DE THI MON TOAN 9 CAP TINH

Dùng h×nh b×nh hµnh ACED.[r]

Sở giáo dục đào tạo HảI dơng

đề thức

K× thi chän häc sinh giỏi tỉnh Lớp thcs năm học 2007 2008

Môn: Toán

Thi gian: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29/3/2008

§Ị thi gồm có 01 trang Câu 1(2 điểm)

a) Chøng minh:

 

 

  

 

 

2

2 2

1 1 1

+ + = + - a 0;b 0;a + b a b (a + b) a b a + b

b) Tìm số nguyên d¬ng k tháa m·n:

2

2 2 2

1 1 1 2009 -1 1+ + + 1+ + + + + + =

1 2 k (k +1) 2009

Câu 2(2 điểm)

Tìm tất hàm số f(x) thỏa mÃn:

f(x) + af(1 – x) = (a – 1)x víi mäi gi¸ trị x (a tham số) Câu 3(2 điểm)

Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

x4 + (3m – 1)x3 – (3m – 2)x2 + (3m – 1)x + = (m lµ tham số)

Câu 4(3 điểm)

Cho ABC cú góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O) H trực tâm

ABC Gọi M điểm cung BC không chứa A (M khác B, C) Gọi N, P lần lợt điểm đối xứng M qua đờng thẳng AB, AC a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp

b) Chứng minh điểm N, H, P thẳng hàng c) Tìm vị trí M để đoạn NP lớn Câu 5(1 điểm)

Cho a, b, c, d, e thay đổi thuộc 1;1 đồng thời thỏa mãn

a + b + c+ d + e = Tìm giá trị lín nhÊt cđa A = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 Hết

Họ tên thí sinh:Số báo danh: Chữ ký giám thị 1:Chữ ký giám thị

Đáp án

Câu Đáp án §iĨm

C©u a)

2

2 2

1 1 1

a b (a b) a b ab (a b)

 

      

   

2 2

a b 1 1

ab ab (a b) a b a b                    0,5 b)Theo c©u a) ta cã

2

1 1

1

n (n 1) n n

    

  (n  N*)

0,25

Yªu cầu toán trở thành tìm k: (1+1

1 

) + (

1 1 1

1 ) (1 ) (1 )

2 3 k k

          = 2009 2009  0,25

Hay: (k+1) -

2

1 2009 k 2009

   =  2009 2009 0,25           (k 2008)

2009(k 1) =  k2008

0,25 C©u

Vì: f(x) + af(1 – x) = (a – 1)x với x (1) Do thay x – x ta có

f(1 – x) + af(x) = (a – 1)(1 – x) với x (2)

0,25

Nhân hai vế (2) với a trừ (1) ta đợc (1 – a2)f(x) = (a – 1)x – a(a – 1)(1 – x) (1 – a2)f(x) = a(1 – a) + (a2 – 1)x x(3)

0,25

+)NÕu a 1 th× f(x) =

( 1)

a a x

a

 

 =   a

x a (*)

Thư l¹i:

Tõ (*) suy f(1 – x) =    a

(1 x) a

Khi ta có

f(x) + af(1 – x) =   a

x

a + a(    a

(1 x) a ) =           a a

x(a 1) a (a 1)x x

a (tho¶ m·n (1))

0,25

0,25

+)NÕu a = -1

(3) có dạng: 0.f(x) = -2(x) (vô lí) Suy không tồn f(x)

0,25 +)Nếu a =

(1) cã d¹ng: f(x) + f(1 – x) = (x) (1’)

 f(x) = - f(1 – x) (x)

 f(x) =

2 f(x)-f(1-x) (x)

0,25

Suy f (x) cã d¹ng: f(x) =  

( ) (1 )

2 g x  g  x (x) (**)

Ngợc lại: Nếu f(x) có dạng (**)

f (x) + f(1-x) =    

1

( ) (1 ) (1 ) ( )

2 g x  g  x 2 g  x  g x  (x)

Tháa m·n (1’)

0,25

P

N

I H

K

O B

A

C

M

* a  1th× f(x) =    a

x ( x) a

* a = th× f(x) =  

( ) (1 ) g x  g  x

g(x) hàm số xác định với x * a = -1 khơng tồn f(x)

0,25

C©u

Ta thấy x = khơng nghiệm phơng trình Với x  chia hai vế phơng trình cho x2 ta đợc x2 +

1

(3m 1)(x ) (3m 2)

x   x    (1)

0,25 0,25

Đặt

x x

= t

Ta cã PT: x2 – tx + = 0(*)

PT(*) cã nghiÖm ∆   t2 0  t 

0,25

PT (1) trë thµnh: t2 + (3m – 1)t – 3m= (2) t1 = ; t2 = -3m

0,25 0,25 PT (1) cã nghiÖm PT(2) cã nghiÖm t 2 0,25 Ta thÊy t = kh«ng tháa m·n

Do để PT(1) có nghiệm

2 3

2

m m

m

      

   

§S: m

2

;

3 m 

 

0,25

0,25

Câu 4

a) Gọi giao điểm cđa CH víi AB lµ I AH víi BC lµ K

ta cã tø gi¸c BIHK néi tiÕp 0,25

 IBK KHI  1800

mµ KHI AHC  IBK AHC  1800 (1)

l¹i cã IBK AMC (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung)

 

AMCAPC (t/c đối xứng)  IBKAPC(2)

tõ (1), (2)  APC AHC 1800  tø gi¸c AHCP néi tiÕp

b), Tø gi¸c AHCP néi tiÕp  AHPACP = ACM

l¹i cã ACM ABM 1800  AHP ABM 1800 mµ

 

ABM ABN  AHP ABN 1800 (3)

0,25 0,25 Chứng minh tơng tự câu a) ta có tø gi¸c AHBN néi tiÕp

 ABN AHN (4)

tõ (3), (4)  AHP AHN 1800  N, H, P thẳng hàng

0,25 0,25 c) MAN 2BAM MAP; 2MAC

 NAP2(BAM MAC  ) 2 BAC(<1800) không đổi

0,25

Cã AN=AM=AP , cÇn chøng minh NP = 2.AP.sinBAC  NP lín nhÊt  AP lín nhÊt mµ AP = AM

AM lớn  AM đờng kính đờng tròn (O) Vậy NP lớn  AM đờng kính đờng trịn

0,25 0,25 0,25

Câu 5 Điểm

* Nếu sè b»ng  A =

*Nếu có số khác   số âm số dơng (Vì số có tổng 0) Giả sử a > ; e < số b, c, d   số cho

nhân với a số không âm (1) nhân với e số không âm (2) 0,25 NÕu cã (1) , kh«ng mÊt tÝnh tỉng quát giả sử ab0 ac

(Nếu có (2) làm tơng tự)

   2   

a 1;1 a a a ( a 1)

; T¬ng tù ta cã:

         

A a b c d e a b c d e

(V× ab, ac0) = de d e 2( d e )4

0,25

DÊu “=”x¶y

  

  

   

 

 



      

 



 2 de

e d e 0;a ab 0, ac a b c d e a a ; b b ;

  



    

 

  

 

e d

b 1, c a 1,

b 0, c

0,25`

KL: Giá trị lớn A sè cã hai sè b»ng -1;

Sở giáo dục đào tạo HảI dơng

đề dự bị

K× thi chọn học sinh giỏi tỉnh Lớp thcs năm học 2007 2008

Môn: Toán

Thi gian:150 phỳt (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29/3/2008

Đề thi gồm có 01 trang Câu 1(2 điểm)

Cho

3

0

x = + +

a) Tìm đa thức bậc với hệ số nguyên, nhận x0 nghiệm.

b) Tính giá trị biểu thức S =

6

0

1 +

x

 

 

 

Câu (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc:

 2  2

P  x2y 3  3xmy 3

m tham số Câu (2 điểm)

a) Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:

2

x 5x3m0 vµ x23xm0

b) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt:

4 2

x 8x (4m 15)x 14mx3m 0

Cho hai đờng tròn (O1;R1), (O2;R2) cắt hai điểm phân biệt A, B Vẽ tiếp tuyến chung CD thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm A, có bờ đờng thẳng O1O2( C(O )1 ;D(O )2 ) Dựng hình bình hành ACED a) Chứng minh điểm B,C,E,D nằm đờng tròn

b) Chứng minh điểm A,B,E thẳng hàng c) Hãy so sánh độ dài BE độ dài R1+R2 Câu 5(1 điểm)

Cho a, b hai số dơng thay đổi thỏa mãn a2 + b2 = 1 Tìm giá trị nhỏ A =

2

a b

b  a

HÕt

…… ……

Hä tªn thÝ sinh:.Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:

ỏp ỏn d b

Câu Đáp án Điểm

Câu a)từ giả thiÕt suy x0 – =

3

3 3 3

0

2 4 (x  1)   2 8( 2 4)

(x0 – 1)3 = +6(x0 – 1) x03 -3x02 – 3x0 - = (1) §S: x3 – 3x2 -3x - 1

b) Chia hai vế (1) cho x03 ta đợc

2

0 0

3

1

x x x

   

3

0 0

1 3

1 x x x  

3

0

1

1

x

 

 

 

 

S=

6

0

1

1

x

 

 

 

 

C©u 2

NhËn thÊy P  0(  x; y; m)

P = hÖ PT sau cã nghiÖm (1)

3 (2)

x y

x my

   



   

HÖ cã nghiÖm nhÊt (x =

3 6

;

6

m y

m m

 



  )

*NÕu m =

Ta cã P = (x + 2y – 3)2 + (3x + 3)2 Đặt x +2y = t

Ta cã P = t2 + (3t + 6)2 = 10(t + 5)2 +

18 18 5 DÊu “=” x¶y t =

9 

 (x =

2

5 y;y R)

KL:

 m  MinP = (x =

3 6

;

6

m y

m m

 



  )

 m = MinP = 18

5 (x =

2

5 y;y R)

C©u 3

a) Giả sử hai PT có nghiệm chung x0 Khi ta có: x02 +3x0+ m = (3) x02+ 5x0 + 3m = (4) Từ (3), (4) suy x0 = -m

Thay vào (3) ta đợc: m2 – 2m =  m = ; m= 2

*NÕu m =

Hai PT cho trở thành

x2 + 3x = PT cã hai nghiÖm x = 0; x = -3 x2 + 5x = PT cã hai nghiÖm x = ; x = -5 Hai PT cã nghiƯm chung lµ x =

*NÕu m = hai PT trë thµnh

x2 + 3x + = PT cã hai nghiÖm x = -1; x = -2 x2 + 5x + = PT cã hai nghiÖm x = -2 ; x =- 3 Hai PT cã nghiÖm chung x = -2

KL: m = 0; m = b) PT tơng đơng với

     

2

3m 2(2x 7x)m x 8x 15x

 

'm x (x 2)2

 

   

2

2 x 5x

m x 3x; m

3

 x2 + 3x + m = (1) ; x2 + 5x + 3m = (2)

2

x + 3x + m = (2) x + 5x + 3m = (3) 

  

PT cho có nghiệm phân biệt PT(1) PT(2) phơng trình có hai nghiệm phân biệt đồng thời chúng khơng có nghiệm chung

Theo c©u a) ta thÊy hai PT (1), (2) kh«ng cã nghiƯm chung m 0, m  2

K

I H

E B A

D O1

C

O1

2

0

25

0 2

12

2 9

0

0 4

2

0 25

12  

 



   

  



 

  

   



   

   

  

  



m

m m m

m

m m

m m

C©u 4

a)    

     

;

DAB BDC BAC BCD

DEC DAC DAB BAC BDC BCD

 

     

     1800

DEC DBC BDC BCD DBC

     

Suy tø gi¸c BCED néi tiÕp b)

Tø gi¸c BCED néi tiÕp

   

2

CBE CDE DCA sd ABC

   

Mµ

    1(   ) 1800

2

ABC sd AC ABC CBE  sd ABC AC 

Hay điểm A, B, E thẳng hàng

c) Ta có O1O2 đờng trung trực AB

Gäi H giao điểm O1O2 AB suy HA = HB Gọi I giao điểm BE vµ CD

2 2

BE AE AB AI AH IH

      (1)

Gọi K trung điểm O1O2 Chøng minh IK =

1

Tõ (1) vµ (2) suy BE  R1 + R2 (dÊu b»ng x¶y

R1 = R2 )

C©u5 Ta cã

2 2 2

2 1 1 1

2(a b ) (a b )( ) a b a b a ( ) b ( )

b  a   a b b  a  a  b  b a  a b

=

2 2

1

( )(a b ) (a b ).a b

b a ab



    

(Dấu “=” xảy  a = b) Khi 2A  (a2 + b2)(

1 1 1

)

a b  a b ab

DÊu “=” x¶y  2

0 2

2

a b

a b

a b

  

   

  

Ta cã = a2 + b2

1

2ab 2P 2 P

ab

      

DÊu “=”x¶y  a = b VËy Min A =

2

2

a b