Chứng minh rằng nếu đường tròn nội tiếp tam giác OAB và đường tròn n ội.. ti ếp tam giác OAC có bán kính bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008-2009
Mơn Tốn - Lớp
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 11 tháng 02 năm 2009
Bài 1 : ( 4,0 điểm )
a) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3+ y3
b) Tìm tất tam giác vng có độ dài cạnh số nguyên số đo diện
tích số đo chu vi
Bài : ( 4,0 điểm )
a) Giải hệphương trình :
3xy = x+ y 5yz = y + z 4zx = z + x
b) Giải phương trình : 25 - x - 10 - x = 32 2
Bài 3:( 5,0 điểm)
a) Cho a b số nguyên dương cho a +1 b +1
a b số nguyên; gọi
d ước chung a b Chứng minh : d a + b
b) Chứng minh khơng có số nguyên x và y thỏa mãn hệ thức:
2008x2009 + 2009y2010 = 2011
Bài : ( 2,0 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B C cắt O
Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác OAB đường trịn nội
tiếp tam giác OAC có bán kính tam giác ABC tam giác cân
Bài : ( 5,0 điểm )
Cho hai đường tròn (O; R) (O’; r) tiếp xúc ngồi với A Trên
đường trịn (O; R) vẽ dâyAB = R Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) N (N khác A) Đường thẳng qua N song song với AB
cắt đường thẳng MB E
a) Chứng minh độ dài đoạn thẳng NE khơng phụ thuộc vị trí điểm M cung lớn AB;
b) Tìm vị trí điểm M cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn
nhất tính giá trị lớn
- Hết - Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008-2009
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TOÁN LỚP 9
Bài 1 : ( 4,0 điểm )
a) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3 + y3
Bải giải Điểm
Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) = x2− xy + y2 (vì x + y = 1) =
2 2
x y x y
( xy )
2 = 2(x
2
+ y2) +( x y )2
M
2(x
2
+y2)
Ngoài x + y =1 x2 + y2 + 2xy = 2(x2 + y2)−(x − y)2 =
2(x2 + y2) 1(x2 + y2)
2 dấu xảy x = y =
M
2 =
1
4 dấu xảy x = y = Vậy giá trị nhỏ M
4, đạt x = y =
0,75 điểm
0,75 điểm
0,5 điểm
b) Tìm tất tam giác vng có độ dài cạnh số ngun số đo diện
tích số đo chu vi
Bải giải Điểm
Gọi a, b, c số đo cạnh tam giác vng cần tìm Giả sử
1 a b c
Ta có hệ phương trình :
2 2
a b c
ab 2(a b c)
(1) (2) Từ (1) c2 = (a + b)2 − 2ab
c2 = (a + b)2 − 4(a + b + c) (theo (2))
(a + b)2 − 4(a + b) = c2 + 4c
(a + b)2 − 4(a + b) + = c2 + 4c +
(a + b − 2)2 = (c + 2)2 a + b − = c + (do a + b 2)
c = a + b −
Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4)
ab −4a−4b + = b(a −4) −4(a−4) = (a −4)(b−4) =
Phân tích = 1.8 = 2.4 nên ta có: a
ho ho
b
a - = a = a =
Ỉc Ỉc
b - = b = 12 b =
Từ ta có tam giác vng có cạnh (5 ; 12 ; 13) (6 ; ; 10) thỏa mãn yêu cầu toán
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
(3)Bài : ( 4,0 điểm )
a) Giải hệphương trình :
3xy = x+ y 5yz = y + z 4zx = z + x
Bải giải Điểm
+ Hiển nhiên hệ có nghiệm x = y = z =
+ Với xyz (I) viết lại:
x y xy y z yz z x zx (II)
1 x y 1 y z 1 z x Cộng ba phương trình hệ (II) theo vế ta được:
1 1 11
x y z
1 11 x yz (*)
Trừ phương trình (*) cho phương trình hệ (II) theo vế ta lần
lượt có : x = 1, y = 2, z = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0;
0; 0) (1; 2; 3)
0,5điểm
0,5điểm
0,5điểm
0,5điểm
b) Giải phương trình : 25 - x - 10 - x = 32 2
Bải giải Điểm
ĐKXĐ: - 10 x 10
Đặt a =
25x ; b =
10x ( a, b )
Ta hệ pt : 2 23
15 a b a b
Giải hệ pt ta : a = ; b = Suy : x1 = ; x2 = -3
0,25điểm
0,25điểm
0,5điểm
1,0 điểm
Bài 3:( 5,0 điểm)
a) Cho a b số nguyên dương cho a +1 b +1
a b số nguyên; gọi d ước chung a b Chứng minh : d a + b
Bải giải Điểm
Ta có: a b
a b
= ab b ab a 2ab a b a b
ab ab ab ab
: số
nguyên Suy : a b
ab
số nguyên a, b số nguyên dương
Nên a b
ab
a + b ab
0,5 điểm
0,5 điểm
(4)Do d ước a nên a d a d > Và d ước b nên b d b d > Suy : ab d2 nên a + b d2
Vậy : d a b
0,5 điểm 0,5 điểm
b) Chứng minh khơng có số ngun x và y thỏa mãn hệ thức:
2008x2009 + 2009y2010 = 2011
Bải giải Điểm
- Nếu y chẵn với x Z có 2008x2009 + 2009y2010 số chẵn;
mà 2011 số lẻ, (vô lý)
- Nếu y lẻ y1005 số lẻ Đặt y1005 = 2k + ( k Z ) 2009y2010 = 2009(y1005)2 = 2009(2k + 1)2 = 2009(4k2 + 4k + 1) =
4[2009(k2 + k)] + 2009 Ta có 2009y2010chia cho dư 2008x2009 + 2009y2010 chia cho
dư 1; mà 2011 chia cho dư 3, (vô lý) Vậy khơng có số ngun x, y thỏa mãn hệ thức :
2008x2009 + 2009y2010 = 2011
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài : ( 2,0 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B C cắt O
Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác OAB đường trịn nội
tiếp tam giác OAC có bán kính tam giác ABC tam giác cân
Bải giải Điểm
Gọi O1 O2 tâm đường tròn nội tiếp
các tam giác AOB AOC
Kẻ O1H AB H O2K AC K
O1H = O2K (gt) Điểm O trực tâm ABC
ˆ ˆ
ABO ACO
(cùng phụBACˆ )
1 2
ˆ ˆ
OBH OCK
BO H CO K (O H O K; )
2
BH CK
Nếu AB > AC AH > AK (AB = AH + HB AC = AK + KC)
1
1
O H O K ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
O AH O AK OAB OAC ABC ACB AC AB
AH AK
Mâu thuẫn
Nếu AB < AC, lập luận tương tự ta có AB > AC Mâu thuẫn
Vậy AB = AC Tam giác ABC cân A Hình 0,25 đ
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
A
B C
O
H K
(5)Bài : ( 5,0 điểm )
Cho hai đường tròn (O; R) (O’; r) tiếp xúc với A Trên
đường tròn (O; R) vẽ dâyAB = R Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) N (N khác A) Đường thẳng qua N song song với AB cắt đường thẳng MB E
a) Chứng minh độ dài đoạn thẳng NE khơng phụ thuộc vị trí điểm M cung lớn AB
b) Tìm vị trí điểm M cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn
nhất tính giá trị lớn
Bải giải Điểm
a) Ta có NE MN OO` R r
AB AM AO R
NE R r.AB R r R
Độ dài đoạn NE không đổi
b)MNE
2
MNE
MNE MAB
MAB
S NE R r
MAB S S
S AB R
Diện tích tam giác MNE lớn Diện tích tam giác AMB lớn
nhất
Gọi Mo điểm cung lớn AB Tam giác AMoB cân
tại Mo
Tiếp tuyến đường tròn (O; R) Mo cắt BM K
o
ˆ ˆ ˆ
AM BAMBAKB(góc ngồi tam giác AMK), M nằm
giữa hai điểm B K
suy khoảng cách từ M đến AB không lớn khoảng cách từ K
đến AB
MoK // AB M Oo ABtại H khoảng cách từ K đến AB MoH
Vậy M điểm cung lớn AB diện tích AMB có giá trị lớn
o
2
o AM B
R R(2 3) (2 3)R
M H R MaxS
2
Diện tích MNE có giá trị lớn
2
2
(R r) (2 3)R
(R r)
R 4
Hình 0,25 đ
(0,75 điểm) (0,75 điểm) (0,25 điểm)
0,5 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
O O’
M B
A N
E
K
(6)Chú ý :
+ Mỗi tốn có nhiều cách giải khác nhau, học sinh có cách giải khác, hợp lý xác cho điểm tốiđa
+ Đối với tốn hình, khơng có hình vẽ không chấm
+ Đề nghị tổ giám khảo cần thảo luận thống quan điểm chấm chung