Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.. Câu II (2,0 đ[r]
(1)ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Mơn thi : TỐN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Cu I (2 điểm) Cho hàm số y =
x 2x
(1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O
Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình
(1 2sin x)cos x
3 (1 2sin x)(1 sin x)
.
2 Giải phương trình : 3x 5x 03 (x R)
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
3
0
I (cos x 1) cos xdx
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600. Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz, ta có (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) 5(y + z)3.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường trịn
Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2+2z+10=0 Tính giá trị biểu thức A = z12 + z22
B Theo Chương trình Nâng Cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = 0 đường thẳng : x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích IAB lớn
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = đường thẳng 1 :
x y z
1
; 2 :
x y z
2
Xác định tọa độ
điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
(2)Gỉai hệ phương trình :
2
2
2
x xy y
log (x y ) log (xy) 81
(x, y R)
BÀI GIẢI PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I.
/
2
3
\ , 0,
2 (2 3)
D y x D
x
Suy hàm số giảm khoảng xác định khơng có cực trị
3
2
lim , lim
x x
y y
TCĐ:
3 x
1
lim :
2
x y TCN y
2 Tam giác OAB cân O nên tiếp tuyến song song với hai đường thẳng y = x y = -x Nghĩa là:
f’(x0) = 1
2
1
1 (2x 3)
0
0
x y
x y
1 : y – = -1(x + 1) y = -x (loại) 2 : y – = -1(x + 2) y = -x – (nhận) Câu II.
1 ĐK:
1 sin
2 x
, sinx ≠
1 2sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin 2sin cos sin sin2 cos
Pt x x x x
x x x x x
x x x x
1 3
cos sin sin2 cos2 cos cos
2 2
x x x x x x
2 2
3 6
x x k hay x x k
2
x k
(loại)
2
18
x k
, k Z (nhận) 2 3x 5x 03 , điều kiện :
6
6
5
x x
-2 3 2
0 x
y
2/3
+∞
1
+∞
-∞
y y/ x
-∞
2
(3)-Đặt t = 33x 2 t3 = 3x – x = t
3
– 5x = 5t
3
Phương trình trở thành :
3 5t
2t
3
3 5t
3 2t
3
3 t
15t 4t 32t 40 0
t = -2 Vậy x = -2 Câu III.
2 2
3
0 0
2 2
4 2
1
0 0
cos cos cos cos
cos cos sin cos 2sin sin cos
sin cos
I x xdx xdx xdx
I x xdx x xdx x x xdx
t x dt xdx
Đổi cận: x= t = 0; x =
t =
1
1
2
0
2 2 2 2
2
0
0 0
2
3
0
2
1
3 15
1 cos 1 1
cos cos sin
2 2 4
8 cos cos
15
t t
I t t dt t
x
I xdx dx dx xdx x x
I x xdx
Câu IV Từ giả thiết tốn ta suy SI thẳng góc với mặt phẳng ABCD, gọi J là trung điểm BC; E hình chiếu I xuống BC
2a a 3a IJ
2
SCIJ
2 IJ CH 3a 3a
a
2 2
, CJ=
BC a
SCIJ
2
3a 1 3a 3a 6a 3a
IE CJ IE SE ,SI
4 CJ 5
,
3
1 3a 3a 15
V a 2a 2a
3 5
Câu V x(x+y+z) = 3yz
y z y z x x x x
A B
D C
I J
(4)Đặt 0, 0,
y z
u v t u v
x x
.Ta cĩ
22
1 3 3 4 2
2
u v t
t uv t t t t t
Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa về
1u
3
1v
33 1
u
1v u v
5
u v
3
3 2 3
3 3
3 3 3 2
2 1 1 1
2 1 6(1 )
1
2 6 2
3
t u v u v u v t t
t u v t t u v uv t
t
t t t t t t t t t
Đúng t PHẦN RIÊNG
A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a I (6; 2); M (1; 5)
: x + y – = 0, E E(m; – m); Gọi N trung điểm AB I trung điểm NE
N I E
N I E
x 2x x 12 m
y 2y y m m
N (12 – m; m – 1)
MN
= (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; – m – 2) = (m – 6; – m)
MN.IE 0
(11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = m – = hay 14 – 2m = m = hay m = + m = MN
= (5; 0) pt AB y = + m = MN
= (4; 1) pt AB x – – 4(y – 5) = x – 4y + 19 = I (1; 2; 3); R = 11 5
d (I; (P)) =
2(1) 2(2) 4
< R = Vậy (P) cắt (S) theo đường trịn (C)
Phương trình d qua I, vng góc với (P) :
x 2t y 2t z t
Gọi J tâm, r bán kính đường trịn (C) J d J (1 + 2t; – 2t; – t) J (P) 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – + t – = t =
Vậy tâm đường tròn J (3; 0; 2)
Bán kính đường trịn r = R2 IJ2 25 9 4
Câu VII.a ’ = -9 = 9i2 phương trình z = z1 = -1 – 3i hay z = z2 = -1 + 3i A = z12 + z22 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20
B Theo Chương trình Nâng Cao
Câu VI.b (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = có tâm I (-2; -2); R =
Giả sử cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH ABC, ta có SABC =
1
IA.IB.sin AIB
2 = sinAIB
Do SABC lớn sinAIB = AIB vuông I IH =
IA
2 (thỏa IH < R) 4m
1
m
(5) – 8m + 16m2 = m2 + 15m2 – 8m = m = hay m = 15 M (-1 + t; t; -9 + 6t) 1; 2 qua A (1; 3; -1) có véctơ phương a
= (2; 1; -2) AM
= (t – 2; t – 3; 6t – 8) AM a
= (14 – 8t; 14t – 20; – t) Ta có : d (M, 2) = d (M, (P))
2
261t 792t 612 11t 20
35t2 - 88t + 53 = t = hay t = 53 35
Vậy M (0; 1; -3) hay M
18 53 ; ; 35 35 35
Câu VII.b. Điều kiện x, y > 2
2 2
2
log (x y ) log log (xy) log (2xy)
x xy y
2
2
x y 2xy
x xy y
2 (x y) xy
x y xy
x y
hay
x
y
Trần Minh Quang