Đề thi học kì 2 môn toán 9

mũ đó biế t r ằng vành mũ hình tròn và ống mũ hình trụ (coi ph ần mép vải được may không đáng kể.. Kẻ đườ ng kính AB vuông góc v ới dây MN tại E.. Nếu mỗi đội làm một mình xong công v[r]



Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP CÁC QUẬN HÀ NỘI

UBND QUẬN THANH XUÂN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Đề số

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II

NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TỐN – LỚP

Thời gian làm bài: 90 phút

Ngày kiểm tra: / /2019

Bài 1(2 điểm). Cho hai biểu thức A = x x



 B =

8 24

x x

x x

 



 với x ≥ 0; x ≠

1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 2) Chứng minh

3 x B

x

 



3) Tìm GTNN P= B

A

Bài 2(2 điểm).Giải tốn cách lập phương trình hệphương trình

Đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm thời gian quy định Nhờ tăng suất lao

động ,nên ngày đội làm thêm 30 sản phẩm so với kế hoạch Vì

đã làm vượt mức kế hoạch 170 sản phẩm mà cịn hồn thành cơng việc sớm dựđịnh ngày Tính số sản phẩm mà đội sản xuất phải làm ngày theo kế hoạch

Bài 3(2 điểm).

1) Giải hệphương trình:

2

3

2

4 15

2 x

y

x y 

  



 

 

   

 



2) Trong mặt phẳng tọa độOxy cho đường thẳng d: y= 6x +m2 -1 với m tham số

parabol (P): y = x2

a) Chứng minh d cắt (P) hai điêm phân biệt với số thực m b) Gọi x1, x2là hoành độgiao điểm d (P)

Tìm m để x12 – 6x2+x1x2 =48

Bài 4 (3,5 điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB,AC với B,C tiếp điểm, cát tuyến AMN với đường trịn (O) ( với MN khơng qua tâm AM < AN)

1 CHứng minh tứ giác ABOC nội tiếp Chứng minh AM.AN=AB2

3 Tiếp tuyến N (O) cắt đường thẳng BC điểm F chứng minh đường thẳng FM tiếp tuyến (O;R)

4 Gọi P giao điểm dây BC dây MN, E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNO đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC (E khác O) Chứng

minh P,E,O thẳng hàng

Bài 5(0,5 điểm). giải phương trình x 2017 2017 x -HẾT - ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KỲII NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN: TOÁN LỚP

Bài Ý Nội dung Điểm

I 2đ

1 (0,5đ)

Thay x=25 TMĐK vào A 0,25đ

Tính 13 32

A 0,25đ

2 (1đ)

B= ( 3) 24

9

x x x

x x

  

  0,25đ

B = 11 24

( 3)( 3)

x x

x x

 

  0,25đ

B = ( 8)( 3) ( 3)( 3)

x x

x x

 

  0,25đ

Suy

3 x B

x

 

 0,25đ

3 (0,5đ)

Ta có

7 B x P

A x



 

 đk x>9

16 16

3 6 14

3

14

P x x

x x

P

       

 

 

0,25đ

Dấu = xảy

16

14 49( )

9 x

P x x TMDK

x 

  

    

 



Vậy Min P 14 x=49

0,25đ

II Giải tốn bằng cách lập phương trình 2đ

Gọi số sản phẩm đội sản xuất phải làm ngày theo kế hoạch

là x sản phẩm ( x N*) 0,25đ

Nhờ tăng suất nên thực tếtrong ngày đội làm x+30 sản

Lập luận đến pt 1170 1000 30

x  x  0,5đ

Giải pt ta x1 = 100 (Thỏa mãn điều kiện ); x2 = -300 (Loại) 0,5đ

Vậy số sản phẩm đội sản xuất làm ngày theo kế hoạch 100 sản

phẩm 0,25đ

III 2đ

1 (1đ)

ĐK: x  3; y > 0,25đ

Đặt

1

3 ,

2

2

4 15

x a b

y a b

a b

  

    

 

  

với a  0, b>0

Giải a=3 b=1 TMĐK

0,25đ

0,25đ

Từđó tìm

6 x y

    



 TMĐK

Vậy nghiệm hệphương trình (x;y) = (-6;3)

0,5đ

2a (0.5đ)

Hoành độgiao điểm d (P) nghiệm phương trình:

x2= 6x +m2 -1  x2 – 6x – m2+1=0 (1) 0,25đ

'

m m

    

Vật pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m hay (d) cắt (P) hai

điểm phân biệt với m

0,25đ

2b 0.5đ

Ta có x1, x2 hai nghiệm (1) suy

x1+ x2= x1 x2 = - m2+1 0,25đ

x12 – 6x2+x1x2=48  x1 (x1+x2)-6x2 =48 x1 – x2 =8 (*)

mà x1+ x2= suy x1 =7, x2 = -1 vào x1 x2 =-m2+1 vào (*) ta có

m2 =8  m=2 2 vậy m=2 2

0,25đ

1 Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp 0.75đ AB tiếp tuyến (O) nên AB vng góc với BO suy góc ABO=900

0,25đ

Lập luận tương tự có góc ACO =900

Vì  

180

ABOACO nên tứ giác ABOC nội tiếp

0,25đ 0.5đ

2 Chứng minh AM.AN=AB2 1đ

Chứng minh được góc ABM= góc ANB 0,25đ

xét  ABM ANB CĨ góc BAN chung, góc ABM= góc ANB

suy  ABM ~ANB 0,25đ

Suy AM.AN=AB2 0,25đ

3 chứng minh đường thẳng FM tiếp tuyến (O;R) 1đ Cminh AB2 = AH.AO va AM.AN=AB2 suy AH.AO=AM.AN 0,25đ

Chứng minh M,N,O,H thuộc đường tròn (I) 0,5đ

Mà FNO =900nên FO đường kính (I) 0.25đ

Lập luận tương tự có FM tiếp tuyến (O) 0,25đ

4 Chứng minh K,D,E thẳng hàng 0,5đ

Chứng minh A,E,F thẳng hàng 0,25đ

V Giải pt x 2017 2017 x 0,5đ

ĐK 2017

0 2017

x

x x

 

   

  



đặt y2017 x (y0)

khi ta có 2017 (1)

2017 (2)

x y

y x

  

 

  



suy x y y x  0 ( x y)( x y 1)

0,25đ

0,25đ

TH1: x  y x y thay vào (1)

2 8069

( )

1 8069

2017 ( )

2 8069

( )

x l

x x x x

x TM

  

 

  

      

  

 



TH2: x y  1 y  1 x thay vào (1)

1 2017 2016

x x    x x 

2 8065

( )

1 8065

2 8065

( )

x TM

x

x l

 

   

   

   

   

 



Vậy tập nghiệm pt

2 8069 8065

;

2

S

      

    

     

    

 

UBND HUYỆN THANH TRÌ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018-2019 Đề số MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1.(2,0 điểm) Cho hai biểu thức:

A = 1

1 1

x

x x x x x

−

− +

+ + − + B =

1

x với x > Tính giá trị B x =

4 Rút gọn biểu thức A

3 Tìm giá trị lớn biểu thức A B

Bài 2.(2,0 điểm)Giải toán sau cách lập phương trình.

Một tơ quãng đường dài 400km Khi 180km ô tô tăng vận tốc so với lúc trước thêm 10km/h hết qng đường cịn lại Tính vận tốc lúc đầu ô tô, biết thời gian hết quãng đường (Giả thiết vận tốc ô tô không đổi

đoạn đường)

Bài 3.(2,0 điểm)

1 Giải hệphương trình:

2 13

20

3

5

2

3

x y

x y

 + =  − + 



 − =  − + 

2 Cho (P):

x

y= − đường thẳng (d): y = m(x – 1) –

a) Chứng minh: (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi b) Gọi xA, xB hồnh độ A B Tìm m để xA2xB+ xB2xAđạt giá trị nhỏ

nhất tính giá trịđó?

Bài (3,5 điểm) Cho đường trịn (O) với đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B Gọi

M trung điểm AB, từ M kẻdây DE vng góc với AB Từ B kẻ BF vng góc với CD (F thuộc CD)

1 Chứng minh: tứ giác BMDF nội tiếp Chứng minh: CB.CM = CF.CD

3 Chứng minh: tứgiác ADBE hình thoi điểm B, E, F thẳng hàng

4 Gọi S giao điểm BD MF, tia CS cắt AD, DE H K Chứng minh: DA DB DE

DH + DS = DK

HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI KIỂM TRA HỌC KỲII NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN – LỚP

Bài Nội dung Điểm

1 TS:

2.0 a) Thay x =

4 vào B tính đúng: B =

0.5 b)

( 1)(3 1) ( 1)( 1) ( ( 1)(1)( 1)1)

x x

x x A

x x x x x x x x x

− +

− +

= − +

+ − + + − + + − +

(3 1)( 11) ( 1)( 1) 1

x x x x

x x

x x x x x x

− + − + − +

= = =

− +

+ − + + − +

0.5

0.5 c) Chứng minh được: B

A≥ , dấu “=” x = Suy A

B ≤ , dấu “=” x = Kết luận

0.25 0.25

2 TS:

2.0 Gọi vận tốc lúc đầu ô tô x (km/h) (x > 0)

Thời gian ô tô đoạn đường đầu 180 x (h) Thời gian ô tô đoạn đường sau 220

10 x+ (h)

Theo đề bài, thời gian ô tô cảquãng đường Ta có PT 180

x + 220

10 x+ =

Giải chi tiết phương trình tìm hai nghiệm: 45 – Giá trịx = 45 (tmđk), trả lời

0.25 0.25 0.5

0.25 0.5 0.25

3 TS:

2.0

1 Đặt ;

3 a b

x− = y− = Có HPT hai ẩn a, b

Giải HPT tìm ra: 1;

5

a= b=

Thay a, b tìm nghiệm hệ(x,y) = (64;9) 0.25

2 Biến đổi có PT hoành độgiao điểm: x2+ 4mx – 4m – =

0 (1)

Tính: ∆’ = (2m + 1)2 + > với m => (d) cắt (P) hai

điểm A, B

xA, xBlà hoành độgiao điểm A, B => xA, xB nghiệm PT (1)

Theo Viet ta có: xA+ xB = - 4m; xA.xB = - 4m –

xA2xB+ xB2xA = xAxB(xA+ xB) = 16m2+ 32m = (4m + 4)2 – 16 ≥ - 16

Vậy xA2xB+ xB2xA = - 16 m = -

0.25 0.25 0.25

0.25

4 TS:

3.5

Vẽhình đến câu a 0.25

1 Có 

90 (Do ) DMB= DE ⊥AB

Có 

90 (Do BF ) DFB= ⊥ AB

Suy  

180 DMB+DFB=

Suy ra: tứ giác DMBF nội tiếp

0.25 0.25 0.25 Chứng minh: ∆CFB ∆CMD đồng dạng

CF CB CM CD CF CD CM CB ⇒ =

⇒ =

0.5 0.25 0.25

3 Có AM = MB (M trung điểm AB)

Có DE ⊥AC => MD = ME (Liên hệđk dc)

0.25 0.25 I

J S K H

O

F

B

C M

E D

Suy ra: ADBE hình bình hành (DHNB)

Mà DE ⊥ AB

Vậy ADBE hình thoi

0.25 0.25

4 KẻAJ // HK (J thuộc DE); BI // HK (J thuộc DE)

Chỉra được: DA DJ DB; DI

DH = DK DS = DK (Định lí Ta – let) DA DB DI DJ

DH DS DK + ⇒ + =

Chứng minh được: DI = EJ (∆AEJ = ∆BDI) DA DB EJ DJ DE

DH DS DK DK +

⇒ + = =

0.25 0.25 0.25 0.25 Xét PT bậc ẩn x: x2 – 4xy + 5y2+ 2y – = (*)

Tính ∆’ = - y2 – 2y + = - (y – 1)(y + 3)

Để PT (*) có nghiệm: ∆’ ≥ 1 ≥ y ≥ -

y nhỏ = - => x = -

Trả lời

UBND QUẬN CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN: TOÁN – LỚP

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề số 3 Ngày kiểm tra: 18 tháng năm 2019 Bài 1(2 điểm). Cho hai biểu thức

A = ( ) :

1

1

x

x

x x x x

 

 

   



     với x >0; x ≠ 4) Rút gọn biểu thức A

5) Tìm x biết A=2

6) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P(A4) x

Bài 2(2 điểm).Giải tốn cách lập phương trình hệphương trình

Một tơ từA đến B cách 90km với vận tốc dự định Khi từ B trở A, ô tô

đi với vận tốc nhanh vận tốc lúc 5km/ Do thời gian vềít thời gian

là 15 phút Tính vận tốc dựđịnh tơ từA đến B

Bài 3(2.5 điểm).

3) Giải hệphương trình: 2( )

2 5( ) 19

x x y

x x y

    

 

    



4) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=mx-m-2 ( m tham số) parabol (P): y=-x2

a) với m = -2 Tìm tọa độgiao điểm đường thẳng d parabol (P)

b) tìm m đểđường thẳng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2

thỏa mãn x1x2  20 Bài 4(3 điểm)

1 Một hộp sữa hình trụcó đường kính đáy 12cm, chiều cao 10cm Tính diện tích vật liệu dùng để tạo nên vỏ hộp ( khơng tính phần mép nối)

2 Cho đường tròn (O,R), từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với (O) ( B,C tiếp điểm)

a) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp b) Gọi D trung điểm AC, BD cắt đường

tròn E, đường thẳng AE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F chứng minh AB2 = AE

AF

c) Chứng minh BC=CF

Bài 5 (0,5 điểm). Một viên gạch hinhg vng cạnh a(cm) có

hoa văn hình vẽ M,N,P,Q trung điểm cạnh AD,AB,BC,CD

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KỲII NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TỐN LỚP

Bài Ý Nội dung Điểm

I

1 (1đ)

Với x>0, x#1 ta có

A = :

1 ( 1) ( 1)( 1)

x

x x x x x x

   

     

 

        

 

0,25đ

A = :

( 1) ( 1)( 1)

x x

x x x x

 

   0,25đ

A = ( 1)

( 1) x

x x x

 

 0,25đ

A = x

x



0,25đ

2 (0,5đ)

A=2

2 ( 1) x

x x



     0,25đ

1 x

 

( không thỏa mãn điều kiện)

Vậy khơng có giá trị x để A=2 0,25đ

3 (0,5đ)

2

( 4) ( 2)

P A x  x x  x 

0,25đ

Ta có P 

Dấu xảy x=4 (TMĐK)

Vậy giá trị nhỏ P -3 x=4

0,25đ

II Giải tốn bằng cách lập phương trình 2đ

Gọi vận tốc dựđinhn ô tô từA đến B x(km/h) x>0 Khi thời gian tô từA đến B 90

x (h)

0,25đ 0,25đ

Vận tốc ô tô từB đến A x+5 (km/h)

Thời gian ô tô di từB đến A 90 x (h)

0,55đ

15 phút =1 4h

Do chi đồn hồn thành cơng việc trước dựđịnh 12 phút =

5 h nên

ta có phương trình:

90 90

5 x  x 

0,25đ

2

450

( 5) 1800 x x

x x

 



   

0,25đ

Tìm x1 = 40 (Thỏa mãn điều kiện cảu ẩn); x2 = -45 (Loại) 0,25đ

Vậy vận tốc dựđịnh ô tô 40km/h 0,25đ

III 2đ

1 (1đ)

1

2 2( ) 2 5( ) 19

x x y

x x y

    

 

    

 1đ

ĐK: x ≥ Đặt x u

x y v

  

    

 với u≥0

0,25đ

Hệ pt trở thành

2 19 u v

u v

  

 

 



Giải hệtìm

2 u v

   

 

(TMĐK)

0,5đ

Suy

6 2

3

x x

y x y

    

 

 



   

 (TMĐK)

Vậy nghiệm hệphương trình (x;y) = (6;3)

0,25đ

2 (1.5đ)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=mx-m-2 ( m tham số) parabol (P): y=-x2

a) với m = -2 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d parabol

(P) 0,75đ

Với m =-2 ta có pt đường thẳng d : y=-2x

-x2 =-2x 2

2 x x x

x

  

   

 



Với x=0 suy y=0 Với x=2 suy y=-4

Vậy với m=-2 d cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (0;0) (2; -4)

0,25đ

b)tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt có

hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1x2  20 0,75đ

Xét pt hoành độgiao điểm d (P):

-x2 = mx –m -2

2 x mx m

    

Ta có

(m 2) 4 m

      

Do pt (1)ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2.Duy d (P) cắt

nhau hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2

0.25đ

Theo viet ta có

1 2 x x m x x m

    



  



Theo đề 2

1 20 ( 2) 20 ( 2) 20 x x   x x   x x  x x 

Suy m2+4m +8=20

Giải phương tình ta m=2, m=-6

Vậy m=2; m=-6

0.5đ

IV Hình học 3,5đ

1 0.5đ

ta có bán kính đáy 6cm

diện tích đáy 2 36 (cm )

   0.25đ

Diện tich xung quanh đê tạo nên vỏ hộp sữa 2.36 +120 =192

(cm2) 0.25đ

2 2.5đ

Chứng minh tứ giác ACPM nội tiếp

1đ

Vì AB,AC tiếp tuyến (O) nên

AC CO AB BO

 

 



 suy  

0 90

ABO ACO 0.5đ

Xét tứ giác ABOC có   180

ABOACO mà hai góc vị trí đối

nhau nên tứ giác ABOC nội tiếp 0.5đ

b 1đ

Xét đường trịn (O) có

 

ABE AFB (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung

chắn cung BE)

Xét  ABE AFB có



BAF chung

 

ABE AFB

Suy ABE ~ AFB (g.g)

0.5đ

Suy

.AF AB AE

AB AE

AF  AB  0,5đ

c 0.5đ

Xét đường trịn (O) có

 

DCEDBC (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung

chắn cung EC)

Xét  DEC DCB có



CDB chung

 

DCEDBC

Suy DEC ~ DCB (g.g)

Suy

DC DE

CD DB DE DB  DC  

Mà AD=DC nên

AD DB

AD DB DE

DE AD

  

0.25đ

XÉT  DAE DBA có

ADB chung

AD DB DE  AD

Suy ~ (DAE DBA cgc) DAE DBA

Mà  DBA AFB cmt( ), suy  DAE AFB, mà hai góc ởv ị tí so le AC//BF

Mà  BCABFC (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung

cùng chắn cung )

Suy CBF CFB suy tam giác CBF cân C CB=CF

V’

0.5đ

Một viên gạch hinhg vng cạnh a(cm) có hoa văn hình vẽ M,N,P,Q trung điểm cạnh AD,AB,BC,CD

Tìm độdài a biết diện tích phần gạch chéo

200(4)(cm ) 0,5đ Nhận xét phần gạch trắng tạo hình viên phân nhau,

Gọi R=

2

a là bán kính đường trịn diện tích một hình viên phân là

   

2 2

2

2 ( )

4 16

R R R a

S        cm

Vậy diện tích hình gồm viên phân 2  2 ( )

a

cm

 

Diện tích phần gạch chéo 2  2 

2 ( )

2

a a

a      cm

0,25đ

Vì diện tích phần gạch chéo

200(4)(cm ) nên

 

2

200(4 )( ) 20

2 a

cm a cm

 

    

Vậy a=20

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II QUẬN HAI BÀ TRƯNG Năm học 2018 – 2019

MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 90 phút) Đề số

Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:

A =

2 x x

+

− ; B =

2

4

2

x x

x

x x

+

− −

−

+ − (ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4)

a) Tính giá trị A x = 36

b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị nhỏ B

Bài 2: (2,0 điểm) Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 80km khúc sông, sau

khi nghỉ 30 phút B ca nô khúc sông trở A Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến vềđến B 30 phút Tính vận tốc ca nơ nước n lặng, biết vận tốc dòng nước 2km/h

Bài 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y

= (m – 1)x + (m tham số)

a) Tìm tọa độgiao điểm (d) (P) m = -

b) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m

c) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A(x1; y1) B(x2; y2) cho: y1 + y2 =

y1.y2

Bài 4: (3,5 điểm) Cho ∆ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), đường cao BE, CF cắt H Gọi M trung điểm BC AD đường kính (O) Chứng minh:

a) BFEC tứ giác nội tiếp b) AE.AC = AF.AB

c) H, M, D thẳng hàng

d) Cho (O) điểm B, C cốđịnh, A di động cung lớn BC cho ∆ABC ln có ba

góc nhọn Chứng minh: đường trịn ngoại tiếp ∆AEF có bán kính khơng đổi

Bài 5: (0,5 điểm) Cho a, b sốdương thỏa mãn a + b ≤

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a b 24 a b

+ + +

……….Hết………

Bài HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm

Bài 2,0

a) Tính giá trị A x = 36 (0,5 điểm)

Tại x = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) ta có: 36 6 36

A= + = +

− −

=

0,25 0,25

b) Rút gọn B (1 điểm)

+ Với ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ ta có:

B =

2 ( 2)( 2)

x x

x x x x

+ − +

+ − + −

(2 3)( 2) ( 2)

( 2)( 2)

x x x x

x x

+ − − + + =

+ −

2

( 2)( 2)

x x x x x

x x

− + − − − + =

+ −

3

( 2)( 2)

x x

x x

− + =

+ −

( 1)( 2)

( 2)( 2)

x x x

x x x

− − − = =

+ − +

Vậy B = x x

−

+ (ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4)

0,25 0,25 0,25 0,25

c) Tìm giá trị nhỏ B (0,5 điểm) + Với ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ ta có:

3 3

2

2

2

x

x x

+ ≥ ⇒ ≤ ≤ ⇒ − ≥ −

+ +

Khi B = 1 3 2

2

x

x x

− = − ≥ − = −

+ +

+ B =−

2 ⇔ x+ = ⇔2 x = ⇔ =0 x (thỏa mãn ĐKXĐ)

+ Vậy minB = −

2 ⇔ x =

0,25

0,25

(ĐK: x > 2)

(sai không cho điểm)

=> Vận tốc ca nơ xi dịng ngược dịng lần

lượt là: x + (km/h) x – (km/h)

=> Thời gian ca nô xi dịng ngược dịng lần

lượt là: 80 ( ); 80 ( )

2 h h

x+ x−

+ HS lập luận tổng thời gian 9h30; thời gian nghỉ 30p, nên thời gian thực tế (h), ta có phương trình:

80 80

9

2

x+ +x− =

+ Giải pt x1 =

9

− (loại) x

2= 18 (t/m đk ẩn)

+ Vậy vận tốc riêng ca nô nước yên lặng 18 (km/h)

0,25 0,25

0,5

0,5 0,25

Bài 2,0

a) Tìm tọa độgiao điểm (d) (P) m = - (1,0 điểm)

Với m = - ta có (d): y = - 3x +

Khi ta có phương trình hồnh độgiao điểm (d) (P)

là: x2+ 3x – =

1 x x

= 

⇒  = −



Với x1= => y1 = 11= => giao điểm thứ (1;1)

Với x1 = - => y2 = (-4)2= 16 => giao điểm thứ hai (-4;16)

Vậy m = - tọa độgiao điểm (d) (P) (1;1)

(-4;16)

(Kết luận thiếu m = - không cho điểm)

0,25 0,25 0,25

0,25

b) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt (0,5 điểm)

Phương trình hồnh độgiao điểm (d) (P) là: x2

– (m – 1)x – = (*)

Ta có: ∆ = [ -(m – 1)2] – 4.1.(-4) = (m – 1)2+ 16

Do (m – 1)2≥ 0; 16 > với mọi m => ∆ > với mọi m

=> (d) (P) cắt hai điểm phân biệt với m

(đpcm) 0,25

c) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A(x1;y1) B(x2;y2) cho y1 = y2 = y1.y2(0,5 điểm)

Theo ý b) ta có A, B ln tồn với m

Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = m – 1; x1.x2 = -

Do A, B ∈ (P) nên ta có: y1 = x12; y2 = x22

Khi đó: y1+ y2 = y1.y2 x12+ x22 = x12.x22 (x1+ x2)2 – 2x1.x2 =

(x1.x2)2

(m – 1)2 – 2(-4) = (-4)2

 (m – 1)2 =  m – = ±2 2 ⇔ = ±m 1 2

Vậy m= ±1 2 thỏa mãn yêu cầu toán

0,25 0,25

Bài 3,5

a) Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn (1,0 điểm) + Do BE, CF đường cao ∆ABC (gt)

=>BE ⊥ AC, CF ⊥ AB

 Góc BEC = 900

Góc BFC = 900

(khơng lý giải trừ 0,25)

 E, F thuộc

đường tròn

đường kính BC

 Tứ giác BFEC

tứ giác nội tiếp

(đpcm)

0,25 0,25

0,25

0,25

b) Chứng minh AE.AC = AF.AB (1,0 điểm) Ta có BE ⊥ AC, CF ⊥AB => góc AEB = AFC = 900

Do BFEC tứ giác nội tiếp => góc B1 = góc C1 (hệ góc

nội tiếp)

Xét ∆AEB ∆AFC có: góc AEB = AFC; góc B1 = góc C1  ∆AEB đồng dạng ∆AFC (g.g)

 AE AB AE AC AF AB

AF = AC⇒ = (đpcm)

0,25 0,25

0,5

c) Chứng minh H, M, D thẳng hàng (1,0 điểm)

Do AD đường kính (O) (gt) => góc ACD = 900 (hệ

góc nội tiếp) => DC ⊥ AC

Lại có BE ⊥AC (gt) => BE // DC => BH // DC (1) Tương tự ta có: HC // BD (2)

Từ(1) (2) => tứ giác BHCD hình bình hành

Do M trung điểm BC => M trung điểm HD

 H, M, D thẳng hàng (đpcm)

0,25 0,25 0,25 0,25

d) Chứng minh: đường trịn ngoại tiếp ∆AEF có bán kính khơng đổi

+CM: AEHF nội tiếp đường trịn đường kính AH

 ∆AEF nội tiếp đường trịn có bán kính

2 AH (3)

+ Do O, M trung điểm AD HD

 OM đường trung bình ∆AHD => OM =

2 AH Do (O) B, C cốđịnh => O, M cố định => OM không đổi =>

1

2AH không đổi (4)

Từ (3) (4) => đường trịn ngoại tiếp ∆AEF có bán kính khơng đổi (đpcm)

0,25

0,25

Bài Ta có P = 24 24

2 2

a b a b

a b

a b a b

      + + + = +  + +  − + 

      Do a, b > a + b ≤ => P ≥ 24 15

2 2

a b

a + + b − = (theo BĐT cô si)

Dấu “=” xảy

3

2 24

4

6 a

a

a b

b b

a b

 =



 =

 

⇔ = ⇔ =

 

+ ≤  

 Min P = 15  a = b =

0,25

0,25

UBND QUẬN HOÀNG MAI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TỐN – LỚP

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề số Ngày kiểm tra: 12 tháng năm 2019 Bài 1(2 điểm). Cho hai biểu thức A =

1

x x x

+ −

−

− B =

x x−

với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠

7) Tính giá trị biểu thức B x = 25 8) Rút gọn biểu thức A

9) Đặt P = A.B Tìm tất giá trị x để x P < −

Bài 2(2 điểm).Giải tốn cách lập phương trình hệphương trình

Hưởng ứng phong trào tết trồng chi đoàn niên dựđịnh trồng 80

trong thời gian đinh Do chi đoàn trồng nhiều dựđịnh nên

hồn thành cơng việc trước dự định 12 phút trồng thêm 10 Tính số mà chi đoàn dựđịnh trồng

Bài 3(2 điểm).

5) Giải hệphương trình:

1

2

5 x

y

x y  + =  − 



 − =  − 

6) Cho phương trình x2+ mx – = (1) (với m tham số)

c) Giải phương trình với m =

d) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

thỏa mãn x12x2+ x22x1 = 2019

Bài 4(3,5 điểm)

Cho đường trịn (O;R), đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm C (AC >R)

Qua C kẻđường thẳng d vng góc với CA Lấy điểm M đường tròn (O) cho AM =

2

R Tia BM cắt đường thẳng d điểm P Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N, tia PA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai Q

1) Chứng minh tứ giác ACPM tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh NQ // PC

3) a) Tính thể tích hình tạo thành quay tam giác MAB vòng quanh AM

theo R

b) Gọi H giao điểm QN AB Gọi E giao điểm MB QN, tia AE cắt

đường tròn (O) điểm thứ hai K

Chứng minh AE.AK + BE.BM = 4R2

4) Chứng minh ba điểm B, N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NEK thẳng hàng

Bài 5 (0,5 điểm). Tìm giá trị m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ

nhất

F = (2x + y + 1)2+ (4x + my + 5)2

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KỲII NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TỐN LỚP

Bài Ý Nội dung Điểm

I 2đ

1 (0,5đ)

x = 25 (TMĐK) ⇒ x =5 Thay x =5vào B 0,25đ

Tính B =

3 Kết luận 0,25đ

2 (1đ)

A = 3( 1)

( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x

x x x x

+ − +

− + − + 0,25đ

A = 3( 1) (2 5)

( 1)( 1)

x x

x x

+ − +

− + 0,25đ

A = 3

( 1)( 1)

x x

x x

+ − −

− + 0,25đ

A =

1 x x

−

− 0,25đ

3 (0,5đ)

P = 1

1

x x

x P x

−

⇒ =

− ĐK: x > 0; x ≠1; x ≠

Có: x x x

P x

−

< − ⇔ < −

0,25đ

1

( 2) 0

x x

x

x x

− −

− − < <

⇔ ⇔

2 x− <1

⇔ (Vì x >0 với x thỏa mãn ĐK)

4 x<

⇔

Kết hợp điều kiện tìm x

< < kết luận

0,25đ

II Giải toán bằng cách lập phương trình 2đ

Gọi sốcây mà chi đồn dựđịnh trồng x (cây) (ĐK: x

∈ N*) 0,25đ

Sốcây chi đoàn trồng thực tếlà x + (cây) 0,25đ

Thời gian chi đoàn trồng xong sốcây 80

x (h) 0,25đ

Thời gian chi đoàn trồng xong sốcây thực tế 90 x+ (h)

Do chi đồn hồn thành cơng việc trước dựđịnh 12 phút =

5 h nên

ta có phương trình:

80 90

5 x − x+ =

0,25đ

2

55 2000 x + x− =

⇔ 0,25đ

Tìm x1 = 25 (Thỏa mãn điều kiện cảu ẩn); x2 = -80 (Loại) 0,25đ

Vậy sốcây mà chi đoàn dựđịnh trồng giờlà 25 0,25đ

III 2đ

1 (1đ) 5 x y x y  + =  −    − =  − 

ĐK: x ≥ 0; y ≠ 0,25đ

2

2

5

3

2

5 x y y x x y y  + =  =  −  −      − =  − =  −  −  

⇔ ⇔ 0,25đ

5

6

2 2 4

5 y y x x y − =   =    − =  =   − 

⇔ 0,25đ

4( ) 6( ) x TM y TM =   =  ⇔

Vậy nghiệm hệphương trình (x;y) = (4;6)

0,25đ

2 (1đ)

a Thay m = vào phương trình (1) ta được: x2+ x – = 0,25đ

Có a + b + c = + + (-2) = => x1= 1; x2 = -

Kết luận 0,25đ

b x2+ mx – = (1)

Chứng minh ∆ = m2+ > với m

 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với m

Theo định lí Vi – ét ta có: 2 x x m x x + = −   = −  0,25đ

Tìm 2m = 2019 2019 m=

⇔ kết luận

IV Hình học 3,5đ

1 Chứng minh tứ giác ACPM nội tiếp 1đ

Vẽđúng hình đến câu a 0,25đ

Chứng minh  90

ACP= 0,25đ

Chứng minh:  90 AMB=

Từ chứng minh



90 AMP=

0,25đ

Có  

180 AMP+ACP=

Suy tứ giác ACPM nội tiếp

0,25đ

2 Chứng minh NQ // PC 1đ

Chứng minh CPA = AMC (1) 0,25đ

Chứng minh tứ giác AMNQ nội tiếp =>  AMC=AQN (2) 0,5đ

Từ(1) (2) = >  AQN = APC⇒CP/ /QN 0,25đ

3 a) Tính thểtích hình tạo thành quay tam giác MAB một vòng

quanh AM theo R 0,5đ

Sử dụng định lí Pitago ∆AMB vng M tính BM = 15 R

(đvđd)

0,25đ Khi quay tam giác vng AMB vịng quanh cạnh AM ta hình

nón với đường cao AM = h, bán kính đường trịn đáy BM = r

Thể tích hình nón là: V =

3

R r h π

π = (đvtt)

0,25đ

b) Chứng minh AE.AK + BE.BM = 4R2

0,5đ

M

N O

B Q

A

Chứng minh QN ⊥ AB H Chứng minh ∆AEH ∽ ∆ABK

(g.g)

AE AH

AE AK AB AH AB AK

⇒ = => =

0,25đ

Chứng minh ∆BEH∽ ∆BAM

(g.g)

BE BH

BE BM AB BH BA BM

⇒ = ⇒ =

Chứng minh AE.AK + BE.BM = 4R2

0,25đ

4 Chứng minh ba điểm B, N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

NEK thẳng hàng 0,5đ

Kẻ Nx tiếp tuyến

đường tròn ngoại tiếp tam

giác NKE N

(Nx thuộc nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng NE chứa

điểm A) (3)

Chứng minh

 

ENx=NKE

Chứng minh

 

NKE =ENA

 ENx =ENA(4)

0,25đ

Từ (3) (4)

=> Tia Nx tia NA trùng

nhau

=> NA tiếp tuyến

đường tròn ngoại tiếp tam

giác NEK tiếp điểm N Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NKE => AN ⊥ NI, mà AN ⊥ BN

Suy N, I, B thẳng hàng

0,25đ

E K

H

M

N O

B Q

A

P C d

E I K

H

M

N O

B Q

A

V

Tìm giá trị của m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

F = (2x + y + 1)2+ (4x + my + 5)2

0,5đ

Ta có: (2x + y + 1)2≥ 0; (4x + my + 5)2≥ 0, suy F ≥

Xét hệ 2 ( 2)

4 5

x y x y

m y

x my x my

+ + = + + =

 

⇒ − + =

 + + =  + + =

 ⇔

+ Nếu m ≠ m – ≠

3

5 y

m m x

m  =

 − ⇒  −

 =  − 

suy F có giá trị nhỏ

+ Nếu m =

F = (2x + y + 1)2+ (4x + 2y + 5)2= (2x + y + 1)2+ [2(2x + y + 1) + 3]2

Đặt 2x + y + = z F = 5z2+ 12z + =

2

6 9

5

5 25 5

z z

    

+ + = + + ≥

    

   

 

 

0,25đ

F nhỏ

5 2x + y + =

− hay y = 11

5 x

− − , x

∈R Kết luận

0,25đ

* Chú ý:

1) Học sinh phải lập luận đầy đủ cho điểm tối đa

UBND QUẬN LONG BIÊN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mơn: TỐN: Lớp – Năm học 2018-2019

Đề số 6 Ngày thi: 25/04/2019

(Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề) Bài 1(2,0 điểm) Giải phương trình, hệphương trình:

a)

2(x−1) =x b)

1

4

3

2

3 x y

y

x y

y

 − + =

 −

 

 − + = −

 −



Bài 2(2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệphương trình:

Một trường THCS tổ chức cho 250 người bao gồm giáo viên học sinh tham quan khu du lịch Đảo Ngọc Xanh Biết giá vé vào cổng giáo viên 80000 đồng, vé vào cổng học sinh 60000 đồng Nhà trường tổ chức vào dịp Khai trương nên giảm 5% cho vé vào cổng, nhà trường phải trả tổng số tiền 14535000

đồng Hỏi có giáo viên học sinh trường tham quan?

Bài 3(2,0 điểm)

Cổng GatewayArch St.Louis, Missouri,

Hoa Kỳ kiến trúc sư Eero Saarinen thiết kế vào năm 1947,

công trình kiến trúc vịm cao

giới có dạng hình Parabol quay bề lõm xuống Giả sử ta lập hệ tọa độ Oxy hình vẽ, (trục Ox, Oy có đơn vị tinh mét), một chân cổng vị

trí A có hồnh độ x = 81, điểm M cổng có tọa độ (-71;-143)

a) Xác định cơng thức hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói b) Tính chiều cao OH cổng (kết quảlàm tròn đến hàng đơn vị)

Bài 4(3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O bán kính R, đường kính AB Điểm H thuộc đoạn OB,

H khác O B Dây CD vuông góc với AB H Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn A Nối CO, DO cắt đường thẳng d M N Các đường thẳng CM DN cắt đường tròn (O)

E F (E ≠ C, F ≠ D)

a) Chứng minh tứgiác MNFE nội tiếp b) Chứng minh ME.MC = NF.ND

c) Tìm vị trí điểm H để tứgiác AEOF hình thoi

d) Lấy điểm K đối xứng với C qua A Gọi G trọng tâm tam giác KAB Chứng minh H di chuyển đoạn OB

thì điểm G thuộc đường tròn cốđịnh

Bài 5(0,5 điểm) Tham gia phong trào “Thiếu niên sáng tạo”, bạn

Trí Bìnhđã thiết kếđược mũ vải rộng vành có kích

thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm

mũ biết vành mũ hình trịn ống mũ hình trụ (coi phần mép vải may không đáng kể Kết quả làm tròn đến hàng

đơn vị)

ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Ý Đáp án Điểm

Bài 2,0 điểm

a)

2 2 2( 1)

2( 1)

2

2

4

x x

x x x

x x x

x x b ac − = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + = ∆ = − =

Phương trình có nghiệm 2;

2 x = x =

0,5

0,5 b) ĐKXĐ: x≥2 ;y y≠3

Đặt

2

4

: 0, 0)

(

2

3 x y a

a b

a b ĐK a

b y b  − = + =   ⇒   − = − =   − ≠ 

≥ 0,25

Giải hệđược ( ) a TM b =   = 

Từđó:

2

2

1

3

1 x y

x y x

y y y  − = − = =    ⇔ ⇔   − =  = =    − 

So sánh với điều kiện xác định kết luận hệ có nghiệm (x;y) = (9;4)

0,25

0,25

0,25

Bài 2,0 điểm

Gọi x số giáo viên, y số học sinh trường tham gia tham quan (0 < x, y < 250, x, y ∈N, đơn vịngười)

0,25

Tính số tiền vé giáo viên sau giảm

95%.80000 = 76 000 (đồng)

0,25

Tính số tiền vé học sinh sau giảm

95%.60000 = 57 000 (đồng)

0,25 Lập hệ PT 250

76000 57000 14535000 x y x y + =   + =  0,25 Giải nghiệm hệphương trình x = 15; y = 235 0,5

Đối chiếu thỏa mãn điều kiện đề 0,25

KL: số giáo viên tham gia 15 người học sinh 235 người tham gia tham quan

0,25

2,0 điểm (P)

Vì M(-71;-143) thuộc đồ thị (P) y = ax2 nên suy luận được a =

143 5041 −

0,5

b) Vì điểm A(81;yA) thuộc (P): y = 143

5041

− x2 lập luận tính được OH

= 143 81 186 5041

− ≈

Vậy chiều cao OH cổng 186m

0,5

0,5

Bài 3,5 điểm

Vẽhình đến câu a: 0,25

a) Lập luận OA ⊥ MN nên MN // CD

=> góc DCM = góc CMN

0,25 Lập luận góc DCM = góc DFE

=> góc CMN = góc DFE

0,25 Suy luận tứgiác MNEF nội tiếp 0,25 b) Lập luận chứng minh tam giác OMN cân O

=> AM = AN

0,25 Chứng minh ∆NAF ~ ∆NDA (g.g),

suy NA2 = NF.ND

0,25 Chứng minh tương tự: MA2= ME.MC 0,25

Suy được: ME.MC = NF.ND 0,25

c) Lập luận: đểOEAF hình thoi AE = AF = OE = OF= R 0,25

G

I H

D B C

O

M E F

A

K

O'

Suy luận đểđược ∆OAE góc AOE = 600 góc COH =

600

0,25 Lập luận OH = OC.cos600 =

2

R 0,25

Suy H trung điểm OB 0,25

d) Lấy điểm O’ đối xứng với O qua điểm A, suy O’ cố định,

OA’ = OA = R Vì O trung điểm AB nên suy G

∈KO, OG =

3 OK 0,25

Chứng minh ∆AOC = ∆AO’K => O’K = OC = R không đổi

KẻGI // O’K (I ∈OA) Áp dụng định lý Talet suy

1

;

' ' 3

OI IG OG R R

OI IG

OO =O K =OK = ⇒ = = suy điểm I cố

định, IG không đổi 0,25

Lập luận G thuộc đường tròn ; R I    

  cốđịnh

Bài 0,5 điểm

Học sinh khơng phải vẽ lại hình

Ống mũ hình trụ với chiều cao 35cm, bán kính đáy

35 2.10

7, 5( )

R= − = cm

0,25 Diện tích vải để làm ống mũ là:

2 2

1 2 7, 5.30 (7, 5) 506, 25 ( ) S = πRh+πR = π +π = π cm Diện tích vải đểlàm vành mũ là:

2 2 17, (7, 5) 250 ( )

S =π −π = π cm 0,25

Tổng diện tích vải cần đểlàm mũ là:

2 506, 25π+250π =756, 25 (π cm )≈2376(cm ) Lưu ý: - Điểm toàn để lẻđến 0,25

UBND QUẬN NAM TỪ LIÊM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn kiểm tra: Tốn

(Đề gồm: 01 trang) Thời gian làm bài: 90 phút Đề số 7 Ngày kiểm tra:12 tháng năm 2019 Bài I (2 điểm). Giải phương trình, hệphương trình sau:

1) 3x2 – 14x + = 2)

1

1

3

7

x y

x y  + = −  −

 

 − =  −



Bài II (2 điểm). Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệphương trình:

Một ca nơ chạy xi dịng khúc sơng dài 132km, sau chạy ngược dịng 104km khúc sơng Tính vận tốc ca nơ nước n lặng, biết vận tốc

dòng nước 4km/h thời gian ca nơ chạy xi dịng thời gian chạy ngược dòng

1

Bài III (2 điểm).Cho phương trình: x2 – 2mx – = (x ẩn; m tham số) (1)

1) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m 2) Tìm m đểphương trình (1) có nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x12+ x22 = - 3x1x2

Bài IV (3,5 điểm). Cho đường tròn (O;R), dây MN cố định (MN < 2R) Kẻđường kính AB vng góc với dây MN E Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M, N, E), BC cắt đường tròn (O) điểm K (K khác B)

1) Chứng minh: Tứgiác AKCE nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh: BM2= BK.BC

3) Gọi I giao điểm AK MN; D giao điểm AC BI a) Chứng minh: D thuộc (O;R)

b) Chứng minh điểm C cách ba cạnh ∆DEK

4) Xác định vịtrí điểm C dây MN để khoảng cách từE đến tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MCK nhỏ

Bài V (0,5 điểm). Cho x, y dương thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biết P =

1

x y

x + y

− −

UBND QUẬN NAM TỪ LIÊM HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

NĂM HỌC 2018 – 2019 – MƠN: TỐN

A Hướng dẫn chung

- Nếu học sinh giải theo cách khác mà đủ bước giám khảo cho điểm tối đa

- Trong bài, bước bị sai bước sau có liên quan khơng

điểm

- Bài hình học bắt buộc phải vẽđúng hình chấm điểm, khơng có hình vẽđúng phần giám khảo khơng cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần - Điểm toàn tổng điểm ý, câu, tính đến 0,25 điểm khơng làm trịn B Đáp án thang điểm

Bài Ý Đáp án Điểm

I (2đ)

1

(1đ)

3x2 – 14x + = 0

∆’ = (-7)2 – 3.8 = 49 – 24 = 25 > ⇒ ∆ =' 25=5 0,5

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

7 12

4;

3 3

x = + = = x = − = 0,5

2

(1đ)

1

1

3

7

x y

x y  + = −  −

 

 − =  −



ĐK: x ≠ 1; y ≠

Đặt ; 1

a b

x y

= =

−

Khi đó, ta có hệphương trình:

1 2 5

3 7 1

a b a b a a

a b a b a b a b

+ = − + = − = =

   

 − =  − =  + = −  + = −

 ⇔ ⇔ ⇔

1

1

a a

b b

= =

 

 + = −  = −

 

⇔ ⇔

0,5

Suy

1 1 2( )

1

1

1 ( )

2 2 2

x x TM

x

y y TM

y

 = − = =

 

 −

  

  −  −

= =

 = −  



⇔ ⇔ 0,25

Vậy hệphương trình có nghiệm ( , ) 2; x y =  − 

II (2đ)

Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng x (km/h) (x > 4) 0,25 Vận tốc ca nơ xi dịng là: x + (km/h)

0,25 Vận tốc ca nô ngược dòng là: x – (km/h)

Thời gian ca nơ xi dịng khúc sơng dài 132km là: 132

4

x+ (h) 0,25 Thời gian ca nơ ngược dịng khúc sơng dài 104km là: 104

4 x− (h)

0,25 Vì thời gian ca nơ chạy xi dịng thời gian chạy ngược

dịng giờnên ta có phương trình:

132 104

1

4

x+ + = x−

0,25

132( 4) ( 4)( 4) 104( 4) ( 4)( 4) ( 4)( 4)

x x x x

x x x x

− + + − = +

+ − + −

⇔

⇒ 132x – 528 + x2 – 16 = 104x + 416

⇔ x2+ 28x – 960 =

⇔ (x – 20)(x + 48) =

⇔ 20 20( )

48 48( )

x x TM

x x KTM

− = =

 

 + =  = −

 ⇔

0,5

Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng 20 (km/h) 0,25

III 2đ)

1

(1đ)

Phương trình: x2 – 2mx – = có hệ số a = ≠ => (1)

phương trình bậc hai 0,25

Xét ∆ = (2m)2 – 4.1.(-4) = 4m2+ 16 0,25

Vì 4m2≥ 0, ∀m => 4m2+ 16 > 0, ∀m => ∆ > 0, ∀m 0,25

Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m

(đpcm) 0,25

2

(1đ)

Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m (cmt)

Áp dụng hệ thức Vi – et ta được: 2

2 x x m x x

+ =



 = −

 (2)

0,25

Theo ra, ta có: x12+ x22+ 3x1x2 = ⇔ (x1+ x2)2+ x1x2 = 0,25

Thay x1+ x2 = 2m x1x2 = - vào (2) ta được:

(2m)2 – = 0,25

2

4m =4 m =1 m= ±1

Vậy m = ±1

IV (3,5đ)

1

(1đ)

Vẽhình đến câu a

0,25

Xét (O) có:  90

AKB= (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) 0,25

Ta có AB ⊥ MN E (gt)   90 AEM BEM

⇒ = = 0,25

Xét tứgiác AKCE có:   0

90 90 180 AKC+AEC= + =

 Tứgiác AKCE nội tiếp đường tròn (dhnb) 0,25

2

(1đ)

+) Xét (O) có:

( ) AB đ/kính MN dây AB⊥MN gt

    

=> B điểm MN=> BM =BN

 MKB =NMB (2 góc nội tiếp chắn hai cung

nhau)

0,25

+) Xét ∆BMC ∆BKM có: 

 

:

( ) ( )

B chung

BMC BKM g g MKB CMB cmt

=> ∆ ∆ 

=  ∽

0,25 BM BC

BK BM

=> = 0,25

=> BM2= BK.BC(T/c TLT) (đpcm) 0,25 E

O

C N

B M

K

3a

(0,5đ)

Xét ∆AIB có BK, IE hai đường cao

Mà BK ∩ IE = {C} => C trực tâm ∆AIB

 AC đường cao ∆AIB

0,25

=> AC ⊥ IB hay AD ⊥IB =>  90 ADB= => D thuộc đường trịn đường kính AB Hay D thuộc (O;R)

0,25

3b

(0,5đ)

+) Chứng minh tứgiác BDCE nội tiếp

=> CBE =CDE (2 góc nội tiếp chắn CE )

+) Chứng minh KDA =KBA (2 góc nội tiếp chắn AK (O))

=>  KDC=CDE=> DC tia phân giác KDE

0,25

+ Chứng minh tương tự: KC phân giác DKE (HS ghi

chứng minh tương tựGV không trừđiểm)

+ Chứng minh C tâm đường tròn nội tiếp ∆DKE Suy điểm C cách cạnh tam giác ∆DKE

0,25

4

(0,5đ)

+) Chứng minh MB tiếp tuyến ∆MCK 0,25

D I

E O

C N

B M

K

A

O' H

D I

E O

C N

B M

K

+) Gọi O’ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MCK

 MB ⊥MO’ (1) +) Xét (O) có 

90

AMB= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Từ(1) (2) => O’ ∈ AM

Vì B, A, M cốđịnh => O’ thuộc đường thẳng cốđịnh AM

+) KẻEH ⊥AM => H cốđịnh (vì E cốđịnh, AM cốđịnh)

+) Xét ∆O’EH có  ' 90 O HE=

 O’E ≥ HE (qhệđường vng góc, đường xiên)  MinO’E = HE ⇔ O’ ≡ H

Mà ta ln có O’ ln thuộc đường trung trực MC

 O’C = O’M

Vậy khoảng cách O’E nhỏ O’ ≡ H => C giao điểm thứ hai (H;HM) với dây MN H chân đường vng góc E AM

0,25

V (0,5đ)

Ta có

1

y x

x y

 = − > 



= − > 

 P y x 1 ( x y)

y x x y

 

− −

= + = + − +

 

Lại có

2

1 1

4( , 0)

2

x y

xy x y

xy xy

+  

≤  = ≥ ≥ > ⇒ ≥  

1 1

2 2

x y xy

 

⇒ + ≥ ≥

 

0,25

Mặt khác (1 x+1 y)2 ≤ +(1 1)(x+y) Nên x+ y ≤

Dấu “=” xảy x = y = 0,5 Vậy MinP = 2⇔x= =y 0,

PHỊNG GD&ĐT QUẬN BA ĐÌNH

(Đề thi gồm 01 trang) Đề số 8

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II MƠN TỐN

Năm học 2017 - 2018 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,0 điểm) Cho biểu thức :

9 3

x A

x x x

 

= + 

− − −

  với x≥0; x≠9

1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x để

6 A=

3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A

Bài II (2,0 điểm). Giải toán cách lập phương trình hệphương trình:

Hai đội cơng nhân làm cơng việc làm xong Nếu đội làm xong cơng việc đó, đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai 12 Hỏi đội làm xong cơng việc bao lâu?

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệphương trình

2

x

y

x

y

 + − =

 −

 

 + + =

 −



2) Cho phương trình ( )

2

x − m+ x+m =

a) Giải phương trình m =

b) Tìm m đểphương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 cho x12+x22 =4 x x1 2 Bài IV (3,5điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R AH đường cao tam giác ABC Gọi M, N thứ tự hình chiếu H AB, AC

1) Chứng minh tứ giác AMHN tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ABC� = ANM�

3) Chứng minh OA vng góc với MN

4) Cho biết AH =R Chứng minh M, O, N thẳng hàng

Bài V (0,5điểm).Cho a, b > thỏa mãn a+ ≤b Tìm giá trị lớn biểu thức ( 1) ( 1)

P= a b+ + b a+

- Hế

PHỊNG GD&ĐT QUẬN BA ĐÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC KỲ II MƠN TỐN

Năm học 2017 - 2018

Thứ tự Đáp án Điểm

Bài I

(2 điểm)

1) Rút gọn: 𝐴 với 𝑥 ≥0;𝑥 ≠9 0,75

𝐴 =�𝑥 −2√𝑥9 + √𝑥 −3�:

3

√𝑥 −3

=� 2√𝑥

�√𝑥 −3��√𝑥+ 3�+

√𝑥+

�√𝑥 −3��√𝑥+ 3��

√𝑥 −3

= 2√𝑥+√𝑥+

�√𝑥 −3��√𝑥+ 3�

√𝑥 −3

=√𝑥 +

√𝑥 +

0,25 0,25

0,25

2) Tìm x để𝐴= 56 0,75

√𝑥+

√𝑥+ 3=

⇔6�√𝑥+ 1�= 5�√𝑥+ 3�

⇔ √𝑥 =

⇔ 𝑥 = 81 (𝑡𝑚đ𝑘)

0,25 0,25 0,25

3) Tìm GTNN A 0,5

𝐴 =√𝑥+

√𝑥+ 3= 1−

√𝑥+

Do 𝑥 ≥0⇔ 𝐴 ≥13 𝑣ớ𝑖𝑚ọ𝑖𝑥𝑡ℎỏ𝑎𝑚ã𝑛đ𝑘𝑥đ

Dấu “=” xảy ⇔ x= 𝑡𝑚đ𝑘

Vậy GTNN A: minA= 13 ⇔ x=

0,25

Bài II

(2 điểm)

Gọi thời gian đội thứ làm xong việc x ( đv: giờ, x >8)

Vậy thời gian đội thứ hai làm xong việc x+12 (giờ) Mỗi giờđội thứ làm 1𝑥 (công việc)

Mỗi giờđội thứhai làm 𝑥+121 (công việc)

Theo ra, cảhai đội làm 18 công việc nên ta có phương trình :

1

𝑥+

1

𝑥+ 12 =

1

Giải phương trình ta x=-8(ktmđk); x=12(TMĐK)

Vậy thời gian đội thứ làm xong việc 12 giờ;

thời gian đội thứ hai làm xong việc 24

0,25

0,75

0,25 0,5

0,25

Bài III

(2điểm)

1) điểm

Giải Hệ PT

2

x

y

x

y

 + − =

 −

 

 + + =

 −



Đk: 𝑦 ≥0;𝑦 ≠4

Đặt a=|𝑥+ 5|;𝑏= √𝑦−21 , Đk: 𝑎 ≥0

0,25

Giải HPT: �𝑎 −𝑎+2𝑏𝑏= 3= 4được 𝑎= 103 ;𝑏= −13 0,5

Giải 𝑥 ∈ �−53 ;−253 �; �𝑦 =−1 nên khơng có y thỏa mãn KL: Hệphương trình vơ nghiệm

(Nếu HS nhận thấy khơng có y t/m nên HPT vơ nghiệm mà khơng cần tìm x cho 0,25)

0,25

2) điểm Cho phương trình ( )

2

x − m+ x+m = a) Giải PT m=4

Với m=4, giải PT: 𝑥2−10𝑥+ 16được 𝑥 ∈{2; 8} 0,5

b) PT cho có nghiệm phân biệt ⇔ ∆′> 0⇔ 𝑚> −1 Theo Vi-et có 𝑥1+𝑥2 = 2(𝑚+ 1) ; 𝑥1.𝑥2 = 𝑚2

Xét 𝑥12+𝑥22 = 4√𝑥1.𝑥2 ⇔(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1.𝑥2 = 4√𝑥1.𝑥2 4(𝑚+ 1)2−2𝑚2 =4√𝑚2 ⇔2𝑚2+ 8𝑚+ 4−4|𝑚| = 0 TH1: −12 <𝑚 < 0⇒ 𝑚2+ 6𝑚+ = 0

⇔ 𝑚1 =−3− √7(𝑙𝑜ạ𝑖𝑑𝑜𝑘𝑡𝑚đ𝑘); 𝑚2 =−3 +√7(𝑡𝑚đ𝑘) TH2: 𝑚 > 0⇒ 𝑚2+ 2𝑚+ = 0⇔ 𝑘ℎơ𝑛𝑔𝑐ó 𝑚𝑡ℎỏ𝑎𝑚ã𝑛

Vậy 𝑚=−3 +√7 thỏa mãn yêu cầu đề 0,25

Bài IV (3,5

điểm)

0,25

1) - Giải thích 𝐴𝑀𝐻� = 𝐴𝑁𝐻� = 900 -Tính tổng 𝐴𝑀𝐻� +𝐴𝑁𝐻� = 1800 - KL : AMHN tứ giác nội tiếp

0,25 0,25 0,25

2) Cách 1:

cm 𝐴𝑁𝑀� =𝑀𝐻𝐴� ( tg AMHN nội tiếp)

⇒ 𝐴𝐵𝐶� = 𝐴𝐻𝑀� (cùng phụ với 𝑀𝐻𝐵�)

⇒ 𝐴𝐵𝐶� = 𝐴𝑁𝑀�

0,5 0,25 0,25

Cách 2: Cm AM.AB = AN.AC (= AH2) ⇒ ∆𝐴𝑁𝑀 ∼ ∆𝐴𝐵𝐶 (𝑐𝑔𝑐)

⇒ 𝐴𝐵𝐶� = 𝐴𝑁𝑀�

(cho điểm tương ứng cách 1)

y

x

D N M

H O

B C

3) Cách 1:Kẻđường kính AD

𝐷𝐴𝐶� = 𝐷𝐵𝐶� (góc nt chắn cung DC)

𝐴𝐵𝐶� =𝐴𝑁𝑀�(cmt)

Có 𝐷𝐵𝐶� +𝐴𝐵𝐶� = 900 (góc nt chắn nửa đtr)

⇒ 𝐴𝑁𝑀� +𝐷𝐴𝐶� = 900 ⇒ 𝐴𝑂 ⊥ 𝑀𝑁

0,5 0,25 0,25

Cách 2:Kẻ tiếp tuyến xAy (O)

c/m: 𝑥𝐴𝐶� = 𝐴𝐵𝐶� (góc nt, góc tạo tt dây chắn cung AC)

𝐴𝐵𝐶� =𝐴𝑁𝑀�(cmt)

Vậy 𝑥𝐴𝐶� = 𝐴𝑁𝑀�, vị trí slt

⇒ 𝑀𝑁 // xy mà AO⊥xy (do xAy TT (O)) ⇒ 𝐴𝑂 ⊥ 𝑀𝑁

(cho điểm tương ứng cách 1) 4)

(0,5

điểm)

Có 𝐴𝑁.𝐴𝐶 =𝐴𝐻2 = 2𝑅2 = 𝐴𝑂.𝐴𝐶

⇒ 𝐴𝑁.𝐴𝐶 = 𝐴𝑂.𝐴𝐶

⇒ ∆𝐴𝑂𝑁 ∼ ∆𝐴𝐷𝐶 (𝑐𝑔𝑐)

⇒ 𝐴𝑂𝑁� =𝐴𝐷𝐶� = 900 CMTT : 𝐴𝑂𝑀� =𝐴𝐷𝐵� = 900

Vậy 𝐴𝑂𝑀� +𝐴𝑂𝑁� = 1800 ⇒ O, M, N thẳng hàng

0,25 0,25

Bài V (0,5

điểm)

Có √2𝑃 =�2𝑎(𝑏+ 1) +�2𝑏(𝑎+ 1)

Áp dụng BĐT Cô si cho hai sốkhông âm

�2𝑎(𝑏+ 1)≤ 2𝑎+2𝑏+ 1; �2𝑏(𝑎+ 1)≤ 2𝑏+2𝑎+ ⇒ √2𝑃 ≤3(𝑎+𝑏) +

2 ≤

3.2 +

2 =

⇒ 𝑃 ≤2√2

Dấu “=” xảy ⇔ �22𝑎𝑏 ==𝑎𝑏+ 1+ 1 ⇔ 𝑎=𝑏 = Vậy P có GTLN 2√2 𝑎= 𝑏=

0,25

0,25 Chú ý: Học sinh làm theo cách khác mà có hướng giáo viên dựa vào

hướng dẫn chấm chia biểu điểm tương ứng!

PHÒNG GD-ĐT QUẬN HOÀN KIẾM TRƯỜNG THCS TRƯNG VƯƠNG

Đề số 9

ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG Mơn Tốn: Lớp – LẦN II

Năm học 2017 – 2018

Ngày kiểm tra: 17/3/2018 Thời gian làm bài: 120 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Bài I (2,0điểm) Cho hai biểu thức

+ =

+

x A

x

2

:

6 3

 

= + 

− − − −

 

x x x

B

x x x x

với x>0,x≠9

1) Tính giá trị biểu thức A x=36 2) Rút gọn biểu thức B

3) Với x∈Z, tìm giá trị lớn biểu thức P=AB Bài II(2,0điểm). Giải toán sau cách lập hệphương trình:

Theo kế hoạch, hai xí nghiệp A B phải làm tổng cộng 720 dụng cụ loại Trên thực tếdo cải tiến kĩ thuật, xí nghiệp A hồn thành vượt mức 12%, cịn xí nghiệp B

hoàn thành vượt mức 10% so với kế hoạch Do thực tế hai xí nghiệp làm tổng cộng 800 dụng cụ Tính sốdụng cụ xí nghiệp phải làm theo kế hoạch?

Bài III (2,0điểm)

1) Giải phương trình : 3x4−2x2−40=0

2) Cho phương trình x2+(m−1)x m− 2− =2 (1), với m tham số thực

a) Chứng minh: phương trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu x x1, với giá trị m

b) Tìm m để biểu thức

3 2

   

=  + 

   

x x

T

x x đạt giá trị lớn

Bài IV (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn ( )O Ba đường cao , ,

AD BE CF tam giác ABC qua trực tâm H 1) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp

2) Kẻđường kính AK đường tròn ( )O

Chứng minh: tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC AB AC =2AD R 3) Gọi M hình chiếu vng góc C AK Chứng minh: MD song song với

BK

4) Giả sử BC dây cố định đường tròn ( )O cịn A di động cung lớn BC Tìm vị trí điểm A đểdiện tích tam giác AEH lớn

Bài V(0,5điểm) Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn: abbcac3abc.Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

     

2 2 2 2 2

a b c

K

c c a a a b b b c

  

  

ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG Mơn Tốn; Lớp 9; Năm học 2015 – 2016

ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Ý Đáp án Điểm

Bài I 2,0 điểm

1) x36 (tmdk) x6 0,25

2 x A x + + = = = +

+ x36 0,25

2)

( 2)( )

3

2

x x x

B x x x x   −   = +  + − −    ( ) ( )( )

2 3

2

x x x x

x

x x

+ + −

=

+ − 0,5

( )(4 )

2

2

x x x x

x x

x x

+ − +

= =

+

+ − 0,5

3)

2 4

1 1

x x x

P A B

x x x x

+ + +

= = = = +

+ + + + 0,25

0; 1

3 3

1

2

1

x x x x x

P

x x

> ∈ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≤ ⇒ = + ≤

+ + 

5

max

P= x=

0,25

Bài II 2,0 điểm

Gọi sốdụng cụ xí nghiệp A B phải làm theo kế hoạch

là x y, (dụng cụ, x y, , ,x y120) 0,25 Vì theo kế hoạch, hai xí nghiệp A B phải làm tổng cộng 720 dụng

cụ loại nên: x y 720 0,5

Trên thực tế cải tiến kĩ thuật, xí nghiệp A hồn thành vượt mức 12%, cịn xí nghiệp B hồn thành vượt mức 10% so với kế hoạch

Do thực tế hai xí nghiệp làm được:1,12x1,1y dụng cụ

Vậy 1,12x1,1y800

0,5

Giải hệphương trình 720

1,12 1,1 800 x y

x y

   

  

 ta

400 320 x y     

 kết luận 0,75

Bài III 2,0 điểm

1)

( )( )

4 2 2

3 40 12 10 40

4 10

x x x x x

x x x x

− − = ⇔ − + − =

⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = ±

(Do

3x +10>0) Vậy S = ±{ }2

2a) Phương trình ( )

1

x + m− x−m − = phương trình bậc hai có hệ

số

a c m   m nên ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu

1,

x x với giá trị m

0,75

2b)

Theo định lí Vi ét: 2

1

x x m

x x m

    

   



Đặt 2 x x t

x x

= + 12 22 2

2 2

( ) (1 )

2 2

2

x x x x m

t m

x x x x m

+ + −

= = − = − ≤ − ∀

− −

0,25

3 3

3 2 2

2 2

3 ( 3)

x x x x x x

T t t t t

x x x x x x

       

=  +  = +  −  + = − = −

       

2

2

2 ( 3)

( 3) 2

2

t t t

t t T

t



          



  

maxT = −2 khit= −2; m=1

CÁCH 2: hs có thểáp dụng bất đẳng thức Cauchy

Nhận xét: x x1, hai nghiệm trái dấu phương trình nên

0 < x x Từđó:

3 3 3 2 2 2

2

 

           

 

=  +  = − −  + −  ≤ − −  −  = −

 

            

x x x x x x

T

x x x x x x

maxT = −2 khit= −2; m=1

Bài IV 3,5 điểm

Hình vẽ 0.25

0.25

1) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có góc BFC=BEC BFCBEC vng 0,25

Hai góc nhìn cạnh BC nên tứ giác nội tiếp 0,5

2) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC AB AC =2AD R

Đường trịn O có góc ABCAKC nội tiếp chắn cung AC Đường trịn O có AKlà đường kính nên ACKADB90o Vậy tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC

0,75

Từđó suy AB AD AB AC AD AK AD R.2

AK  AC   

0,5

3) Chứng minh: MD song song với BK

2S AEH AH d E AH ( , ) mà tam giác AHK có OG đường trung

bình nên AH=2OG, O Gkhông đổi nên độdài AHkhông đổi 0,25

 

2 2

2

2 4

max

4 max

45 45

AEH

AEH

AEH

o o

AE EH AE EH AH S

AH S

S EA EH

E ACB



  



 

   

0,25

Bài V

0,5 điểm Có

2 2

2 2 2 2 2

1 1

( ) ( ) 2 .

Cauchy

a a c c c c

c c a c c a c c a c c a c a

 

      

  

2 2

1

( )

a

c c a c a

  



0,25

Và tương tự

1 1 1 1 1

2 2 2

ab bc ca P

c a a b b c a b c abc

         

   

              

3 MinP

  , xảy    a b c

0,25

Lưu ý: - Điểm toàn để lẻđến 0,25.

- Các cách làm khác cho điểm tối đa.

TRƯỜNG THCS MINH KHAI

Đề số 10

ĐỀ KIỂM TRA MƠN TỐN Ngày thi: 09/4/2017 Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1.(2 điểm) Cho hai biểu thức A x 12 x

+ =

−

3 1

B :

x x x

 

= + 

− + +

  với

x≥0, x≠1

a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M A B

=

Bài 2.(2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình

Một công nhân dựđịnh làm 33 sản phẩm thời gian định Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 62 sản phẩm Do người làm tăng sản phẩm song hồn thành chậm dựđịnh giờ30 phút Tính suất dựđịnh

Bài 3.(2 điểm) 1) Giải hệphương trình:

1

3 x

y

x

y

 − − =

 +

 

 − + =

 +



2) Cho Parabol

y=x (P) đường thẳng y=mx− +m 1(d)

a) Tìm tọa độgiao điểm (P) (d) với m = -

b) Tìm m đểđường thẳng (d) parabol (P) cắt hai điểm phân biệt có hồnh

độ x , x1 thỏa mãn

2

1 2

x +x =x +x

Bài 4.(3,5 điểm) Cho đường trịn (O; R), đường kính AB vng góc với dây cung MN H (H nằm O B) Trên tia MN lấy điểm C nằm đường tròn (O; R) cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) điểm K khác A, hai dây MN BK cắt ởE

a) Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA CK = CE CH

c) Qua N kẻđường thẳng vng góc với AC cắt tia MK F Chứng minh ∆NFKcân d) Giả sửKE = KC Chứng minh OK // MN

Bài 5.(0,5 điểm) Cho a, b, c độdài cạnh tam giác biết: a + b – c > 0; b + c – a > 0; c + a – b >

Chứng minh: 1 1 1

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ KIỂM TRA TOÁN Ngày 09/04/2018

Bài (2 điểm):

a) Thay x = (TMĐK) vào A ta có: A 12 21 21

3

9

+

= = =

−

−

Vậy x = A 21

=

(0,5 đ)

b) B x :

( x 1)( x 1) x

+ −

=

− + +

= x x

1 ( x 1)( x 1)

+ +

− +

= x

x

+ −

(0,25 đ) (0,25 đ)

(0,25 đ)

c) Tính M A x 12 x x 12

B x x x

+ − +

= = =

− + +

x 12 x 16 16 16

M x x 16 4

x x x x

+ − +  

= = = − + = + + − ≥ − =

+ + +  + 

Dấu “ = ” xảy x 16 x x

⇔ + = ⇔ =

+ (TMĐK)

Vậy M = x =

(0,25 đ) (0,25 đ)

(0,25 đ)

Bài 2: (2 điểm)

Gọi suất dựđịnh người công nhân x (sản phẩm/giờ) (ĐK *

x∈ )

Năng suất thực tế người công nhân x + (sản phẩm/giờ) Thời gian dựđịnh làm xong 33 sản phẩm 33

x (giờ)

Thời gian thực tếlàm xong 62 sản phẩm 62

x+3 (giờ)

Lập luận phương trình 62 33

x+3− x =

Biến đổi vềphương trình

3x −49x 198+ =0

Giải phương trình

22 x 9(TM); x

3

= = (loại)

Vậy suất dự kiến sản phẩm/

(0,25 đ) (0,25đ)

Bài (2 điểm)

a) ĐK: x≥3; y≠0

Đặta x 3(a 0), b y

= − ≥ = Hệ trở thành: 3a b

a 2b

− = 

 + =



Giải hệđược: a =1; b = Suy x = (TMĐK); y

2

−

= (TMĐK), kết luận

a) Thay m = - 3, có phương trình hồnh độgiao điểm (P) (d):

2

x +3x− =4 x

x

=  ⇔  = −



+) x= ⇒ = ⇒1 y A(1;1)

+) x = − ⇒ =4 y 16⇒B( 4;16)−

b) Xét phương trình hồnh độgiao điểm (P) (d):

x −mx+ − =m

Ta có : a= ≠ ∀1 0 m

2

m 4m (m 2)

∆ = − + = −

Để(P) (d) cắt hai điểm phân biệt ⇒PT có hai nghiệm phân biệt

0 (m 2)

m

⇒ ∆ > ⇒ − >

⇔ ≠

Theo đề bài: 2

1 2

x +x =x +x

( )2 ( )

1 2

x x 2x x x x

⇔ + − − + =

2

m 2(m 1) m

⇔ − − − =

2

m 3m

⇔ − + =

m 1(TM) m 2(L)

=  ⇔  =



(0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ)

(0,25đ) (0,25 đ)

(0,25 đ)

(0,25 đ)

Bài (3,5 điểm):

Hình vẽđúng đến câu a)

a) Ta có: 

AHE=90 (theo giả thiết AB⊥MN)



AKE=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 

AHE AKE 180

⇒ + = Vậy tứgiác AHEK tứ giác nội tiếp (Tổng hai góc

đối 1800)

b) Xét hai tam giác CAE CHK: + Có góc C chung

+ EAC =EHK (góc nội tiếp chắn EK)

Suy ∆CAE∽∆CHA (g – g) Suy CA CK = CE CH

Hoặc cm ∆CKE∽∆CHA (g –g )

c) Do đường kính AB vng góc MN nên B điểm cung MN

Suy MKB =NKB (1)

Lại có BK // NF (vì vng góc với AC) nên  

 

NKB KNF(2) MKB MFN(3)

 =

 

=



Từ (1), (2), (3) suy MFN =KNF⇔KFN =KNF Vậy ∆KNF cân K

d) Ta có  

AKB=90 ⇒BKC=90 ⇒ ∆KEC vuông K

Theo giả thiết ta lại có KE = KC nên tam giác KEC vuông cân K

  

BEH=KEC=45 ⇒OBK=45

Mặt khác tam giác OBK cân O (do OB = OK = R) nên suy tam giác OBK vuông cân O dẫn đến OK // MN (cùng vng góc với AB)

Bài (0,5 điểm)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi

(0,25 đ)

(0,25 đ) (0,25 đ) (0,5 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,5 đ)

(0,25 đ) (0,25 đ)

(0,25đ) (0,25 đ)

(0,25 đ)

A

B

C M

F K

N E H O

A

B

C M

K

N E O P

Với x >0, y > ta có x+ ≥y xy

2 x y

(x y) 4xy

xy x y

+

+ ≥ ⇔ ≥

+

1

(*)

x+ ≥y x+y Dấu “=” xảy ⇔ =x y

Áp dụng BĐT (*) ta có:

1 4

(1) a+ −b c+ b+ −c a ≥ a+ − + + −b c b c a = 2b = b

Tương tự: 1 2(2) c+ −a b+b+ −c a ≥ c

1 2(3) c+ −a b+a+ −b c ≥ a

Cộng (1), (2), (3) vế với vế ta có:

1 1 1

a+ −b c+ b+ −c a +c+ −a b ≥ + +a b c

Dấu “=” xảy ⇔ = =a b c

(0,25 đ)

UBND QUẬN HỒNG MAI PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Đề thức

Đề số 11

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2017 – 2018 MƠN TỐN – LỚP ( Tiết 68 – 69)

Thời gian làm : 90 phút Ngày kiểm tra : 17 tháng năm 2018

I TRÁC NGHIỆM (1,0 điểm) Chọn chữcái đứng trước câu trả lời đúng:

Câu 1. Cặp số (−1; 2) nghiệm hệphương trình sau đây?

A

6 2

x y x y

+ =



 + = −

 B

2

3 x y

x y

− + = 

 

− =

 C

1

2

x y x y

+ = 

− + =

 D

2 x y x y

− =

  + =



Câu 2.Điều kiện m đểphương trình 2

2

x − mx+m − = có hai nghiệm x1=0,x2 >0 là:

A m= −2 B m=2 C m= ±2 D m=16 Câu 3.Cho đường trịn (O R, ) đường kính AB, dây AC=R Khi sốđo độ cung nhỏ

BC là: A

60 B 1200 C 900 D 1500 Câu 4.Độdài đường tròn 10π (cm) Diện tích hình trịn là:

A ( )2

10π cm B 100π( )cm2 C 50π( )cm2 D 25π( )cm2 II TỰ LUẬN ( 9,0 điểm)

Bài I ( 2,5 điểm)

1. Giải hệphương trình sau:

2

3

2

3

8

2

x y

x y

 + =

 − +

 

 − =

 − +



2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y=x2 đường thẳng (d) :

2

y= mx− m+

a. Với m= −1 Hãy tìm tọa độgiao điểm (P) (d)

b. Tìm m để(d) (P) cắt điểm phân biệt : A x y( ;1 2); ( ;B x y2 2) cho tổng tung độ hai giao điểm

Bài II (2,5 điêm)Giải toán cách lập phương trình hoạc hệphương trình

Một đội xe theo kế hoạch chở hết 120 hàng sốngày quy định Do

ngày đội chởvượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy

định ngày chởthêm Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hết sốhàng ngày?

Bài III (3,5 điểm)

Đường kính MN đường tròn ( )O cắt dây CD I Lấy điểm E cung lớn CD

(E khác C,D,N); ME cắt CD K Các đường thẳng NE CD cắt P a) Chứng minh :Tứgiác IKEN nội tiếp

b) Chứng minh: EI.MN=NK.ME

c) NK cắt MP Q Chứng minh: IK phân giác EIQ

d) Từ C vẽđường thẳng vng góc với EN cắt đường thẳng DE H Chứng minh

khi E di động cung lớn CD (E khác C, D, N) H chạy đường cố

định

Bài IV (0,5 điểm): Cho a b c; ; >0, chứng minh rằng:

a b c a b c

a b+ +b c+ +c+a < b c+ + c+a + a b+ HƯỚNG DẪN GIẢI

I TRẮC NGHIỆM (1,0 điểm) Chọn chữcái đứng trước câu trả lời đúng:

Câu 1. Cặp số (−1; 2) nghiệm hệphương trình sau đây?

B

6 2

x y x y

+ =



 + = −

 B

2

3 x y

x y

− + = 



 − =

 C

1

2

x y x y

+ = 

− + =

 D

2 x y x y

− =

  + =



Câu 2.Điều kiện m đểphương trình 2

2

x − mx+m − = có hai nghiệm x1=0,x2 >0 là:

B m= −2 B m=2 C m= ±2 D m=16 Câu 3.Cho đường trịn (O R, ) đường kính AB, dây AC=R Khi sốđo độ cung nhỏ

BC là: A

60 B 1200 C 900 D 1500 Câu 4.Độdài đường tròn 10π (cm) Diện tích hình trịn là:

A ( )2

10π cm B 100π( )cm2 C 50π( )cm2 D 25π( )cm2 Hướng dẫn giải

Câu 1. Thay x= −1, y=2 vào hệ Ta đáp án A C. Câu 2. Thay x1=0 vào phương trình ta

2

4

m − = ⇔ = ±m

Thử lại: Thay m=2 vào phương trình ta

4

0 x x

x x − =

=  ⇔  =



2

4

0 x x

x x + =

=  ⇔  = −



(không thỏa mãn điểu kiện đề bài)

Vậy đáp án B.

Câu 3. AC= ⇒ ∆R AOC tam giác Suy góc CAB=600

Mà   

d 120

2

CAB= s BC⇒sd BC= Chọn đáp án B.

Câu 4. Gọi bán kính hình trịn R

Chu vi hình trịn 2πR=10π ⇒ =R Diện tích hình trịn ( )2

25

R cm

π = π

Vậy chọn đáp án D II TỰ LUẬN ( 9,0 điểm) Bài I ( 2,5 điểm)

1. Giải hệphương trình sau:

2

3

2

3

8

2

x y

x y

 + =

 − +

 

 − =

 − +



2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y=x2 đường thẳng (d) :

2

y= mx− m+

c. Với m= −1 Hãy tìm tọa độgiao điểm (P) (d)

d. Tìm m để(d) (P) cắt điểm phân biệt : A x y( ;1 2); ( ;B x y2 2) cho tổng tung độ hai giao điểm

Hướng dẫn giải

1.

2

3

2

3

8

2

x y

x y

 + =

 − +

 

 − =

 − +



( Điều kiện xác định : x≠2;y≠ −1 )

+) Đặt ; a b x− = y+ =

+) Hệphương trình

3 a b a b

+ = 

⇔  − =

4

7 14

2 ( ) a b a b a a b a TM b + =  ⇔  − =  =  ⇔  − =  =  ⇔  = − 

+) Thay 2

2

a x x

x

= ⇒ = ⇔ − = ⇔ =

−

+) Thay 1 1

b y y

y

= − ⇒ = − ⇒ − − = ⇔ = −

+

+) Vậy hệphương trình có nghiệm ( ; ) ( ; 2)5 x y = −

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y=x2 đường thẳng (d) :

2

y= mx− m+ a.

+) Phương trình hồnh độgiao điểm (P) (d) :

2

2

2

x mx m x mx m

⇒ = − +

⇔ − + − =

+) Thay m= −1 vào phương trình ta :

2 ( 1)( 3)

1 x x x x x y x y ⇒ + − = ⇔ − + =  =  = ⇔ ⇒ = −  = 

+) Vậy m= −1 giao điểm (P) (d) : (1;1); ( 3;9)− b. +) Phương trình hồnh độgiao điểm (P) (d) :

2

2

2

x mx m x mx m

⇒ = − +

⇔ − + − =

2

' m 2m (m 1) m

∆ = − + = − > ∀ ≠ (1)

+) Suy (d) (P) cắt điểm phân biệt : A x y( ;1 2); ( ;B x y2 2)

1 ( ) 1 x ∈ P ⇒y =x

2 ( ) 2 x ∈ P ⇒ y =x

+) Áp dụng định lí viet ta có : 2

2 x x m x x m

+ =



 = −



1 2 2

2

1 2

2

2

( ) 2

4 2(2 1)

4

0( ) 1( ) y y

x x

x x x x

m m

m m m TM m Loai ⇒ + = ⇔ + =

⇔ + − = ⇔ − − = ⇔ − =

=  ⇔  =



+) Vậy m=0 (d) (P) cắt điểm phân biệt : A x y( ;1 2); ( ;B x y2 2) cho tổng tung độ hai giao điểm

Bài II (2,5 điêm)Giải tốn cách lập phương trình hoạc hệphương trình

Một đội xe theo kế hoạch chở hết 120 hàng sốngày quy định Do

ngày đội chởvượt mức nên đội hồn thành kế hoạch sớm thời gian quy

định ngày chởthêm Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hết sốhàng

bao nhiêu ngày?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian chở hàng theo kế hoạch x (ngày,x > )

Năng suất đội xe theo kế hoạch 120

x (tấn/ngày)

Thời gian chở hàng thực tế x−1 (ngày)

Năng suất thực tế 125

x− (tấn/ngày)

Vì đội xe chởhàng vượt mức tấn/ ngày nên ta có phương trình

2 125 120

5

5 10 120

4

x x

x x x x

− =

−

⇒ − − =

= 

⇔  = −



Vì x > 1nên x =

Vậy thời gian chở hàng theo kế hoạch ngày Bài III (3,5 điểm)

Q

P K

I N

O

C D

M

a) Xét đường trịn ( )O có đường kính MN, M điểm cung nhỏ CD (gt) nên MN vng góc với CD trung điểm I CD Do đó: 

D 90 MI =

Ta có 

; 90

2

E∈O MN⇒MEN =

  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứgiác IKEN có:   0

D 90 90 180

MI +MEN = + = mà góc vịtrí đối

nên tứgiác IKEN nội tiếp (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Tứgiác IKEN nội tiếp (cmt) nên MEI =MNK (2 góc nội tiếp chắn cung IK)

Xét ∆MEI ∆MNKcó:

  

( )

( )

MEI MNK cmt EI ME

MEI MNK g g EI MN NK ME NK MN

EMIchung



=  ⇒ ∆

∆ ⇒ = ⇒ =



 

c) Xét ∆MNPcó đường cao ME PI cắt K nên K trực tâm ∆MNP Do NK vng góc với MP Q Từđó suy 

90 NQP= Xét tứ giác NIQP có:  

90

NIP=NQP= mà góc nhìn NP tứ giác NIQP nội tiếp Suy QNP =QIP (vì chắn cung PQ) (1)

Tứgiác IKEN nội tiếp (cm a) nên QNP =EIK (cùng chắn cungEK) (2)

Từ (1) (2) suy QIP =EIK Do IK phân giác EIQ

d) Từ C vẽđường thẳng vng góc với EN cắt đường thẳng DE H Chứng minh

khi E di động cung lớn CD (E khác C, D, N) H ln chạy đường cố

định

Ta có:  ( )

 ( )

/ / DEM DHC dv ME NP

ME CH

CH NP MEC ECH slt

 =

⊥ ⇒ ⇒

 

⊥   =

Mà  DEM =MEC ( góc nt chắn cung = nhau)

 

EHC ECH

⇒ =

EHC

⇒ ∆ cân E

⇒EN trung trực CH

Xét ∆DCHcó: IN trung trực CD (dễdãng cm) ⇒NC=ND

EN trung trực CH (cmt) ⇒NC=NH

⇒N tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DCH

⇒ H∈(N NC; )

Mà N, C cốđịnh => H thuộc đường tròn cốđịnh E chạy CD

Đặt A a b c b c a b c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a

  = + + = − + − + − = − + +  + + + + + +  + + +  Mà a b c; ; >0nên:

b b

a b+ >a b c+ +

c c

b c+ >a b c+ +

a a

c+a > a b c+ +

Cộng vếta được:

1

1

3

2 (*)

b c a a b c

a b b c c a a b c

b c a

a b b c c a

b c a

a b b c c a A

+ +

+ + > =

+ + + + +

 

⇔ − + + < −

+ + +

 

 

⇔ − + + < −

+ + +

 

⇔ <

Đặt

( ) ( ) ( )

a b c a b c

B

b c c a a b a b c b c a c a b

= + + = + +

+ + + + + +

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho sốdương a; b+cta được:

( )

2 ( )

a b c a a

a b c

a b c a b c

+ +

+ ≤ ⇔ ≥

+ +

+

Tương tự ta có:

2 ( )

b b

a b c b c+a ≥ + +

2 ( )

c c

a b c c a b+ ≥ + +

Từđó, ta có: 2 2

( ) ( ) ( )

a b c a b c

a b c a b c b c a c a b

+ +

+ + ≥ =

+ +

+ + +

2 (**) B

⇔ ≥

ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN CẦU GIẤY PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Đề số 12

KIỂM TRA HỌC KÌ II

Năm học: 2017 - 2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Câu I: (2 điểm)

Cho hai biểu thức A x 1 x

=

+

x 3 2 1 B

x 9 x 3 3 x

+

= + −

− + − với x≥0; x≠9 a) Tính giá trị biểu thức A x 4

9

=

b) Rút gọn biểu thức B

c) Cho P=B : A. Tìm x để P <

Câu II: (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệphương trình Hai cơng nhân làm chung cơng việc xong việc Nếu

người làm mình, để hồn thành cơng việc thìngười thứ cần nhiều người thứ hai 12 Hỏi làm người phải làm xong công việc đó?

Câu III: (2,5 điểm)

1) Giải hệphương trình

1 4 3 2x 1 y 5

3 2

5 2x 1 y 5

 + =

 − +

 

 − = −

 − +



2) Cho phương trình

x −2(m 1)x+ +2m=0 (1) (x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m

b) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x ,1 x2 Tìm giá trị m để x ,1 x2 độdài

hai cạnh góc vng tam giác vng có độdài cạnh huyền 12

Câu IV: (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B

Kẻdây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kỳ(E khác A C) KẻCK vng góc với AE K Đường thẳng DE cắt CK F

1) Chứng minh tứgiác AHCK tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh KH song song với ED tam giác ACF tam giác cân

3) Tìm vị trí điểm E đểdiện tích tam giác ADF lớn

Câu V: (0,5 điểm) Giải phương trình 2

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - MƠN TỐN

Câu Nội dung Điểm

I

2,0

a) 1,0

* Khi x 4 9

= x 2 3

=

2

2 3

A

2 9

1 3. 3

= =

+

* Vậy x 4 9

= A 2 7

=

b) 0,5

x 3 2 1 B

x 9 x 3 3 x

+

= + −

− + −

( )( ) ( ( )( ) ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

x 3 2 1

x 9 x 3 x 3

2 x 3

x 3 x 3

x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

x 3 2 x 6 x 3

x 3 x 3

x 3 x

x 3 x 3

x x 3

x 3 x 3

x

x 3

+

= + +

− + −

−

+ +

= + +

+ − + − + −

+ + − + +

=

+ −

+ =

+ −

+ =

+ −

=

−

c) 0,5

Ta có: P x : x 3 x 1

x 3 x x 3

+

= =

− + −

3 x 1

P 3 3

x 3

+

< ⇔ <

( )

3 x 3 3 x 1

0 x 3 x 3 3 x 1 x 9

0 x 3

10

0 x 3 x 3 0 x 3 x 9

− +

⇔ − <

− −

+ − +

⇔ <

− ⇔ <

− ⇔ − < ⇔ < ⇔ <

Kết hợp điều kiện xác định 0< <x 9 P<3

II

2,0 Giả sửngười thứ làm riêng x (giờ) hồn thành cơng việc

(ĐK: x > 0)

Giả sửngười thứ hai làm riêng y (giờ) hồn thành cơng việc

(ĐK: y > 0, y < x)

Trong giờngười thứ làm 1

x công việc Trong giờngười thứhai làm 1

y công việc

Theo giả thiết, hai người làm chung hồn thành cơng việc

nên ta có:

1 1 1 x + =y 8 (1)

Khi làm riêng người thứ cần nhiều người thứ hai 12 giờđể

hồn thành cơng việc nên ta có: x− =y 12 (2) Từ (1) (2) ta có hệphương trình

( )

2

1 1 1

8 2y 12 xy 8(2y 12) y(y 12)

x y 18

x y 12 x y 12

x y 12

y 4y 96 0

x y 12

 + =  + =  + = +

 ⇔ ⇔

   = +

= + 

  − =



 − − =

⇔ 

= + 

* Giải phương trình

(y 12 y)( 8) 0 y 12(TM) y 8(L)

=  ⇔ − + = ⇔  = −

 Từđó suy x = 24

Vậy làm riêng người thứ cần 12 giờđể hồn thành công việc,

người thứ hai cần 24 giờđể hồn thành cơng việc

III

2,5

1) 1,0

* ĐK: x 1; y 5 2

≠ ≠ −

* Đặt 1

a 2x 1

1 b y 5

 =

 −

 

 =

+ 

, ta có hệ pt:

a 4b 3 a 4b 3 7a 7 a 1 3a 2b 5 6a 4b 10 a 4b 3 b 1

+ = + = = − = −

 ⇔ ⇔ ⇔

 − = −  − = −  + =  =

   

1

1

2x 1 1 x 0

2x 1

(TM)

1 y 5 1 y 1

1 y 5

 = −

 −  − = −  =



⇒ ⇔ ⇔

+ = = −

 

 =

+ 

Vậy hệ có nghiệm (x.y) = (0;4)

2) 1,5

a) 0,75

Xét phương trình

x −2(m 1)x− +2m=0 Ta có

2

' (m 1) 2m m 1

∆ = + − = +

m ≥0 với m nên ∆ ≥ >' 0 suy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x , x1 2

b) 0,75

Để nghiệm x , x1 2là độdài cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền 12 Thì x , x1 2 số thực dương thỏa mãn

2

1

x +x =12

Theo hệ thức Viet ta có : 2

x x 2(m 1) x x 2m

+ = +



 =

2(m 1) 0

m 0 2m 0

+ > 

⇔ >  >

 hệ thức

2

1

x +x =12 ⇔ (m - 1)(m - 2) =

⇔ m 1

m 2

=   = −

 đối chiếu với điều kiện ta thấy m = thỏa mãn

IV

3,0

0,25

a) 0,75

Vì CK ⊥AK nên AKC =900 CH⊥AB H nên AHC =900 Tứ giác AHCK có :

 

AHC+AKC 180= nên ACHK tứ giác nội tiếp

(Tổng góc đối 180 )

b) 1,0

TừCHAK tứ giác nội tiếp ta suy CHK  =CAK =CAE (góc nội tiếp

cùng chắn cung KC)

Lại có ADCE nội tiếp nên CAE =CDE (góc nội tiếp chắn cung EC)

Từđó suy CHK =CDE⇒HK / /DE

Do HK// DF, mà H trung điểm CD (Được suy từ quan hệ vng góc đường kính AB với dây CD H )

tuyến nên CAF tam giác cân K

c) 1,0

Tam giác FAC cân A nên AF = AC

Dễ thấy tam giác ACD cân A nên AC=AD từđó suy AF =AD hay tam giác AFD cân A, hạ DI⊥AF

Ta có SAFD 1DI.AF= DI.AC,1

2 2

= AC không đổi nên SAFD lớn

và DI lớn nhất, Trong tam giác vng AID ta có: ID≤AD=AC hay

2 AFD

1 1 AC S DI.AF= DI.AC

2 2 2

= ≤ dấu đẳng thức xảy I≡A 

DAF=90 dẫn đến tam giác ADF vuông cân A, suy  

EBA=EDA=45 hay E điểm

cung AB

V

0,5

Điều kiện:

2

2

x 3x 18 0

x 0 x 6

5x 4x 0

 − − ≥

 ≥ ⇔ ≥



 + ≥



PT 2

5x 4x x 3x 18 5 x

⇔ + = − − +

( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

2 2

2

2

5x 4x x 22x 18 10 x x 3x 18 5 x x 6 x 3 2x 9x 9

5 x 6x x 3 2 x 6x 3 x 3

⇔ + = + − + − −

⇔ − + = − +

⇔ − + = − + +

Đặt ( )( )

2

2

a x 6x 0

2a 3b 5ab 0 a b 2a 3b 0 b x 3 3

 = − ≥

 ⇒ + − = ⇔ − − =



= + ≥



* TH1: 2 7 61

a b x 6x x 3 x 7x 3 0 x

2

+

= ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔ =

* TH2:

( ) ( )

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HÀ ĐÔNG

Đề số 13

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP

Năm học: 2017 - 2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút

Bài I: (2,0 điểm) Cho biểu thức P x 3 x 2 x 2

x 2 3 x x 5 x 6

+ + +

= + +

− − − +

x Q 1

x 1

= −

+ với x≥0; x ≠4; x ≠9

a) Tính giá trị biểu thức Q x= +4 2 3

b) Rút gọn biểu thức T=P : Q

c) Tìm x để 1

T có giá trị nguyên

Câu II: (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệphương trình

Bạn An dựđịnh thực cơng việc quét sơn cho

40m tường thời gian định Tuy nhiên, thực bạn An quét dựđịnh

2m ,

đó bạn hồn thành công việc chậm so với kế hoạch Hỏi kế

hoạch bạn An hồn thành cơng việc bao lâu? Câu III: (2,5 điểm)

1) Giải hệphương trình

( )

1 3

x 3y 2x y 2

4

5 x 3y 3 2x y

 + + =

 −  

 − + = −

 − 

2) Trong mặt phẳng tọa độOxy cho đường thẳng ( )d : y=mx−2m+3 parabol

( )

P : y=x

a) Tìm m để(d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x ,1 x2 thỏa mãn

2

1 2 x x +x x =5

b) Tìm giá trị nguyên nhỏ m để (d) (P) khơng có điểm chung

Câu IV: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE CF

cắt H

1) Chứng minh tứgiác BFEC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh AF.AB=AE.AC

3) BE CF cắt (O) điểm thứ hai M N Chứng minh EF // MN

4) Giả sử B C cốđịnh; A thay đổi Tìm vị trị A cho tam giác AEH có diện tích lớn

Câu V: (0,5 điểm) Với sốdương x, y, z, t thỏa mãn x+ + + =y z t 4. Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 21 21 21 21

x 1 y 1 z 1 t 1

= + + +

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - MƠN TỐN

Bài Nội dung Điể

m

I 2,0

đ

1) (0,5 điểm) Biến đổi x= +4 2 3 = +(1 3)2

Thay x= +(1 3)2 (tmđk) vào biểu thức Q ta có:

Q= = − 2 3

0,25 0,25

2) (1 điểm)

( )(

( )( )

( )( ) (( )()( ) () )( )

( )( ) ( )( )

x 3 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 P

x 2 3 x x 5 x 6 x 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2

P

x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 9 x 4 x 2 x 3 1

P

x 2 x 2 x 3 x 2 x 3

x 1 Q 1

x 1 x 1 x 1 T P : Q

x 2

+ + + + + +

= + + = − +

− − − + − − − −

+ − + − +

= − +

− − − − − −

− − + + + −

= = =

−

− − − −

= − =

+ +

+

= =

−

0,25

0,25

0,25

0,25

3) (0,5 điểm)

1 x 2

T x 1

− =

+

Chặn giá trị 1 : 2 1 1

T − ≤ <T

Vì 1

T nguyên suy 1

2 T = −

1 1 T = −

1 0 T =

Tìm x x = (TMĐK); x 1 4

= (TMĐK); x = (KTMĐK)

0,25

Kết luận

II 2,0

đ

+ Gọi sốmét vuông tường bạn An định quét sơn x ( m )

(x>2)

Khi thời gian dựđịnh hồn thành cơng việc 40(h) x Thực tế giờquét sơn x−2 ( )m2

Thời gian thực tế hồn thành cơng việc 40 (h) x−2

Theo đề ta có PT: 40 40 1 x −2 − x =

+ Giải pt được: x= −8 (không thỏa mãn), x=10 (thỏa mãn)

+ Kết luận thời gian dựđịnh hồn thành cơng việc

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,5 0,25

III

1) (0,75đ)

ĐKXĐ: 2x≠ y

Đặt 1 a; x 3y b 2x−y = + = Ta có hệ:

3 a b

2

4a 5b 3

 + = 



 − = − 

Giải hệtìm a 1;b 1 2

= =

Giải hệ 2x y 2 x 3y 1

− = 

 + =

 tìm x=1; y=0(TM)

0,25

0,25 0,25

2) (1,25 điểm)

a) (0,75 điểm)

+ Xét phương trình hồnh độgiao điểm (P) (d)

2

x mx 2m 3(1)

x mx 2m 3 0

= − +

⇔ − + − =

( )2

2

m 8m 12 m 4 4

∆ = − + = − −

(P) cắt (d) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt

khi ∆ >0

( )2

0 m 4 4 m 4 2 m 6 m 4 2 m 2

∆ > ⇔ − > − > >

 

⇔  ⇔ 

− < − <

 

+ Với m > m < 2, (P) cắt (d) hai điểm phân biệt x , x1 2 nghiệm

của pt (1)

Theo Vi-ét ta có: 2

x x m x x 2m 3

+ = 

 = −



( )

2 2

1 2 1 2

x x +x x = ⇔5 x x x +x = ⇔5 m(2m− = ⇔3) 5 2m −3m− =5 0

Tìm m= −1(TM) m 5(KTM) 2

=

Vậy

0,25

0,25

b) (0,5 điểm)

(P) (d) khơng có điểm chung pt (1) vơ nghiệm

( )2 ( )2

0 m 4 4 0 m 4 4 2 m 6

∆ < ⇔ − − < ⇔ − < ⇔ < < Mà m số nguyên nên m∈{3;4;5}

Vậy giá trị m nguyên nhỏ đểd không cắt (P) m =

0,25

0,25

IV 0,25

b) Chứng minh ∆AHF đồng dạng với ∆ABD AF.AB AH.AD

⇒ = (1)

Chứng minh ∆AEH đồgn dạng với ∆ADC Suy AE.AC=AH.AD (2)

(1) (2) suy AF.AB = AE.AC

(Hoặc chứng minh ∆AEF đồng dạng với ∆ABC)

0,25 0,25 0,25 0,25 c)

+ Chứng minh MAC =CAD hay MAE =EAH suy AE trung

trực HM, suy E trung điểm HM

+ Tương tự chứng minh F trung điểm HN

Suy FE // MN (đường trung bình)

(Hoặc chứng minh FCB  =FEB= NMB)

0,25 0,25 0,25 0,25

d) 2

AEH

4S∆ =2AE.EH≤AE +EH =AH Chứng minh AH = 2OK, OK không đổi

Lập luận, kết luận S∆AEH lớn AE = EH hay

 

HAE=45 ⇒ACB=45 , suy vị trí A

0,25 0,25

V

Với sốdương x, y, z, t

Biến đổi áp dụng bất đẳng thức Cô si chứng minh được:

2

2

1 x x

1 1 ;

x +1= − x +1≥ − 2 Dấu "=" xảy ⇔ =x 1

Chứng minh tương tự:

2

2

1 y y

1 1 ;

y +1= − y +1≥ − 2 Dấu "=" xảy ⇔ =y 1

2

1 z z 1 1 ;

z +1= − z +1≥ − 2 Dấu "=" xảy ⇔ =z 1

2

1 t t

1 1 ;

t +1= − t +1≥ − 2 Dấu "=" xảy ⇔ =t 1 Mà x+ + + =y z t 4

Do A 21 21 21 21 2

x 1 y 1 z 1 t 1

= + + + ≥

+ + + +

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HAI BÀ TRƯNG

Đề số 14

KIỂM TRA HỌC KÌ II

Năm học: 2017 - 2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Bài I: (2 điểm)

Cho biểu thức A x 1 x 3

+ =

−

2 x x 3x 3 B

x 9 x 3 x 3

+

= + −

−

+ − với x>0; x ≠9 a) Tính giá trị A x=25

b) Rút gọn biểu thức P=B : A c) Tìm giá trị nhỏ P

Câu II: (2 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệphương trình Hai người làm chung cơng việc 48 phút xong Thời gian

người thứ làm xong cơng việc nhiều thời gian đểngười thứ hai làm xong công việc Hỏi người làm hồn thành

cơng việc?

Câu III: (2 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( )

P : y=x đường thẳng

( )d : y= − +x m 3

1) Tìm tọa độgiao điểm (d) (P) m = 2) Tìm m để(d) cắt (P) hai điểm phân biệt

3) Với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M x ; y( 1 1) N x ; y( 2 2) cho y1+ y2 =3 x( 1+ x2)

Câu IV: (3,5 điểm) Cho (O) đường kính AB = 2R, xy tiếp tuyến với (O) B CD

đường kính (AC<CB) Gọi giao điểm AC, AD với xy theo thứ tự M N 1) Chứng minh tứ giác MCDN nội tiếp

2) Chứng minh AC.AM = AD.AN

3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứgiác MCDN H trung điểm MN Chứng minh tứgiác AOIH hình bình hành Khi đường kính CD quya xung quanh điểm O

thì I di động đường nào? 4) Khi góc AHB

60 Tính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành hình bình hành AHIO quay quanh cạnh AH theo R

Câu V: (0,5 điểm) Cho x ≥0; y≥0 x+ =y 1. Tìm giá trị lớn biểu thức

x y

A

y 1 x 1

= +

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - MƠN TỐN

Câu Nội dung Điểm

I

2,0

1) 0,5

* Tại x =25 x =3 A 25 1 6 3 2 25 3

+

= = =

−

* Vậy x =25 A=3

2) 1,0

2 x x 3x 3

B

x 9

x 3 x 3

−

= + +

−

+ −

2 x x 3x 3

B

x 9

x 3 x 3

−

= + +

−

+ −

( )( ) ( ( )( ) )

3 x 1

3 x 3 B

x 3 x 3 x 3 x 3

− +

− −

= =

+ − + −

( )

( 3 )(x 1 ) x 1 3

P B : A :

x 3 x 3

x 3 x 3

− + + −

= = =

− +

+ −

0,25

0,25

0,25

3) 0,5

3 P

x 3

− =

+ (x ≥0; x≠9)

Lập luận x 0 x 0 x 3 3 3 1 P 1 x 3

−

≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ −

+

Dấu "=" xảy ⇔ =x 0 (TMĐK)

Vậy Min P= −1 x =

0,25 0,25

II

2,0

Đổi 48 phút 24 5

=

Gọi thời gian người thứ hai làm xong công việc x 24

x 5

 > 

 

 

Thời gian người thứ làm xong cơng việc x+4 (giờ) Trong giờngười thứhai làm 1

x công việc Trong giờngười thứ làm 1

x +4 công việc Theo ra, ta có giờ, cảhai người làm 5

24 công việc

Nên ta có phương trình 1 1 5

x+4+ =x 24 Giải phương trình tìm x1 12( )L ;

5

−

= x2 =8(TM)

Vậy thời gian người thứ hai làm xong cơng việc Thời gian người thứ hai làm xong cơng việc 12

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

0,25

III

2,0

1) 0,75

Khi m = ta có y= +x 2

Phương trình hồnh độgiao điểm 2

x = − ⇔x 2 x − − =x 2 0

Giải (1) x1 =2, x2 = −1

( )

( )

1

2

x 2 y 4 A 2;4

x 1 y 1 B 1;1

= ⇒ = ⇒

= − ⇒ = ⇒ −

Vậy ( )d cắt (P) hai điểm A 2;4( ), B(−1;1)

0,25 0,25 0,25

2) 0,75

Xét PT hoành độgiao điểm (d) (P):

x − + − =x m 3 0 (*) Tính ∆ =13 4m−

(d) cắt (P) hai điểm phân biệt M, N phương trình (*) có hai nghiệm

phân biệt 0 m 13 4

⇔ ∆ > ⇒ <

3) 0,5

Áp dụng hệ thức Vi-ét có:

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2

⇔ −2m+ =6 2 x( 1+x2)

Tìm m =

IV

3,5

0,5

1) 0,75

CM ∆AOC cân O ⇒CAO =OCA

mà CAO =ANB (cùng phụ với AMB) ⇒ACD =ANM

Ta có:    

ACD+DCM=180 ⇒DCM+ANM=180

Chứng minh DCMN nội tiếp

2) 1,0

ACD

∆ ∆ANM có: 

  MAN : chung

ACD ACD ANM(cmt)

⇒ ∆ 

=  # ∆ANM (g - g)

AC AD

AN AM

⇒ = (cạnh tương ứng tỉ lệ)

AC.AM AD.AN

⇒ =

3) 0,75

I

⇒ giao điểm đường trung trực CD trung trực MN

IH MN

⇒ ⊥ IO⊥CD

Do AB⊥MN;IH⊥MN⇒ AO // IH

Do H trung điểm MN ⇒AH trung điể mcủa tam giác vuông AMN

  ANM NAH

⇒ =

Mà ANM  =BAM=ACD(cmt)⇒DAH =ACD Gọi K giao điểm AH DO

do    

ADC+ACD 1v= ⇒DAK+ADK =90 hay ∆AKD vuông ởK

AH CD

⇒ ⊥ mà OI⊥CD⇒ OI // AH Vậy AHIO hình bình hành

Do AOIH hình bình hành ⇒IH=AO=R không đổi CD

⇒ quay xung quanh O I nằm đường thẳng song song với xy cách xy khoảng R

4) 0,5

Xét ∆ABH vuông B, 

AHB=60 4R 3

AH 2R sin 60

3

⇒ = =

2 xqtru

R R 4R 3 4 R S 2 AH 2 .

2 2 3 3

π

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA

Đề số 15

KIỂM TRA HỌC KÌ II

Năm học: 2017 - 2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Bài I: (2,5 điểm)

Cho biểu thức A 2 x 1 x

+

= B x 3 x 4 1

x 22 x 2

− +

= −

− − với x>0; x ≠4 a) Tính giá trị A x=9

b) Rút gọn biểu thức B c) Cho P B.

A

= Tìm x để P >P

Câu II: (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệphương trình

Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm sốngày dựđịnh Trong thực tế, cải tiến kĩ thuật nên ngày xí nghiệp làm vượt mức sản phẩm, khơng họđã làm 80 sản phẩm mà cịn hồn thành sớm kế hoạch ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày xí nghiệp sản xuất sản phẩm?

Câu III: (2,5 điểm) Cho parabol ( )

P : y=x đường thẳng ( )d : y=(2m x+ ) −2m a) Xác định tọa độgiao điểm (d) (P) m =

b) Tìm m để(d) (P) cắt hai điểm phân biệt M x ; y( 1 1) N x ; y( 2 2) cho

1 2

y + y −x x =1

Câu IV: (3,0 điểm) Cho điểm M cốđịnh nằm bên ngồi đường trịn (O; R) Qua M vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (với A, B tiếp điểm) Gọi C điểm cung nhỏ AB đường trịn (O) Gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ C đến AB, MA, MB

1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E thuộc đường tròn

2) AC cắt DE P; BC cắt DF Q Chứng minh ∆PAE # ∆PDC suy PA.PC=PD.PE

3) Chứng minh AB // PQ

4) Khi điểm C di động cung nhỏ AB đường trịn (O) trọng tâm G tam giác

ABC di chuyển đường nào?

Câu V: (0,5 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a+ + =b c 7, ab+bc+ca=15.

Chứng minh rằng: a 11 3

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - MƠN TỐN

Câu Nội dung Điểm

I

2,5

a) 1,0

* Khi x=9 x =3 A 2.3 1 7

3 3

+

= =

* Vậy x =9 A 7 3

=

b) 1,0

x 3 x 4 1 B

x 22 x 2

− +

= −

− −

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2

x 3 x 4 1 x 2 x x 2

x 3 x 4 x x x 2 x x 2 x 3 x 4 x

x x 2 x 4 x 4

x x 2 x 2 x x 2 x 2

x

− +

= −

− −

− +

= −

− −

− + − =

−

− +

=

− − =

− − =

c) 0,5

Ta có: P x 2 x: 1 x 2

x x 2 x 1

− + −

= =

+ 0,25

x 2

P P P 0 0

2 x 1

−

> ⇔ < ⇔ <

Ta có x > nên 2 x + >1 0. Để x 2 0 2 x 1

− <

+ x − <2 0

Kết luận 0< <x 4

0,25

II

2,0 Gọi số sản phẩm mà xí nghiệp phải làm ngày theo kế hoạch x (ĐK:

x∈*, đơn vị: sản phẩm)

0,25

Thời gian hoàn thành theo kế hoạch 75

x (ngày)

0,25 Thực tế ngày xí nghiệp làm x+5 (sản phẩm) 0,25 Thời gian hoàn thành thực tế 80

x+5 (ngày)

0,25 Vì thực tế xí nghiệp hồn thành sớm ngày so với kế hoạch nên ta có

phương trình 75 80 1 x −x+5=

0,25

Biến đổi phương trình

x +10x−375=0 0,25

Giải phương trình hai nghiệm phân biệt

1

x =15(tm); x = −25(loại)

Nếu học sinh tách thành (x 15 x− )( +25)=0 mà khơng có bước phân tích trừ0,25 điểm

0,25

Vậy theo kế hoạch, ngày xí nghiệp sản xuất 15 sản phẩm 0,25

III

2,5

Phương trình hồnh độgiao điểm (d) (P) là:

( ) ( )

2

x = 2m x+ −2m⇔x − 2m x+ +2m=0 (1)

( )2

2m 1 8m

∆ = + −

( )

2

2

2

4m 4m 8m

4m 4m 1

2m 1 0, m

= + + −

= − +

= − ≥ ∀

a) 1,5

* Thay m = vào phương trình (1), ta có:

(x x)( 2) 0 x 0

x 2 0

x 1

x 2

⇔ − − =

− = 

⇔  − =

= 

⇔  =

* Với x = ⇒ =1 y 1 * Với x= ⇒ =2 y 4

* Vậy m = (d) cắt (P) hai điểm ( )1;1 ( )2;4

b) 1,0

* Để pt (1) có hai nghiệm phân biệt 0 m 1 2

∆ > ⇔ ≠

* Áp dụng định lý Vi-ét cho pt (1) ta có:

1

1

x x 2m 1 x x 2m

+ = + 

 =



* Vì M, M ∈( )P nên

2

1

2

2

y x y x

 =  

=  Ta có: y1+ y2 −x x1 2 =1

( )

( )

( )

2

1 2

2

1 2

2

2

x x x x 1 x x 3x x 1 2m 1 6m 1 4m 2m 0 2m 2m 1 0

2m 0 2m 0 m 0(TM)

1

m (KTM) 2

⇔ + − =

⇔ + − =

⇔ + − =

⇔ − =

⇔ − =

= 

⇔  − = 

=   ⇔

 =



* Vậy m = giá trị cần tìm

0,25

1) 0,75

Chứng minh  

CDA+CEA=180 0,25

Xét tứgiác ADCE:

 

CDA+CEA=180

Mà CDA CEAlà hai góc đối

0,25

Suy tứgiác ADCE tứ giác nội tiếp (dhnb)

Vậy điểm A, D, C, E thuộc đường tròn

0,25

2) 1,0

Xét đường tròn ngoại tiếp tứgiác ADCE:  

CAE=CDE (2 góc nội tiếp chắn cung EC) 0,25

Xét ∆PAE ∆PDC  

APE=DPC (hai góc đối đỉnh)  

CAE=CDE (cmt) PAE

⇒ ∆ # ∆PDC (g - g)

0,25

PA PE

PD PC

⇒ = (định nghĩa hai tam giác đồng dạng) 0,25

PA.PC PD.PE

⇒ = (đpcm) 0,25

3) 1,0

Suy      PDQ+PCQ=CAB+CBA+PCQ 180=

Chứng minh tứ giác CPDQ nội tiếp 0,25

Suy CPQ =CAB(=CDQ) 0,25

Mà hai góc vịtrí đồng vị

AB

⇒ // PQ 0,25

4) 0,5

OM cắt AB I dựng trọng tâm G; lấy H, K thuốc AI BI cho

2 2

AH AI;BK BI

3 3

= = =

H, K

⇒ cốđịnh

AH CG 2

GH

AI = CI = ⇒3 // CA; tương tựGK // CB

0,25

Suy HGK ACB 1 2

= = sđ AB lớn = α không đổi Mà H, K cốđịnh

Suy G thuộc cung chứa góc α dựng đoạn HK (thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M)

0,25

V

0,5

( )

b c 7 a b c 7 a

a b c 7

bc a b c 15

ab bc ca 15 bc a 7a 15

+ = − + = −



+ + = 



⇒ ⇒

 + + =  + + =  = − +

  

b,c

⇒ nghiệm phương trình 2

x − −(7 a)x+a −7x 15+ =0

Vì 1 0, a≠ ∀ ⇒ PT có nghiệm ⇔ ∆ = − − (7 a)2 −4.1 a( −7a 15+ )≥0

( )( )

2

2

2

a 14a 49 4a 28a 60 0

3a 14a 11 0 3a 14a 11 0

a 3a 11 0

11 1 a

3

⇒ − + − + − ≥

⇔ − + − ≥

⇔ − + ≤

⇔ − − ≤

⇔ ≤ ≤

* Vậy a 11 3