ĐỀ, ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8 CẤP HUYỆN (2011-2012)

Chứng minh rằng: a) Chu vi tứ giác AEMF không đổi khi M di động trên cạnh BC. b) Đường thẳng qua M vuông góc với EF đi qua điểm K cố định.[r]

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

TÂN YÊN Năm học: 2011 - 2012

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) x2 + 7x + 6

b) xy(x + y) - yz(y + z) + xz(x - z)

Câu 2: (4 điểm)

a) Tìm số dư phép chia đa thức x2 x4 x6 x82015 cho đa thức x3 x7

b) Cho số x y z, , thoả mãn x3y3z3    x y z 1 Tính giá trị biểu

thức sau: A x2011y2011z2011 Câu 3: (4 điểm)

a) Cho x y, 0 thoả mãn 3x2 y2 2xy tính giá trị biểu thức

P 2

2

xy y xy x



 

b) Cho số A gồm 100 chữ số 1, số B gồm 50 chữ số Chứng minh A - B số phương

Câu 4: (6 điểm) Cho  ABC vuông cân A Lấy điểm M thuộc cạnh

BC, gọi E F hình chiếu M AB AC Chứng minh rằng: a) Chu vi tứ giác AEMF không đổi M di động cạnh BC b) Đường thẳng qua M vng góc với EF qua điểm K cố định c)  KEF có diện tích nhỏ M trung điểm BC

Câu 5: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau

     

2 1 2 3

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Câu 1:

a) x2 + 7x + = x2 + x + 6x + = (x + 1)(x + 6) (1đ) b) xy(x + y) - yz(y + z) + xz(x - z) = x2y + xy2 - y2z - yz2 + xz(x - z)

= y(x2 - z2) + y2(x - z) + xz(x - z) = (x - z)(xy + yz + y2 + xz) (0,5đ)

= (x - z)(x + y)(y + z) (0,5đ)

Câu 2:

a) Đặt biến đổi Q x3 x7 x210x21 (0,5đ) Đặt P x2 x4 x6 x82015x210x16 x210x242015

(0,5đ) => PQ Q 3    2015 Q 2 2Q + 2000 (0,5đ) => P chia cho Q có số dư 2000 (0,5đ) b) Ta có x3y3z3    x y z  x3y3z3 x y z  3 (0,5đ)

  

3

3 3 0

x y z  x y z   , phân tích vế trái thành nhân tử được

x y y z z x        0 (0,75đ)

=> x y yz zx

Kết hợp x y z  1 => A = 1 (0,75đ)

Câu 3:

a) Phân tích 3x2 y2 2xy thành x y  3x y 

y x

y x

    

 (0,75đ)

Phân tích mẫu P ta    

2 6 3 2 0

3

y x

y xy x y x y x

y x

 

       



 (0,75đ)

Kết hợp => y = x, thay vào biểu thức ta P

1



(0,5đ) b) Đặt 111…1 = a => 9a + = 1050 (Số a có 50 chữ số 1) (0,75đ) Khi A - B = a.1050 + a - 2.a = a.(9a + 1) + a - 2.a = (3a)2 (0,75đ) => A - B số phương (0,5đ) Câu 4:

a) Chứng minh AE = MF = CF AF = ME = EB (1đ) => chu vi CAEMF = AB + AC

Không đổi (1đ)

b) Từ C kẻ đường thẳng  AC cắt đường thẳng qua M  EF K Ta chứng minh K cố định

(0,5đ)

Thật  MEN  MAF

I N

K E

F

C A

B

=> EMN = AMF

=> NMB = AMC = KMC (0,5đ)

Chứng minh  AMC =  KMC => CA = CK khơng đổi (0,5đ)

Do K cố định (0,5đ)

c) SKME

1



KI.ME

1



BE.EM = SMBE Tương tự SKMF = SAMC

=> SKEF = SBCFE = SABC - SAEF (0,5đ) => SKEF nhỏ SAEF lớn 

1



AE.AF lớn (0,5đ) Lại có (AE + AF)2  4.AE.AF => AE.AF

AE + AF2 AB2

4

 

(0,5đ) Dấu “=” AE = AF => EF // BC => M TĐ BC (0,5đ) Câu 5: Theo ta có x2 y y 1 y2 y3

        

2

2 1 1 2 3 1 3 1

x  y y y y   x  x

(0,75đ) => x2 x2 + hai số phương Do x = 0 (0,5đ) Từ tính y  {0; -1; -2; -3} (0,5đ)