Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC.. Theo chương trình chuẩn.[r]
(1)ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Mơn thi : TỐN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Với giá trị m, phương trình
2
x x m
có nghiệm thực phân biệt?
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình sin x cos x sin 2x cos3x 2(cos 4x sin x)
2 Giải hệ phương trình 2
xy x 7y
(x, y )
x y xy 13y
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân
2
3 ln x
I dx
(x 1)
Câu IV (1 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a
Câu V (1 điểm)
Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức
A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1 PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh làm phần (phần A B) A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) :
2
(x 2) y
5
hai đường thẳng 1 : x – y = 0, 2 : x – 7y = Xác định toạ độ tâm K tính
bán kính đường trịn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với đường thẳng
1, 2 tâm K thuộc đường tròn (C)
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Câu VII.a (1 điểm)
Tìm số phức z thoả mãn : z (2 i) 10 z.z 25 B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(-1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – = Xác định toạ
độ điểm B C , biết diện tích tam giác ABC 18
(2)song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ
Câu VII.b (1 điểm)
Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
x
y x
điểm phân biệt A, B cho AB =
BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I.
1 y = 2x4 – 4x2 TXĐ : D = R
y’ = 8x3 – 8x; y’ = x = x = 1; xlim x 1 +
y' + +
y + +
2 CĐ 2
CT CT y đồng biến (-1; 0); (1; +)
y nghịch biến (-; -1); (0; 1)
y đạt cực đại x = y đạt cực tiểu -2 x = 1
Giao điểm đồ thị với trục tung (0; 0)
Giao điểm đồ thị với trục hoành (0; 0); ( 2;0)
2 x2x2 – 2 = m 2x2x2 – 2 = 2m (*)
(*) phương trình hồnh độ giao điểm (C’) : y = 2x2x2 – 2 (d): y = 2m
Ta có (C’) (C); x - hay x
(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành - 2 < x < Theo đồ thị ta thấy ycbt < 2m < < m <
Câu II.
1 sinx+cosxsin2x+ cos 3x 2(cos 4x si n x)
3 3sin x sin 3x
sin x sin 3x cos3x 2cos 4x
2 2
sin 3x cos3x 2cos 4x
1
sin 3x cos3x cos 4x
2
sin sin 3x cos cos3x cos4x
6
cos4x cos 3x
4x 3x k2 x k2
6
2
4x 3x k2 x k
6 42
x y
1
0
2
(C’)
2
x y
1
2
(3)2 2
xy x 7y
x y xy 13y
y = hệ vô nghiệm
y hệ
2 x x y y x x 13 y y
Đặt a =
1 x
y
; b =
x
y
2
2
1 x
a x
y y 2
x a 2b
y
Ta có hệ
a b
a b 13
2
a b
a a 20
a b 3 hay
a
b 12 Vậy
1 x y x y
hay
1 x y x 12 y
x 4x
x 3y hay
x 5x 12
x 12y (VN)
x 1 y
hay
x y 1 Câu III :
3 3
2 2
1 1
3 1 2
3 ln x dx ln x
I dx dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3
I
(x 1) (x 1)
ln x I dx (x 1) Đặt u = lnx
dx du x dx dv (x 1)
Chọn
1 v x
3 3
2
1 1
ln x dx ln dx dx ln 3
I ln
x x(x 1) x x
Vậy :
3
I (1 ln 3) ln
4
Câu IV. BH=
a
,
2
3
3 2
BH a a
BN
BN ;
3 '
2 a
B H
goïi CA= x, BA=2x, BCx
2 2
2 CA
BA BC BN
2
2
3
4
a x
x x
(4)Ta có:
3
' '
2
a
B H BB
V=
2
2
1 9
3
3 2 12 52 208
a a a a
x
Câu V :
3
3
2
(x y) 4xy
(x y) (x y) x y
(x y) 4xy
2
2 (x y)
x y
2
dấu “=” xảy :
1 x y
2
Ta có :
2 2 2 (x y )
x y
4
4 2 2 2 2 2
A x y x y 2(x y ) (x y ) x y 2(x y ) 1 2
2 2 2
2 2 2
(x y )
3 (x y ) 2(x y )
4
(x y ) 2(x y )
4
Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥
1
2
9
f (t) t 2t 1, t
4
9
f '(t) t t
2
1
f (t) f ( )
2 16
Vậy :
9
A x y
16
Câu VIa.
1 Phương trình phân giác (1, 2) :
x y x 7y
2
1
2
5(x y) (x 7y)
y 2x :d
5(x y) x 7y
1
5(x y) x 7y y x : d
2
Phương trình hồnh độ giao điểm d1 (C) : (x – 2)2 + (– 2x)2 =
4
25x2 – 20x + 16 = (vơ nghiệm)
Phương trình hồnh độ giao điểm d2 (C) : (x – 2)2 +
x
2
25x 80x 64
x =
8
5 Vậy K
; 5
(5)R = d (K, 1) =
2
2 TH1 : (P) // CD Ta có : AB ( 3; 1;2), CD ( 2; 4;0)
(P)có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)
(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 4x 2y 7z 15
TH2 : (P) qua I (1;1;1) trung điểm CD
Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0) (P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 2x 3z
Câu VIb
1 4
AH
2
1 36 36
S AH.BC 18 BC
9
2 AH
2
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) =
x y
H : H ;
x y 2
B(m;m – 4)
2
2
2
BC
HB m m
4 2
7 11
m
7 2
m
7
2
m
2
Vậy 1 2
11 3 5 11
B ; C ; hay B ; C ;
2 2 2 2
2 AB (4; 1;2); nP (1; 2;2)
Pt mặt phẳng (Q) qua A // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) =
x – 2y + 2z + = Gọi đường thẳng qua A
Gọi H hình chiếu B xuống mặt phẳng (Q) Ta có : d(B, ) BH; d (B, ) đạt qua A H
Pt tham số
x t
BH: y 2t
z 2t
Tọa độ H = BH (Q) thỏa hệ phương trình :
x t, y 2t,z 2t
x 2y 2z
10 t
9
H 11 7; ;
9 9
qua A (-3; 0;1) có VTCP
a AH 26;11;
9
(6)Pt () :
x y z
26 11
Câu VII.a. Đặt z = x + yi với x, y R z – – i = x – + (y – 1)i z – (2 + i)= 10 z.z 25
2
2
(x 2) (y 1) 10
x y 25
2
4x 2y 20
x y 25
2
y 10 2x
x 8x 15
x y 4 hay
x y 0 Vậy z = + 4i hay z =
Câu VII.b.
Pt hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng :
2
x
x m x
2x2 – mx – = (*) (vì x = khơng nghiệm (*))
Vì a.c < nên pt ln có nghiệm phân biệt
Do đồ thị đường thẳng ln có giao điểm phân biệt A, B AB = (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16 2(xB – xA)2 = 16
(xB – xA)2 =
2
m
8
m2 24
m = 2 TS Nguyễn Văn Nhân