Bài giảng Sức bền vật liệu: Chương 4 - GV. Lê Đức Thanh

Lyù thuyeát ñaøn hoài ñaõ chöùng minh raèng taïi moät ñieåm baát kyø cuûa vaät theå chòu löïc luoân tìm ñöôïc moät phaân toá hình hoäp vuoâng goùc maø treân caùc maët cuûa phaân toá ño[r]

(1)

GV: Lê Đức Thanh

Chương

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 4.1 NHỮNG KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 4.1.1 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT (TTƯS)TẠI MỘT ĐIỂM

Xét điểm K vật thể cân mặt cắt qua K, mặt cắt có ứng suất pháp σ ứng suất tiếp τ. Các ứng suất thay đổi tùy vị trí mặt cắt (H.4.1)

Định nghĩa TTỨS: TTƯS điểm tập hợp tất cảû ứng suất mặt qua điểm ấý

TTƯS điểm đặc trưng cho mức độ chịu lực vật thể điểm Nghiên cứu TTƯS tìm đặc điểm liên hệ ứng suất σ , τ, xác định ứng suất lớn nhất, nhỏ để tính tốn độ bền hay giải thích, đốn biết dạng phá hỏng vật thể chịu lực

4.1.2 Biểu diễn TTƯS điểm

Tưởng tượng tách phân tố hình hộp vô bé bao quanh điểm K Các mặt phân tố song song với trục toạ độ (H 4.2)

Trên mặt phân tố có chín thành phần ứng suất:

+Ba ứng suất pháp: σx , σy , σz

+Sáu ứng suất tiếp τxy , τyx , τxz , τzx , τyz , τzy ,

Ứng suất pháp σ có số phương pháp tuyến mặt có σ

Ứng suất tiếp τ có hai số: Chỉ số thứ phương pháp tuyến mặt cắt có τ, số thứ hai phương của τ

• σ

τ

K

P4

P3

P2

P1

y

x

H.4.1 Ứng suất điểm

z

x y

τyz τzy

τzx τxz τxy τyx σy

σx σz

H.4.2

(2)

4.1.3 Định luật đối ứng ứng suất tiếp

Trên hai mặt vuông góc, mặt nầy có ứng suất tiếp hướng vào cạnh ( hướng khỏi cạnh ) mặt có ứng suất tiếp hướng vào cạnh ( hướng khỏi cạnh ), trị số hai ứng suất ( H.4.3)

⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; ⎮τxz⎮=⎮τzx⎮; ⎮τyz ⎮ =⎮τzy ⎮ (4.1)

TTỨS điểm thành phần ứng suất

4.1.4 Mặt chính, phương ứng suất Phân loại TTƯS

Lý thuyết đàn hồi chứng minh điểm vật thể chịu lực ln tìm phân tố hình hộp vng góc mà mặt phân tố có ứng suất pháp, mà khơng có ứng suất tiếp (H4.4a)

Những mặt gọi mặt chính

Pháp tuyến mặt gọi phương chính

Ứng suất pháp mặt gọi ứng suất chính ký hiệu là:

σ1 , σ2 σ3 Quy ước: σ1 > σ2 > σ3

Thí dụ :

σ1 = 200 N/cm2; σ2 = −400 N/cm2; σ3 = −500 N/cm2

Phân loại TTƯS : - TTƯS khối : Ba ứng suất khác khơng (H.4.4a)

H 4.4Các loại trạng thái ứng suất

b)

a) c)

τ

(3)

TTƯS khối TTƯS phẳng gọi TTƯS phức tạp.

4.2 TTỨS TRONG BÀI TỐN PHẲNG- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH 4.2.1 Cách biểu diễn – Quy ưóc dấu

Cách biểu dieån:

Xét phân tố (H.4.5a) Ứng suất mặt vng góc với trục z

bằng khơng mặt mặt có ứng suất tiếp khơng Để dễ hình dung, ta biểu diễn phân tố xét hình chiếu toàn phân tố lên mặt phẳng Kxy (H.4.5b)

Quy ước dấu: + σ > gây kéo ( hướng mặt cắt)

+ τ > làm cho phân tố quay thuận kim đồng hồ Hình 4.5b biểu diển ứng suất >

(qui ước nầy phù hợp với toán thanh)

4.2.2 Ứng suất mặt cắt nghiêng

Vấn đề: Xác định ứng suất mặt cắt nghiêng song song với trục z có pháp tuyến u tạo với trục x một góc α (α > quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x ) (H.4.6a) Giả thiết biết ứng suất σx, σy τxy

♦ Tính σu τuv : Tưởng tượng cắt phân tố mặt cắt nghiêng

neâu, mặt cắt chia phân tố làm hai phần, xét cân phần phân tố (H.4.6b)

H 4.5 TTỨS toán phẳng

a) z

x y

σy

σx

σx τxy τyx

K σx σ

τxy σy

τyx

b)

σu

u

v τuv

α σx

σx

σy

τxy

τyx τyx

τxy

σx

σy

x y

z a)

(4)

Trên mặt nghiêng có ứng suất σu τuv , chúng xác định từ

phương trình cân tónh hoïc

* ∑U=0 ⇒ σudsdz−σxdzdycosα+τxydzdysinα−σydzdxsinα+τxydzdxcosα =0

* ∑V=0 ⇒ τuvdsdz−σxdzdysinα−τxydzdycosα+σydzdxcosα+τxydzdxsinα =0

Kể đến: ⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; dx = ds sinα ; dy = ds cosα,

α α

α

α α

2 sin cos sin

) cos ( );

2 cos ( cos2

=

− = +

= sin2

⇒ σ σ σ σ σ cos2α τ sin2α

2

2 xy

y x y x

u −

− + +

= (4.2a)

α τ

α σ

σ

τ sin2 cos2

2 xy

y x

uv +

− +

= (4.2b)

♦ Tính σv : Xét mặt nghiêng có pháp

tuyến v, vuông góc mặt có pháp tuyến u (H.4.7) Thay α (α + 90°) vào (4.2a) ,

⇒ ứng suất pháp tác dụng mặt có pháp tuyến v:

b)

σy τyx τxy

τ uv

u

v

x y

α σx

σ u

H.4.6 Ứng suất mặt nghiêng τuv

τ xy τ yx

σu

dx dy

dz ds

σy

x y

z

v u

α

a)

α σx

τuv τvu

v

u

x

α α + 90o

(5)

y x v

u σ σ σ

σ + = + (4.4)

Biểu thức cho thấy, tổng ứng suất pháp tác dụng hai mặt vuông góc phân tố ứng suất phẳng điểm số khơng phụ thuộc vào góc α

Đó Bất Biến Thứ Nhất ứng suất pháp

Thí dụ 4.1 Thanh có diện tích cm2, chịu kéo với lực P = 40 kN Xác định

ứng suất mặt cắt nghiêng góc 30o với mặt cắt ngang (H.4.8) Giải

Ứng suất pháp mặt cắt ngang (Chương 3)

kN/cm

40 =

= =

F P x

σ

Tách phân tố hình hộp bao điểm K nằm mặt cắt ngang

Ta coùù:

kN/cm

+ = x

σ ,σy =

Mặt cắt nghiêng có pháp tuyến hợp với trục với trục x (trục thanh) góc( +30o )

Từ (4.2) ⇒

( )

2

kN/cm 46

, 30 sin

sin

kN/cm

30 cos cos 2

+ = +

= +

=

= +

=

o x

uv

o x

x n

α σ

τ

α σ

σ σ

4.2.3 Ứng suất - Phương - Ứng suất pháp cực trị 1- Ứng suất - phương

Ngồi mặt mặt biết vng góc với trục z, hai mặt cịn lại mặt song song với trục z (vì phải vng góc với mặt có)

Mặt mặt có ứng suất tiếp = ⇒ Tìm hai mặt cịn lại cách cho τuv =0

H 4.9 Ứng suất

x σ 1

σ2

σ1

σ2

) ( o

α

o o o( ) =α(1 )+90

α H.4.8

σ u σx

v u

30

τuv σu

P K P= 40 kN

30 o

u

v

(6)

Nếu gọi αo góc trục x hợp với phương điều kiện để tìm

phương là: τuv =0 ⇔ sin2 cos2

2 + =

−

+ σ σ α τxy α

y x

⇒ Phương trình xác định α0 : tan α = −σ τ−σ =tanβ y

x xy o

2

2 (4.5)

2

π β

αo = ±k ⇒

2

01

β

α = vaø

2

02

π β

α = ±

(4.5) cho thấy có hai giá trị α0 sai biệt 90° Vì vậy, có hai mặt vng góc với nhau song song với trục z Trên mặt có ứng suất tác dụng

Hai ứng suất ứng suất pháp cực trị (ký hiệu

σmax hay σmin )

y x

xy u

dz d

σ σ

τ α

σ

− − = ⇔

=0 tan2 giống với (4.5)

Giáù trị ứng suất chính hay ứng suất pháp cực trị tính cách ngược trị số α (4.5) vào (4.2a)

Để ý rằng:

o o

α α

α α α

2 tan

1 ;

2 tan

sin

2

2 = ± +

+ ±

= cos2 o

⇒

2

, max

2

2 xy

y x y

x σ σ σ τ

σ σ

σ ⎟⎟ +

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

± + =

= (4.6)

Ta lại thấy σ max + σ = σ + σ = σ x + σ y Thí dụ 4.2 Tìm ứng suất

chính phương TTƯS (H.4.10a) Đơn vị ứng suất kN/cm2

Giaûi

Theo quy ước dấu, ta có:

2 y

2

kN/cm ; kN/cm

4 =

= σ

σx

2

kN/cm

+ = xy

τ

Phương xác định từ (4.5):

2

− = − = −

= τxy

α ⇒ α =− +

a) H 4.10

y

x

1

b) x

y

σ1 σ2

67o30’

(7)

Có phương ( mặt chính) vuông góc

Các ứng suất xác định từ (4.6):

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ± = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ± +

= 22

kN/cm kN/cm

58 ,

41 ,

2

4

min max

σ (ii)

Để xác định mặt từ (i) có ứng suất (ii) tác dụng, ta dùng (4.2b), chẳng hạn với (1) 22o30'

o =−

α , ta coù:

( ) ( ) kN/cm2

41 , ' 30 22 sin ' 30 22 cos

2

4+ + − − − − =

= o o

u σ

Vậy : σ1 = 4,41 kN/cm2 ứng với góc nghiêng (1) 22o30'

o =−

α ,

σ2 = 1,58 kN/cm2 tác dụng mặt có (2) 67o30'

o =−

α

Các mặt ứng suất biểu diễn phân tố H.4.10b

2- Ứng suất tiếp cực trị

Tìm ứng suất tiếp cực trị mặt nghiêng có ứng suất tiếp cực trị cách cho =

α τ

d d uv

=(σ −σ )cos2α−2τ sin2α =0 α

τ

xy y

x uv d

d (4.7)

⇔ = − =

xy y x

τ σ σ α

2

tan (4.7)

So sánh (4.7) với (4.5) ⇒

o

α α

2 tan

1

tan = −

(4.8)

⇒ o

o k90

2

2α = α ± hay α =αo ± k45o ⇒

Mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt góc 45°

Thế (4.8) vào (4.2b), ta :

2

min max

2 xy

y

x σ τ

σ

τ ⎟⎟ +

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ − ±

= (4.9) 4.2.4 Các trường hợp đặc biệt

1- TTƯS phẳng đặc biệt

Phân tố H.4.12 có: σx=σ; σy=0; τxy=τ

Từ (4.6)

⇒

σ τ

TTUSphẳng đặc biệt

τ

H 4.11 Ứng suất tiếp cực trị

o o 2)45 ( ) ( 1= α +

α

τmax

σ

(8)

2 ,

1

max

2

2 σ τ

σ σ

σ = = ± + (4.10)

Phân tố có ứng suất ( gặp trường hợp chịu uốn )

2- TTƯS trượt túy (H.4.13) Ở đây, σx=σy=0;τxy=τ;Thay vào (4.6) ⇒ σ =σ1,3=±τ

min

max hay σ1=−σ3=τ (4.11) Hai phương xác định theo (4.5):

∞ =

o

α

tan ⇔

2

π π

αo = +k (4.12)

Những phương xiên góc 45o với trục x và y

3- Trường hợp phân tố chính (H.4.14) Phân tố có σ , σ ,τ = 0; Thay vào (4.9), ta được:

2

3

max,

σ σ

τ =± − (4.13) 4.3 TTỨS TRONG BÀI TỐN PHẲNG- PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

1- Vòng tròn Mohr ứng suất

Công thức xác định ứng suất mặt cắt nghiêng (4.2) biểu diễn dạng hình học vòng tròn Mohr Để vẽ vòng tròn Mohr, ta xếp lại (4.2) sau:

α τ

α σ

σ σ σ

σ cos2 sin2

2

2 xy

y x y x

u −

− = +

− (4.14)

τ σ σ sin2α τ cos2α

2 xy

y x

uv +

−

= (4.14)’

Bình phương hai vế hai đẳng thức cộng lại, ta được:

2 2

2

2 xy

y x uv y x

u τ

σ σ τ σ σ

σ ⎟⎟ +

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

= + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ +

− (4.15)

Đặt:

2

2 ;

2 xy

y x y

x

c σ σ σ σ ⎟⎟ +τ

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

= +

= R2 (4.16)

(4.15) thaønh: ( )2 2

R

c uv

u − +τ =

σ (4.17)

Trong hệ trục tọa độ, với trục hoành σ trục tung τ, (4.17) phương trình đường trịn có tâm nằm trục hồnh với

σ1 σ3

H.4.14

O

C R σ

C τ

(9)

trục z phân tố biểu thị tọa độ điểm vòng tròn Ta gọi vòng tròn biểu thị TTƯS phân tố vòng tròn ứng suất hay vòng trịn Mohr ứng suất phân tố

Cách vẽ vòng tròn: (H.4.16)

- Định hệ trục tọa độ σOτ : trục hoành σ // trục x, trục tung τ // trục y của phân tố hướng lên

trên

-Trên trục σ định điểm

E(σx, 0) điểm F(σy, 0)

Tâm C trung điểm EF

- Định điểm cực P (σy, τxy )

- Vòng tròn tâm C, qua P vòng trònMohr cần vẽ

Chứng minh: + C trung điểm EF ⇒ = + = x + y = c

2 σ σ

2 OF OE OC

Trong tam giaùc vuoâng CPF: = − = σx −σy ; FP =τxy

2 OF OE FC

2

Do ⇒ 2

2

2 FP

FC

CP x y⎟⎟ + xy =R

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

= +

= σ σ τ

2- Ứng suất mặt cắt nghiêng

σ

x x

F C

σ

P τxy

O τ

H.4.16

vòng tròn ứng suất Cách vẽ

σy

(10)

H 4.17Định ứng suất mặt nghiêng

B F

C G E A

max

M

max

D

min uv

xy

xy yx

x y

y u

uv

max P

max u

x u

u

minx

u uv

2α α

Dùng vịng trịn Mohr để tìm ứng suất mặt cắt nghiêng phân tố có pháp tuyến u hợp với trục x một góc α

Cách tìm σu ; τuv

Vẽ vòng tròn Mohr H.4.17

Từ cực P vẽ tia Pu // với phương u cắt vòng tròn điểm M Hoành độ M = σu ; Tung độ M = τuv

Chứng minh:

Ký hiệu 2α1 góc (CA,CD), 2α góc (CD,CM)

Hình 4.17 cho:

( )

α α α

α σ

σ

α α σ

σ

2 sin sin

cos cos

2 cos

CG OC OG

1

R R

R y

x

y x

− +

+ =

+ +

+ = + =

nhöng: xy

y x

R α =CE=σ −σ ; Rsin2α1=ED=τ

2 cos 1

neân: =σx+σy +σx−σy α−τxy α =σu

2 sin

cos 2

OG

Tương tự, ta có:

( )

uv xy

y x

R R

R

τ α τ

α σ

σ

α α α

α α

α

= +

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

=

+ =

2 cos

sin

2 cos sin

sin cos

2 sin

GM 1 1 1