc theo biến x t, ta có phương pháp sau:  Explicit Method: Áp dụng Sai phân tiến rời rạc đạo hàm theo t, sai phân trung tâm cho biến x: u nj 1  u nj t k u nj 1  2.u nj  u nj 1 x 0 u nj 1  u nj  r  u nj 1  2.u nj  u nj 1   84 (P12) (P13) Trong đó: u  x j , tn   u nj ; r k t x Ta tính giá trị u nj 1 từ công thức (P13) u nj 1  ru nj 1  1  2r  u nj  ru nj 1 (P14) Sai số đạt được: u    t     x  Hình P2 Explicit method Implicit Method: Áp dụng sai phân lùi rời rạc đạo hàm theo t, sai phân trung tâm cho biến x: u nj 1  u nj t k u nj 11  2.u nj 1  u nj 11 x 0 (P15) Giá trị u nj 1 tính theo: 1  2r  unj 1  runj11  unj  runj 11 Sai số đạt được: u    t     x  Hình P3 Implicit Method Crank – Nicolson Method: Áp dụng sai phân trung tâm tính xấp xỉ đạo hàm t = tn+1/2 ta có: 85 (P16) u nj 1  u nj t n 1 n 1 n 1 n n n  u j 1  2.u j  u j 1 u j 1  2.u j  u j 1   k   0 2 x x  (P17) Khi đó, giá trị u nj 1 tính theo:   2r  unj 1  runj11  runj11    2r  unj  runj 1  runj 1 Sai số đạt được: u    t     x  Hình P4 Crank-Nicolson Method  Code Matlab sử dụng FDM cho toán trị biên chiều: function [R,DR,D2R]=fdm(a,b,f,dx,n,x0,xn) % -% % Calculating 2nd-ODE form: % ax” + bx = f % input: a,b,f % dx: step size % n: number of step in [x0 x(end)] % xo,xn: boundary conditions % output: x,x’,x” % -% A=zeros(n-1); B=zeros(n-1,1); R=zeros(n+1,1); DR=zeros(n+1,1); D2R=zeros(n+1,1); R(1)=x0; R(n+1)=xn; for i=1:n-1 if i==1 A(i,i)=2-b*dx^2/a; A(i,i+1)=-1; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a+R(1); elseif i==n-1 A(i,i-1)=-1; A(i,i)=2-b*dx^2/a; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a+R(n+1); else 86 (P18) A(i,i-1)=-1; A(i,i)=2-b*dx^2/a; A(i,i+1)=-1; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a; end end R(2:n)=A\B; D2R=(f-b.*R)./a; DR(1)=(R(2)-R(1)-D2R(1)*dx^2/2)/dx; DR(n+1)=(R(n+1)-R(n)+D2R(n+1)*dx^2/2)/dx; DR(2:n)=(R(3:n+1)-R(1:n-1))/(2*dx);  PHƢƠNG PHÁP LẶP SUCCESSIVE OVER RELAXATION (SOR) Phương pháp lặp Successive Over Relaxation(SOR) dạn biến thể phương pháp lặp Gauss-Seidel, ứng dụng giải hệ phương trình với số lần lặp phương pháp gốc Nội dung phương pháp SOR: Hệ phương trình có dạng: (P19) AX = B Với : A = D + L + U Trong đó:  a11 a22 a a22 A   21      am1 am  a11 0 D   0 a22   a1m   a2 m       amm      a   L   21         amm   am1  b1  b  B 2    bm  0  am     Hệ (P19) viết lại sau: 87 0 0 a12 0  0 U       0 0  a1m   a2 m        D  L U  x  b    D  L  U  x  b   D   L  x  b  U    1 D  x 1  x n1   D   L  b  U    1 D  x n  Tổng quát: xin1  1    xin  m i 1  n n 1  b  a x   i  ij j  aij x j  aii  j i 1 j 1  Với ω = 1: phương pháp SOR trở thành phương pháp Gauss – Seidel Hệ số ω chọn khoảng: [...]... sánh phương pháp PGD với các phương pháp tính toán khác về thời gian tính toán và độ chính xác tính toán 1.4 Nhiệm vụ của luận văn Các nội dung nghiên cứu chính trong luận văn Vận dụng phương pháp PGD để tính toán mô phỏng các bài toán phi tuyến 3 Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán và lập trình So sánh độ chính xác và thời gian tính toán của phương pháp PGD với các phương pháp tính toán. .. áp dụng phương pháp số nào cho phù hợp với bài toán cần giải cũng hết sức quan trọng Vì nó ảnh hưởng tới thời gian hoàn thành bài toán cũng như chi phí tính toán Mỗi phương pháp số khác nhau có những ưu nhược điểm khác nhau và tùy mỗi bài toán mà ta chọn phương pháp thích hợp nhất trên yêu cầu phải thỏa mãn các tiêu chuẩn sau: kết quả chính xác cao, sự ổn định của phương pháp và thời gian tính toán phải... cách nhanh chóng hơn là rất cần thiết Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) là một kỹ thuật rời rạc hóa bài toán mạnh mẽ thường được sử dụng cho các phương trình phi tuyến phức tạp trong lưu chất, tính toán cho vật liệu không đồng nhất Ta đã biết các bài toán đa 1 chiều có độ phức tạp tỷ lệ thuận tuyến tính với số chiều của không gian, nghĩa là bài toán xét trên nhiều chiều không gian càng... 10   100   Phương pháp PGD: cho sai số e = 0.003725 Hình 3.5 Kết quả giải theo giải tích và PGD với ô lưới và miền tính toán lớn hơn  Phương pháp sai phân: bài toán không hội tụ do bước lưới vượt giới hạn cho phép Hình 3.6 Kết quả giải theo FDM với ô lưới lớn 24 Với kết quả tính toán của ví dụ đối với bài toán 1D đơn giản đã cho thấy khả năng tính toán vượt trội so với những phương pháp trước đây... Khi đó ta cũng tìm hàm R, S , W tương tự như đã trình bày ở trên 13 (2.27) Chƣơng III ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PGD CHO CÁC BÀI TOÁN PHI TUYẾN 3.1 Bài toán 1D 3.1.1 Bài toán dòng chảy ổn định theo một chiều trong ống 3.1.1.1 Mô tả bài toán Đối tượng của bài toán là dòng chảy Poiseuille phẳng Mô hình bài toán là kênh được giới hạn bởi hai tấm phẳng dài vô hạn, cố định, cách nhau một khoảng là H Ở vị trí y0trong... dụng các phương pháp số dưới sự hỗ trợ của máy tính để giải quyết các bài toán cơ học trở nên phổ biến và cần thiết bởi những tính năng tính toán vượt trội của máy tính Vì vậy các phương pháp tính số đã và đang phát triển mạnh mẽ và trở thành một công cụ hữu hiệu không thể thiếu khi giải quyết các bài toán khoa học – kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp biên... pháp tính toán khác 4 Chƣơng II PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 2.1 Giới thiệu phƣơng pháp Proper Generalized Decomposition Như đã trình bày ở Chương 1 thì phương pháp PGD có nền tảng dựa trên cơ sở lý thuyết của phương pháp tách biến Từ góc nhìn lịch sử, phương pháp tách biến được sử dụng khá thông dụng Ta có thể tìm thấy ở bất kỳ cuốn sách nào nói về phương trình vi phân riêng phần, phân... trong vật liệu đồng nhất, composite… mà các phương trình vi phân đặc trưng mô tả cho bài toán thường có dạng phi tuyến Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp PGD để ứng dụng cho các bài toán phi tuyến, tính toán lập trình dưới sự hỗ trợ của phần mềm Matlab 1.2 Các nghiên cứu trong và ngoài nƣớc đã công bố Phương pháp này chưa thấy công bố rộng rãi ở Việt Nam, sau đây tác giả xin trình bày một... quả có độ chính xác cao ta phải tăng độ mịn của phương pháp chia lưới rời rạc Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp PGD ta có thể tách riêng các biến của bài toán và giải quyết độc lập nhờ đó có thể tăng tốc độ tính toán mà vẫn giữ nguyên độ mịn của lưới, hay nói cách khác phương pháp PGD có nền tảng dựa trên cơ sở lý thuyết của phương pháp tách biến Phương pháp tách biến có thể hiểu như sau: N u ( x1 xD... Nhiệt độ trên toàn miền bằng 3 phương pháp giải tích, PGD và sai phân  Nhận xét: Hình 3.4 mô tả kết quả tính toán trên miền: x = [0…1]; t = [0…0,5] cho thấy sự phù hợp của phương pháp PGD với giải tích và phương pháp số là sai phân hữu hạn  1   0.5  Với lưới được chia: với độ lớn mỗi ô lưới là: hx  ht        20   500   Phương pháp PGD: e = 5.3 e – 4  Phương pháp sai phân: e=2e-3 23 1