Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho h ình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.. Viết phương trình đường thẳng AB.[r]
(1)GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN KHỐI A KỲ THI TUYỂN SINH ĐH – CĐ NĂM 2009 I Phần chung cho tất thí sinh
Câu I: (2,0đ) Cho hàm số:
x
y (1)
2x
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B v tam giác OAB cân gốc toạ độ O
Bài giải
x
2 x
3 TXÐ: \
2 S bi n thiên
x
Tìm ti m c n ng: lim th hàm s (1) có ti m c n n g x
2x
x 1
Tìm ti m c n ngang: lim th hàm s (1) có ti m c n ngang y
2x 2
1
Tính y' v
2x
¡ ù Õ
ệ ậ đứ đồ ị ố ệ ậ đứ
ệ ậ đồ ị ố ệ ậ
íi x hàm s ln ngh ch bi n ; 3; khơng có c c tr
2 2
è Þ Õ ù Þ
Bảng biến thiên
Đồ thị:
bảng biến thiên phụ
(2)Nhận xét:Đồ thị nhận giao điểm tiệm cận l điểm I 1, 2
làm tâm đối xứng
2 G i A a;0 Ox; B 0;b Oy theo gi thi t ta có: |a | |b|
nh ng hàm s lu n ngh ch bi n nên ti p n ch có th có d ng y kx m v i k < nên a b
x y Ph ng trình ng th ng AB:
a b x y
1 y x a ti p xúc v a a
ä ¶ Õ
ố ô ị ế ế ế ỉ ể
ớ
ươ đườ ẳ
ế
2
2
x
x a 2x
i (1)
1
1 (2x 3)
x a (lo i)
T ph ng trình 2x
(2x 3) x a
V y ph ng trình ti p n c a (1) y x
ạ
ừ ươ
ậ ươ ế Õ ñ
Câu II: (2,0 đ)
1 Giải phương trình:
1 sinx sinx1 sinx cosx
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -2 2 4
(3)2 Giải phương trình:
2 3x 2 5x 8 x¡ Bài giải
2
x k2
6
1 sinx sinx
u ki n : x k2
1 sinx
sinx
x k2
2 sinx cosx
3 sinx sinx
cos x sin x cos x sinx 2sinx 2sin x cosx 2sinxcosx sin x sinx +1
cos x sin x cos 2x s
1 §iỊ Ư
in 2x
1 3
cos x sin x cos 2x sin 2x
2 2
sin x sin 2x
6
k2
x 2x k2 x
6 18
2
x 2x k2 x k2 lo i
6
(4)
3
2
3
3
2
3
3
2
2
2) 3x 5x Ð t 3x u 3x u
6 5x v 5x v u v
2u 3v
3 5u 3v
5 v 3v
3
Gi i ph ng trình: v 3v
135v 1104v 2880v 2496 v 135v 564v 624 v
Vì 135v
ặ
ả ươ
564v 624 VN u
6 5x 16 x
(5)
/2
3
0
/2 /2
5
1
0
/2 /2
5
1
0
/2
2
/2
4
0
5
Tính tích phân I (cos x 1)cos x dx Gi i
I cos x dx cos x dx I I Tính I cos x dx cos x.cos x dx
1 sin x d(sin x)
sin x sin x d(sin x) / sin x sin x
sin x
5
1
1 15
¶
/2 /2
2
0
1
1
Tính I cos x dx cos 2x dx
/
sin 2x
4 4
8 Ta c : I I I
15
đượ
Cõu IV: (1,0im)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D ; AB = AD = 2a, CD = a, góc hai mặt phẳng (SBC) v (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) v (SCI) vng góc v ới mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
(6)(7)µ µ
0
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
Hình thang ABCD A D 90
AB AD 2a A D a
A B l tam gi c vu ng B A AB a 4a 5a vu ng DC : C a a 2a
T C k CH AB CHB l tam gi c vu ng CH 2a, CD a HB a
BC HC HB 4a a 5a
BIC l tam gi c c n BC B 5a K
µ ô
ô
ừ ẻ ô
à â
ẻ
·
2
2 2
0
K CB : T nh K
a G i J l trung m C J
2 a 9a BJ B J 5a
2
3a BJ ,
2
BJ C Ta có BJ C K.BC K
BC 3a
a 3a
K
a 5
S C , S C ABCD S ABCD IK BC SK BC SKI 60
3a S K.tan 60
5
AB CD AD 2a a 2a
Di n t ch ABCD 3a
2
í ọ điể
ệ í
3
2
1 3a 3a 3a 15
V 3a
3 5
Câu V: (1,0 điểm)
Chứng minh với số thực d ương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có :
(8)
2
2
2
2
2 2
3
3
3 2
x xt t t y z, gi thi t suy yz
3
y z
Vì yz x x y z 3yz y z
4
3
x tx t 2x t 4t
4
2x t 2t 2x t B T ph i ch ng minh
2x y z x y x z 2x y z x y x z y z y z 2x y z x y x z 2x x z
2x y z 6x x x y z yz
Đặ ả ế
Đ ả ø
3
3 2 3
2
Vì t
2
2
2
2
y z x xt
2x t 6x x xt 5t
3 2t 2x 3xt 2t
2x 3xt 2t
t t 3t
Vì x 2x 3xt 2t
2 2
2x 3xt 2t pcm D u " " x y x y z
đ
ấ ả
Phần riêng (3,0)
A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho h ình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đ ường thẳng: : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB
2 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2– 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đ ường trịn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn
(9)' '
'
' ' '
' '
M M M
I
M
M M M M
I
' '
E E E E
Ph ê
I giao c a AC BD nên M ì M CD
x x x
x x 11
2
y y y y
y
2
M t khác: ME IE nên:
EM IE (11 x )(x 6) (1 y )(y
uuuur uur
Çn ri ng c©u 6a (1)
ủ đối xứng với M quaIth
Ỉ
2
E E E E
E E
2
E E E E
E E
E E E E
2) x y 17x y 64 0(1)
Mà E : x y x y (2)
T ta c
-x y 17x y 64 x y
y
E(6; 1) x
y
E(7; 2) x
Ph ng trình ng th ng AB : y
x 4y 19
õ (1) vµ(2) ã
(10)2 2
P C u 6a(2)
PT (S) (x 1) (y 2) (z 3) 25 T án kính R =
| 4 |
có:d(I;P)
4
có:d(I;P) R m ịn
Có n (2; 2; 1) ph ình
r
©
©m I(1;2;3); b
ặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tr ươngtr đường thẳng qua I(1;2;3) v
'2
à vu ng góc v à: x = 1+2t
y = - 2t z = - t G
E(1 2t; 2t;3 t) (P)
2(1 2t) 2(2 2t) (3 t) t E(3;0;2)
G án kính ó:
R 25
'
2
ô ới(P) l
ọi E tâm đường tròn giao tuyến
ọi R b đường tròn (E) c
= R - IE 9 16 R' 4
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2+ 2z + 10 = Tính giá trị biểu
thức A = |z1|2 + |z2|2
Bài giải
2 '
1
2
2
1
PT : z 2z 10 10 3i z 3i | z | 10 z 3i | z | 10
A | z | | z | 10 10 20
B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm)
(11)tham số thực Gọi tâm đường tròn (C) Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai đường thẳng
1
x y z x y z
: , :
1 2
Xác định toạ độ điểm M
thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
2và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) nhau.
Bài giải
2
2
2
2
6b1 Ph ng trình (C) x y 2 T m ; ; b n k nh R
K H ( ) H l trung m AB 4m
V i H d ;
1 m
ng th ng ( ) c t (C) H R | 4m |
2 14m 8m 1 m
4 30 30
m
14 14
t H x K : x Trong vu ng HA ta c : HA
ươ
â í
ẻ điể
ớ
Đườ ẳ ắ
Đặ §
« ã
2 2
2
2 AB
2
2 2
AB
2
AB
2
A H x
HA x
S H.AB x x
Áp d ng B T c si ta c :
x x
S x x x x
2
max S x x x tho m n m tho m n | 4m |
1 15m 8m 8
m tho m n m
15
ụ Đ ô ó
ả Ã ¶ ·
(12) 2 2
2 2
2
2 2
2 6b.2
x t : y t
z 6t
x y z
: i qua A ; ; v u ; ;
2
M M t ; t ; 6t
AM,u 14 8t 14t 20 4 t d M,
3 u
1 t 2t 18 12t 11t 20 d M, (P)
3 ( 2)
Vì d M, d M, (P) n n : 11t r uuur r r đ ê
2 2
2 2
2
1
14 8t 14t 20 t 20
3
11t 20 14 8t 14t 20 t t
35t 88t 53 53 t
35 V i t M , ,
53 18 53
V i t M , ,
35 35 35 35
í í
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
2
2
x xy y
log x y log (xy) x, y 81
(13)2
2
2
x xy y
2 2
2 2
2
C b K : x.y
log (x y ) log (2xy) H
3
x y 2xy (x y) x xy y x xy y
x y
x y x xy y
âu7
ệ
đ