Bài giảng Sức bền vật liệu: Chương 8 - GV. Lê Đức Thanh

Trong ñieàu kieän bieán daïng cuûa daàm laø beù thì thaønh phaàn chuyeån vò ngang u laø moät ñaïi löôïng voâ cuøng beù baäc hai so vôùi v , do ñoù coù theå boû qua chuyeån vò u va[r]

(1)

GV : Lê đức Thanh

Chương

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 8.1 KHÁI NIỆM CHUNG

Khi tính dầm chịu uốn ngang phẳng, ngồi điều kiện bền cịn phải ý đến điều kiện cứng Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng dầm Dưới tác dụng ngoại lực, trục dầm bị uốn cong, trục cong gọi đường đàn hồi của dầm (H.8.1)

Xét điểm K trục dầm trước biến dạng Sau biến dạng, điểm K di chuyển đến vị trí K’ Khoảng cách KK’ gọi chuyển vị thẳng điểm K Chuyển vị phân làm hai thành phần:

Thành phần v vng góc với trục dầm (song song với trục y) gọi chuyển vị đứng hay độ võng điểm K

Thành phần u song song với trục dầm (song song với trục z) gọi chuyển vị ngang điểm K

Ngoài , sau trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang K bị xoay góc ϕ, ta gọi góc xoay chuyển vị góc (hay góc xoay ) mặt cắt ngang điểm K Có thể thấy rằng, góc xoay ϕ góc trục chưa biến dạng dầm tiếp tuyến điểm K đường đàn hồi (H.8.1)

K

K’

z

y

ϕ

Đường đàn hồi

P

u

H.7.1

v ≡ y(z) K

K’

z

y

ϕ

ϕ Đường đàn hồi

P

z

(2)

Ba đại lượng u, v, ϕ ba thành phần chuyển vị mặt cắt ngang điểm K

Trong điều kiện biến dạng dầm bé thành phần chuyển vị ngang u đại lượng vô bé bậc hai so với v, bỏ qua chuyển vị u xem KK’ v, nghĩa vị trí K’ sau biến dạng nằm đường vng góc với trục dầm trước biến dạng (H.8.2)

Góc xoay ϕ lấy gần đúng:

dz dv tgϕ = ≈

ϕ

Nếu chọn trục dầm z, trục y vng góc với trục dầm, chuyển vị v

chính tung độ y điểm K’ Tung độ y độ võng điểm K Ta thấy rõ K có hồnh độ z so với gốc chuyển vị y, ϕ hàm số z phương trình đàn hồi là:

y(z) = v(z)

Phương trình góc xoay laø:

( ) y( )z

dz dy dz dv

z = = = ' ϕ

hay, phương trình góc xoay đạo hàm phương trình đường đàn hồi

Quy ước dương chuyển vị: - Độ võng y dương hướng xuống

- Góc xoay ϕ dương mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ

Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, tính tốn dầm chịu uốn, người ta thường khống chế độ võng lớn dầm không vượt qua giới hạn định để đảm bảo yêu cầu làm việc, mỹ quan cơng trình , điều kiện gọi điều kiện cứng Nếu gọi f độ võng lớn dầm điều kiện cứng thường chọn là:

1000 300

1 ÷ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡

L f

trong đó: L - chiều dài nhịp dầm

(3)

8.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐAØN HỒI Xét điểm K trục dầm

Trong chương (công thức 7.1) ta lập mối liên hệ độ cong trục dầm K sau biến dạng với mômen uốn nội lực Mx Klà:

x x EJ M

= ρ

1 (a)

Mặt khác, đường đàn hồi biểu diễn phương trình hàm số y(z)

trong hệ trục (yz) nên độ cong đồ thị biểu diễn hàm số điểm K có hồnh độ z tính theo cơng thức:

( )2

3 1

y y

′ +

′′ =

ρ (b)

(a) vaø (b) ⇒

( ) x

x

EJ M y

y

= +

′′ '

(c) Đó phương trình vi phân tổng quát đường đàn hồi, nhiên phải chọn cho hai vế phương trình thỏa mãn

Khảo sát đoạn dầm bị uốn cong hai trường hợp H.8.3 Trong trường hợp mômen uốn Mx đạo hàm bậc hai y” ln trái dấu,

cho nên phương trình vi phân đường đàn hồi có dạng:

( ) x

x

EI M y

y = −

+

'

''

Với giả thiết chuyển vị bé (độ võng góc xoay bé), bỏ qua (y’)2 so với phương trình vi phân đường đàn hồi có dạng gần sau:

z

y

Mx > y” <

Mx Mx

y

Mx < y” >

Mx Mx

(4)

x x EI

M

y'' = − (8.1)

trong đó: Tích số EJx độ cứng uốn của dầm

8.3 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHƠNG ĐỊNH HẠN

Vế phải phương trình vi phân (8.1) hàm số z nên (8.1) phương trình vi phân thường

Tích phân lần thứ (8.1) ⇒ phương trình góc xoay:

∫− +

=

= dz C

EJ M y

x x

'

ϕ (8.2)

Tích phân lần thứ hai ⇒ phương trình đường đàn hồi:

∫ ∫ ⎟⎟ +

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

= dz C dz D

EJ M y

x

x (8.3)

Trong (8.2) (8.3), C D hai số tích phân xác định điều kiện biên Các điều kiện phụ thuộc vào liên kết dầm phụ thuộc vào thay đổi tải trọng dầm

Đối với dầm đơn giản, có điều kiện sau:

+ Đầu ngàm dầm console có góc xoay độ võng khơng (H.8.4a): yA = ϕA =

+ Các đầu liên kết khớp độ võng không (H.8.4b): yA = yB =

+ Tại nơi tiếp giáp hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi khác nhau, độ võng góc xoay bên trái với độ võng góc xoay bên phải ( điểm C H.8.4b): yCtr = yCph; ϕCtr = ϕCph

H 8.4

yA = ϕA = A

a) yA = 0

yB = b)

(5)

Thí dụ 8.1 Viết phương trình đường đàn hồi góc xoay cho dầm cơng son (console) H.8.5 Từ suy độ võng góc xoay lớn Cho

EJx = số. Giải

Phương trình mơmen uốn mặt cắt có hồnh độ z là:

Mx=–Pz (a)

thế vào (8.1) ⇒ phương trình vi phân đường đàn hồi : x

x x

EJ Pz EJ

M

y''=− = (b)

tích phân hai lần, ⇒ C EJ Pz y

x + =

= '

2

ϕ (c)

Cz D EJ

Pz y

x + + =

6

(d)

C D xác định từ điều kiện biên độ võng góc xoay ngàm:

z = L; ϕ = 0 vaø y =

thay điều kiện vào (c) (d) ⇒ x

x EJ

PL D EJ PL C

3 ;

3

= −

=

Vậy phương trình đường đàn hồi góc xoay là: ;

3

6

3

x x

x EJ

PL z EJ PL EJ

Pz

y= − +

x x EJ

PL EJ

Pz 2

2

− =

ϕ

Độ võng góc xoay lớn đầu tự A dầm; ứng với z = 0, ta có:

x

x EJ

PL EJ

PL y

2

;

2

max = ϕ =−

ymax > độ võng điểm A hướng xuống ϕ < góc xoay điểm A ngược kim đồng hồ

A B

yB = ϕB = P

y

z z

L

(6)

Thí dụ 8.2 Tính độ võng góc xoay lớn dầm (H.8.6) Cho EJx = hằng

Giải

Phương trình mơmen uốn mặt cắt có hồnh độ z là:

2

qz

Mx = − (a)

thế vào (8.1), ⇒

x

EJ qz y

2 ''

2 −

= (b)

tích phân hai lần, ⇒ C EJ qz y

x + =

= '

3

ϕ (c)

C z D

EJ qz y

x

+ + =

24

(d)

hai điều kiện biên đầu ngàm z = L; ϕ = 0 y = 0 cho :

x

x EJ

qL D EJ qL C

8 ;

4

= −

=

Vậy phương trình đàn hồi góc xoay là:

;

8

24

4

x x

x EJ

qL z EJ qL EJ qL

y= − +

x x EJ

qL EJ qL

6

3

− =

ϕ

Độ võng góc xoay lớn đầu tự A dầm; ứng với z = 0, ta có:

4 max

x

EJ qL

y = vaø

x A

EJ qL

3

− = ϕ

Thí dụ 8.3 Tính độ võng góc xoay lớn dầm đơn giản chịu tải phân bố (H.8.7) Độ cứng EJx dầm không đổi

Giải

Phương trình mơmen uốn mặt cắt ngang có hồnh độ z là:

( 2)

2

2 Lz z

q qz z qL

Mx = − = − (a)

thay vào (8.1), ⇒ phương trình vi phân đường đàn hồi sau:

z

y A

z

L

B

L/2

H.8.7 q

z

A B

yB = ϕB = 0

q

y z

L

(7)

( 2)

2

'' Lz z

EJ q y x − −

= (b)

tích phân hai laàn, ⇒ Lz z C

EJ q y x + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = = 2 '

ϕ (c)

Lz z C z D

EJ q y x + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 12 (d) điều kiện biên gối tựa trái phải dầm:

⎩ ⎨ ⎧ = = = = y ; L z : y ; z : ⇒ x EJ qL D 24 C ; = =

Như phương trình đường đàn hồi góc xoay là: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −

= 22 33

24 L z L z z EJ qL y x (e) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − =

= 22 33 24 ' L z L z EJ qL y x

ϕ (g)

Độ võng lớn nhất dầm mặt cắt ngang nhịp ứng với:

z =

L (tại y’ = 0)

thay z =

L vaøo (e),

x L z EJ qL y y 384

max = =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Góc xoay lớn nhất, nhỏ nhất (y’max , y’min) mặt cắt ngang có y” = (hay Mx = 0), tức gối tựa trái phải dầm Thay z = z = L

lần lượt vào (g) ⇒

x EJ qL y max max 24 ' = = ϕ x EJ qL y min 24 ' = − = ϕ

(8)

Thí dụ 8.4 Lập phương trình độ võng góc xoay dầm hai gối tựa chịu lực tập trung P H.8.8 cho biết EJx = số

Giaûi

Dầm có hai đoạn, biểu thức mơmen uốn hai đoạn AC CB khác nên biểu thức góc xoay độ võng hai đoạn khác Viết cho đoạn biểu thức Mx, y’’, y’, y sau:

Mômen uốn Mx đoạn sau:

Đoạn AC (0 ≤ z1 ≤ a): Mx(1) = PbL z1 (a)

Đoạn CB (a ≤ z2 ≤ L): Mx(2) = PbL z2−P(z2−a) (b)

Phương trình vi phân đường đàn hồi đoạn:

Đoạn AC: 1'' z1

LEJ Pb y

x −

= (c)

Đoạn CB: (z a)

EJ P z LEJ

Pb y

x x

− +

−

= 2 2

2 '' (d)

Tích phân liên tiếp phương trình trên, ta được:

Đoạn AC (0 ≤ z1 ≤ a):

1 1

2

' z C

LEJ Pb y

x + −

= (e)

1 1 1

6LEJ z Cz D Pb

y

x

+ + −

= (g)

Đoạn CB (a ≤ z2 ≤ L):

A

z

B

P

a

H.8.8

b z1

Z2

L

(9)

( )

2 2 2 2

' z a C

EJ P z LEJ Pb y x x + − + −

= (h)

( ) 2

3 2

6 EJ z a C z D

P z LEJ Pb y x x + + − + −

= (i)

Xác định số tích phân C1, D1, C2, D2 từ điều kiện biên - Ở gối tựa A, B độ võng không

- Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng góc xoay hai đoạn phải

⇔ khi: z1 = 0; y1 = z2 = 0; y2 =

z1 = z2 = a; y1 = y2; y1’ = y2’ Từ bốn điều kiện ⇒:

( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + − + + − = + + − = + + − + − = 2 2 1 2 3 2 6 6 c a LEJ Pb c a LEJ Pb D a c a LEJ Pb D a c a LEJ Pb D L C a L EJ P L LEJ Pb D x x x x x x

Giải hệ phương trình trên, ⇒

D1 = D2 = 0; ( 2)

6LEJ L b Pb C C x − = =

Vậy phương trình góc xoay độ võng đoạn là:

Đoạn AC (0 ≤ z1 ≤ a):

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = = 6 1 2 2 ' 1 z z b L LEJ Pb y z b L LEJ Pb y x x ϕ

Đoạn BC (a ≤ z2 ≤ L):

(10)

Giả sử a > b Trước hết ta xét độ võng lớn đoạn Ở gối tựa A (z1 = 0) góc xoay bằng:

0

6

2

1 ⎟⎟>

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

− =

L b EJ PbL

x A

ϕ

và C (z1 = a): ( )

1 =− a−b < EJ

PbL

x C

ϕ

Như vậy, hai điểm A C góc xoay ϕ1đổi dấu, nghĩa bị triệt tiêu lần Điều cho thấy độ võng có giá trị lớn đoạn AC

Để tìm hồnh độ z1(0) mặt cắt ngang có độ võng lớn nhất, ta cho phương trình ϕ1= 0:

[ ] ( ( ))

2

) (

2

1 ⎥ =

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− −

= L b z

LEJ Pb z

x

ϕ

⇒

3 )

0

( 2

1 L b

z = − (o)

Sau đưa vào biểu thức (l) độ võng,⇒ giá trị lớn độ

voõng ( ) ( ) ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

− −

=

= 1 2 22

max

27 ) (

L b EJ

b L Pb y

y

x

z (p)

Các hệ quả:

- Nếu P đặt nhịp dầm (b= L/2), từ (o) (p) , ta được:

x

EJ PL y

L L

z

48

; 500 , ) (

3 max

1 = = =

- Khi P gần gối B, tức b → ta có: z1(0) =

3

L = 0577L

Như vậy, tải trọng di chuyển từ trung điểm D nhịp dầm đến gối tựa B (H.8.9) hồnh độ z1(0) biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức từ điểm D đến điểm E Trong thực tế người ta thường quy ước tải trọng P tác dụng vị trí coi độ võng lớn nhịp dầm

Thí dụ, tải trọng P tác dụng vị trí H.8.8 độ võng

nhịp dầm baèng: ( ) ( 2)

2

48EJ L b Pb

y

x

l = −

So sánh hai giá trị ymax y( )l2 thấy hai giá trị khác 0,500L

A

z B

E D 0,577L