Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a.[r]
(1)ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Mơn thi : TỐN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)
Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1)
Với giá trị m, phương trình x x2 2− =2 m có đúng nghiệm thực phân biệt?
Câu II (2 điểm)
Giải phương trình sin x cos x sin 2x+ + 3 cos3x 2(cos 4x sin x)= + Giải hệ phương trình xy x 7y2 2 2 (x, y )
x y xy 13y + + =
⎧
∈ ⎨
+ + =
⎩ \
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
3
2
3 ln x
I d
(x 1)
+ =
+
∫ x
Câu IV (1 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vuông C BAC = 60n Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a
Câu V (1 điểm)
Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức
A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh làm phần (phần A B) A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x 2)2 y2
− + =
và hai đường thẳng Δ1 : x – y = 0, Δ2 : x – 7y = Xác định toạđộ tâm K tính
bán kính đường trịn (C1); biết đường trịn (C1) tiếp xúc với đường
thẳng Δ1, Δ2 tâm K thuộc đường tròn (C)
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Câu VII.a (1 điểm)
Tìm số phức z thoả mãn : z (2 i)− + = 10 z.z 25=
B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(-1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng Δ : x – y – = Xác định toạ độ điểm B C , biết diện tích tam giác ABC 18
(2)Câu VII.b (1 điểm)
Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
x
y x
−
= điểm phân biệt A, B cho AB =
BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I
−2
x y
−1
− 2
(C)
1 y = 2x4 – 4x2 TXĐ : D = R y’ = 8x3 – 8x; y’ = ⇔ x = ∨ x = ±1;
xlim→±∞= +∞
x −∞ −1 +∞
y' − + − + y +∞ +∞
−2 CĐ −2 CT CT y đồng biến (-1; 0); (1; +∞)
y nghịch biến (-∞; -1); (0; 1) y đạt cực đại x = y đạt cực tiểu -2 x = ±1
Giao điểm đồ thị với trục tung (0; 0)
Giao điểm đồ thị với trục hoành (0; 0); (± 2;0)
2 x2⎜x2 – 2⎜ = m ⇔ 2x2⎜x2 – 2⎜ = 2m (*)
(*) phương trình hồnh độ giao điểm (C’) : y = 2x2⎜x2 – 2⎜ (d): y = 2m
Ta có (C’) ≡ (C); x ≤ - hay x ≥
(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành - < x <
x y
−1
− 2
(C’)
Theo đồ thị ta thấy ycbt ⇔ < 2m < ⇔ < m < Câu II
1 sinx+cosxsin2x+ 3 cos3x 2(cos 4x si n x)= +
3 3sin x sin 3x
sin x sin 3x cos3x 2cos 4x
2 2
sin 3x cos3x 2cos 4x
1
sin 3x cos3x cos 4x
2
sin sin 3x cos cos3x cos 4x
6
cos 4x cos 3x
4x 3x k2 x k2
6
2
4x 3x k2 x k
6 42
−
⇔ + + = +
⇔ + =
⇔ + =
π π
⇔ + =
π
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
π π
⎡ = − + + π ⎡ = − + π
⎢ ⎢
⇔⎢ ⇔⎢
π π π
⎢ = − + π ⎢ = +
⎢ ⎢
⎣ ⎣
(3)y = hệ vô nghiệm y ≠ hệ⇔
2 x x y y x x y y ⎧ + + = ⎪⎪ ⎨ + + = ⎪ ⎪⎩
Đặt a = x y
+ ; b = x
y ⇒
2 2
1 x
a x
y y
= + + ⇒ 2
2
x a
y 2b
+ = −
Ta có hệ {a b 7a2+ =− =b 13 ⇔{a b 7a2+ =+ −a 20=0
⇔ {a 4b 3== hay {ab 12= −= Vậy
1 x y x y ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ = ⎪ ⎪⎩ hay x y x 12 y ⎧ + = − ⎪⎪ ⎨ = ⎪ ⎪⎩
⇔ {x 3yx2=−4x 3+ =0 hay {xx 12y2=+5x 12+ =0(VN) ⇔ x 11 y
3 = ⎧⎪ ⎨ =
⎪⎩ hay { x y 1==
Câu III :
3 3
2
1 1
3 1 2
3 ln x dx ln x
I dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3
I
(x 1) (x 1) ln x I dx (x 1) + = = + + + + − = = = + + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2dx
Đặt u = lnx du dx x ⇒ = dx dv (x 1) =
+ Chọn
1 v x − = +
3 3
2
1 1
ln x dx ln dx dx ln 3
I l
x x(x 1) x x
= − + = − + − = − +
+ ∫ + ∫ ∫ + n
Vậy : I 3(1 ln 3) ln
= + −
Câu IV
BH=
2
a,
4 B
3
3 2
H a
BN
BN = ⇒ = =
a;
'
2 a
B H = C A
B
M N
H goïi CA= x, BA=2x, BC =x
2
2 2
2 CA
BA +BC = BN +
2 2
2
3
4
a x
x x ⎛ ⎞
⇔ + = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 2 52 a x ⇔ =
Ta có: ' ' 3
2
a
(4)V= 1 3 9
3 2 12 52 208
a a a
x
⎛ ⎞ = =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a
Câu V :
3
3
2
(x y) 4xy
(x y) (x y) x y
(x y) 4xy
⎧ + + ≥
⎪ ⇒ + + + − ≥ ⇒ + ≥
⎨
+ − ≥
⎪⎩
2
2 (x y)
x y
2
+
⇒ + ≥ ≥ dấu “=” xảy : x y
= =
Ta có :
2 2 (x y ) x y
4
+
≤
1 ( 4 2) 2 2 2 2 A x= +y +x y −2(x +y ) (x+ = ⎡⎣ +y ) −x y ⎤⎦−2(x +y )+
2 2
2 2 2
2 2 2
(x y )
3 (x y ) 2(x y )
4
(x y ) 2(x y )
4
⎡ + ⎤
≥ ⎢ + − ⎥− +
⎣ ⎦
= + − + +
+
Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ 2
9
f (t) t 2t 1, t
4
9
f '(t) t t
2
1
f (t) f ( )
2 16
= − + ≥
= − > ∀ ≥
⇒ ≥ =
Vậy : Amin x y
16
= = =
Câu VIa
1 Phương trình phân giác (Δ1, Δ2) : x y x 7y
2
− −
= ±
1
5(x y) (x 7y)
y 2x :d
5(x y) x 7y
1
5(x y) x 7y y x : d
2
⇔ − = ± −
= − ⎡
− = −
⎡ ⎢
⇔⎢ ⇔
⎢
− = − + =
⎣ ⎣
Phương trình hồnh độ giao điểm d1 (C) : (x – 2)2 + (– 2x)2 =
5 25x2 – 20x + 16 = (vơ nghiệm)
Phương trình hồnh độ giao điểm d2 (C) : (x – 2)2 +
2
x
2
⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ x =
2
25x 80x 64
⇔ − + =
5 Vậy K
; 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
R = d (K, Δ1) = 2
5
(5)(P) có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7) (P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1)
4x 2y 7z 15
⇒ = − − − =
− + − + − =
⇔ + + − =
G G
TH2 : (P) qua I (1;1;1) trung điểm CD Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 2x 3z
= − − = −
⇒ =
− + − = ⇔ + − =
JJJG JJG
G
Câu VIb
1 4
AH
2
1 36
S AH.BC 18 BC
9
2 AH
2
− − −
= =
= = ⇔ = = 36 =
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) =
x y
H : H ;
x y 2
− =
⎧ ⇒ ⎛ − ⎞
⎨ + = ⎜⎝ ⎟⎠
⎩
B(m;m – 4)
2
2
2
BC
HB m m
4
7 11
m
7 2
m
7
2
m
2
⎛ ⎞ ⎛
⇒ = = =⎜ − ⎟ +⎜ − +
⎝ ⎠ ⎝
⎡ = + = ⎢
⎛ ⎞
⇔⎜ − ⎟ = ⇔ ⎢
⎝ ⎠ ⎢ = − =
⎢⎣
2
⎞ ⎟ ⎠
Vậy B1 11 3; C1 3; hay B2 3; C2 11;
2 2 2 2
⎛ ⎞ ∧ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞∧ ⎛
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
3⎞ ⎟ ⎠
2 AB (4; 1;2);= − nP =(1; 2;2)−
JJJG G
Pt mặt phẳng (Q) qua A // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) =
⇔ x – 2y + 2z + = Gọi Δ đường thẳng qua A Gọi H hình chiếu B xuống mặt phẳng (Q) Ta có : d(B, Δ) ≥ BH; d (B, Δ) đạt ⇔Δ qua A H
Pt tham số
x t BH: y 2t
z 2t = + ⎧
⎪ = − − ⎨
⎪ = + ⎩
Tọa độ H = BH ∩ (Q) thỏa hệ phương trình :
x t, y 2t,z 2t
x 2y 2z
= + = − − = +
⎧
⎨ − + + = ⎩
10 t
9
⇒ = − H 11 7; ;
9 9
⎛ ⎞
⇒ ⎜− ⎟
⎝ ⎠
Δ qua A (-3; 0;1) có VTCP a AH 1(26;11; 2)
Δ = = −
JJG JJJG
Pt (Δ) : x y z
26 11
+ − −
= =
−
Câu VII.a Đặt z = x + yi với x, y ∈ R z – – i = x – + (y – 1)i
(6)⇔ ⎧ −⎨ + =(x 2)x2 y22+25(y 1)− =10 ⇔
⎩ { 2
4x 2y 20 x ++y ==25
⇔{xy 10 2x2=−8x 15−+ =0 ⇔{x 3y 4== hay {x 5y 0==
Vậy z = + 4i hay z = Câu VII.b
Pt hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng :
2
x
x m x
−
− + =
⇔ 2x2 – mx – = (*) (vì x = khơng nghiệm (*)) Vì a.c < nên pt ln có nghiệm phân biệt ≠
Do đồ thị đường thẳng ln có giao điểm phân biệt A, B
AB = ⇔ (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16 ⇔ 2(xB – xA)2 = 16 ⇔ (xB – xA)2 = ⇔
2 m
8
⎛ + ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⇔
2